Метод расчета главных напряжений и относительных деформаций в составляющих полиминеральных горных пород в случаях их сложнонапряженного состояния Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Р.Г.Петроченков

Московский государственный горный университет

МЕТОП РАСЧЕТА ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В СОСТАВЛЯЮЩИХ ПОЛИМИНЕРАЛЬНЫХ ГОРНЫХ ПОРОД В СЛУЧАЯХ ИХ

СЛОЖНОНАПРЯЖЕННОГО

Знание зависимостей главных напряжений и относительных линейных деформаций в составляющих полиминеральных горных пород от главных напряжений и относительных линейных деформаций в горных породах необходимо для определения оптимальных параметров их разрушения или устойчивости (в массиве пород) в различных условиях внешнего механического воздействия. Установление таких зависимостей позволит рассмотреть механизм разрушения горных пород, начиная с механизма разрушения каждой из минеральных составляющих. Это предоставит возможность усовершенствовать существующие теории прочности, разработанные для однородных сред или сред с дефектами в виде трещин и др., для твердых полиминеральных горных пород за счет учета неоднородности распределения средних напряжений по их минеральным составляющим (коэффициентов концентрации напряжений). Также представится возможность оценить не только наступление стадии разрушения хрупких горных пород, но и пределы их упругости, которые наступают, в частности, при условии начала разрушения хотя бы одной из минеральных составляющих горной породы или нарушения сплошности на границах контактов минеральных составляющих.

Теоретические и экспериментальные исследования напряжений и относительных линейных деформаций в составляющих естественных (хрупкие горные породы) и ис-

СОСТОЯНИЯ

кусственных каменных композиционных материалов (бетоны, полимербегоны и др.) с различными упругими свойствами составляющих и со структурой типа статистических механических смесей (абсолютное большинство горных пород) и подобных им структур, например, матричных сред со статистически однородным распределением отдельных зерен составляющих как по размерам, форме и др. подобным характеристикам, так и расположению их в пространстве, показывают, что они, как правило, неоднородны, см., например, [1, 2]. В настоящее время не имеется теоретических методов построения эпюр напряжений и относительных линейных деформаций внутри отдельных зерен минеральных составляющих, однако имеется возможность выявления основных закономерностей распределения средних напряжений и относительных линейных деформаций по зернам квазиизотропных минеральных составляющих полиминеральных горных пород указанных выше структурных типов. Эта проблема для двухкомпонентных гетерогенных сред, в том числе и горных пород с квазии-зотропными составляющими подробно рассмотрена в работе [1].

Для уяснения физического смысла неоднородности распределения напряжений и относительных деформаций по минеральным составляющим полиминеральных хрупких горных пород со структурой типа статистических механических смесей рассмотрим вывод зависимостей усредненных

по зернам для каждой из минеральных составляющих напряжений и относительных объемных деформаций от упругих свойств составляющих и их относительных объемных содержаний в полиминеральных горных породах для случая всестороннего равномерного объемного сжатия пород.

Для расчетов напряжений и относительных деформаций в анизотропных кристаллах и твердых телах используется гипотеза о существовании упругого потенциала, согласно которой энергия механических деформации не зависит от рассматриваемого направления. Первая попытка распространения этой гипотезы на гетерогенные материалы была предпринята в работе [3] для вывода зависимостей упругих характеристик гетерогенных сред (в том числе это относится и к полиминеральным горным породам) от их составов, однако точных и однозначных решений при выводе усредняющих функций в том числе для модуля объемной упругости и обратной ей величине - коэффициента объемного сжатия (объемной сжимаемости) получено не было. При выводе формул для расчетов главных напряжений в составляющих горных пород параллельно приведем выводы однозначных усредняющих функций для модуля объемной упругости и сдвига полиминеральных пород с квазиизотропными составляющими при использовании для них гипотезы о существовании упругого потенциала.

Если при не слишком значительном отличии упругих свойств составляющих энергии механических деформации в минеральных составляющих полиминеральных хрупких горных пород при их всестороннем равномерном объемном сжатии одинаковы, то справедливо следующее выражение

а, ■ е, = С = const, ( 1 )

где ст, . е, - средние напряжения и относительные объемные деформации в / -ой минеральной составляющей горной породы.

Индекс і здесь и далее относится к любому из рассматриваемых параметров, включая и относительные объемные содержания, а также и к упругим характеристикам / -ой минеральной составляющей поли-минеральной горной породы.

На основании выражения (1), используя закона Гука, в случае всестороннего объемного сжатия породы для ее / -ой минеральной составляющей имеем:

а, = С,2-(К1)':; (2)

= С" /ГК,Г\ (3)

где К, - модуль объемной упругости / -ой минеральной составляющей по-лиминеральной горной породы. Используя известное правило аддитивности напряжений и относительных деформаций для гетерогенных сред типа статистических механических смесей, см. например [1]. на основании выражений (2) и (3) получим:

И П

ст- = X = С ' [ X пЬ -(К*)''2] ( 4 ) І=І і= І

П 11

єІ = X є, • т, = С,2[^т, /(К/2], ( 5 )

І=| І-І

где сту, єУ - напряжения и относительные объемные деформации в по-лиминеральной горной породе при ее объемном сжатии; п - число минеральных составляющих горной породы: т, - относительное объемное содержание / -ой минеральной составляющей в горной породе (в долях единицы).

Индекс X здесь и далее относится к любым из рассматриваемых параметров и упругим характеристикам полиминеральных горных пород.

По определению модуль объемной упругости выражается А> ст / є. поэтому на основании уравнений (4) и (5) получим следующую формулу для расчета модуля объ-

емной упругости полиминеральной горной породы

п п

Ку = [ £ гп, -(Ко1 2 ] / [ X т, /(К^'2\ (6)

1=1 1=1

Вышеприведенное выражение для расчета модуля объемной упругости гетерогенных сред близко по расчетным значениям с формулой логарифмического средневзвешенного и хорошо соответствует экспериментальным данным для различных полиминеральных горных пород [4, 5], и искусственных каменных композиционных материалов [6]. Кроме того она однозначна, т.е. имеет такой же вид и для коэффициента объемного сжатия, в чем легко убедится путем подстановки вместо К обратных его значений (коэффициента объемного сжатия) как для породы, так и для минеральных составляющих.

На основании выражений (2) и (4) легко получить формулу для расчета средних нормальных напряжений в любой минеральной составляющей горной породы

П

ст, /о£ = (К^/2/[ X т, ■(Кй1'2] = к,. ( 7 ) 1=1

Здесь и далее к имеет смысл коэффициента концентраций напряжений в минеральных составляющих горных пород.

Аналогично, на основании выражений (3) и (5) для расчета средних по зернам минеральных составляющих относительных объемных деформаций получим следующую формулу

II

£/ /% =1/ [(К^2 X т, /(К# ш) = к, (К^/К, ) 1=1

(8)

Анализируя обобщенный закон Гука с учетом вышеизложенного, легко можно показать, что выражения (7) и (8) справедливы для любых видов напряженно-деформированного состояния пород, при условии: ст = (аг+ сту + ст^/5; 8 = (ег + еу + ех ) как для горных пород, так и для их минеральных составляющих.

Минеральные составляющие горных пород, как правило, в любых случаях их напряженно-деформи-рованного состояния находятся в сложнонапряженном состоянии, поэтому для рассмотрения условий разрушения минеральных составляющих горных пород при различных видах их напряженно-деформированного состояния необходимо знание для каждой из составляющих главных напряжений и относительных линейных деформаций. В случае сложнонапряженного состояния полиминеральной породы при стг£ > Стуу > ст*£ максимальные касательные напряжения как в породе, так и минеральных составляющих, выражаются x:xY = ( стг1 - ст*^ /2; т^у = ( ст-у -CTVV )^ 2 , Т;д, —

('ст,/ -аХ1)/2 и т.д..

Здесь и далее - соот-

ветствующие индексам осей касательные напряжения в горной породе и по зернам ее i -ой минеральной составляющей.

Известно, ЧТО = Угх G, где G - модуль сдвига, а у:х - соответствующая касательным напряжениям угловая деформация.

Как и для случая всестороннего объемного сжатия можно предположить, что при не слишком значительном отличии модулей сдвига минеральных составляющих энергии сдвига (формоизменения) минеральных составляющих в хрупких горных породах при их чистом сдвиге одинаковы. Тогда, например, справедливо следующее выражение

Tzx, • Yzx/ = D = const. ( 9 ) На основании выражения (9), используя закона Гука, имеем:

т-х, = Dr/2 -(GJI/2; (10)

У zx, = D1/2/(Gf2. (11 )

Так как главные напряжения в полиминеральных горных породах рассматриваемого типа аддитивны, то согласно вышеизложенного касательные напряжения и относительные угловые деформации также

аддитивны, тогда на основании выражений (10) и (11) получим:

П П

Хя1 = X • т> = И1/2 [ X т, (О^2] ,(12) !=1 !=1

У«1 = X Угх1 ■ - = В1/2[^т1/(СУ,2\

!=1 !=1

(13)

Так как по определению = тгл1/ Угхх , то на основании выражений (12) и (13) получим следующую формулу для расчета модуля сдвига полиминеральных горных пород указанного структурного типа

П П

С1 = [Х^, ГС//2ИХ /«,/ГС/2И 14) !=1 !=1

Таким образом при справедливости гипотезы о существовании упругого потенциала усредняющие функции для модуля объемной упругости и сдвига полиминеральных горных пород рассматриваемых структурных типов идентичны, см. выражения (6) и (14). Однако для других упругих характеристик (модуль Юнга, модуль продольной упругости, коэффициент Пуассона и др.) усредняющие функции будут иметь гораздо более сложный вид, который можно легко установить с использованием выражений (6) и (14) на основании известных соотношений между упругими характеристиками твердых изотропных тел, см., например, таблицу 1 в работе [1, стр. 21]. Также можно показать, что для любых видов напряженно-деформированного состояния пород и минеральных составляющих энергии механических деформаций последних также одинаковы.

Используя выражения (10) и (12), легко получить формулы для расчета средних по зернам касательных напряжений в любой минеральной составляющей поли-минеральной горной породы, например

П

Ъи/ТаЕ =ГО//МХ т, (С/-] = (15)

1-1

Здесь и далее I имеет смысл коэффициента концентраций касательных напряжений в минеральных составляющих полиминеральных горных пород.

Аналогично, на основании выражений (11) и (13) для расчета средних по зернам относительных угловых деформаций получим следующую формулу

п

\=\

= и(въ/оо. (16)

Учитывая известную взаимосвязь между касательными и нормальными напряжениями (см. выше), на основании выражений (15) и (16) получим:

(а*" ау^■ ауу) =

=(ог, -ох1)/(огТ - <7хт) = /, ; ( 17 )

(&21 " Еу()/- ^У^) " Е*^/|(Егу " ExyJ —

= и(въ/Сд. (18)

Выражения (7) и (8) для дальнейших выводов представим в виде:

(ап + оу, + оХ1) = ( ст-2 + ст>£ + ахъ) к,;

(19)

(&г1 + + &Х:) ~ (£у£.

х к, (К^/К,) . ( 20 )

Решая уравнения (17) и (19) относительно неизвестных, получим формулу для расчета главных нормальных напряжений в минеральных составляющих полиминеральных горных пород со структурой типа статистических механических смесей и с квазиизотропными составляющими О/,- = ст7у/, + (о21 + стУ1 + ох1) (к, - у/з,

(21)

где индекс у/х, у, г) указывает здесь и далее направление осей координат перпендикулярных главным площадкам напряжений.

Аналогично, решая уравнения (18) и

(20), получим формулу для расчета относительных линейных деформаций в минеральных составляющих полиминеральных горных пород рассмотренного структурного типа

£/; = Е/е ■/, (С^/С^ + (г2Ъ + + ех1)х

х [к,(КТ Щ - {, ] /3. (22 )

Таким образом, если известны модули объемной упругости и сдвига или какие-либо две другие упругие характеристики мономинеральных поликристаллических агрегатов (т.е. минералов в квазиизогроп-ном приближении их упругих свойств), то, зная минеральный состав породы и главные напряжения или относительные линейные деформации в породе, можно рассчитать таковые и в минеральных составляющих горной породы при любых случаях сложнонапряженного состояния горных пород. Причем не требуется экспериментальное определение значений модулей объемной упругости и сдвига полиминеральных горных пород, входящих в формулы (21) и (22), так как они рассчитываются через упругие свойства составляющих и их относительные объемные содержания по формулам (6) и

(14) соответственно. На основании уравнений (21) и (22) легко получить выражения для оценки средних по зернам напряжений и относительных линейных деформаций в составляющих полиминеральных пород в частных случаях их напряженно-деформированного состояния. Например, в случае одноосного сжатия или растяжения полиминеральных горных пород выражения (21) и (22) примут вид:

оPi /apL = (к, + 2tJ/3; (23 )

ст» /asr = (к, -1) /3; (24 )

ep//sps = Кт Gz (3trK, + krG,)/

/[K,G,(3Ky + GyJ]; (25)

= KT Gz (3t, Ki - 2krGi)/ /\KrG,(3Kz - 2GJ], (26)

где индексы pus относятся к нормальным (продольным) и поперечным напряжениям и относительным линейным деформациям минеральных составляющих и полимине-ральной породы соответственно.

Расчеты показывают, что, не смотря на отсутствие поперечных напряжений в реальных горных породах при их одноосном сжатии, поперечные к оси сжатия напряжения в минеральных составляющих

могут достигать существенных значений (до 10 и более % от нормальных). Учитывая, что в отдельных минеральных составляющих они являются растягивающими, то эти минеральные составляющие находятся в неблагоприятных условиях и их разрушение может явиться первопричиной разрушения горных пород, а при малых содержаниях этих минеральных составляющих в породе, наступления ее предела упругости.

В случае равенства коэффициентов Пуассона минеральных составляющих полиминеральных горных пород выражения

(21) - (26) существенно упростятся. Действительно на основе анализа обобщенного закона Гука легко показать, что при равенстве коэффициентов Пуассона минеральных составляющих, т.е. v, = const t, = k,, Gz /G, = К£ /Kj . Поэтому выражения (21) - (26) примут вид:

ст,, = ki; (21)

Zjj = e/T k, (K^/KJ. ( 28 )

Таким образом при равенстве коэффициентов Пуассона минеральных составляющих хрупких полиминеральных горных пород средние напряжения и относительные линейные деформации в их составляющих в направлении произвольной оси j( х, у, z ) являются функцией напряжений и относительных деформаций в горной породе только по этой оси.

Сопоставление расчетных, по формулам (21) - (28), и экспериментальных значений относительных линейных деформаций на представительных моделях (образцах) многокомпонентных гетерогенных сред со структурой типа статистических механических смесей и матричных систем с хаотически расположенными включениями и изотропными составляющими, изготовленных из низкомодульных фотоупругих материалов (игдантин), см. работу [7], с модулями Юнга и коэффициентами Пуассона отличающимися до 10 и более раз в широком диапазоне изменения относительных объемных содержаний со-

ставляющих показало, что среднеквадратическая ошибка составила в среднем 6 %, что находится в пределах экспериментальной ошибки определения этих параметров. Изменение модуля Юнга игдантина достигалось за счет изменения соотношений желатина, глицерина и воды в смесях для приготовления игдантина, а коэффициент Пуассона изменялся за счет температурной обработки (более 100 °С) игдантина, приводящей к его вспениванию. Хорошее совпадение расчетных и экспериментальных значений относительных линейных деформаций, полученных методом тензометриче-ских измерений, имело место также для составляющих многокомпонентных бетонов и полимербетонов. Таким образом полученные выше расчетные формулы вполне надежно могут быть использованы для практических целей при оценке параметров напряженно-деформированного состояния минеральных составляющих в полиминеральных горных породах при любых видах их сложнонапряженного состояния.

Дальнейшие теоретические и экспериментальные исследования должны быть направлены на изучение внутризеренной неоднородности напряжений и относительных линейных деформаций в минеральных составляющих с привлечением статистических методов, а также напряжений на по-

верхности контактов зерен и, в первую очередь, с учетом анизотропии свойств минеральных составляющих.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петроченков Р.Г. Строительные композиционные материалы с оптимальными свойствами на основе отходов горного производства. Часть 1. -М.: МГГУ. 1994,- 114 с.

2. Нисневич М.Л. Стандартизация нерудных строительных материалов. -М.: Стройиздат. 1975, с. 63-81.

3. Hill R. The Elastic Behaviour of a Crystalline Aggregate, - Proc. Phys. Soc., 1952, A 65, № 5.

4. Ржевский В.В., Петроченков Р.Г. Модуль объемной упругости гетерогенных материалов с изотропными составляющими. - Материалы Международной научно-технической конференции по горному делу и геологии. Ч. IY.- НРБ, Варна, София: ВГ-ГИ. 1973, с. 207 -215.

5. Петроченков Р.Г. Коэффициенты объемной сжимаемости и теплового расширения магматических горных пород. - В сб.: Управление свойствами и состоянием массива горных пород. - М.: МГИ. 1979, с. 3-8.

6. Петроченков Р.Г. Строительные композиционные материалы с оптимальными свойствами на основе отходов горного производства. Часть 2.-М.: МГГУ. 1995,-97 с.

7. Трумбачев Б.Ф., Суворов Н.А. Материалы для оптического исследования напряжений в массивах горных выработок. - Труды ИГД АН СССР. -М.: АН СССР. 1954.

© Р.Г.Петроченков