Метод расчета импеданса интегральной структуры из металлических полосок для волн высших типов Текст научной статьи по специальности «Физика»

спектрального параметрического анализа позволяют решить эту проблему.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. H.Vanhamme,"High resolution frequency-domain reflectome-try", IEEE Trans. Instrumentation and Measurement, Vol.39, No. 2, pp.369-375, Apr.1990.

2. M.V.Andreev, V.F.Borulko, O.O.Drobakhin, "One-dimensional

Inverse Problem Solution for Multilayered Dielectric Structures Using Least-Square Spectral Estimation Method", Proc. of the 1995 URSI Int. Symp. on Electromagnetic Theory, St.Petersburg, Russia, May 23-26, 1995, pp. 148-151.

3. K. Aki, P. G. Richards, "Quantitative seismology. Theory and methods", W. H. Freeman and Company, 1980.

4. Бреховских A.M. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973. - 343 с.

5. Y.Hua, T.K.Sarkar, "Generalized Pencil-of-Function Method for Extracting Poles of an EM System from Its Transient Response", IEEE Trans. Antennas and Propag, Vol. AP-37, No. 2, pp. 229-233., Feb. 1989.

УДК 537.86

МЕТОД РАСЧЕТА ИМПЕДАНСА ИНТЕГРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ИЗ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛОСОК ДЛЯ ВОЛН ВЫСШИХ ТИПОВ

Т.И.Бугрова, В.М.Морозов, В.С.Кабак, Е.И.Бугров

Рассматривается электродинамическая модель системы металлических лент, симметрично нанесенных на обе стороны экранированной тонкой диэлектрической пластины. Граничные условия устанавливаются с помощью классической матрицы сопротивлений. Исследуется зависимость реактивной составляющей полного импеданса полосок и коэффициента преобразования волн пластины в волны структуры от геометрических и электрофизических параметров. Выполнена аппроксимация импеданса мероморфной и трансцендентной функциями.

Розглядаеться електродинам1чна 1мпедансна модель системи метал1чних смужок, що нанесет симетрично на обидва боки тонкоi д1електричноЧ пластини. Граничт умови встановлет за допомогою класичноi матриц опор1в. Досл1джуеться залежтсть реактивного 1мпедансу смужок та коеф1щента перетворення хвиль в1д геометричних та електроф1зичних параметр1в структури. Знайдено параметри наближення при апроксимацп 1мпедансу смужок мероморфною та трансцендентною функщями.

The electrodynamic impedance model for the set of infinite conductive metallic strips placed symmetrically on the both sides of the dielectric slab is considered. Boundary conditions have been formulated by classic resistace matrix. The behaviour of image part of the strips whole impedance and converting factor variance via dimensions and dielectric permittivity are investigated. The approximation of impedance by analytical and transcendent functions were proposed.

ВВЕДЕНИЕ

В СВЧ интегральной технике часто используются структуры, в состав которых входят металлические полоски, нанесенные по обеим сторонам экранированной диэлектрической пластины (рис.1).

Такие структуры могут входить в состав направленных ответвителей, систем распределения (суммирования) мощности в приемо-излучающих антенных решетках или использоваться как элементы антенн вытекающих волн или интегральных линзовых антенн. В связи с этим определенный интерес вызывает их моделирование путем решения краевой задачи для дальних полей (H и E волн). Кроме Hi и E2 волн, в структуре на рис. 1 в окрестности

полосок возбуждаются реактивные волны, а также Т-волны между полосками и экранами. Все они (кроме Т-волн) эспоненциально затухают при удалении от полосок и формируют ближнее поле. Пренебрежение им может привести к существенным ошибкам при определении суммарной мощности, переносимой вдоль полосок, а значит, и при определении волнового сопротивления основных волн, направленности многоплечих устройств, потерь в них и т.п. Один из способов анализа структур с подобной геометрией - метод эффективной диэлектрической проницаемости, широко используемый для объемных диэлектрических структур [1]. В настоящем случае он не позволяет учесть продольные компоненты поля. Этого недостатка лишен метод бианизотропной среды [2]. Но анализ структуры из узких металлических полосок и полубесконечных металлизаций этим методом является непростой задачей. Наиболее подходящим для решения рассматриваемой задачи представляется метод, в котором связь продольных компонент поля осуществляется через граничные условия, когда сечение, в котором они формулируются, совпадает с реальной границей, разделяющей разные по свойствам интегральные структуры.

Рисунок 1 - Геометрия задачи

1 ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ

Запишем нелокальное граничное условие для векторов

РАДЮЕЛЕКТРОН1КА

напряжений и токов на полосках для областей 1,2 (соответственно \у\<й и е>у\>с1) VI 2 и ^12 [3]:

оо

V(2) = | 2(2 - 2') 1т(2')

1

где 2(2) = 2П I 2(р)е-уР2^ .

(1)

(2)

Н2 1 - Н22 =

--Уп(Ну2-Ну 1); Еу2 = Еl,

]Х22 ' '4 У2 У 1 У2

" УХс (НУ 2 - НУ1) = Е1 + 1; Е2 = Е

где Хс = Х11 -X2; П = ^ .

Х22 Х22

Матрица импедансов 2 может быть получена из матрицы рассеяния ^ с помощью известных соотношений [4], однако аналитическое обращение матрицы ^ трудоемко. Поэтому для отыскания связи между коэффициентами отражения Яу, прохождения Ту и импедансами волн 2у воспользуемся результатами решения следующей модельной задачи.

Рассмотрим дифракцию однородной плоской Н1 -волны, удовлетворяющей уравнениям (3), на полупрозрачной импедансной границе, на которой выполняется условие (4). Потребуем, чтобы полученные при этом коэффициенты отражения, прохождения и преобразования во всем диапазоне частот и углов падения были равны таким же коэффициентам, найденным при исследовании дифракции Н1 - волны пластины на узких идеально проводящих полосках. Этим самым мы обеспечим эквивалентность модели и реальной структуры не только с точки зрения коэффициентов замедления волн, но и распределения энергии в дальней зоне.

Пара независимых уравнений Гельмгольца для Н и Е -волн, соответственно, имеют вид:

д2Ну д2Ну , д2ЕУ д2ЕУ ,

аЕ+¡¡Е+^ =

(5)

Решения этих уравнений имеют следующие зависимости от продольных координат:

Н « е в2 -уХнХ, Е = еУ в2 -уХеХ .

(6)

Основным неоднородным плоским Н1 и Е2 - волнам экранированной диэлектрической пластины поставим в соответствие плоские однородные Н и Е - волны, распространяющиеся в анизотропной среде. При этом эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в продольных направлениях равны

соответственно У^ и У^ . Таким образом, волны одного

типа в реальной и смоделированной структуре будут иметь одинаковые постоянные распространения. Граничные условия (1) примут вид вид:

& Е 1 = УХ11(НУ 2 - НУ1) + г12 Н1 - Н22 ); Е22 = EZ1,

"ЕУ1 = ]Х22(Нг1 - Н22 ) + г12 (НУ2 - НУ1); Еу2 = Еу1'(3)

Из второго уравнения системы (3) выразим разность 2 - компонент магнитного поля и подставим в первое уравнение этой системы:

Заметим, что волновые числа вдоль оси г у обеих волн одинаковы, так что легко показать, что лишь в этом случае будет происходить их взаимодействие.

Компоненты полей в областях 1 и 2 выражаются через комплексную амплитуду падающей волны следующим образом:

НУ1 = (1 + КкН)Нуп , Ну2 = ТккНуп , Е21 = ( 1 - КЬк^НуП , Е2 = -Х- ТккНуП ,

Еу1 — ЯкеНуп , Еу2 — ТкеНуп , Нг 1 " -

ке уп ' 21

= -_1_

ЯкеНуп

ТТ — _ Р т Н

22 юц0 ке Уп .

Подставив (7) в (4), получаем: +

(7)

X = 2

^0 л/ - у21 - *кк п2У2

VI

Я

кк

(4)

Я—2

П — Уп,,

¡V2 - V2 /у2 - у2

4 к Уе 11ш

п2 —

* ^е2 V ^ К - о я

(8)

(9)

(10)

ке

или, раскрывая предел,

кк

п

2

1 ЧЧХеН ' (Хк 4 ( Х е ^) ^ ( Хк Е ' (х к) 4 ( Хк £>

(11)

где ¥, Н1, Е2 - функции Грина экранированной диэлектрической пластины [1];

Н1' —

д Н,

дЕ0

, Хк, е е Р2 ,

4о - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

, е2' —

дХ2 2 дХ2

2 ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ИМПЕДАНСА ПОЛОСОК

Вычисления показали, что в широком диапазоне изменения параметров падающей волны условие

оо

14

1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2002

Я

Не

Х

22

Кянн|

(12)

выполняется правильно, поэтому при выводе (8)-(11) величиной, стоящей в левой части условия (12), пренебрегаем.

Рассмотрим физический смысл полученных соотношений. Первое слагаемое в правой части (8) представляет собой элемент ]Хц матрицы Z. Как и следовало ожидать, оно ничем не отличается от выражения для импеданса узкой полоски, характеризующего только отражение Н1 - волны пластины. Преобразование Н1 в £ - волну пластины учтено во втором слагаемом (8), которое играет заметную роль лишь вблизи точки в = в . Легко видеть, что в этой точке

]Хц ^ , Янн ^ 0 . Но в это же время неограниченно

возрастает второе слагаемое (8). При этом их разность, определяющая полную величину импеданса полосок Хя, в окрестности этой точки меняется слабо. На рисунках 2 и 3 представлены зависимости нормированного импеданса

~ х5

полосок Хя = — от продольного коэффициента замедле-Жо

ния V. В первом случае параметром служит относительная толщина подложки 4', во втором - относительная ширина полоски я/4. Действительно, наличие компенсирующего

слагаемого приводит к тому, что зависимость Хя не

испытывает резких колебаний по всей оси V.

0,5

0,25

<1,25

сГ=0,0б 0,09 0Д2 / 0,15 /

1,5

2,5

Рисунок 2 - Зависимость нормированного импеданса металлических полосок от продольного коэффициента замедления и толщины подложки

Отличительной чертой Хя(V) является отсутствие на действительной оси /тК=0 точек ветвления. Функция, обладающая этим свойством, на любом конечном отрезке действительной оси может быть с любой степенью

точности приближена мероморфной (в данном случае -дробно-рациональной) функцией от V, имеющей только нули и полюса [5]:

I «2п^

_ п = 0

Хя( ^ = М

(13)

I Ь2п^т

В (13) входят только четные степени V, так как Хя (V)

- четная функция.

Аппроксимация (13) хорошо описывает функцию

Х ( V) при небольших V. Однако, из [5] следует, что

в Ит Хя = $в

в ^ ^

(14)

где $ - постоянная отрицательная величина. Очевидно,

что выражение (13) при V ^ го имеет асимптотику, отличную от (14), и поэтому не может быть использовано при больших V.

Указанного недостатка лишена другая аппроксимация:

П (^ + V2)

Хя (V) = к0 $ V ^ V п-=0-

М

(15)

П (^ + V2)

= 0

При V^го асимптотика (15) совпадает с (14), и следовательно, данная аппроксимация дает равномерное приближение по V к исходной функции.

Хя

0,75

0,5

0,25

-0,25

\

^

Э /в= 0,2 ОД 0,05 0,01 /

0,5

1,5

2,5

Рисунок 3 - Зависимость нормированного импеданса металлических полосок от продольного коэффициента замедления и ширины полоски

«

п

= п

гп

РАДЮЕЛЕКТРОШКА

Для оценки точности приближения сопоставлялись результаты расчетов реактивного импеданса полосок по импедансной модели и по формулам аппроксимации.

Рахождение для модели (13) при N=2, М=1 не превышает в 10-4 в интервале 0 < V < 4, а для модели

(15) при N=2 меньше 5 • 10-4 на всей действительной оси

переменной V. Коэффициенты аппроксимации вычислялись из условия минимизации среднеквадратичного отклонения приближенного и точного значений

реактивного импеданса. Физически Хя характеризует

величину реактивной энергии, запасенной вблизи острых кромок полосок. Обращаясь к рисунку 2 и 3, отметим, что запас энергии увеличивается при сужении полоски и уменьшении длины падающей волны.

Интересная особенность полученных результатов заключается в том, что величина п, , входящая в группу условий (4), является линейной функцией продольного волнового числа (см.(9)). Коэффициент пропорциональности п, , характеризующий преобразование Н1 в Е2 -волны и определяемый соотношением (11), зависит только от частоты при заданных параметрах пластины. Зависимость п, (4) приведена на рисунке 4. С увеличением частоты размеры области углов падения, в которой происходит взаимодействие Н1 и Е2 - волн, уменьшаются, а само взаимодействие ослабевает. Поэтому вполне очевидно наблюдаемое на рисунке 4 монотонное спадание п, с ростом 4.

Что же касается зависимости от ширины полоски, то при практическом использовании выражений (8)-(11) ею можно пренебречь: при изменении ширины полоски в 20 раз (я/4 = 0,01-0,2) в используемом диапазоне частот

изменение п, составляет не более 0,2 %.

Возможна другая форма записи граничных условий (с учетом неравенства (12)):

_ п д

Н21 - Н2 2 — д2(НУ 2 - НУ1), Е21 — Е2 2;

п ,д Е У

( Ну 2 - Ну 1) — Е2 - ^ дг , ЕУ1 " ЕУ 2. (16)

Рисунок 4 - Зависимость коэффициента преобразования волны пластины в волну структуры от толщины пластины

Импедансные граничные условия (4) и (16) для структур, рассматриваемых в статье, полностью эквивалентны. Однако, выражения (16) имеют более широкую область применения и могут быть использованы при других зависимостях поля от продольной координаты.

ВЫВОДЫ

Граничные условия, связывающие дальние поля в анализируемой структуре, установлены с помощью классической матрицы сопротивлений.

Проведенные теоретические и вычислительные исследования показали, что реактивная составляющая импеданса узких металлических полосок является гладкой функцией продольного коэффициента замедления волны и на любом конечном отрезке действительной оси с любой степенью точности может быть аппроксимирована мероморфной функцией. Обнаружено также, что реактивная энергия, запасенная вблизи острых кромок полоски, возрастает с увеличением частоты и с уменьшением ширины полоски. Коэффициент преобразования волны Н1 в Е2 - волну монотонно убывает с ростом частоты. Зависимости его от ширины полоски и наличия потерь в ней не обнаружено.

Таким образом, в данной работе построена адекватная анализируемой структуре модель реактивного импеданса идеально проводящих полосок волнам Н1 и Е2 типа и его простая функциональная аппроксимация.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы. - М.: Сов. Радио, 1968. - 234 с.

2. Нефедов Е.И, Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур. - М.: Наука, 1974. - 208 с.

3. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. -М.: Сов. Радио, 1966. - 432 с.

4. Сазонов Д.М., Гридин А.Н., Мишустин Б.А.Устройства СВЧ. -М.: Высш. школа, 1981. - 295 с.

5. Эрдейи Э. Асимптотические разложения. - М.: Физматгиз, 1962. - 286 с.

16

1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшия" № 2, 2002