CC BY
19
146
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. № 1
ФИЗИКА ЗЕМЛИ, АТМОСФЕРЫ И ГИДРОСФЕРЫ
Метод расчета роста ветровых волн на глубокой воде
И. Н. Иванова0, О. Н. Мельникова6, К. В. Показеев, И. Г. Снизинов
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики моря и вод суши. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: а [email protected], ь [email protected] Статья поступила 04.06.2011, подписана в печать 09.09.2011
Экспериментально показано, что усиление ветровой волны обусловлено воздействием вихрей, периодически формирующихся в вязком слое ветрового потока и деформирующих передний склон волны. Усиление представляет собой циклы роста крутизны волны до критического значения и распада волны на длинные линейные неплоские волны. Предлагается метод расчета усиления волн на глубокой воде для заданного поля ветра. Метод проверен в лабораторных и натурных условиях.
Ключевые слова: нелинейные диспергирующие волны, вихри, пограничный слой, ветровые волны на глубокой воде.
УДК: 532.59. PACS: 92.10.hb.
Введение
Известно, что в зоне генерации волн горизонтальным ветровым потоком формируются плоские гравитационно-капиллярные волны. Пока скорость воздушного потока выше фазовой скорости волн и>с, амплитуда, длина и фазовая скорость волн растут. Усиление волн обусловлено неравномерным распределением давления воздуха вдоль волны. Начиная с Кельвина (Джеффрис, Шулейкин), этот эффект связывают с образованием вихрей на переднем склоне волны. В [1] экспериментально обнаружен регулярный отрыв больших вихрей (размером порядка амплитуды волны) при отрыве пограничного слоя воздуха на переднем (подветренном) склоне длинной волны близкой к опрокидыванию. В [2] экспериментально показано, что при и> с на переднем склоне волн малой амплитуды происходит периодическая остановка вязкого слоя воздуха за счет силы трения на нижней границе слоя и обратного градиента давления на его верхней границе. При этом формируются вихри, покидающие вязкий слой после его остановки. В [3] показано, что вихри, образующиеся в вязком слое воздушного потока, притягивают к себе полосу поверхности воды шириной близкой двум диаметрам вихря за время т = VD/y/g, где D — расстояние между вихрем и водой, g — ускорение силы тяжести. В [4] экспериментально доказано, что вихри, формирующиеся в вязком слое тормозящегося в направлении движения потока воздуха над передним склоном волны, деформируют ее профиль. В результате такой деформации растет амплитуда и крутизна волны. Деформация склона волны рассчитывается по простой схеме: каждый вихрь успевает поднять полоску поверхности воды до своей границы на высоту D, а количество вихрей и период их образования рассчитывается по модели, полученной нами в [5], включающей скорость ветра и градиент скорости над склоном волны как параметры. Крутизна плоской диспергирующей волны растет при воздействии вихрей на переднем склоне до критического значения ak = 0.31 (а — амплитуда,
к = 2ж/\ — волновое число, А — длина волны), затем распадается на две длинные трехмерные волны [6]. В [7] показано, что усиление возникающих после распада длинных трехмерных волн может быть рассчитано методом [5]. Новые трехмерные волны растут и при достижении критического значения крутизны распадаются на еще более длинные волны. Процесс усиления представляет собой циклический процесс роста и распада волн [7], который необходимо описать для построения модели прогноза. Результаты, полученные нами в [5, 7], позволяют построить простой метод прогноза изменения параметров ветровых волн в море на глубокой воде, что и является целью настоящей работы.
1. Параметры волн при распаде
При распаде плоской диспергирующей волны критической крутизны возникают две более длинные волны с поперечной модуляцией фронта: новые волны уже не являются плоскими [6]. При распаде выполняются условия фазового синхронизма для частот = и волновых чисел к в виде
± и>2 ± Шз = 0, (1)
где ш = кс (с — фазовая скорость). Условия (1) выполняются, когда все три волны имеют одинаковые фазовые скорости. Условие для амплитуд распадающейся волны (индекс 0, после распада индекс 1) и более длинных трехмерных волн (индексы 2, 3):
ко = к\, а\ = а\ + а\ + а\, (2)
причем самая длинная волна имеет максимальную амплитуду [8]. Соотношение между длинами волн в зависимости от числа Фруда (Рг = с/у/ЦЛ — отношение фазовой скорости волны к скорости длинных волн, к — глубина, g — ускорение силы тяжести) получено для волн с неподвижными гребнями на потоке воды в [8], для ветровых плоских и трехмерных волн в [7]. Приведенная в [7, рис. 2] зависимость показывает, что на глубокой воде при Рг < 0.3 волна, достигшая кри-
тического значения крутизны ак = 0.31, распадается на две волны, длины которых очень близки: можно считать их одинаковыми в пределах ошибки измерений в эксперименте. С учетом (1) получаем, что на глубокой воде при распаде волны критической крутизны А0 появляются новые волны вдвое большей длины
А2,З = 2А0. (3)
Амплитуду новых волн можно оценить, используя (2) и учитывая, что амплитуды волн равной длины одинаковы, а амплитуда короткой волны после распада й[ дает вклад в пределах ошибки измерения, и этим вкладом можно пренебречь:
4 = 2а|3. (4)
Из (3), (4) следует, что крутизна новой волны ййу й 0.11, т.е. новая волна должна удовлетворять дисперсионному соотношению для линейных волн на глубокой воде
С-2,3 ■
(5)
Условием фазового синхронизма при трехволновом взаимодействии (1) служит равенство фазовых скоростей всех трех волн. Отсюда следует, что фазовая скорость нелинейной короткой волны критической крутизны должна удовлетворять соотношению
со
= v^
c01in.
(6)
где Опт длины.
фазовая скорость линейной волны той же
2. Зависимость параметров волны от ее крутизны
Зависимость параметров волны от ее крутизны определялась в серии экспериментов. Фазовая скорость линейной волны, возникающей в результате распада, удовлетворяет дисперсионному соотношению, полученному в результате решения линеаризованной задачи (5). С ростом крутизны в процессе усиления волны фазовая скорость волны растет. Анализ экспериментальных данных показал, что для плоских и трехмерных волн зависимость отношения фазовой скорости нелинейной волны к фазовой скорости линейной волны той же длины определяется только крутизной волны. Эта зависимость может быть аппроксимирована следующим выражением:
— = -0.84(а£)3 + 5.58(akf - 0.32(ak) + 1. (7)
С 0 lin
Под воздействием вихрей с ростом крутизны волны меняется передний склон ветровой волны, растет угол наклона переднего склона ¡3 (рис. 1). Оказалось, что угол ¡3 определяется для плоских и трехмерных волн на глубокой воде только крутизной волны и может быть аппроксимирован выражением
tg/3 = 533.86(а£)6 - 347.09(а£)5 + S6.72(akf +
+ 29.74(akf - 3.95(akf + 0.74(ak) + 0.003. (8)
Выражения (7), (8) позволяют использовать модель (5) для прогноза роста волны от момента возникновения до достижения критического значения крутизны, при котором происходит новый распад.
Рис. 1. а — профиль нелинейной волны на участке 20-24 см от входа в канал, /3 — угол наклона переднего склона волны; б — зубчатая поверхность переднего склона трехмерной волны
3. Схема расчета
Скорость ветра и экспериментально определяется над вершиной волны на высоте ут = (2а + 105) в начале однородного участка вертикального профиля скорости (5 — толщина вязкого слоя), для и > 1 м/с 5 = 0.05 см [2]. Скорость ветра на высоте ут убывает от вершины волны к впадине, при сохранении объема выполняется условие итш ■ 105 = umln(2a + 105). Скорость ветра на верхней границе вязкого слоя иу = 5 = и/2 [2]. Длина деформируемого вихрями переднего склона может быть приблизительно определена по выражению / = 2о/sin/3 (рис. 1). Тогда градиент скорости над передним склоном на верхней границе вязкого слоя 5 можно аппроксимировать выражением
Аи\ _
Ä7 yUr
■ sin ß
1
2а + 105'
(9)
Период вылета вихрей и расстояние между вихрями определяются выражениями [8]
1/2
Т =
5иМА\С,
/ IЧ,
arctg
s = Tu* - —— In 1 + и
2 С,
7
(10)
(И)
где щ — скорость воздуха на нижнеи границе вязкого слоя, для и > 1 м/с и^ = и/10 [2]; С! — коэффициент трения воздушного потока о воду, равен 0.01 [2]. Для расчета увеличения амплитуды волны учтем, что каждый вихрь поднимает поверхность воды на 5/3 в перпендикулярном к поверхности воды направлении. Если вихри образуют плотную упаковку, то поверхность принимает зубчатый вид (рис. 2) и требуется еще один вылет цепочки вихрей, чтобы эту поверхность выровнять. Если вихри в цепочки расположены не вплотную, то число дополнительных вылетов возрастает. Увеличение амплитуды волны за интервал времени А/ можно рассчитать по следующей формуле:
2
Аа = ( - ) — (соэ в - эт в), Ы = (12)
V 3 / оя 1
148
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. № 1
X, см
Рис. 2. Сопоставление расчета с данными лабораторного эксперимента. Сплошная линия — длина волны, пунктирная — крутизна волны х — расстояние от входа в канал
4. Проверка расчета
Проверка предложенного метода расчета проведена для лабораторного эксперимента и для натурных данных, полученных во время студенческой практики кафедры физики моря и вод суши (Белое море, 2010 г.) Эксперимент проводился в прямом канале длиной 3 м, шириной 20 см, глубина слоя воды 30 см. Сопоставление расчетных и лабораторных данных приведено на рис. 2 для скорости ветра 5 м/с. Расхождение данных лежит в пределах ошибки измерений (доверительный интервал не превышает 7% от измеряемой величины для доверительной вероятности 0.67). Для натурных наблюдений достоверные данные получены только для длин волн, определявшихся по фотографиям. Скорость ветра составляла и = 5 м/с, направление — с берега в море. Станции располагались через 100 м в направлении ветра, первая точка измерений удалена на х = 50 м от берега, в этой точке длина волны была 24 см. На всем полигоне глубина воды превышала длину волны более, чем на порядок, таким образом выполнялось условие глубокой воды. Зафиксированные в море \т и рассчитанные Ас длины волн приведены в таблице. Рассчитанные и измеренные длины волн хорошо соответствуют друг другу.
X, м 50 100 200 300 400 500 1000 1500 2000
Am, CM 24 50 48 45 45 100 98 96 96
Ас, см 24 48 48 48 48 96 96 96 96
Заключение
Показано, что усиление ветровых волн на глубокой воде представляет циклический процесс увеличения крутизны волны до критического значения с последующим распадом на волны, длина которых в два раза
больше, чем у исходной волны. Условия фазового синхронизма, сохранения энергии волн при распаде позволяют рассчитать параметры волн с учетом полученных в экспериментах зависимостей фазовой скорости и угла наклона переднего склона волны от ее крутизны. Рост амплитуды волны рассчитывается по деформации поверхности волны вихрями, образующимися в вязком слое ветрового потока. Хорошее совпадение расчетов с данными наблюдений в море и эксперименте подтверждает предложенную физическую модель роста волн и позволяет рекомендовать построенный на этой модели метод для практических расчетов.
Список литературы
1. Giovangeli J.P., Garat М.Н. 11 The air-sea interface / Ed. by M. A. Donelan, W. H. Hui, W.J. Plant. Toronto, 1996. P. 41.
2. Волков П.Ю., Достовалова К.В. Еречнев Д.А. и др. // Изв. РАН. Физ. атмосферы и океана. 2001. 37, № 6. С. 834 (Volkov P.Yu., Dostovalova K.V,. Erechiev D.A. et al. 11 Izvestia. Atmospheric and Oceanic Physics. 2001. 37, N 6. P. 769).
3. Новиков E.A. / / Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1981. 17, № 9. С. 956.
4. Мельникова О.Н., Нивина Т.А., Показеев К.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2008. № 3. С. 77. (Mel-nikova O.N., Nivina Т.A., Pokazeev K.V. // Moscow University Phys. Bull. 2008. N 3. P. 226); DOI: 10.3103/S002713490803017X.
5. Мельникова О.И., Нивина Т.А. // Изв. РАН. Сер. физ. 2008. 72, № 12. С. 1789 (MeVnikova O.N., Nivina T.V. II Bull. RAS. Physics, 2008, 72, N 12. P. 1693); doi: 10.3103/S1062873808120253.
6. McLean J.V. 11 J. Fluid Mech. 1982. 114. P. 315.
7. Гущин И.E., Мельникова О.Н., Показеев К.В. // Изв. РАН. Сер. физ. 2010. 74, № 12. С. 1742 (Gushchin I.E., MeVnikova O.N, Pokazeev K.V. 11 Bull. RAS. Physics. 2010. 74, N 12. P. 1663); doi: 10.3103/ S1062873810120087.
8. Мельникова O.H. Динамика руслового потока. M., 2006.
Method of an analyses of an amplification of wind waves on deep water I.N. Ivanova", O.N. Mel'nikovaft, К.V. Pokazeev, I.G. Snizinov
Department of Marine and Inland Water Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a [email protected], b [email protected].
It is experimentally shown that an amplification of wind waves is due to eddies which periodically forming in a viscous layer of wind flow and deforming leeward side of the wave. Amplification is performing by cycles of a growth of wave steepness until critical value at which the wave decays into long linear no plane waves. It is proposed a method of an analyses of wave amplification for a specified wind field. The method is verified using experimental and nature data.
Keywords: nonlinear dispersion waves, eddies, wind waves on deep water, boundary layers. PACS: 92.10.hb. Received 4 June 2011.
English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2012).
Сведения об авторах
1. Иванова Ирина Николаевна — канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник; тел.: (495) 939-10-46, e-mail: [email protected].
2. Мельникова Ольга Николаевна — докт. физ.-мат. наук, доцент, доцент; тел.: (499) 133-87-58, e-mail: [email protected].
3. Показеев Константин Васильевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой; тел.: (495) 939-16-77, e-mail: [email protected].
4. Снизинов Иван Геннадьевич — студент; e-mail: [email protected].
