Метод решения задач ударного взаимодействия тел с жесткозакрепленными телами с возникновением на поверхностях упругих или упругопластических деформаций Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.757

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ С ЖЕСТКОЗАКРЕПЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ С ВОЗНИКНОВЕНИЕМ НА ПОВЕРХНОСТЯХ УПРУГИХ ИЛИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Ю.З. Житников, Б.Ю. Житников

METHOD OF THE SOLUTION PROBLEMS SHOCK INTERACTION OF BODIES WITH ZHESTKOZAKREPLENNY BODIES WITH EMERGENCE ON SURFACES OF ELASTIC OR ELASTO-PLASTIC DEFORMATIONS

Yu.Z. Zhitnikov, B.Yu. Zhitnikov

Аннотация. Предлагается метод решения задач ударного взаимодействия твердых тел с жесткозакрепленными телами для определения предельных скоростей удара основанный на утверждении, что работы сил или моментов при ударном взаимодействии и при медленном сжатии равны при одинаковых деформациях контактируемых поверхностей. Рассмотрены задачи ударного взаимодействия тел с возникновением на их поверхностях упругих и упругопластических деформаций. Достоверность решений базируется на использовании обширного эксперимента, проведенного авторами: М.С. Дрозд, М.М. Матлиным, Ю.И. Сидякиным.

Ключевые слова: удар;, упругая деформация; упругопластическая деформация; твердое тело.

Abstract. The method of the solution problems shock interaction of solid bodies with zhestkozakreplenny bodies for determination of speed limits blow based on the statement that works of forces or the moments at shock interaction and at slow compression are equal at identical deformations of the contacted surfaces is offered. Problems of shock interaction bodies with emergence on their surfaces of elastic and elasto-plastic deformations are considered. Reliability of decisions is based on use of the extensive experiment made by authors: M.S. Drozd, M.M. Matlin, Yu.I. Sidyakin.

Key words: blow; elastic deformation; elasto-plastic deformation; solid body.

Введение

Проблемой решения задач ударного взаимодействия тел занимались известные ученые. Ими предложен ряд методов решения:

- Ньютон предложил классический метод решения, считая, что тела абсолютно твердые и все точки тел движутся с одинаковыми скоростями, поэтому, количество движения механической системы остается постоянным;

- Гюйгенс принял допущение о постоянной кинематической энергии тел;

- Алимов О.О. предложил волновую теорию удара, основанную на уравнениях напряженно-деформированного состояния тел, уравнениями в частных производных представлены левые части, определяющие быстроту изменения напряжения в телах, а правые - проекции ускорений точек тел на координатные оси [1];

- Александров Е.В. предложил метод решения уравнений плоского удара для стержней бесконечной длинны [6];

- Герц предусмотрел допущение - возникновение местных контактных искажений, при которых отсутствуют деформации в удалении от зоны контакта тел;

- Батуев Г.С. предложил гипотезу, основанную на уточнении теории Герца для получения эмпирических зависимостей максимальных контактных сил и упругопластических деформаций [2];

- Пановко Я.Г. рассмотрел жестко-пластическую модель оценки параметров удара [8];

- Стихановский Б.Н. предложил метод оценки параметров удара по значениям времени и силы удара [9];

- Дрозд М.С. представил гипотезу удара на основе понятия пластической твердости материалов соударяемых тел;

- Кильчевский Н.А. на основе гипотезы рассмотрел решение задачи удара с учетом возникновения колебаний в элементах соударяемых тел [7].

На практике чаще всего требуется определить скорость соударения тел, при которой возникают упругие или упругопластические деформации в заданном диапазоне или обратную задачу.

Метод решения задач ударного взаимодействия тел с жесткозакрепленными

телами с возникновением на поверхностях упругих деформаций

За основу математического описания процессов ударного взаимодействия тел с жёсткозакреплёнными неподвижными телами взяты теоремы динамики [3].

Для тел, совершающих поступательное движение, используется теорема об изменения главного вектора количества движения системы в интегральной форме в проекции на ось, направленную по направлению удара. Согласно [3] выражение запишется:

тУ1 - тУо = 2 РеД г, (1)

где: т - масса тела совершающего удар; Уо и У1 - скорости движения тел до и после удара; 2 ре - сумма проекций действующих на тело внешних сил на ось; Д г - время удара.

Учитывая, что все действующие силы, кроме силы удара Руд малы, выражение (1) примет вид:

т Уо = РудД г. (2)

Для математического описания процесса ударного взаимодействия тел, совершающих вращательное движение, используется теорема об изменения главного вектора момента количества движения системы в интегральной форме в проекции на ось вращения. Согласно [6] выражение запишется:

12 (<0 1-0) о) =2 мегД г, (3)

где: - приведённый момент инерции тела, совершающего удар, к оси вращения; -

угловые скорости вращения тела до и после удара; - сумма моментов внешних сил

относительно оси вращения тела, совершающего удар; - время удара.

Для случая удара с учётом того, что < 1 = 0 , выражение (2.3) примет вид:

12< о = м1д Д г, (4)

В правых частях выражений (2) и (4) имеются неизвестные Руд, Муд, Д г, найти которые довольно сложно.

Предложенный метод на основе равенства работ от сил (моментов) удара и сил (моментов) медленного сжатия взаимодействующих поверхностей тел, с учетом равенства деформаций, позволяет выразить эти неизвестные через другие параметры, исключив их из выражений (2) и (4).

Для случая упругого удара тел, совершающих как поступательное, так и вращательное движение, выражение равенства работ запишется:

Ауд = А^ (5)

где: Ауд - работа, совершаемая силой удара; Асж - работа, совершаемая силой упругого сжатия.

Левая часть выражения (5) представляет собой динамическую составляющую работы, а правая - статическую, при которой происходит упругая деформация взаимодействующих поверхностей.

При поступательном движении тела, совершающего удар, выражение работы запишется:

Ауд = Fуд ■ Луд, (6)

где: Fуд - сила удара; Луд - величина перемещения тела, совершающего удар, за счёт деформации взаимодействующих поверхностей тел.

Считаем, что процесс деформации поверхностей происходит при равнозамедленном движении, тогда:

Луд = Кср ■ Д ; = ^ ■ Д (7)

Учитывая, что после удара тела о жёсткозакреплённую неподвижную поверхность второго тела, конечная скорость движения равна нулю, выражение (7) примет вид:

Луд = ^ ■ Д (8)

Окончательно, выражение работы сил удара при деформации поверхностей (6) с учётом выражения (8) моно записать:

Ауд = ^"уд ■ ^ ■ Д (9)

Аналогично рассуждая, найдём математическую зависимость работы при ударном взаимодействии тела, совершающего вращательное движение:

А уд = М|д ■ <р уд, (10)

где: - момент силы удара относительно оси вращения тела; - угол поворота тела, совершающего удар, за счёт деформации взаимодействующих тел. Момент удара равен:

М|д = .Рудт, (11)

где: - расстояние от оси вращения тела, совершающего удар, до точки взаимодействия поверхностей.

Угол поворота тела, совершающего удар, при деформации взаимодействующих поверхностей тел, считая торможение тела при ударе равнозамедленным движением, запишется:

<р уд = ■ д(12)

Учитывая, что конечная угловая скорость движения тела, совершающего удар, о неподвижное, жёсткозакреплённое тело, равна нулю - ш х = 0 , окончательно выражение (10) с учётом выражения (11) и (12) примет вид:

ЛУД = ртгд . г . ^ . Дц. (13)

Работа силы при медленном сжатии поверхностей взаимодействующих тел при их поступательном движении, учитывая, что на их поверхностях возникают напряжения смятия, запишется:

• ст ^см ' ^ум, (14)

где: - предельная сила упругого смятия поверхностей; Лум - суммарная глубина упругого смятия поверхностей индентора и контртела.

Предельную силу смятия находим из условия прочности:

^см=7М<Км]. (15)

где: [ ] - соответственно, предельно допустимое и истинное значение напряжений смятия; - площадь смятия поверхностей.

Площадь смятия взаимодействующих поверхностей тел зависит от их конфигураций, величин полуосей пятен контактов и физико-механических свойств материалов. Математические выражения полуосей пятен контактов получены в работах [4, 5] табл. 1 и экспериментально уточнены в работе [5].

С учётом выражения (15) и коэффициента к = 0 . 9 предельное значение силы упругого смятия можно записать:

^м = 0 .9 Ос м'^см. (16)

Математическое значение глубины упругого смятия в зависимости от конфигурации поверхностей получены в работе [4, 5], а экспериментально уточнены в работе [5], табл.1. Учитывая, что сминаются обе поверхности и индентора, и контртела имеем:

Лум = 2 «у, (17)

где: - глубина упругого смятия поверхности одного из взаимодействующих тел. Окончательно с учётом выражений (16, 17) запишем работу упругого смятия:

•Уж = 0.9Км]-5см -2«у. (18)

Подставляя выражение (9 и 18) в выражение равенства работ (15) получим:

/7уд.^.д г = 0 . 9[Осм]-5см -«у. (19)

Из последнего выражения видно, что можно выразить произведение FУДД t -неизвестных параметров, через другие известные параметры. Подставляя это произведение в уравнение (2), найдём предельную скорость движения тела, совершающего удар. После преобразований получим:

Таблица 1 - Формулы для определения глубины упругого смятия

№ п/п

Вид

взаимодействую щих поверхностей тел

Полуось пятна контакта взаимодействующих поверхностей тел - а

Глубина упругого смятия взаимодействующих поверхностей тел - ау

Удельное давление на взаимодействующие поверхности - Р0

а = 1,109

N

Р ■ Д

ау = 1,231

р 2

Е2 ■ Д

Р0 = 0,388

N

Р ■ Е2

Д2

Сфера с плоскостью

а = 1,109

N

Р ■ дх д2 3 ау = 1,2 3 1 Л Р2(ДХ- д2)

Е(В 1- Д2) Е2 -Дх д2

Р0 = 0,388

N

Р ■ Е2

/Д1 ~ Д2у \r.-RJ

Сфера со сферой

а = 1,109

N

Р ■ Д1 ■ Д9

Е(Д 1+Д2)

ау = 1,2 3 1

N

Я2 ■Д1 -я,

Р0 = 0, 3 8 8

N

Р-Е2

/Д1+ Д2у

\ R1 ■ R, /

Сфера со сферой

а = 1,109

Цилиндр с цилиндром

N

Р ■ Д

ау = 1 , 2 3 1

N

Р2

Е2 ■ Д

Р0 = 0,388

N

Р-Е2

Д2

а = 1,522

Цилиндр с Цилиндром

N

<? ■ Дх ■ Д2

я(Д1±Д2)

а = 1,522

N

<7 ■ Д

Цилиндр с плоскостью

где а - полуось пятна контакта; Р - сила взаимодействия тел при упругой деформации поверхностей; Я[ - радиусы кривизны тел; Е - приведенные модули упругости тел; ау -глубина упругой деформации поверхностей тел; Р0 - удельное давление на взаимодействующих поверхностях; ц- удельная нагрузка на единицу длины взаимодействия поверхностей; Ь - длина взаимодействия поверхностей._

I 3 . 6[<тсм]-5см ■ ау

1

2

3

4

5

6

Аналогичным образом найдём правую часть уравнения (4), в которую входят неизвестные параметры - момент удара тела относительно оси вращения и время удара -

мудд;.

Работу от момента при медленном сжатии взаимодействующих тел можно записать:

А1ж = ^см ■ Г ■ <рсм, (21)

где: <рсм - угол поворота тела за счёт упругой деформации взаимодействующих поверхностей тел.

При малой деформации взаимодействующих поверхностей тел, деформацию можно считать длиной дуги - (выражение (17), поэтому угол поворота тела при ударе равен:

<Рсм = (22)

Подставляя в выражение (5) равенства работ выражения (11, 13, 16, 21, 22) получим:

М2уд^Д ; = 0. 9[ Осм] Ам ■ Г-^. (23)

Из последнего выражения выделим произведение неизвестных параметров - МудД ; и подставим в выражение (4).

Из полученного выражения после преобразований находим предельную угловую скорость вращательного движения тела, совершающего удар:

¿о 0 < ^ з-б^м^м-«у. (24)

Примечание. В случае ударного взаимодействия звена механизма с жёсткозакреплённой поверхностью, в выражении (20) параметр т - приведённая масса механизма к звену, совершающему удар, а в выражении (24) параметр - приведённый момент инерции элементов механизма к оси звена, совершающего удар.

Метод решения задач ударного взаимодействия тел с возникновением упругопластических деформаций их поверхностей

В основу математического описания процессов ударного взаимодействия с жёсткозакреплёнными неподвижными телами взяты теоремы динамики [3].

Для соударяемых тел, совершающих поступательное движение, справедливо выражение (2):

тК = FудД;

Для соударяемых тел, совершающих вращательное движение справедливо выражение

(4):

/2<о о = м2удд

Для решения задачи определения предельных скоростей движения тела, совершающего удар необходимо из выражений (2, 4) исключить произведение неизвестных

¿удд ; мудд

Используя метод равенства работ силы (момента) удара и силы (момента) медленного сжатия взаимодействующих поверхностей при одинаковых деформациях для тел,

совершающих поступательное или вращательное движение при упругопластической деформации их поверхностей, выражение равенства работ запишется:

Ауд = + А (25)

где А СЛ - работа, совершаемая силой пластичного сжатия поверхностей.

Левая часть выражения (25) - динамическая составляющая работы, совершаемой при ударе, а правая - составляющая работы при медленном сжатии, при которых происходят равные по величине упругопласстические деформации взаимодействующих поверхностей.

Для поступательного движения тела, совершающего удар, работа находится из выражения (9):

Ауд = ■ - ■ Д t

2

Работу при сжатии найдем согласно [4, 5]. Глубина пластической деформации взаимодействующих поверхностей равна:

= ^ (26)

где: - сила, вызывающая упругопластическую деформацию взаимодействующих поверхностей тел; Р0 = - сила, вызывающая упругую деформацию поверхностей; Nпр -приведённый радиус двойной кривизны поверхностей тел; ЯД - пластическая твёрдость материалов соударяемых тел.

Приведённый радиус поверхностей тел с двойной кривизной, согласно работе [5] находится из выражения:

^ _ I Дц-Д12"Д21'Д22 (27)

где: - радиусы кривизны поверхности индентора; - радиусы кривизны

поверхности контртела.

Пластическая твердость материалов тел находится их выражения согласно [7, 8]:

ЯД = ( м ПА) = -20000- ( ^ Г/ 2 ) , (28)

м (130-ЯДВ) 4 ' (130-ЯКС) 4 'СМ/У' 4 '

где - твёрдость по Роквеллу.

Из выражения (26) с учётом выражений 16, 28) для тел, совершающих поступательное движение при ударе, найдём суммарную силу, под действием которой на взаимодействующих поверхностях возникают упргопластические деформации:

Р = 0 . 9 [ас м] ■ 5С м + 2 т N п р ■ Л п л, (29)

где ^0 = ^сж-

Найдём правую часть выражения (25), то есть работу сил, вызывающих упругопластические деформации взаимодействующих поверхностей.

Следует обратить внимание на то, что упругой и пластической деформации подвергаются обе поверхности и индентора и контртела, следовательно:

АУж+А СЛ = Р ■ (2 ау + 2 Лпл) , (30)

где: ау - глубина упругой деформации поверхности тела; Лп л - глубина пластической деформации поверхности.

С учётом выражений (9, 29, 30) выражение (25) равенства работ примет вид:

^уд ■ ^А г = ( 0 .9Км] ■ ^см + 2^пр1^0000?/1пл) ( 2ау + 2 V). (31)

Аналогичным образом найдём составляющие выражения (25) для тел, которые при ударе совершают вращательное движение:

Работа от момента удара согласно выражения (13) равна:

Луд = г = муд -^д г. (32)

Работа от момента при упругопластическом сжатии взаимодействующих поверхностей запишется:

^Уж+^4 пл = Р ■ г(2 <р у + 2<рпл) , (33)

где: - угол поворота тела, совершающего удар, при упругой деформации поверхностей; - угол поворота тела, совершающего удар, при пластической деформации поверхностей. Считая деформации поверхностей при повороте тела, совершающего удар, как длины дуг, углы поворота при упругой и пластической деформации запишутся:

<р у = ^, (34) <рпл=^. (35)

Запишем выражение (25) равенства работ от удара и медленного сжатия взаимодействующих поверхностей тел с учётом выражений (29, 32, 34, 35):

муд ■ |дг = (о ,9Км]5см ■ г + 2 ■ йпл ■ г) (^ + (36)

Учитывая, что при значительных пластических деформациях может произойти разрушение взаимодействующих поверхностей или нарушится точность взаимного положения элементов механизма, ограничим эту величину.

Пусть пластичная деформация одной поверхности не превышает одной трети допуска на размер контактируемой поверхности:

V = ^А, (37)

где А - допустимое отклонение размеров контактирующих поверхностей тел.

Выделим из выражения (31) правую часть выражения (2) - FУдД г и подставим в него. После преобразований получим предельную скорость поступательного движения тела, совершающего удар о жёсткозакреплённую поверхность, при котором на взаимодействующих поверхностях возникнут упругопластические информации заданной величины:

|2.9[<м]5см+27ГЙПрТ|;;^^Пл(2«у+2^Пл))

I Ш . (38)

Аналогичным образом выделим из выражения (36) правую часть выражения (4) -и подставим в него. После преобразований получим предельную угловую скорость вращательного движения тела, совершающего удар о жёсткозакреплённую поверхность, при котором на взаимодействующих поверхностях возникнут упругопластические деформации заданной величины:

2( 0 .9[(7см]5см+27гКПр^°°^0°с-йпл( 2 ау+2 Лпл))

ш - I Т . (39)

Воспользовавшись результатами обширного эксперимента [4, 5] проверена достоверность определения предельных скоростей движения тел при ударе и возникновении на взаимодействующих поверхностях упругих и упругопластических деформаций. Расчетные значения предельных скоростей удара отличаются от экспериментальных не более, чем на 20%.

Заключение

Обоснован метод решения задач ударного взаимодействия твердых тел с жесткозакремленными телами на основе утверждения, что работы сил или моментов при ударном взаимодействии и медленном сжатии равны при одинаковых деформациях контактируемых поверхностей.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Удар. Распространение волн деформации в ударных системах / О.О. Алимов, В.К. Монжосов, В.Э. Еремьянц. М.: Наука, 1985. 357 с.

2. Инженерные методы исследования ударных процессов / Г.С. Батуев, Ю.В. Голубков, А.К. Ефимов, А.А. Федосеев. М.: Машиностроение, 1977. 246 с.

3. Курс теоретической механики / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Маркин. Т. 2. Динамика. М.: Наука, 1971. 464 с.

4. Демидов С.Н. Теория упругости: учебник для вузов/ М.: ВБсшая шк., 1979. 432

с.

5. Инженерные расчёты упругопластической контактной деформации / М.С. Дрозд, М.М. Матлин, Ю.И. Сидякин. М.: Машиностроение, 1986. 224 с.

6. Александров Е.В., Сокольский В.Б. Прикладная теория и расчёты ударных систем. М.: Наука, 1969. 201 с.

7. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар. Киев: Наукова думка, 1976. 320 с.

8. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. М.: Наука, 1977. 224 с.

9. Стихановский Б.Н. Приближённый метод определения времени, коэффициента восстановления, силы и передачи энергии при свободном прямом ударе // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых: сб. науч. трудов. А.Н. Сибирского отделения, 1971. Вып. 1.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Житников Юрий Захарович ФГБОУ ВПО «Ковровская государственная технологическая академия им. В.А. Дегтярева», г. Ковров, Россия, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой технология машиностроения

E-mail: [email protected]

Zhitnikov Yury Zakharovich FGBOU VPO «Kovrov state technological academy of V.A. Degtyarev», Kovrov, Russia, the Doctor of Technical Science, professor, the head of the department technology of mechanical engineering

E-mail: [email protected]

Житников Борис Юрьевич ФКОУ ВПО «Владимирский юридический институт Федеральной службы исполнения наказаний» г. Владимир, Россия, доктор технических наук, профессор, начальник кафедры специальной техники и информационных технологий E-mail: [email protected]

Zhitnikov Boris Yuryevich FKOU VPO «Vladimir Legal Institute of Federal Penitentiary Service» Vladimir, Russia, Doctor Technical Science, professor, chief of chair of special equipment and information technologies

E-mail: [email protected]

Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 601910, Владимирская область, Ковров, Маяковского д. 19, КГТА им. В.А. Дегтярева, 8

(49232) 5-66-67 Житников Ю.З. 600020, Владимирская область, г. Владимир, ул. Большая Нижегородская, д. 67е, ВЮИ ФСИН России, 8 (4922) 47-44-88 Житников Б.Ю.