CC BY
33
каждой из них. На основании этих сведений преподаватель может сделать вывод об уровне знаний каждого обучаемого. Модуль тестирования имеет два режима работы: собственно тест, а также режим вывода результатов, в котором преподаватель может просмотреть результаты любого обучаемого.
Важным компонентом тренажера является справочная система, которая содержит описания имитируемых технологических процессов, а также справку по работе с компонентами системы.
Результатом представляемой работы является комплексная система, объединяющая модуль тестирования студентов вузов и работников химических предприятий для выявления уровня знаний технологических
процессов и модуль тренажа, позволяющий значительно повысить качество обучения и переподготовки кадров, достичь более глубокого понимания принципов работы изучаемого оборудования. С применением данной системы можно проводить практические занятия, дающие студентам навыки, необходимые при работе на химических предприятиях, сближая таким образом университетское образование с реальным производством. Не менее важной областью применения данной системы является подготовка и переподготовка кадров на химических предприятиях, выявление степени их подготов-ле-нности к различным ситуациям, в том числе нештатным и аварийным.
Литература
1. Малыгин Е.Н., Краснянский М.Н., Карпушкин С.В., Мокрозуб В.Г., Борисенко А.Б. Новые информационные технологии в открытом инженерном образовании Уч. пособие. - М.: Изд-во Машиностроение-!, 2003.- С. 90-123.
МЕТОД РЕЗОЛЮЦИЙ И АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ СИЛЛОГИСТИКА В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
С.Ф. Тюрин, д. т. н., проф., Заслуженный изобретатель РФ, проф. каф. Информационных технологий и автоматизированного проектирования Тел. (3422) 167-344, факс (3422) 660-996, E-mail: [email protected] Пермская государственная сельскохозяйственная академия им. акад. Д. Прянишникова http://www.acareer.ru/h_schools/358.htm Ю.А. Аляев, к. т. н., доц., академик Академии информатизации образования, проф. каф. Информатики, проректор по научной работе Тел. (3422) 660-690, факс (3422) 660-996, E-mail: [email protected] Пермский региональный институт педагогических информационных технологий
http://pripit.perm.ru
We suggest to make studying ofpredicates Logics of first-order with the purpose of synthesis of two approaches in logics teaching — a traditional one and a symbolic one (with new information realities). The corresponding formalizations are defined; they compose ordinary categorical judgments by means of controlling conclusions (the resolutions method is
used).
Новая информационная цивилизация характеризуется возрождением преподавания логики на многих специальностях и направлениях высших учебных заведений, причем часто логика рассматривается как единая
наука, как сплав традиционной (аристотелевской) логики и символической (математической) логики [1].
Предлагается строить преподавание логики путем движения от аристотелевской силлогистики
(разделы «Понятие», «Суждение», «Умозаключение») к логике высказываний (разделы «Законы логики», «Формализация высказываний», «Логический вывод в логике высказываний»), далее к логике предикатов («Формализация суждений и умозаключений в логике предикатов», «Метод резолюций в логике предикатов»), а затем - к формальным системам и неклассическим логикам. Такой подход обеспечивает, с одной стороны, преемственность рассматриваемых примеров различной формализации рассуждений (умозаключений), а с другой - дает преподавателю большое число легко кодифицируемых вариантов заданий обучаемым, например, в соответствии с различными модусами и фигурами силлогизма. Так, в соответствии с аристотелевской силлогистикой, имеется четыре вида простых категорических суждений: A - общеутвердительное, I -частноутвердительное, E - общеотрицательное, O - частноотрицательное. Кроме того, выделяются и единичные категорические суждения. В фигурах силлогизма [2] используется три термина, поэтому общее число модусов в четырех фигурах простого категорического силлогизма 4 • 4 = 256 . Такого количества вариантов при кодировании умозаключения тремя символами, например, для контрольной работы, более чем достаточно на учебный поток. Для учебной группы достаточно кодирования модусов латинскими именами, например, «Barbara» - модус ААА - с указанием фигуры силлогизма, например, первая - правильная, или какая-либо из трех неправильных.
Таким образом, используется формирование заданий на самостоятельную работу для проверки правильности силлогизмов с помощью кругов Эйлера, та же кодировка применяется при изучении формализации в первопорядковой логике предикатов [3]. В последнем случае [4] необходимо формализовать каждый из трех терминов по заданному модусу и фигуре силлогизма (обучаемым нет необходимости запоминать, какое имя относится к какому модусу, да и модус можно указать другой, чтобы получить неправильное умозаключение).
В теме равносильного преобразования формул логики предикатов от обучаемых требуется преобразование соответствующих формул и получение предваренной формулы, описывающей импликацию конъюнкции посылок в заключение, а далее - замкнутой формулы с использованием функции Сколе-
ма для исключения кванторов существования.
Предлагается такой пример формализации для двухместного предиката «Решать задачи» на множествах, обеспечивающих максимально простую интерпретацию кванторов существования и общности соответственно дизъюнкцией и конъюнкцией: Мх={1,2} - множество студентов, пусть Му={1,2} - множество задач. Тогда возможны следующие варианты для одного квантора:
1) ЗхР(х,у)=Р(1,у^Р(2,у) - «Хотя бы один студент решает задачи»;
2) ЗуР(х,у)=Р(х,1^Р(х,2) - «Хотя бы одна задача решается студентами»;
3) УхР(х,у)=Р(1,у)-Р(2,у) - «Каждый студент решает задачи»;
4) УуР(х,у)=Р(х,1)-Р(х,2) - «Каждая задача решается студентами».
Очевидно, что эти формулы не замкнутые, т.е. в зависимости от значений переменных они могут принимать различные значения истинности.
Для возможных комбинаций двух кванторов получаем соответствующие замкнутые формулы.
Для одноименных кванторов:
5) ЗхЗуР(х,у)=[Р(1,1^Р(1,2)^[Р(2,1^Р(2,2)]
(х=1) (х=2)
«Существуют студенты, решающие хотя бы одну задачу», или, что то же самое, «Существуют задачи, решаемые хотя бы одним студентом»
[Р(1,1КР(2Д)МР(1,2КР(2,2)]=ЭуЭхР(х,у). (у=1) (у=2)
6) УхУуР(х,у)=[Р(1,1)-Р(1,2)]-[Р(2,1)-Р(2,2)]
(х=1) (х=2)
«Каждый студент решает каждую задачу», или, что то же самое, «Каждая задача решается каждым студентом»: [Р(1,1)-Р(2,1)]-[Р(1,2)-Р(2,2)]=УуУхР(х,у) (у=1) (у=2) Для разноименных кванторов:
7) ЗхУуР(х,у)=[Р(1Д)-Р(1,2)МР(2Д)-Р(2,2)]
(х=1) (х=2)
«Существуют студенты, решающие каждую задачу»;
Ясно, что при перестановке кванторов получается совсем другой смысл:
8) УуЗхР(х,у)=[Р(1ДКР(2Д)]-[Р(1,2^Р(2,2)]
(у=1) (у=2)
«Каждый задача решается хотя бы одним студентом»;
9) УхЗуР(х,у)=[Р(1,1^Р(1,2)]-|Р(2Д^Р(2,2)]
(х=1) (х=2)
«Каждый студент решает хотя бы одну задачу».
Наоборот:
10) ЗуУхР(х,у) = Р(1Д)-Р(2ДКР(1,2)-Р(2,2) (У=1) (у=2) «Существуют задачи, решаемые каждым студентом».
Таким образом, нетрудно показать, что из ЗхУуР(х,у) следует УуЗхР(х,у), т.е. из сужде-
ния «существуют студенты, решающие каждую задачу» следует суждение «каждая задача решается хотя бы одним студентом» [5].
Действительно, в соответствии со смыслом импликации, используя законы Де Моргана и исключенного третьего, получим:
[P(1.1)P(1.2)v P(2.1)P(2.2)]v[P(1.1)v P(2.1)][P(1.2)v P(2.2)]= =[P(1.1)P(1.2)][P(2.1)P(2.2)]v P(1.1)P(1.2)v P(1.1)P(2.2) v P(2.1)P(1.2)v P(2.1)P(2.2)= =[P(1.1)P(1.2)][P(2.1)P(2.2)]v P(1.1)P(1.2)v P(2.1)P(2.2)v P(2.1)P(1.2)v P(2.1)P(2.2)= =[P(1.1)P(1.2)][P(2.1)P(2.2)] v P(1.1)P(1.2)P(2.1)P(2.2)v P(2.1)P(1.2) v P(2.1)P(2.2)=1.
Аналогично доказывается то, что из ЗуУхР(х,у) следует УхЗуР(х,у), т.е. из суждения «существуют задачи, решаемые каждым
студентом» следует суждение «каждый студент решает хотя бы одну задачу»:
[P(1.1)P(2.1)v P(1.2)P(2.2)]v[P(1.1)v P(1.2)][P(2.1)v P(2.2)]= =[P(1.1)P(2.1)][P(1.2)P(2.2)]v P(1.1)P(2.1)v P(1.1)P(2.2) v P(1.2)P(2.1)v P(1.2)P(2.2)= =[P(1.1)P(2.1)][P(1.2)P(2.2)] v P(1.1)P(2.1)v P(1.1)P(2.2)v P(1.2)P(2.1)v P(1.2)P(2.2)= =[P(1.1)P(2.1)][P(1.2)P(2.2)]vP(1.1)P(2.1)P(1.1)P(2.2) vP(1.2)P(2.1)vP(1.2)P(2.2)=1.
Рассмотрение универсума Эрбрана предлагается на основе простого примера, включающего три предиката, описывающих свойство транзитивности:
Ы1^х[Р(х)^(х)];
Ы2^хЮ(х)^К(х);
С^х[Р(х)^Щх)].
Здесь Ы1 Ы2- гипотезы, а С - заключение
соответствующего умозаключения. В этом случае клаузальная форма имеет вид:
[Р(х^д(х)][д(х^ Я(х)]Р(а)Я(а),
где
P(a)R(a)
отрицание заключения
«а» -
Vx[P(x)v Я(х)]=ЗхР(х)Я(х)=Р(а)Я(а)' функция (константа) Сколема.
Тогда фундаментальная конкретизация имеет вид:
[Р(а^ д(а)Ша) V Я(а)]Р(а)Я(а).
Таким образом, имеется всего 8 (=23) Эрбрановых интерпретаций. Соответствующее семантическое дерево имеет вид (рис. 1): Р(э)
R(a>
Рис. 1. Семантическое дерево для доказательства транзитивности
В соответствии с рис. 1 - по всем возможным путям из корня к листьям дерева можно получить все 8 вариантов фундаментальной конкретизации:
0) (0v 0)(0v 0)00=0;
1) (0v0)(0v1)01=0;
2) (0v1)(1v0)00=0;
3) (0v0)(1v1)01=0;
4) (1v 0)(0v 0)10=0;
5) (1v 0)(0v1)11=0;
6) (1v1)(1v 0)10=0;
7) (1v1)(1v1)1l=0.
Таким образом, при всех вариантах получаем невыполнимое множество дизъюнктов. Кроме того, видно, что 0 получается
при P(a)=0, R(a)=0 , что отмечено на семантическом дереве.
При изучении метода резолюций в логике предикатов обучаемые строят множество дизъюнктов и дерево опровержения, подтверждая или опровергая правильность указанного умозаключения. При этом, если используется формализация [2]:
Г A(SaP) :Vx [S(x) ^ P(x) ] ; I(SiP) :3x [S/x)P(x) ] ' E(SeP) :Vx S(x)^P(x)]; O(SoP) :3x[S(x)P(x)],
то в ряде случаев доказательство методом резолюций не проходит. Например, для модуса «Barbara»:
Vx[M(x)^P(x)] Vx[S(x)^M(x)]
Vx[S(x) ^ P(x),
что соответствует множеству дизъюнктов и дереву опровержения:
Рис. 2. Дерево опровержения для модуса «Barbara»
На рис. 2 «а» - это константа, получившаяся после введения функции Сколема при отрицании заключения модуса «Barbara».
Для модуса «Darapti» (третья фигура силлогизма) дизъюнкты и дерево опровержения имеют вид (рис. 3):
М(х) V Р(х), щ v Si*), St*) v Р(х)
Ы(к) V Р(х)
Рис. 3. Дерево опровержения для модуса «Darapti»
Опровержение не достигается, хотя модус правильный. Аналогично не достигается опровержение и для модусов «Ре1ар1юп» и «Ре8аро». Оказывается, это недостаток формализации, а не метода резолюций. При формализации В. А. Смирнова [3]:
'Л:3х8(х) Ух[(х) Р(х) ]; Е:Ух [(х) — Р(х) ];
' 1:3х8(х)Р(х); _
0:3х8(х) —Зх [(х) Р(х) ]
для модуса «Ре1ар1юп» опровержение достигается (рис. 4).
М(х) V Р(х); М(а), М(х) V S(x), S(b), S(x) v Р(х]
Рис. 4. Дерево опровержения для модуса «Felapton» и модели В.А. Смирнова
На рис. 4 обозначено: а, в - функции (константы) Сколема.
Литература
1. Ивлев Ю.В. Логика: Учебник для вузов. - М.: Логос, 2001. - 272 с.
2. Гетманова А. Д. Учебник по логике. - М.: Че Ро, 2000. - С. 72-73, 120-123.
3. Алешина Н.А., Анисов А.М., Быстров П.И. и др. Логика и компьютер. Моделирование рассуждений и проверка правильности программ. - М.: Наука, 1990. - 240 с.
4. Тейз А., Луи Ж., Снийерс Д. и др. Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию. - М.: Мир, 1990. - 432 с.
5. Никольская И.Л. Математическая логика: Учебник. - М.: Высш. школа, 1981. - 127 с.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА ПРИ ОБУЧЕНИИ ИНОСТРАННЫМ ЯЗЫКАМ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРНЫХ ОБУЧАЮЩИХ ПРОГРАММ
Е.А. Макарова, к.п.н., доц. каф. Иностранных языков и русской словесности E-mail: [email protected] Таганрогский институт управления и экономики http://www.tmei.ttn.ru
The article deals with the new types of teaching and learning computer programs based on the principles of system approach in education. A distinctive feature of the given approach is that knowledge is not given to a student as a ready-made product, but is built in the process of learning by the student himself. This means a different way of the learning process and knowledge control organization. System approach is a powerful tool in education as it builds a whole picture of investigatedphenamena.
