CC BY
5
ISSN1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
Научная статья
УДК 519.178, 519.718.2
doi: 10.17213/1560-3644-2023-2-25-33
МЕТОД РАСЧЁТА ВЕРОЯТНОСТИ СВЯЗНОСТИ ДВУХПОЛЮСНОЙ СЕТИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
А.Н. Иванченко, К.Н. Иванченко
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия
Аннотация. Предложен оригинальный метод расчёта вероятности связности двухполюсной сети произвольной структуры, основанный на двух взаимно рекурсивных алгоритмах: итерационном алгоритме расчёта вероятности связности двухполюсной сети и алгоритме эквивалентного с точки зрения надёжности преобразования п-лучевой звезды в полный граф Кп. Работоспособность метода продемонстрирована на наглядных примерах, решение которых получено с помощью программного комплекса, описанного в предыдущих публикациях авторов и адаптированного к специфике настоящего исследования.
Ключевые слова: вероятность работоспособного состояния, вероятность отказа, надёжность сети, вероятность полносвязности сети, структурная схема надёжности, мостовая схема, преобразование звезды в треугольник, эквивалентирование, топологический анализ сети, двухполюсная сеть, взаимная рекурсия
Для цитирования: Иванченко А.Н., Иванченко К.Н. Метод расчёта вероятности связности двухполюсной сети произвольной структуры // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2023. № 2. С. 25-33. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2023-2-25-33
Original article
METHOD FOR CALCULATION OF THE PROBABILITY OF CONNECTIVITY OF A TWO-POL NETWORK OF AN ARBITRARY STRUCTURE
A.N. Ivanchenko, K.N. Ivanchenko
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia
Abstract. This paper proposes an original method for calculating the connectivity probability of a bipolar network of arbitrary structure, based on two mutually recursive algorithms: an iterative algorithm for calculating the connectivity probability of a bipolar network and an algorithm for the reliability-equivalent transformation of an n-beam star into a complete graph Kn. The operability of the method was demonstrated using illustrative examples, the solution of which was obtained using the software package described in previous publications of the authors and adapted to the specifics of this study.
Keywords: uptime probability, failure probability, network reliability, network connectivity probability, reliability block diagram, bridge circuit, star to triangle conversion, Y-A transform, equivalent transformation, network topology analysis, bipolar network, mutual recursion
For citation: Ivanchenko A.N., Ivanchenko K.N. Method for Calculation of the Probability of Connectivity of a Two-Pol Network of an Arbitrary Structure. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2023;(2):25-33. (In Russ.). http://dx.doi.org/ 10.17213/1560-3644-2023-2-25-33
Введение
Исследуемыми объектами являются сети Формальным представлением сети явля-
произвольной структуры, как «физические» ется неориентированный связный мультиграф
(например, сети передачи данных), так и «логи- G = (V, E), где V- множество вершин (узлов сети),
ческие» (например, структурные схемы надёж- E - множество рёбер (ветвей сети). Использование
ности технических систем [1-4]), состоящие из термина «мультиграф» обусловлено тем, что в
«узлов» и соединяющих их «ветвей». сети допускаются параллельные ветви.
© ЮРГПУ(НПИ), 2023
ISSN1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
Предметом исследования является надёжность сети. Вместо термина «надёжность сети» часто используют термин «вероятность связности сети» [5], который, в свою очередь, подразделяется на два понятия:
- вероятности связности двухполюсной сети РДС) относительно двух выделенных узлов (полюсов графа): истока 5 и стока t, что физически можно интерпретировать как определение возможности прохождения некоторого сигнала от входа системы сетевой структуры к её выходу [6];
- вероятности полносвязности сети Р-е(О); под этим термином подразумевается вероятность события: «произвольный узел сети может связаться с любым другим узлом» [7].
Очевидно, что вероятность полносвязности сети Р-е(О) - это наименьшая из вероятностей связности двухполюсной сети для всех возможных комбинаций полюсов:
РЕ(С) = ш1п Р^(С).
При оценке надёжности сети обычно считают, что узлы абсолютно надёжны, а ветви (линии связи или элементы технической системы) подвержены отказам и каждый из них характеризуется вероятностью безотказной работы (надёжностью) р или вероятностью отказа («ненадёжностью») д. Таким образом, мультиграф С является взвешенным и каждое его ребро ыу £ Е имеет «вес», равный надёжности линии связи (элемента технической системы): р(ыу) = рыу или вероятности отказа д(ыу) = дыу. Далее по тексту вместо терминов «вероятность безотказной работы» и «вероятность отказа» иногда будет использоваться обобщающий термин «показатель надёжности».
Существуют разные методы расчёта надёжности сетей: метод перебора простых цепей, метод дерева отказов, метод Монте-Карло, марковские модели и др. [1-5]. Наиболее приемлемым с точки зрения соотношения точность/вычислительные затраты является метод, основанный на процедуре итерационного упрощения сети путем эквивалентирования последовательно и параллельно соединенных ветвей, а также преобразования соединения ветвей в форме звезды в соединение в форме треугольника (так называемое «У-Д преобразование»).
В публикациях, посвящённых заявленному предмету исследования, приводятся общеизвестные формулы для эквивалентирования
последовательно-параллельных структур по показателю надёжности [1, 8]. Также исследуются «мостиковые» структуры, которые путём У-Д преобразования приводятся к последовательно-параллельному виду. Так как У-Д преобразование сопровождается необходимостью решения системы из трёх нелинейных уравнений для определения вероятностей отказа рёбер треугольника по известным вероятностям отказа «лучей» звезды, то в большинстве случаев прибегают к использованию упрощённых расчётных формул [1, 6], которые могут привести к значительным погрешностям.
В публикации [8] приведено аналитическое решение системы нелинейных уравнений для У-Д преобразования путем сведения этой системы к кубическому уравнению неполного вида, имеющему три вещественных корня.
К сожалению, не удалось найти публикаций, в которых рассматривался бы вопрос экви-валентирования по показателю надёжности п-лучевых «звёзд» для п > 3.
Цель настоящей статьи - создание математической модели и численного алгоритма для выполнения эквивалентирования по показателю надёжности топологического элемента (подграфа) сети «п-лучевая звезда» Бп в полный граф Кп (для краткости будем называть это «Уи-Ди преобразованием»); разработка итерационного алгоритма последовательного упрощения сети произвольной структуры; демонстрация работы разработанных алгоритмов на достаточно компактных числовых примерах с использованием оригинального программного комплекса, реализованного по объектно-ориентированной технологии.
Типовые топологические элементы сети
При анализе сети произвольной структуры её базовыми топологическими элементами являются:
- параллельное соединение, когда две ветви имеют одинаковые начальный и конечный узлы (иначе - ребро графа имеет кратность 2);
- п-лучевая звезда Бп, когда узел сети является точкой соединения п ветвей (иначе -вершина графа имеет степень п); частными случаями являются последовательное соединение двух элементов (п = 2) и трёхлучевая звезда Б3.
Для упрощения последующих математических выкладок примем, что в качестве исходных данных для ветвей сети заданы вероятности отказов д.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
Эквивалентирование топологических элементов «последовательность» и «параллельное соединение» описывается хорошо известными формулами [1 - 4]:
- Рир = (1 — — для последовательности;
п 1 (1) (2)
- "ир = 1 — Чир Чир для параллельного соединения.
Для эквивалентирования топологического элемента 53 (т.е. для У-Д преобразования) не существует простых аналитических выражений, а итогом математических построений является система из трёх нелинейных уравнений.
На рис. 1 представлена расчётная схема, в которой известными считаются веса рёбер звезды ql, и ^3, а неизвестными - веса рёбер треугольника ql2, qlз и q2з.
Рис. 1. Иллюстрация к Y-A преобразованию / Fig. 1. Illustration for Y-A transformation
Обозначим через P12 вероятность связности сети «звезда» и эквивалентной ей сети «треугольник» относительно узлов (полюсов) 1 и 2. Для «звезды» имеем последовательное соединение рёбер (1, 0) и (0, 2), поэтому Pn=(1-q{)(1-q2), а для «треугольника» - последовательно соединённые рёбра (1, 3) и (3, 2) включены параллельно ребру (1, 2), поэтому Pl2=1-^12(1-(1-^13)(1-^23)). Приравнивая правые части этих выражений и приводя подобные члены, получим нелинейное уравнение:
Ч12Ч13 + Ч12Ч23 - Ч12Ч13Ч23 = 4i + 42- Ч1Ч2.
Рассматривая вероятность связности «звезды» и «треугольника» относительно узлов 1, 3 и 2, 3, можно по аналогии получить ещё два уравнения, так что в результате имеем систему из трёх нелинейных уравнений:
(Ч12Ч13 + Ч12Ч23 - Ч12Ч13Ч23 = Ч\ + Ч2- ЧгЧ2-> {Ч13Ч12 + Ч13Ч23 - Ч12Ч13Ч23 = Чг + Чз- ЧгЧз'.(1) УЯ23Я12 + Я23Я13 - Я12Я13Я23 = Я2+Я3- Я2Я3.
Решение этой системы уравнений можно свести к решению одного кубического уравнения путём замены переменных [8]:
и = l/qi2, v = l/qi3 , w = Vfe, и введения новой переменной t = uvw.
После выполнения несложных преобразований вместо (1) получим систему уравнений, линейных относительно переменных u, v и w:
Ív + w = at + 1, и + v = bt + 1, и + w = ct + 1,
где а = q-i + q2- qrfi, b = qx + q3 - qi_q3,
С = Ч2 + Ч3- Ч2ЧЗ •
Из (1) можно выразить u, v и w через t:
и = 0,5(1 + (b + c - a)t); v = 0,5(l + (a + b- c)t); w = 0,5(1 + (a + c- b)t). После подстановки этих выражений в формулу t = uvw и выполнения соответствующих преобразований получается кубическое уравнение относительно неизвестной t:
t3 + а^2 + a2t + а3 = 0, (2)
где
аг= А + В + С;а2= АВС(а + b + с - 8); а3 = АБС;
А = 1/(а + Ь-с); В = 1/(а - b + с); С = 1/(-а + Ь + с).
Подстановкой t = у - ах/3 уравнение (2) приводится к неполному виду:
у3 + ру + s = 0, (3)
где р = - а^/3 + а2,
s = (а1/3)(2 а2/9 - а2) + а3.
Оставляя в стороне доказательство того, что неполное кубическое уравнение (3) имеет три действительных корня, приведём итоговые выражения для вычисления этих корней [9]:
ух = 2^-p/3cos(a/3);
У23 = 2^-p/3cos(a/3 ± 2п/3),
где cos(a) = -0,5 s/^-(p/3)3.
Для каждого из трёх корней путём выполнения цепочки обратных подстановок получается свой набор искомых неизвестных qi2, qi3 и q23, однако только один из наборов будет содержать допустимые значения этих неизвестных, лежащие в интервале от 0 до 1.
Применим приведённую выше методику эквивалентирования для «звезд» с количеством лучей более трёх, воспользовашись аналогией с электрическими резистивными цепями, для которых известна формула Розена [10], согласно которой Уи-Ди преобразование для этих цепей описывается простым аналитическим соотношением [11].
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
Однако для задачи, решению которой посвящена настоящая статья, весами рёбер графа являются не величины сопротивлений или про-водимостей, а показатели надёжности, и поэтому формулы для эквивалентирования последовательных и параллельных соединений двух элементов, несмотря на их простой вид, уже не позволяют в конечном виде получить аналитические соотношения для вычисления весов рёбер полного графа К по известным весам рёбер звезды Sn. Покажем это на примере п = 4. Расчётная схема для этого случая представлена на рис. 2, а.
M 1
Я 13
б
Рис. 2. Иллюстрации к Y4-A4 преобразованию / Fig. 2. Illustrations for Y4-A4 transformation
Заметим, что формальным выражением условия эквивалентности сетей Sn и K является равенство вероятностей связности этих сетей относительно одноимённых пар полюсов: Pij(Sn) = Pij(Kn). Для показанной на рис. 2, а расчётной схемы имеем: Pi2(S4) = (1-q0(1-q2). Однако получение в конечном виде выражения P12K4) оказывается невозможным из-за того, что сначала пришлось бы эквивалентировать звезду S3 с центром в вершине 4 в треугольник K3, построенный на вершинах 1, 2 и 3, а уже потом, имея последовательно-параллельную схему, получить выражение для P12K4).
На рис. 2, б штрихом помечены величины, полученные при эквивалентировании звезды S3 с центром в вершине 4. Формально можно считать, что существуют некоторые функциональные зависимости
Ч12 = fi2(4i4, Я24, ЯЗА)' Q13 = fi3(4i4, Ч24, Чза)'> Q23 = /23(414,424,434),
позволяющие вычислить величины со штрихом, зная числовые значения для q\4, q24 и qз4. Опуская громоздкие выкладки, запишем в формальном виде уравнение с шестью неизвестными, получающееся в результате приравнивания правых частей выражений для Р\2.
Ч12Ч\зк2(-)кз(-) + Ч\2Ч2зк2(-)/2з(-)--41241з42зк2(-)кз(-)!2з(-) = (4)
= Ч1 + Ч2- Ч1Ч2, где многоточие обозначает три переменные: q\4, q24 и qз4.
В это уравнение переменные q\2, q\з и q2з входят явно, а переменные q\4, q24 и qз4 - неявно, через некие функции, которые не имеют конкретного аналитического выражения, а лишь обозначают определённую последовательность вычислений.
Дополнительно к уравнению (4) можно составить ещё пять уравнений подобного вида для пар полюсов {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, так что в итоге получим систему из шести формальных нелинейных уравнений. Достаточно очевидно, что решить такую систему можно только с использованием численных методов.
Несложно подсчитать, что для «звёзд» S5, S6, S7 ... потребуется составить 10, 15, 21, ... уравнений, что делает практически нереализуемым применение описанной методики построения систем уравнений для Щ-Дп преобразования при п > з.
Алгоритм Уп-Лп преобразования
Предположим, что известен алгоритм Ао, позволяющий определить вероятность связности двухполюсного мультиграфа Gn (п - число узлов): Рх^п), при условии, что известны веса (вероятности отказа q) всех его рёбер:
Ао^п, 5, t)^Pst(Gn).
Используя алгоритм Ао, разработаем алгоритм А1, реализующий Yn-Дn преобразование:
А1(д^п))^(Кп),
где Q(Sn)={q\, q2, .. ^п} - известные вероятности отказа лучей звезды Sn; Q(Kn)={q\\, q\2, .. ^п-/,п} -неизвестные вероятности отказа рёбер полного графа Кп.
Заметим, что граф Кп имеет т = £(£-!)/2 рёбер, а значит, алгоритм А1 должен определить значения т неизвестных q/y, исходя из п известных значений qi для лучей звезды.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
Как было показано выше, невозможно получить аналитические выражения для вычисления вероятности связности двухполюсной сети Кп для п > з, поэтому единственным способом нахождения приближённого решения поставленной задачи является случайный поиск с использованием подходящей схемы такого поиска.
В обобщённой форме записи алгоритм А1 можно представить следующим образом.
Шаг 1. [Генерация случайного решения]. Случайным образом генерируется т вещественных чисел из открытого интервала (0, 1), которые «назначаются» весами рёбер графа Кп.
Шаг 2. [Вычисление вектора ошибок]. Для каждой пары вершин {г,/} графа Кп с помощью алгоритма Ао вычисляется вероятность связности Р//(Кп) и определяется отклонение этой величины от известной вероятности связности звезды Sn относительно той же пары вершин:
= И; -Ч1- Я] + Ч1Ч][
Шаг 3. [Проверка условия окончания работы алгоритма]. Вычисляется максимальная
ошибка Д = тах5[,- и, если её величина оказы-ч '
вается меньше допустимой погрешности, то работа алгоритма А1 завершается (т.е. вероятности отказа рёбер полного графа Кп определены с требуемой точностью, а сам он оказался эквивалентен звезде Sn); в противном случае выполняется переход к шагу 1.
Заметим, что при компьютерной реализации алгоритма А1 нужно использовать наиболее совершенные схемы случайного поиска, например, на основе непрерывного генетического алгоритма [12].
Алгоритм расчёта вероятности связности двухполюсной сети произвольной структуры
Опишем анонсированный в предыдущем разделе алгоритм Ао в предположении, что задана произвольная двухполюсная сеть из п узлов, представленная ненаправленным взвешенным мультиграфом Gn, и требуется рассчитать вероятность её связности Рх^п) относительно полюсов 5 и t.
Общая идея алгоритма заключается в итерационном преобразовании сети таким образом, что на каждой итерации выполняется одно Yn-Дn преобразование: обрабатывается один топологический элемент типа «звезда» и узел - центр звезды исключается. Таким образом, для графа из п вершин будет сделано п - 2 итераций алгоритма.
Шаг 1. [Тривиальные преобразования]. Удалить внутренние висячие вершины графа и инцидентные им висячие рёбра. Заменить кратные (параллельные) рёбра одним ребром, вероятность отказа которого рассчитывается по правилу для параллельного соединения элементов.
Шаг 2. [Преобразования с использованием точных формул].
2.1. [Условие завершения алгоритма]. Если граф имеет всего две вершины 5 и t и одно соединяющее их ребро, то работа алгоритма завершена.
2.2. [Обработка последовательных соединений]. Если в графе имеется внутренняя вершина степени 2, то заменить пару инцидентных ей рёбер одним ребром, вероятность отказа которого рассчитывается по правилу для последовательного соединения элементов; удалить найденную вершину и вернуться к шагу 2.1.
2.3. [Г-Д преобразование]. Если в графе имеется внутренняя вершина степени 3, то заменить три инцидентных ей ребра тремя новыми рёбрами по правилу Г-Д преобразования. Если при включении новых рёбер появляются параллельные соединения, то заменить пару параллельных рёбер одним эквивалентным ребром. Удалить вершину - центр звезды и вернуться к шагу 2.1.
Шаг 3. [Га-Да преобразование (к > 4)].
3.1. Выбрать в графе G внутреннюю вершину м> с наименьшей степенью к и, рассматривая её как центр к-лучевой звезды Sk, выполнить Гк-Дк преобразование с помощью алгоритма А1.
3.2. Удалить из графа вершину м> и инцидентные ей рёбра (лучи звезды) и включить в граф рёбра полного графа Кк. Если при включении новых рёбер появляются параллельные соединения, то заменить пару параллельных рёбер одним эквивалентным ребром. Вернуться к шагу 2.
Из приведённого описания алгоритмов Ао и А1 следует, что они являются взаимно рекурсивным, так как на шаге 3.1 алгоритма Ао происходит вызов алгоритма А1, который, в свою очередь, на шаге 2 вызывает алгоритм Ао. Глубина рекурсии конечна, поскольку при каждой итерации алгоритма Ао количество вершин графа уменьшается на единицу.
Разработка программного инструментария
Для подтверждения работоспособности разработанных алгоритмов и проведения вычислительных экспериментов модифицирован программный комплекс, разработанный ранее для исследования различных инвариантов графов [13].
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
Модификация заключалась в изменении формул эквивалентирования для последовательно-параллельных соединений, добавлении расчётных формул для преобразования «звезда - треугольник» и разработке программного модуля, реализующего алгоритм A1 с использованием одного из непрерывных генетических алгоритмов (Real-Coded GA), в котором хромосома представляется вектором вещественных чисел [12].
Результаты вычислительных экспериментов
Пример 1. Первый пример, на котором проверена работоспособность разработанных алгоритмов, взят из монографии [7, с. 54]. Рассматривается сеть передачи данных из пяти узлов и семи каналов связи (рис. 3).
Рис. 3. Схема сети из 5 узлов и 7 каналов связи / Fig. 3. Network diagram of 5 nodes and 7 communication channels
Для этой сети авторы монографии подробно рассмотрели процесс «ручного» вычисления вероятности полносвязности сети Ре. Очевидно, что сеть будет полносвязной, если по крайней мере одно дерево графа, описывающего сеть, будет работоспособно. Авторы приводят формулу для расчёта Ре, в правой части которой находится 2b-1 слагаемых, где b - количество деревьев, и отмечают, что большинство из этих слагаемых взаимно уничтожается.
Так, для графа из примера существует 21 дерево и расчётная формула будет содержать 221-1=2097151 слагаемых. Все эти деревья получены авторами «вручную» и их изображения приведены в монографии. С учётом приведения подобных членов в правой части формулы остаётся 66 слагаемых. Если считать, что все узлы абсолютно надёжны, а рёбра не влияют друг на друга и имеют вероятность безотказной работы p, формула для вычисления Ре приобретает вид многочлена седьмой степени:
Ре=21р4 - 44p5 + 32p6 - 8p7. (5)
Предположим, что p = 0,95. Тогда по формуле (5) получим Ре = 0,9945.
Для сравнения выполним серию расчётов для определения вероятности связности двухполюсной сети Pst для всевозможных пар полюсов с помощью разработанного программного инструментария: P12 = 0,9974, P13 = 0,9970, P14 = 0,9974, P15 = 0,9945, P23 = 0,9995, P24 = 0,9997, P25 = 0,9970, P34 = 0,9997, P35 = 0,9974, P45 = 0,9974. При этом время счёта для одной пары полюсов составило менее 1 мс, а все расчёты выполнялись по точным формулам, так как в процессе работы алгоритма не встретились вершины степени выше 3. Как видно, минимум показателя связности достигается для полюсов 1 и 5: P15 = 0,9945, что совпадает со значением Ре = 0,9945, полученным по формуле (5).
Следующие примеры демонстрируют работоспособность разработанных алгоритмов на различных графах с невысокими степенями вершин (до 5). Предполагается, что все рёбра этих графов имеют одинаковый вес, равный 0,8.
Пример 2. Для полного графа K4 (рис. 4, а) рассчитано значение P13 = 0,9819 за время менее 1 мс. Так как обе внутренние вершины 2 и 4 имеют степень 3, то расчёты выполнялись по точным формулам для Y-Д преобразования.
в
Рис. 4. Графы, использующие полный граф K4 / Fig. 4. Graphs using the complete K4 graph
Пример 3. На рис. 4, б к полному графу К4 добавлены вершины 1 и 6, которые рассматривались как полюса. При этом все внутренние вершины имеют степень 4. На первой итерации алгоритма Al выполнено У4-Д4 преобразование с использованием генетического алгоритма. Однако на следующих итерациях уже обрабатывались только узлы степени не выше 3, для которых расчёты выполнялись по точным формулам. В результате получено Р16 = 0,914 при заданной точности 0,001, время счёта составило около 2 с.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
Пример 4. Предыдущий пример усложнён за счёт включения ещё одного полного графа К\ (рис. 4, в). Вершины 1 и 8 выбраны полюсами; при этом четыре внутренние вершины имеют степень 4, остальные две - степень 5. В результате расчётов получено Р\8 = 0,979 при заданной точности 0,001, а время счёта составило около 12 с. В процессе работы алгоритма было выполнено два Гд-Дд преобразования.
Пример 5. В этом примере рассмотрен полный граф К5 (рис. 5), в котором вершины 1 и 3 выбраны полюсами.
Рис. 5. Полный граф K5 / Fig. 5. Complete K5 graph
При этом все внутренние вершины имеют степень 4 и на первой итерации алгоритма выполнялось У4-Д4 преобразование. Однако на следующих итерациях уже обрабатывались только узлы степени не выше 3 по точным формулам. В результате расчётов получено P13 = 0,996 при заданной точности 0,001, время счёта составило около 1 с.
Пример 6. В этом примере рассматривается один из 13 возможных 10-вершинных графов Халина [14, 15], восемь вершин которого имеют степень 3, а две вершины - степень 5 (рис. 6).
Рис. 6. 10-вершинный граф Халина / Fig. 6. 10-vertex Halin graph
Выполнены расчёты для всех возможных пар полюсов этого графа, в результате которых можно сделать следующие выводы:
- если полюса выбираются из списка (1, 2, 9, 10), то в процессе работы алгоритма обрабатываются «звёзды» степени не выше 3, поэтому расчёты выполняются по точным формулам, а время счёта будет очень малым (порядка 1 мс);
- максимальное время счёта (порядка 60 с) будет, когда одним из полюсов является вершина 3 или 7, а другим - 4 или 8 (или наоборот), так как при этом приходится дважды выполнять преобразование звезды S4 в полный граф К4 с использованием генетического алгоритма.
Пример 7. В этом примере рассматривается кубический граф Халина, состоящий из 22 вершин и 33 рёбер [14]; все вершины имеют степень 3 (рис. 7).
1 -__ 2
19\J21 22
Рис. 7. 22-вершинный кубический граф Халина / Fig. 7. 22-vertex Halin cubic graph
Изображение графа представляет собой фигуру с осью симметрии 3-го порядка (это прямая, проходящая через точку 12 перпендикулярно плоскости), т.е. при каждом повороте на 120 градусов фигура совмещается сама с собой. В связи с этим можно считать, что все вершины графа, кроме «центральной» вершины 12, разбиты на 7 классов эквивалентности: Ci={1,16,19}, С2={2,20,14}, Сз={3,10,21}, С4={4,22,8}, С5={5,13,17}, Сб={6,18,11}, С7={7,9,15}. Для общности можно принять, что вершина 12 образует отдельный класс Со. Если в качестве полюсов выбирать соответствующие вершины из разных классов, то следует ожидать, что вероятности связности должны быть одинаковыми; процесс вычислений также должен быть одинаковым. В табл. 1 приведены результаты рачётов вероятности связности двухполюсной сети Pst для рассматриваемого графа Халина для различных пар полюсов s, t. Также приводятся две характеристики процесса вычислений: время счёта и количество выполненных преобразований У4-Д4, потребовавших использования генетического алгоритма.
Анализ представленных в табл. 1 результатов позволяет заметить, что вероятности связности для каждой тройки пар полюсов примерно одинаковы, что демонстрирует устойчивость и повторяемость вычислений. Однако характеристики процесса вычислений почти всегда сильно разнятся.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
Таблица 1 / Table 1
Результаты рачётов для графа Халина / Calculation results for Halin graph
Классы Полюса s, t Fs, Время счёта Количество преобразований 74-Л4
Ci, C2 1, 2 0,934 16 с 2
14, 19 0,934 2 мс -
16, 20 0,934 2 мс -
Ci, C2 1, 14 0,927 7 с 2
2, 16 0,926 20 с 2
19, 20 0,92B 2 мс -
Ci, C4 1, 22 0,B95 26 с 3
4, 19 0,B97 40 с 4
B, 16 0,B97 27 с 3
C3, C4 3, B 0,952 14 с 3
4, 10 0,952 40 с 4
21, 22 0,951 1 мс -
C4, C0 4, 12 0,929 48 с 4
B, 12 0,931 20 с 4
22, 12 0,929 21 с 2
Так, пары полюсов 21, 22 и 4, 12 можно считать «одинаковыми» с точки зрения симметрии, но на вычисление Р21222 было затрачено порядка 1 мс и все расчёты проводились по точным формулам, так как степени обрабатываемых узлов не превышали 3; в то же время на вычисление Р4,10 было затрачено порядка 40 с и в процессе расчёта было выполнено 4 преобразования У4-Д4 с использованием генетического алгоритма. Из этого следует, что общий алгоритм расчёта (алгоритм Al) требует доработки в части выбора наилучшей траектории выполнения преобразований. Видимо, на очередной итерации нужно выбирать не любую из вершин наименьшей степени, а анализировать - не приведёт ли такой выбор к повышению степеней других вершин.
Выводы
Разработанные авторами взаимно рекурсивные алгоритмы Ao (алгоритм расчёта вероятности связности двухполюсной сети призволь-ной структуры) и Al (алгоритм Уи-Д« преобразования) являются оригинальными и обозримыми, а их работоспособность продемонстрирована на наглядных числовых примерах, полученных с помощью программного комплекса, описанного в предыдущих публикациях авторов и адаптированного к специфике настоящего исследования.
Дальнейшие исследования могут быть проведены в следующих направлениях:
- оценка вычислительной сложности при реализации взаимной рекурсии;
- более «тонкая» настройка параметров использованного непрерывного генетического алгоритма с целью сокращения времени счёта;
- доработка логики выбора узла сети на очередной итерации алгоритма A0 с целью реализации наилучшей с точки зрения затрат вычислений траектории выполнения преобразований.
Список источников
1. Беляев С.А. Воробьев А.В., Литвак В.В. Надежность теплоэнергетического оборудования ТЭС : учеб. пособие / Томский политехнический ун-т. Томск : Изд-во Томского политехнического университета, 2015. 248 с.
2. Надёжность информационных систем : учебное пособие / Ю.Ю. Громов, О.Г. Иванова, Н.Г. Мосягина, К.А. Набатов. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2010. 160 с.
3. Богатырев В.А. Информационные системы и технологии. Теория надежности: учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во Юрайт, 2022. 318 с.
4. Обоскалов В.П. Структурная надежность электроэнергетических систем: учеб. пособие. Екатеринбург: УрФУ, 2012. 194 с.
5. ГОСТ Р 53111-2008. Устойчивость функционирования сети связи общего пользования. Требования и методы проверки // Национальный стандарт Российской Федерации. М.: Стандартинформ, 2019.
6. Носов М.В. Метод полного разложения мостиковых соединений в задачах анализа связности структурно-сложных двухполюсых сетей // Надёжность. 2015. № 2(53). С.68-74
7. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988. 208 с.
8. Белоусенко И.В., Ковалёв А.П., Совпель В.Б., Ярмоленко В.И. О преобразовании эквивалентных по надежности схем «треугольник звезда» // Электричество. 1997. № 6. С. 55-58.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: пер. с англ. М.: Наука, 1974. 832 с.
10. Rosen A. A New Network Theorem // Journal of the Institution of Electrical Engineers. 1924. Vol. 62, Iss. 335, Р. 916 -918. DOI: 10.1049/jiee-1. 1924.0120
11. Иванченко А.Н, Иванченко К.Н. Критерий изоморфизма графов на основе резистивного расстояния // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2020. № 2. С. 13-18.
12. Паклин Н.Б. Непрерывные генетические алгоритмы -математический аппарат [Электронный ресурс] URL: <https://basegroup.ru/community/articles/real-coded-ga> (дата обращения 28.04.2023).
13. Иванченко А.Н, Иванченко К.Н., Шайда А.Ю. Исследование эффективности инвариантов, используемых для проверки изоморфизма графов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2022. № 1. С. 21-30
14. Halin Graph. [Электронный ресурс] URL: <https://math-world.wolfram.com/HalinGraph.html> (accessed 28.04.2023).
15. Number of Halin graphs on n nodes. [Электронный ресурс] URL: <https://oeis.org/A346779> (accessed 28.04.2023)
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 2
References
1. Belyaev S.A., Vorob'ev A.V., Litvak V.V. Reliability of Thermal Power Equipment of Thermal Power Plants: A Study Guide. Tomsk: Tomsk Polytechnic University; 2015. 248 p.
2. Gromov Yu.Yu., Ivanova O.G., Mosyagina N.G., Nabatov K.A. Reliability of Information Systems: A Study Guide. Tambov: Tambov State Technical University. 2010. 160 p.
3. Bogatyrev V.A. Information Systems and Technologies. Reliability theory: textbookfor universities. Moscow: Yurajt; 2022. 318 p.
4. Oboskalov V. P. Structural Reliability of Electric Power Systems: A Study Guide. Ekaterinburg: Ural Federal University; 2012.
194 p.
5. GOST R 53111-2008. Stability of Functioning of the Public Communication Network. Requirements and Verification Methods. Moscow: Standartinform; 2019.
6. Nosov M.V. The Method of Complete Decomposition of Bridge Connections in the Problems of Analysis of the Connectivity of Structurally Complex Two-pole Networks. Nadyozhnost'. 2015; (2): 68-74. (In Russ.).
7. Reinshke K., Ushakov I.A. System Reliability Assessment Using Graphs. Moscow: Radio i svyaz'; 1988. 208 p.
8. Belousenko I.V., Kovalyov A.P., Sovpel' V.B., Yarmolenko V.I. On the transformation of "triangle-star" circuits equivalent in reliability. Elektrichestvo. 1997; (6): 55-58. (In Russ.).
9. Korn G., Korn T. Mathematical Handbook for Scientist and Engineers. Moscow: Nauka; 1974. 832 p.
10. Rosen A. A New Network Theorem. Journal of the Institution of Electrical Engineers. 1924; 62(335): 916-918. DOI: 10.1049/jiee-1.1924.0120
11. Ivanchenko A.N, Ivanchenko K.N. Graph Isomorphism Criterion Based on Resistance Distance. University News. North Caucasian Region. Technical Sciences Series=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2020; (2): 13-18. (In Russ.).
12. Paklin N.B. Continuous Genetic Algorithms - Mathematical Apparatus. Available at: https://basegroup.ru/community/arti-cles/real-coded-ga (accessed 28.04.2023).
13. Ivanchenko A.N, Ivanchenko K.N., Shaida A.Yu. Study on the Efficiency of Invariants Used for Testing Graph Isomorphism. University News. North Caucasian Region. Technical Sciences Series=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2022; (1): 21-30. (In Russ.).
14. Halin Graph. Available at: https://mathworld.wolfram.com/HalinGraph.html (accessed 28.04.2023).
15. Number of Halin Graphs on Nodes. Available at: https://oeis.org/A346779 (accessed 28.04.2023).
Сведения об авторах
Иванченко Александр Николаевичв - канд. техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники», [email protected]
Иванченко Кирилл Николаевич - аспирант, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники», kni2012.15 @gmail .com
Information about the authors
Ivanchenko Alexander N. - Candidate of Technical Sciences, Professor, Department «Computer Engineering Software», [email protected]
Ivanchenko Kirill N. - Graduate Student, Department «Computer Engineering Software», [email protected]
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 03.05.2023; одобрена после рецензирования / approved after reviewing 17.05.2023; принята к публикации / acceptedfor publication 22.05.2023.
