CC BY
71
УДК 539.62
Метод редукции размерности в механике контактного взаимодействия
и трибологии. Неоднородные среды
В.Л. Попов
Берлинский технический университет, Берлин, 10623, Германия
Метод редукции размерности в механике контактного взаимодействия основан на отображении трехмерных контактных задач на одномерные системы. Он был разработан и верифицирован в приложении к однородным средам. В настоящей статье обсуждаются возможности его обобщения на неоднородные среды. Основные идеи иллюстрируются на примере упругой среды с покрытием. Предлагаемый метод легко может быть обобщен также на среды, имеющие неоднородность в поперечном направлении, или произвольные неоднородные среды. Для иллюстрации основных идей мы ограничиваемся рассмотрением линейных бездисси-пативных сред. Предлагаемый метод может быть использован для расчета контактных и фрикционных взаимодействий и для интерпретации экспериментов по индентированию неоднородных сред.
Ключевые слова: контакт, индентирование, покрытия, редукция размерности, неоднородные среды, адгезия
Dimensionality reduction method in mechanics of contact interaction and tribology.
Heterogeneous media
V.L. Popov
Technische Universität Berlin, Berlin, 10623, Germany
The dimensionality reduction method in contact mechanics is based on mapping of three-dimensional contact problems onto onedimensional systems. The method was developed and verified as applied to homogeneous media. The present paper discusses the possibilities of generalizing the method to heterogeneous media with an illustration of basic ideas on the example of an elastic medium with a coating. The proposed method is easy to extend to media with lateral heterogeneity or to arbitrary heterogeneous media; this is illustrated by considering linear non-dissipative media. The proposed method can be used for calculation of contact and frictional interactions and for interpretation of experiments on indentation of heterogeneous media.
Ключевые слова: contact, indentation, coatings, dimensionality reduction, heterogeneous media, adhesion
1. Введение
Несмотря на быстрое развитие методов численного моделирования трибология остается областью науки и техники, в которой методы численного моделирования до сих пор не играют значительной роли. Это обусловлено, прежде всего, многомасштабной природой процессов трения и вытекающей из нее необходимостью учитывать все пространственные масштабы, начиная от трибологической системы как целого до атомного масштаба [1-3]. Авторы работы [4] проанализировали направления развития численных методов в трибологии и указали на перспективность гибридных методов, связывающих различные масштабные уровни. Так, например, процессы износа и транспорта материала из зоны
трения могут быть описаны посредством стохастических дифференциальных уравнений [5], в то время как параметры этих уравнений могут быть получены экспериментально или путем моделирования методом подвижных клеточных автоматов [6] или молекулярной динамики [7]. Для возможности синтеза моделей разного уровня принципиально важным представляется развитие методов «сжатия информации» для ее компактной передачи с одного масштабного уровня на другой подобно тому, как это реализовано в известных методах кодирования изображений или организации больших баз данных, например Google Earth. В статье [4] была высказана гипотеза, что таким обобщающим методом в области механики контактного взаимодействия и
© Попов В.Л., 2013
трибологии может быть метод редукции размерности, суть которого состоит в отображении трехмерных контактных задач на одномерные. В дальнейшем этот метод был развит и верифицирован в приложении к аксиальносимметричным контактам [8, 9], а также к контактам со случайной шероховатостью [10-12]. Было показано, что метод редукции размерности применим к контактам с адгезией [8], вязкоупругим средам [13, 14] и динамическим контактным задачам. Моделирование методом редукции размерности статической силы трения в осциллирующих с малой амплитудой контактах [15] позволяет описать экспериментальные результаты [16] с высокой точностью. В работе [17] было продемонстрировано, что метод редукции размерности может быть интегрирован в макроскопическую модель таким образом, что динамика системы и контактные силы вычисляются непосредственно на каждом временном шаге численного моделирования. Обзор теоретических основ метода и его приложений дан в [18], а подробные доказательства могут быть найдены в монографии [19].
До сих пор метод редукции размерности развивался в приложении к однородным средам. Многие материалы фрикционного назначения являются, однако, неоднородными средами. Зачастую именно эта неоднородность является существенной основой их функциональных свойств. Примером является материал тормозных колодок, представляющий собой, как правило, полимерную матрицу с твердыми включениями. В настоящей работе обсуждается вопрос, каким образом подобного рода материалы могут быть описаны в рамках метода редукции размерности.
2. Формулировка метода редукции размерности для однородных сред
Рассмотрим нормальный контакт между упругим полупространством с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V и абсолютно твердым аксиально-симметричным индентором. Форму индентора будем характеризовать функцией z = /(г), где г = ^ х2 + у2 — радиус-вектор в плоскости контакта. Метод редукции размерности состоит из двух операций [18]:
1. Упругое полупространство заменяется на одномерную цепочку независимых пружин (основание Винклера), как показано на рис. 1, причем жесткость каждой пружины определяется согласно
Ак2 _ Е* Ах, (1)
где
Е* = = Т^, (2)
1 -V2 1 -V
Ах — расстояние между соседними пружинами; G = = Е/ (2(1 + V )) — модуль сдвига.
2. Профиль z = /(г) замещается одномерным профилем
* (*)=| *|'Ш
(3)
где/'(г) означает производную.
Метод редукции размерности утверждает, что если привести в контакт модифицированный профиль (3) с основанием Винклера, определенным согласно (1), то зависимости между нормальной силой Еп, радиусом контакта а и глубиной индентирования d будут в точности теми же самыми, что и в исходной трехмерной контактной задаче. Строгое доказательство этого утверждения впервые было дано в [8, 9]. Отметим, что операции 1 и 2 независимы друг от друга: преобразование формы происходит независимо от свойств среды, а замена среды не зависит от формы индентора.
Особенно просто выглядит преобразование в случае профилей, определяемых степенной функцией
/(г) = спгп ^ я(х) = сп |х|", (4)
% _ _ а/п пГ(п/2)
с" _КЛ. кп _ -у Г((п +1)/2) ’ где Г(п) — гамма-функция, т.е. степенной профиль заменяется на эквивалентный профиль, определяемый степенной функцией с той же самой степенью, но «растянутый» в вертикальном направлении в кп раз. Например, для параболического профиля (п = 2) масштабный фактор равен кп _ 2, а для конического индентора (п = = 1) _ п/2.
Отметим, что в рамках метода редукции размерности может быть вычислено также и распределение нормальных напряжений а^ (г) в исходной трехмерной задаче. Правило определения напряжений следующее: в одномерной задаче определяются силы сжатия А[п (х) отдельных пружин. После этого определяется линейная плотность силы
¥п(х)
д(х)--
Ах
(5)
Напряжение в исходной трехмерной задаче дается уравнением
2 2 х - Г
(6)
Доказательство этого уравнения дано в [8, 9, 19].
\ ГП 0
/ / /Груу^Г////
Рис. 1. Контакт трехмерного аксиально-симметричного тела с упругим полупространством (а) и его одномерный эквивалент (б)
M. Heß [8] показал, что контакты с адгезией также могут быть строго описаны в рамках метода редукции размерности. При этом, помимо описанных выше операций 1 и 2, вводится следующее правило: пружины на границе контакта с адгезией (в одномерной эквивалентной модели) находятся в состоянии безразличного равновесия, если их удлинение А/ удовлетворяет условию
Al = A/ma» =^E^, (7)
где y12 — эффективная поверхностная энергия границы раздела (работа отрыва на единицу площади). Отметим, что в случае адгезии мы имеем дело с нелокальным критерием отрыва, поскольку критическое удлинение зависит от размера контакта. Важно подчеркнуть, однако, что отдельные пружины основания Винклера по-прежнему должны рассматриваться как независимые, а критическое удлинение зависит только от размера контакта, но не от формы индентора.
Аналогичные строгие теоремы существуют также и в отношении касательных контактов [19]. В данной статье ограничимся рассмотрением нормальной контактной задачи.
3. Возможно ли описание неоднородных сред в рамках метода редукции размерности?
Возможность описания аксиально-симметричных контактов в рамках метода редукции размерности обусловлена тремя основными свойствами контактных задач.
A. При вдавливании жесткого индентора в произвольную среду с линейной реологией форма ее поверхности зависит только от формы индентора и глубины индентирования, но не от свойств среды. В частности, форма поверхности будет одинаковой для всех однородных упругих сред независимо от их упругих свойств, равно как при индентировании жидкостей или при ин-дентировании вязкоупругих тел с произвольной линейной реологией. Последнее свойство было впервые отмечено в работах [20, 21]. Известным примером этой независимости является уравнение a =\jRd, определяющее радиус контакта а в задаче Герца (контакт между упругим полупространством и параболическим ин-дентором с радиусом кривизны R). Очевидно, что радиус контакта зависит только от формы индентора и глубины вдавливания, но не от свойств среды. Это свойство имеет место не только для аксиально-симметричных контактов, но и для контактов произвольно сложной формы.
B. Дифференциальная жесткость контакта зависит исключительно только от мгновенной конфигурации области контакта, но не от предыстории ее возникновения. Это означает, что дифференциальная жесткость двух тел разной формы будет одинакова, если в данном состоянии они имеют одинаковые площадки касания.
Доказательство этого утверждения может быть найдено в [3, 22].
С. Контактная жесткость круглого контакта радиуса а равна
кг _ 2аЕ (8)
и, таким образом, пропорциональна диаметру контакта.
Нетрудно видеть, что названные три свойства обеспечивают возможность отображения трехмерных сред на одномерные. Действительно, при контакте с одномерной цепочкой независимых пружин размер контакта зависит только от формы индентора и глубины вдавливания, но не от реологических свойств отдельных пружин. Это свойство имеется, однако, и в трехмерных системах (свойство А). Дифференциальная жесткость в одномерном случае, очевидно, может зависеть только от текущей конфигурации контакта. И это свойство имеется в оригинальной трехмерной системе (свойство В). Наконец, при использовании пружин постоянной жесткости дифференциальная жесткость контакта в одномерном случае оказывается автоматически пропорциональной размеру области контакта. И это свойство имеет место в трехмерном оригинале (свойство С). Свойства А и В приводят к разделению контактной задачи на две независимые части: определение конфигурации контакта не зависит от свойств материала, а зависит только от формы тела и глубины индентирования, в то время как контактная жесткость зависит исключительно от мгновенной конфигурации контакта и не зависит от формы тела.
Свойство В является наиболее универсальным из всех трех и справедливо независимо от формы тел и их структуры. Оно имеет место в равной мере для произвольных неоднородных сред с линейной реологией. Доказательство этого утверждения представляет собой непосредственное обобщение соответствующего доказательства для однородных сред, данного в [3].
Свойства В и С не являются столь же универсальными. Их обсуждение является поэтому ключевым в анализе возможности обобщения метода редукции размерности на неоднородные среды.
Начнем с обсуждения свойства А в приложении к неоднородным средам. В качестве иллюстрации представим себе упругий континуум, имеющий покрытие толщиной h с модулем упругости Е0 и коэффициентом Пуассона v0, отличающимися от упругих свойств (Е1 и v1) в глубине материала. Рассмотрим индентирование этой среды параболическим индентором. Очевидно, что при малой глубине индентирования радиус контакта определяется исключительно деформацией поверхностного покрытия и дается формулой Герца а _-\1ш. При очень большой глубине индентирования он определяется деформацией упругого субстрата и дается по-прежнему формулой Герца. При промежуточных глубинах нет гарантии, что герцевское соотношение сохраняет силу.
Отклонение от формулы Герца будет, однако, в большинстве практически важных случаев сравнительно небольшим. Так, в работе [23] было показано, что отклонение от герцевской формулы для сред с тонким покрытием, моделируемым как упругая плита, никогда не превышает 1.7 %. В работе [24] зависимость между радиусом контакта и глубиной индентирования была исследована для покрытий, отношение модулей упругости которых изменялось от 10-2 до 102. Максимальное отклонение от результатов для однородной среды нарастает с ростом отношения модулей упругости. Для более мягкого покрытия при отношении модулей упругости, равном 2, максимальное отклонение глубины вдавливания при заданном радиусе контакта от герцевского результата составляет примерно 10 %. Для жестких покрытий более мягкой среды максимальное отклонение больше, чем для мягких покрытий более жесткой среды. Таким образом, в случае неоднородных сред независимость контактной конфигурации при заданной глубине вдавливания от параметров материала не имеет места. Она, однако, сохраняется в предельных случаях очень малых и очень больших вдавливаний и может быть использована в промежуточной области как приближение, дающее качественно правильные результаты. Сказанное выше о среде с покрытием справедливо в равной мере для сред, неоднородных в поперечном направлении. Так, для матрицы с включениями, выходящими на поверхность, соотношение Герца справедливо как при вдавливании в каждую из фаз отдельно, так и при достаточно большом радиусе контакта, когда материал может рассматриваться как однородный. При контакте одновременно с двумя фазами или при размере контакта, сравнимом с размером включений, герцевское соотношение не будет выполняться строго, но чаще всего будет выполняться с достаточно хорошей точностью. Хотя в рамках настоящей статьи мы будем использовать сформулированную приближенную независимость соотношений между глубиной индентирования и радиусом контакта, отметим, что выход за пределы этого приближения не представляет большой трудности. Так, в работах [24, 25] было проведено аналитическое и численное исследование индентирования тел разной формы в упругую среду с покрытием и было показано, что при данном радиусе контакта соотношение между реальной глубиной индентирования d и глубиной индентирования ищ, которая имела бы место при том же радиусе контакта в однородной среде, зависит только от отношения упругих констант и отношения радиуса контакта а к толщине покрытия h, но не от формы ин-дентора:
(
_л_____
Е0’ к
Л
(9)
Форма этой функции должна быть определена путем аналитического или численного анализа. Как уже было
сказано выше, в настоящей работе мы не будем проводить такой коррекции и будем считать, что £ = 1.
Перейдем к обсуждению свойства С. Поскольку согласно свойству В контактная жесткость зависит только от радиуса контакта, то всегда возможно формально ввести эффективный упругий модуль, зависящий от размера контакта, так чтобы соотношение формально выполнялось:
кг = 2аЕе*г(а). (10)
Этот подход был предложен в контексте исследования твердости материалов. В работе [26] предложена следующая эмпирическая зависимость для эффективного упругого модуля:
1
!_^(1 - е~аЫа)+
2G0 2G1
-ак/а
(11)
где а — константа порядка единицы. Эта зависимость не имеет глубокого теоретического обоснования и представляет собой эмпирическую интерполяцию между двумя предельными значениями упругого модуля, причем переход происходит при а ~ h. Уравнение (11) интерполирует упругие модули в предположении, что соответствующие жесткости соединены последовательно, что на первый взгляд представляется естественным, учитывая слоистую структуру системы. В действительности интерполяция в предположении параллельного соединения жесткостей оказывается более точной. В работе [27] дано точное выражение для эффективного модуля упругости произвольной слоистой среды в рамках теории возмущений и предложены простые интерполяционные формулы при значительном различии упругих коэффициентов. Для среды с покрытием уравнение будет справедливо, если выбрать
1 -Ч-~ (12)
Еег ='
2GÍ
где
ег
(13)
=^ + ^0 -^11 (к/аX
&ег = ^ +(^ - ^) 10(к1а), а функции ^(£) и 10(£) определяются следующим образом:
т 2 „ £ 1 + £2
Л© =-£+-1п—— п п £2
(14)
10© =- аг^£ + п
1
2п(1 -V)
(1 - 2 V) £ 1п
1+ £2
1+ £2
(15)
Обе функции стремятся к нулю при £^0 и к единице при £^7. Для среды с произвольной зависимостью упругих констант от глубины авторы [27] находят в том же приближении следующие общие выражения:
<М 0(г/а)
dz
G(z)dz. (16)
Особенно простой вид принимают эти соотношения для случая несжимаемых сред. Коэффициент Пуассона в этом случае равен V = 1/2 и для эффективного модуля сдвига получаем
Geff = I ф(z|a)G(z)dz,
где
Ф© =
1 + 3£2
nrw
(17)
(18)
Очевидно, что интеграл (17) определяет взвешенное с распределением (18) значение модуля упругости. Подход [27] фактически основан на предположении, что поле смещений в упругом твердом теле (включая его поверхность) не зависит от структуры материала. Если это предположение имеет силу, то автоматически оказывается действительным и свойство A (независимость конфигурации контакта от свойств среды).
В работе [25] рассмотрен более общий случай покрытий с существенно различными упругими коэффициентами и показано, что отклонение от соотношений [27] может быть значительным. Более общую интерполяционную формулу можно получить из следующих соображений. Эффективный модуль сдвига при деформации поверхности в виде волны с волновым вектором q дается при произвольном соотношении коэффициентов упругости уравнением [28]
G G Go + Gi) - (Go - Gi)e~lqh (19)
Geff _ Go---------------------------------"z г- • (19)
(G0 + G1) + (G0 - G1)e q При индентировании цилиндрическим индентором с радиусом a можно для грубой оценки положить q = п/ (2a):
,Go (G° + G')-(Go-G')e'n^' • (20)
(Go + G,) + (Go - GOe-"*'*
Это уравнение можно рассматривать как обобщение и уточнение простых интерполяционных формул (11),
(13).
В той мере, в какой применимо уравнение (10), не представляет труда сформулировать отображение трехмерной контактной задачи на одномерную модель. Для этого следует определить основание Винклера, пружины которого имеют жесткость, определяемую соотношением
Akz = E*ff(a)Ax. (21)
Жесткость пружин будет при этом функцией размера контакта. Ситуация здесь подобна той, что имеет место при описании адгезии.
4. Примеры применения метода редукции размерности к индентированию слоистых сред
Как уже было сказано, метод редукции размерности может быть сформулирован в более строгой форме, с
учетом коррекции свойства А, и в более простой приближенной форме без учета этой коррекции (в приближении [27]). Коррекция формы контакта не нужна, если упругие свойства субстрата и покрытия отличаются незначительно. В дальнейшем мы ограничимся этим приближением. В этом случае формулировка метода редукции размерности имеет следующий вид.
1. Упругое полупространство заменяется на одномерную цепочку независимых пружин (основание Винклера), жесткость каждой пружины определяется согласно (21), где эффективный упругий модуль определяется уравнениями (12)—( 15).
2. Профиль г = /(г) замещается одномерным профилем по правилу (3).
3. В индентированном состоянии определяется жесткость контакта. Для определения силы необходимо провести индентирование из исходного состояния без контакта и найти силу путем интегрирования. Это последнее правило возникает из-за нелинейности системы, связанной с зависимостью жесткости от размера контакта.
Проиллюстрируем применение этих правил на двух примерах.
4.1. Параболический индентор
Рассмотрим индентор, имеющий форму г3с = = г2/(2Я). Согласно правилу 2 этот профиль заменяется на одномерный профиль z1D = х2 /Я. Радиус контакта при глубине вдавливания d определяется условием z1-D (а) = и и равен а = у[яй независимо от свойств индентируемой среды. Рассматривая для простоты несжимаемые среды (V = 1/2), найдем для дифференциальной жесткости
dF
dd
n = 2a • 4Geff = 8a [ + (G0 - G1 )I0 (h/a)]
G1 + (G0 - G1)
h
a
2h
—arctg--- 2
n a n(1 + {ha )2)
.(22)
Используя dd = (2a/R)da, перепишем это уравнение в виде:
dFn
da
16a
R
x
G1 + (G0 - G1) x ha
2h
-arctg-- 2
n a n(1 + (ha))
(23)
Интегрирование дает зависимость нормальной силы от радиуса контакта:
16a
3R
G1 + (G0 - G1) x
x2-(4arctg( ha) + (h/a)3 ln(1+ (a/h )2))- h/a
В предельных случаях получаем:
16а3 С а/Н << 1,
3R [ G1 + (С0 -Сх)3Н\а, а/Н >>1,
(25)
откуда видно, что при малых размерах контакта среда эффективно имеет свойства покрытия, а при больших — субстрата. Приближение к свойствам субстрата происходит не по экспоненциальному, а по степенному закону.
4.2. Конический индентор
Уравнение (22) справедливо независимо от формы индентора. В случае конического индентора изменяется только соотношение между радиусом контакта и глубиной индентирования. Пусть форма индентора дается уравнением г3в = г tg ф. Согласно методу редукции размерности этот профиль заменяется на одномерный профиль = п/2 | х | tg ф. Радиус контакта определяется условием гт(а) = и и равен а = (2/п)и/tg ф. Учитывая dd = п/ 2tg фda, перепишем (22) в виде
dFn . +
= 4п tg ф а х
da
С + (Со - Ох)
2/ п агС£(Н/а )-
На
п(1 + (На )2) Интегрирование приводит к результату
Fn = 2па
С1 + С0 - С1)—агС# (Н/а) п
(26)
(27)
5. Сила адгезии в контакте с упругим телом с покрытием
В случае одномерных сред условие отрыва адгезионного контакта определяется условием (7). Его вывод основан на рассмотрении баланса упругой энергии деформированного тела и энергии адгезии [29] или на рассмотрении коэффициента интенсивности напряжений на границе адгезионного контакта [30]. Именно последним методом авторы [30] нашли общее решение адгезионной задачи для произвольных аксиально-симметричных тел. Поскольку при сравнительно слабой неоднородности материала мы предполагаем, что деформация поверхности не зависит от свойств материала, а жесткость определяется только размером контакта, то очевидно, что в балансе энергии будет фигурировать именно эффективная жесткость, определяемая уравнением (10). Поверхностная же энергия полностью определяется свойствами покрытия. В методе редукции размерности условие (7) необходимо поэтому заменить на
^1шах ( а )
2а пу
12
(28)
\Е^( а)
Проиллюстрируем этот подход на примере адгезивного контакта между параболическим индентором и субстратом с покрытием.
Также как и в предыдущем параграфе, заменяем параболический профиль ^ =г 2/(2К) на одномерный
эффективный профиль z1D = х2/Я. При глубине вдавливания d вертикальное смещение пружин с координатой х равно и2 (х) = и - х2/Я. Радиус контакта определяется уравнением и2 (а) = -А/тах (а) или
1/2 4
- V
d = ^-- (2алу12)1/2 К
X
С1 + (С0 - С1) х
1-1/2
2/ п агС^ (Н/а) -
На
\\
п(1 + (Н/а )2)
у;
Введя безразмерные переменные
а = а/ас, с% = С/Сс, т = С0/ , Н = Н/ас,
где
ґ 2 ^з пУ12 К
32^
сс = 3
/ 2 2 Л1/3
п2У22к Л 210 С
(29)
(30)
(31)
перепишем уравнение в виде: с = - 4 а1'2
2/ п агС£(й/<1)
1 + (т-1) х
Н/а
-1/2
(32)
п(1 + (н % )2)
Зависимость (32) для пяти значений безразмерной толщины слоя представлена на рис. 2. Максимальное отрицательное значение глубины индентирования определяет момент разрыва адгезионного контакта. Результаты находятся в хорошем согласии с точными решениями, полученными в [31]. Более подробный анализ адгезионных контактов будет проведен в отдельной статье.
6. Описание сред неоднородных в латеральном направлении
Метод определения эффективных параметров неоднородной среды [27] основан на наблюдении, что деформация трехмерной среды слабо зависит от струк-
Рис. 2. Зависимость глубины индентирования от радиуса контакта согласно уравнению при т = 2 и безразмерной толщиной слоя к, равной 4 (1), 2 (2), 1 (3), 0.5 (4) и 0.25 (5)
туры среды — по крайней мере в случае, если неоднородность упругих свойств среды не велика. Это свойство позволяет определить деформацию тела любой заданной формы независимо от свойств среды. При известной деформации энергия среды может быть вычислена в замкнутой интегральной форме и позволяет формально определить эффективные свойства среды. Аналогичный подход применим для сред, имеющих произвольную неоднородность, например слоистую структуру в направлении, перпендикулярном поверхности контакта, или структуру матрицы с включениями. Основой применения метода редукции размерности и в этом случае остается уравнение (10), в котором эффективный упругий модуль будет функцией как радиуса индентора, так и его положения:
К = 2a£’*ff(a, х, y). (33)
При переходе к одномерному описанию необходимо ограничиться только одним направлением движения вдоль двумерной поверхности, например, положив у = 0. Это определит «мгновенное значение» эффективного модуля упругости в системе в зависимости от поло*
жения и размера контакта: kz = 2aEeS (a, х, 0). Детальному исследованию сред, неоднородных в поперечном направлении, будет посвящена отдельная публикация.
7. Выводы
Рассмотрены общие теоретические вопросы применимости метода редукции размерности для контактов аксиально-симметричных тел с неоднородными средами. Анализ литературы по индентированию слоистых сред показывает, что расширение области применимости метода на неоднородные среды возможно при введении зависимости эффективного профиля и эффективной упругости от размера контакта, а в случае неоднородности в продольном направлении также и от координаты. Кроме того, в случае неоднородных сред непосредственно по конфигурации контакта определяется дифференциальная жесткость контакта, но не сила. Последняя должна вычисляться интегрированием. Несмотря на указанное усложнение метода, он все еще позволяет многократно ускорить вычисление контактных сил, поскольку не требует решать интегрального уравнения контактной задачи.
В рамках приближения [27] возможно дальнейшее существенное упрощение задачи: конфигурация контакта определяется независимо от свойств среды, а зависимым от размера контакта оказывается только эффективный упругий модуль.
Автор благодарен M. Heß и И. Аргатову за обсуждение статьи и рекомендации по литературе.
Литература
1. Bowden F.P., Tabor D. The Friction and Lubrication of Solids. - Oxford: Clarendon Press, 1986. - 424 p.
2. Archard J.F. Elastic Deformation and the Laws of Friction // Proc. Roy. Soc. A. - 1957. - V. 243. - P. 190-205.
3. Попов В.Л. Механика контактного взаимодействия и физика трения. - М: Физматлит, 2013. - 350 с.
4. Popov V.L., Psakhie S.G. Numerical simulation methods in tribology // Tribol. Int. - 2007. - V. 40. - P. 916-923.
5. Schargott M., Popov V.L. Diffusion as a model of formation and development of surface topography // Tribol. Int. - 2006. - V 39. -No. 5. - P. 431-436.
6. Schargott M., Popov V.L., Dmitriev A.I., Psakhie S.G. Development of surface topography for the rail-wheel contact // Wear. - 2008. -V. 265. - No. 9-10. - P. 1542-1548.
7. Псахье С.Г., Зольников К.П., Дмитриев А.И., Крыжевич Д.С., Никонов А.Ю. Локальные структурные трансформации в ГЦК-решетке в условиях контактного взаимодействия различного типа. Молекулярно-динамическое исследование // Физ. мезомех. -2012.- Т. 15. - № 1. - С. 23-31.
8. Heß M. Über die exakte Abbildung ausgewählter dreidimensionaler Kontakte auf Systeme mit niedrigerer räumlicher Dimension. - Göttingen: Cuvillier-Verlag, 2011. - 172 p.
9. Heß M. On the reduction method of dimensionality: The exact mapping of axisymmetric contact problems with and without adhesion // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 4. - С. 19-24.
10. Geike T, Popov V.L. Mapping of three-dimensional contact problems into one dimension // Phys. Rev. E. - 2007. - V. 76. - P. 036710.
11. Geike T, Popov V.L. Reduction of three-dimensional contact problems to one-dimensional ones // Tribol. Int. - 2007. - V 40. - P. 924929.
12. Pohrt R., Popov V.L., Filippov A.E. Normal contact stiffness of elastic solids with fractal rough surfaces for one- and three-dimensional systems // Phys. Rev. E. - 2012. - V 86. - P. 026710.
13. Kürschner S., Filippov A.E. Normal contact between a rigid surface and a viscous body: Verification of the method of reduction of dimensionality for viscous media // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - №2 4. -С. 25-30.
14. Kürschner S., Popov V.L. Penetration of self-affine fractal rough rigid bodies into a model elastomer having a linear viscous rheology // Phys. Rev. E. - 2013. - V. 87. - No. 5. - P. 042802.
15. Starcevic J., Filippov A.E. Simulation of the influence of ultrasonic in-plane oscillations on dry friction accounting for stick and creep // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 4. - С. 93-95.
16. Teidelt E., Starcevic J., Popov V.L. Influence of Ultrasonic Oscillation on Static and Sliding Friction // Tribol. Lett. - 2012. - V. 48. -P. 51-62.
17. Popov VL., Popov M., Li Q., Dimaki A., Nguyen H.X., Teidelt E. Method of Reduction of Dimensionality. Foundations and Case Studies: Rolling Noise, Friction of Elastomers and Ultrasonic Actuators // Proc. World Tribology Congress, Torino, Italy, September 813, 2013.
18. Popov VL. Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales // Friction. - 2013. - V. 1. - No. 1. - P. 41-62.
19. Popov V.L., Heß M. Methode der Dimensionsreduktion in Kontaktmechanik und Reibung. Eine Berechnungsmethode im Mikro- und Makrobereich. - Berlin: Springer, 2013. - 220 s.
20. Lee E.H. Stress analysis in visco-elastic bodies // Q. Appl. Math. -1955. - V. 13. - P. 183-190.
21. Radok J.R.M. Viscoelastic stress analysis // Q. Appl. Math. - 1957. -V. 15. - P. 198-202.
22. Sneddon I.N. The relation between load and penetration in the axisym-metric Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile // Int. J. Eng. Sci. - 1965. - V. 3. - P. 47-57.
23. Argatov I.I., Sabina F.J. Spherical indentation of a transversely isotropic elastic half-space reinforced with a thin layer // Int. J. Eng. Sci. - 2012. - V. 50. - P. 132-143.
24. El-Sherbiny M.G.D., Halling J. The Hertzian contact of surfaces covered with metallic films // Wear. - 1976. - V. 40. - No. 3. - P. 325337.
25. Perriot A., Barthel E. Elastic contact to a coated half-space: Effective elastic modulus and real penetration // J. Mater. Res. - 2004. -V. 19. - No. 2. - P. 600-608.
26. DoernerM.F., Nix W.D. A method for interpreting the data from depth-sensing indentation instruments // J. Mater. Res. - 1986. - V. 1. -No. 4. - P. 601-609.
27. Gao H.J., Chiu C.H., Lee J. Elastic contact versus indentation modeling of multi-layered materials // Int. J. Solids Struct. 1992. - V. 29. -P. 2471-2492.
28. Persson B.N.J. Contact mechanics for layered materials with randomly rough surfaces // J. Phys.: Condens. Matter. - 2012. - V. 24. -P. 095008.
29. Johnson K.L., Kendall K., Roberts A.D. Surface energy and the contact of elastic solids // Proc. Royal Soc. Lond. A. Mat. - 1971. -V. 324. - No. 1558. - P. 301-313.
30. Yao H., Gao H. Optimal shapes for adhesive binding between two elastic bodies // J. Colloid Interf. Sci. - 2006. - V. 298. - No. 2. -P. 564-572.
31. Sergici A.O., Adams G.G., Müftü S. Adhesion in the contact of a spherical indenter with a layered elastic half-space // J. Mech. Phys. Solids. - 2006. - V. 54. - P. 1843-1861.
Поступила в редакцию 03.06.2013 г.
Сведения об авторе
Попов Валентин Леонидович, д.ф.-м.н., проф. Берлинского технического университета, v.popov@tu-berlin.de
