Метод разложения стохастических матриц для синтеза конвейерных генераторов дискретных марковских процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.217 С. В. Шалагин

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ МАТРИЦ ДЛЯ СИНТЕЗА КОНВЕЙЕРНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ ДИСКРЕТНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

Ключевые слова: стохастические матрицы, метод разложения.

Предложен метод разложения стохастических матриц, позволяющий синтезировать генераторы дискретных стохастических марковских процессов (ДСМП) при использовании конвейерных вычислений. Метод позволяет повысить производительность указанных генераторов за счет обеспечения возможности распределенного вычисления элементов ДСМП.

Keywords: stochastic matrix, the method of decomposition.

The method of stochastic matrices decomposition to synthesize the discrete stochastic generators of Markov processes (DSGMP) when using pipelined computations are proposed. The method allows to increase the performance of these generators by providing the possibility for distributed computing the elements of DSGMP.

Введение

Вероятностные автоматы (ВА) находят широкое применение в таких областях, как построение вероятностных моделей алгоритмов для решения задач защиты информации, статистическое моделирование, распознавание образов, кодирование и декодирование информации, техническая диагностика цифровых устройств, обработка сигналов в системах связи и управления. Поэтому исследование вопросов синтеза ВА имеет важное теоретическое и прикладное значение, в частности, для оценки достоверности результатов имитационного моделирования [1, 2]. Использование ВА позволяет определить метод генерирования дискретных стохастических марковских процессов (ДСМП) и их функций, как детерминированных, так и стохастических.

Представляют интерес задачи синтеза конечных цепей Маркова и их стохастических функций, задаваемых стохастическими матрицами (СМ) [3 - 6]. Примерно с 70-х годов XX века известен метод разложения СМ на имплицирующий вектор и стохастические булевы матрицы [7 - 9]. Были предложены различные модификации указанного метода, которые имеют ограничения в зависимости как от вида элементов СМ [10], так и от структуры самой СМ [11-13].

Предложенный в работе метод разложения СМ не предполагает каких-либо ограничений ни на ее структуру, ни на вид ее элементов. Метод позволяет производить генерирование ДСМП и их функций при использовании конвейерных вычислений.

Метод разложения стохастических матриц

Для стохастической матрицы размерности I на п имеет место выражение [9]:

Р1хп =ТВЬ=\ аЬАЬ , (1)

где В < (п -1) • I +1, (аЬ) - имплицирующий вектор, (ЛЬ) - система стохастических булевых матриц

размерности I на п, Ь = 1, В .

Введем в рассмотрение конечный детерминированный автомат (КДА) вида А = (X, £, 5 = р(х, 5)), где X, - множества входов и

внутренних состояний, 5 = р(х, 5) - автоматная

функция, реализующая преобразование вида

5 X X ^ 5 .

Стохастическая функция, определенная на основе СМ Р1хп, представима (согласно известной методике, определенной в [7, 8]) структурной схемой, включающей генератор дискретной случайной величины (ДСВ) X: |х| < В и КДА вида А, для которого, в общем случае, = п , |х| < В. С целью уменьшение оценок сложности вычисления автоматной функции 5 = р(х, 5), актуальна задача снижения верхней границы для значения В, имеющего порядок о(п • I).

Замечание 1. Для частных случаев СМ, определенных согласно [10, 11], верхняя оценка для значения В может иметь меньшее значение.

СМ РЫп представима согласно выражению:

Рып = (РХй • Р'а,п(0), г = й, (2)

где

i,n (0 = Ml(°

P

d xn

Mki) = (py/pF) L

M1

(i)

■Id

n / d)

dd . j e Dk,

P1xd _ \pi

p(i) -

pdi) ),

pv -z

jeDk ' k - 1, d, Id - d x n -

матрица, в которой й-я строка содержит значения «1», а остальные элементы - значения «0», г = 1,1,

Ьк - непересекающиеся подмножества 5 = },

/ = 1, п : ий=14 = 5 , 1к1 п 42 =0, К к2 = 1, й, к^ ^ к2,

Р1хп = {рге1

Dk -{/'}: s} e Lk . При эт°м

p,c, ... p,cd ), где ck - min Dk ,maX Dk

icd>

i -1, l, k - 1, d .

Справедлива

Теорема. Любая стохастическая матрица Plxn представима согласно (2).

Доказательство. Условие теоремы n mod d -1 выполнимо для СМ Plxn любой размерности путем добавления к указанной стохастической матрице справа столбцов из нулевых элементов.

Вновь полученная СМ будет генерировать тот же ДСМП, что и РЫп .

Возможность представления СМ заданной размерности согласно (2) доказывается на основе аппарата теории матричной арифметики.

Доказанная теорема обосновывает метод генерирования ДСМП, заданного СМ Р1хп, представленной согласно (2). Метод включает два этапа.

Этап 1. Получение ДСВ X е [1, ё], распределенной в соответствии со СМ Р1,Л =(Р1х))ы = (рк°)ш, при заданном значении /: 1 = 1,1, к = 1, ё.

Этап 2. Генерирование значения ДСМП в соответствии с одной из ё СМ Р'х(п7ё)(Х) = (мХ)),

1 = 1,1, при заданном значении ДСВ X, полученном на этапе 1, X = 1, ё .

Замечание 2. СМ вида Р хё представима на основе разложения вида (1), где В <(ё -1)-1 +1. Верхняя оценка для В имеет порядок 0(ё -1). Значения Р^ = (рх^ ■■ ■ '), 1 = 1,1, получены на

основе выражения (2).

Согласно замечанию 2, стохастическая функция, определенная на основе СМ Р хё, представима структурной схемой, включающей генератор ДСВ Л" : | Х'\<В и КДА вида А: 15| = с/ ,

XI <В.

Замечание 3. Система из ё СМ вида |р/х(пIё)(Х)}, X = 1, ё , представима на основе разложения вида (1), где В'<(пIё -1)-1 +1. Верхняя оценка для В' имеет порядок 0(п -11 ё). Значения (м-"1), 1 = 1,1, X = 1, ё , получены на основе выражения (2).

Согласно замечанию 3, стохастическая функция, определенная на основе системы из ё СМ вида

|р/х(п 1 ё)(Х)}, X = 1, ё , представима структурной

схемой, включающей ё генераторов ДСВ XX :

\хх\ < В' и КДА вида А: = пIё , X < В'. Имеют

место

Утверждение 1. Для ё < п СМ Рхп представима согласно (2) на основе генератора ДСВ X':

X'|< В , КДА вида А: = ё, |х| < В,

В < (ё -1) -1 +1, (р(х, 5) = / (х, 5), ё генераторов ДСВ XX : |х^| < В', ]log2 В[ мультиплексоров «ё в 1» и КДА вида А: = п Iё , \х\ < В', В'< (п Iё -1) +1, ф(х, 5) = /2 (х, 5).

Следствие 1 из утверждения 1. Для ё < п и I = п, СМ Рпхп представима согласно (2) на основе генератора ДСВ X': |Х'| < В, КДА вида А:

\S\ = d, |х| < B, B <(d -1)-n +1, p(x, s) = /1(x, s), d генераторов ДСВ XX : |х~ | < B , ]log2 B[ мультиплексоров «d в 1» и КДА вида A: |S| = n/d , |X| < B', B'<(n / d -1)-n +1, p(x, s) = /2 (x, s).

Для случая, когда d = l, имеет место

Следствие 2 из утверждения 1. Для d = l СМ Plxn представима на основе системы из l генераторов ДСВ X: |X| = n и ]log 2 n[ мультиплексоров «l в 1».

Следствием 2 из утверждения 1 обоснован частный случай представления СМ вида Pnxn , l = n : в соответствии с [14, стр. 55], требуется n генераторов ДСВ X : |х| = n и ]log2 n[ мультиплексоров «n в 1».

Применение предложенного метода разложения СМ вида Pnxn возможно, когда d = 4n , причем [ =-Jn .

Следствие 3 из утверждения 1. Для

d = 4n и \fn [=•>/« СМ Plxn представима согласно (2) на основе 1 + 4n генераторов ДСВ X : |x| < B, ] log2 B[ мультиплексоров «V« в 1» и двух КДА вида A: |S| = Jn , |х| < B, B <(fn -1)-1 +1, для первого КДА p( x, s) = /j (x, s), для второго -p(x, s) = /2 (x, s) .

Недостатком генератора ДСМП, определенного на основе следствия 2 из утверждения 1, является линейный рост сложности схемы мультиплексирования при росте значения l. Тогда как для генератора, определенного согласно следствию 3 из утверждения 1, рост сложности схемы мультиплексирования имеет порядок o(fn). Кроме того, для второго генератора порядок верхней границы множества X равен что в ->/й раз меньше, чем для известного метода, представленного в [7, 8].

Замечание 3. Возможно рекурсивное применение предложенного метода к СМ вида (р[г)|xd,

i = 1, l, k = 1, d, и p'x(n/d )(X), полученным на первом и втором этапах метода, соответственно.

Рассмотрим пример двукратного применения предложенного метода к СМ вида P xn для

d = 4n , ^fn[=vn, [= tfn в соответствии со следствием 3 из утверждения 1. В результате первого применения получена СМ вида (pk) )nx^ и система из -Jn СМ вида P«x^ (X). В результате второго применения метода к СМ вида (p^ )nxj« получена СМ вида (ßk^ )nx^« и система из tfn СМ вида P'nx^n (X). Второе применение к каждой из V« СМ

вида P'nxjn (X), X = 1,-Jn , позволяет получить СМ (p}:0(X))nx^n и систему из tfn СМ вида

вида

Р 4Г(Х, X"), X = 1,44п .

пх4п 4 7

Структурная схема генератора на основе предложенного метода

Рассмотрим структурную схему генератора ДСМП, заданного СМ вида Р1хп в соответствии с (2)

на основе утверждения 1 и представленную на рис. 1.

Пусть время задержки функционирования

генераторов ДСВ X' и X", у = 1, й, определено как и /2, соответственно, время задержки мультиплексирования й значений ДСВ X', ] = 1, й, в одну ДСВ XX в зависимости от значения переменной X - как , а время задержки функционирования блоков вычисления функций / (5, х') = х и /2 (х, х'') = у - / и / , соответственно. Время задержки при сохранении вычисленных значений ДСВ X' и X', у = 1, й, а также / и /2 в регистры (^-триггеры) обозначим как . На каждом такте функционирования в каждый регистр заносится значение, сформированное на его входе.

дев х' D

D X D

ДСВ х' D .V. Мх D X

<

ДСВ J£ D rf-t 1

/;(Ал*)=у

Рис. 1 - Структурная схема генератора ДСМП

Имеет место

Утверждение 2. Оценка времени задержки функционирования генератора ДСМП, определенного на основе конвейерной схемы, равна

TG = max| , M, f | + tfD .

Замечание 4. Для d < n и / = n выход y в схеме, приведенной на рис. 1, подается на вход s. Причем на каждом первом, втором и третьем тактах функционирования генератора с выхода y снимаются первый, второй и третий ДСМП, соответственно. Указанные ДСМП задаются одной и той же СМ Pnxn при некоторых начальных значениях s, задаваемых на нулевом, первом и втором тактах, соответственно.

Заключение

Предложенный в работе метод разложения стохастических матриц имеет два преимущества

© С. В. Шалагин, д-р техн. наук, проф. каф. компьютерных систем КНИТУ им. А.Н.Туполева - КАИ, [email protected].

S. V. Shalagin, Doctor of Technical Science degree holder, docent, professor of the Computer Systems department of KNRTU after A.N.Tupolev, [email protected].

перед уже существующим. Первое преимущество -снижение порядка верхней границы множества значений дискретной случайной величины и множества входов конечного детерминированного автомата с

о(п2) до о(пу[п). Снижение производится за счет поэтапного (конвейерного) вычисления значений дискретного стохастического марковского процесса с сохранением промежуточных результатов, что является вторым преимуществом предложенного метода. Вместе с тем, указанные преимущества реализуемы за счет привлечения параллельных регистров, сохраняющих промежуточные результаты, а также за счет увеличения количества генераторов дискретных случайных величин с заданным законом распределения.

Автор выражает благодарность проф. КНИ-ТУ-КАИ В.М. Захарову и проф. КФУ Е.Л. Столову за ценные замечания, способствовавшие улучшению качества изложения материала статьи.

Литература

1. Якимов И.М. Оценка достоверности результатов имитационного моделирования по результатам аналитического моделирования/ И.М.Якимов, А.П.Кирпичников, Г.Р. Зайнуллина и др.// Вестник Казан. технол. ун-та, 2015. Т.18. № 6. С. 173-178.

2. Якимов И.М. Моделирование сложных систем в имитационной среде ЛМУЬООЮ/ И.М.Якимов, А.П.Кирпичников,

B.В.Мокшин// Вестник Казан. технол. ун-та, 2014. Т. 17, №13.

C. 352-357.

3. Бухараев Р. Г. Специализированная ЭВМ для моделирования и обработки функций конечных однородных цепей Маркова/ Р.Г.Бухараев, В.И.Геза // Всес. симп. по вероятностным автоматам: тезисы докл. Казань: Изд-во КГУ, 1969. С. 14-15.

4. А.с. 290281 СССР. Устройство для моделирования цепей Маркова / Р.Г.Бухараев, В.И.Геза // Открытия, изобретения. 1970. № 2.

5. А.с. 362291 СССР. Устройство для моделирования однородных конечных цепей Маркова/ Р.Г.Бухараев, В.М.Захаров// БИ. 1973. № 2.

6. Бухараев, Р.Г. Управляемые генераторы случайных кодов/ Р.Г. Бухараев, В.М. Захаров. Казань: КГУ, 1978. 160 с.

7. Поспелов, Д.А. Вероятностные автоматы / Д.А. Поспелов. М.: Энергия, 1970. 88 с.

8. Ченцов, В.М. Об одном методе синтеза автономного стохастического автомата/ В.М. Ченцов// Кибернетика. 1968. № 3. С. 32-35.

9. Лоренц А.А. Синтез надежных вероятностных автоматов/

A.А.Лоренц. Рига: «Зинатне», 1975. 168 с.

10. Захаров, В. М. Анализ алгоритмов разложения двоично-рациональных стохастических матриц на комбинации булевых матриц / В.М.Захаров, Б.Ф.Эминов// Информационные технологии. 2008. № 3. С. 54-59.

11. Кузнецов С.Е. Задача о минимальном имплицирующем векторе / С.Е.Кузнецов, Н.Н.Нурмеев, Ф.И.Салимов // Математические вопросы кибернетики. 1991. Вып. 3. С. 199-216.

12. Альпин Ю.А. Моделирование случайных последовательностей автономными автоматными схемами/ Ю.А.Альпин,

B.М.Захаров// Вероятностные автоматы и их приложения. Казань: Изд-во КГУ, 1986. С. 22-29.

13. Столов Е.Л. Об одном классе генераторов псевдомарковских цепей/ Е.Л. Столов// Исслед. По прикл. матем. 1980. № 8. С. 66-71.

14. Захаров В.М. Аппаратно-программная организация специализированных процессоров на основе автономных вероятностных автоматов: дис. ... д-ра техн. наук / Захаров Вячеслав Михайлович. Казань: Казанский гос. ун-тет. 1992. 297 с.