Научная статья на тему 'Метод прогноза и коррекции для моделирования нелинейных осцилляторов'

Метод прогноза и коррекции для моделирования нелинейных осцилляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
12
2
Поделиться
Ключевые слова
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ / НЕЛИНЕЙНОСТЬ / КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА / ПРОГНОЗ И КОРРЕКЦИЯ / СПЕКТР АВТОКОЛЕБАНИЙ / OSCILLATORY AND SELF-OSCILLATORY SYSTEMS / NONLINEARITY / FINITE DIFFERENCE SCHEME / PREDICTION AND CORRECTION / SPECTRUM OF SELF-OSCILLATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Зайцев В.В., Федюнин Э.Ю.

В статье предложен физически обоснованный алгоритм численного моделирования нелинейных колебательных и автоколебательных систем. Алгоритм базируется на дискретной во времени модели линейного осциллятора. Нелинейность учитывается введением в осциллятор дополнительных связей путем структурного анализа исходной системы. Для аппроксимации временной производной в нелинейных связях предложено использовать схему прогноза и коррекции. Несмотря на то что теоретически алгоритм имеет второй порядок точности, в рамках численного эксперимента с осциллятором Ван дер Поля он демонстрирует лучшие результаты, чем стандартный метод второго порядка метод Хойна. На основе спектрального анализа решений сформулировано ограничение на шаг временной дискретизации, выполнение которого исключает эффект подмены частоты третьей гармоники автоколебаний фактора, влияющего на погрешность вычислений.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Зайцев В.В., Федюнин Э.Ю.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

THE PREDICTOR-CORRECTOR METHOD FOR MODELLING OF NONLINEAR OSCILLATORS

In the work physically reasonable algorithm of numerical modeling of nonlinear oscillatory and self-oscillatory systems are offered. The algorithm is based on discrete in time model of the linear oscillator. Nonlinearity is considered by the introduction to the oscillator of additional communications by the structural analysis of an initial system. For approximation of a temporary derivative in nonlinear communications it is offered to use the scheme of the prediction and correction. In spite of the fact that theoretically the algorithm has the second order of accuracy, within the numerical experiment with Van der Pol oscillator it shows better results, than a standard method of the second order the Heun’s method.

Текст научной работы на тему «Метод прогноза и коррекции для моделирования нелинейных осцилляторов»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.622 Дата поступления статьи: 23/ХЯ/2018

Б01: 10.18287/2541-7525-2019-25-1-97-103 Дата принятия статьи: 18/7/2019

В.В. Зайцев, Э.Ю. Федюнин

МЕТОД ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

@ Зайцев Валерий Васильевич — кандидат физико-математических наук, профессор кафедры оптики и спектроскопии. Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара. Московское шоссе, 34. E-mail: zaitsev@samsu.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2544-8197

Федюнин Эдуард Юрьевич — инженер, Акционерное общество 'Ракетно-космический центр 'Прогресс". 443009, Российская Федерация, г. Самара, ул. Земеца, 18.

E-mail: fedyunin_eduard@mail.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7968-3064

АННОТАЦИЯ

В статье предложен физически обоснованный алгоритм численного моделирования нелинейных колебательных и автоколебательных систем. Алгоритм базируется на дискретной во времени модели линейного осциллятора. Нелинейность учитывается введением в осциллятор дополнительных связей путем структурного анализа исходной системы. Для аппроксимации временной производной в нелинейных связях предложено использовать схему прогноза и коррекции. Несмотря на то что теоретически алгоритм имеет второй порядок точности, в рамках численного эксперимента с осциллятором Ван дер Поля он демонстрирует лучшие результаты, чем стандартный метод второго порядка — метод Хойна. На основе спектрального анализа решений сформулировано ограничение на шаг временной дискретизации, выполнение которого исключает эффект подмены частоты третьей гармоники автоколебаний — фактора, влияющего на погрешность вычислений.

Ключевые слова: колебательные и автоколебательные системы, нелинейность, конечно-разностная схема, прогноз и коррекция, спектр автоколебаний.

Цитирование. Зайцев В.В., Федюнин Э.Ю. Метод прогноза и коррекции для моделирования нелинейных осцилляторов // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2019. Т. 25. № 1. С. 97-103. Б01: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-l-97-103.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

UDC 519.622

DOI: 10.18287/2541-7525-2019-25-1-97-103

Submitted: 23/ХЯ/2018 Accepted: 18/7/2019

V. V. Zaitsev, E. Yu. Fedyunin

THE PREDICTOR-CORRECTOR METHOD FOR MODELLING OF NONLINEAR OSCILLATORS

@ Zaitsev Valery Vasilevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Optics and Spectroscopy, Samara National Research University, 34. Moskovskoye shosse, Samara, 443086. Russian Federation.

E-mail: zaitsev® samsu.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2544-8197

Fedyunin Eduard Yurevich — engineer, Joint Stock Company Space Rocket Centre Progress, 18, Zemetsa street, Samara, 443009, Russian Federation.

E-mail: fedyunin_eduard@mail.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7968-3064

ABSTRACT

In the work physic ally reasonable algorithm of numerical modeling of nonlinear oscillatory and self-oscillatory systems are offered. The algorithm is based on discrete in time model of the linear oscillator. Nonlinearity is considered by the introduction to the oscillator of additional communications by the structural analysis of an initial system. For approximation of a temporary derivative in nonlinear communications it is offered to use the scheme of the prediction and correction. In spite of the fact that theoretically the algorithm has the second order of accuracy, within the numerical experiment with Van der Pol oscillator it shows better results, than a standard method of the second order — the Heun's method.

Key words: oscillatory and self-oscillatory systems, nonlinearity, finite difference scheme, prediction and correction, spectrum of self-oscillations.

Citation. Zaitsev V.V., Fedyunin E.Yu. Metod prognoza i korrektsii dlya modelirovaniya nelineinykh ostsillyaiorov [The predictor-corrector method for modelling of nonlinear oscillators]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2019, Vol. 25, no. 1, pp. 97-103. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-l-97-103 [in Russian],

Введение

Уравнения движения нелинейных осцилляторов (колебательных и автоколебательных систем), как правило, не имеют аналитических решений. Поэтому теоретический анализ нелинейных колебаний часто основан на использовании приближенных асимптотических методов [1; 2] или методов численного интегрирования задачи Коши для систем дифференциальных уравнений [3; 4]. Не пытаясь дать развернутую характеристику последних, отметим, что они в большинстве случаев являются следствиями формальных аппроксимаций интегро-дифференциальных операторов уравнений движения конечными разностями [5]. В связи с этим с практической точки зрения интересны алгоритмы численного моделирования нелинейных динамических систем, базирующиеся на физических представлениях о протекающих в них процессах.

В настоящем сообщении описан метод прогноза и коррекции для моделирования нелинейных колебательных и автоколебательных систем томсоновского (резонансного) типа. Метод основан на использовании дискретной временной модели линейного резонатора (ДВ-осциллятора) в качестве основного динамического элемента системы. Нелинейности и обратные связи вводятся в ДВ-осциллятор способом структурного синтеза [6].

1. Вариант схемы прогноза и коррекции для колебательных систем

Значительное число нелинейных динамических систем можно описать дифференциальной моделью

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

CD

где шо и Q — собственная частота и добротность линейного осциллятора, входящего в состав системы. Функция F (■) учитывает обратные связи и нелинейности системы. Предполагая в дальнейшем численное интегрирование задачи Коши для дифференциального уравнения (1) с шагом А, введем в уравнение безразмерную временную переменную т = t/Д и запишем его в виде

Jj + 2™ J + 4tv2Q2X = in2Q2F (r, x, у) . (2)

Здесь fío = шо¡üjj — собственная частота, измеряемая в единицах частоты дискретизации üj¿ = 27Г/'Д ; V = По/ф — полоса резонатора. Временную производную осцилляций в (2) учитывает переменная

, ч = 1 dx

У[Т) 2пП0 dr '

Рассмотрим 'физически обоснованный" подход к разработке алгоритма численного интегрирования уравнения (2). Основным его положением является требование о сохранении импульсного отклика /г(т) линейного осциллятора, описываемого левой частью (2), в ходе временной дискретизации. При этом правую часть уравнения (2) формально предлагается считать внешним воздействием на осциллятор: f(r) = F(T,x(r),y(T)).

Импульсный отклик (импульсная характеристика) осциллятора определяется уравнением

+ + 4тг 2Çl2h = 4тг

ат ат

Последовательность отсчетов hn = к{тп) на временной сетке тп = п формирует импульсную характеристику линейного осциллятора в дискретном времени:

hn = 2íríío exp (—Trim) sin(27ríío"), n = 0, 1, 2, ... (3)

Дискретное во времени преобразование Фурье (ДВПФ) последовательности (3) определяет частотную характеристику

= 2тгП0а ат(2тгП0)УГ (jíi)

U J 1 - 2а cos(2¡tíío)w (]щ + а2И' (j2ü) ' { '

где w (jíi) = ехр(—j27ríí) — множитель задержки, а а = ехр(—tïv) — множитель затухания.

В частотной области последовательности отсчетов осцилляций на выходе хп = х(п) и входе /„ = = f(n) представлены спектрами (ДВПФ) X (jíi) и F(jíl). Известно, что спектры входного и выходного сигналов линейной системы связаны частотной характеристикой как X (jíi) = H (jíi) F (jíi). Поэтому на основании (4) можно записать выражение

1 - 2acos(27rí!0)W (jíi) + a2W (j2íi) (X(jíl) = = 2-kÇÎoœ sin(27rOo)W (jíi) F(JÍi) . ^

Применив к (5) обратное ДВПФ, нетрудно восстановить связь последовательностей хп и f„:

хп — 2a eos (27tÍ7o) in-i + а2хп-2 = 27rííoasin (27ríio) fn-1 ■

С учетом того, что fn = F (п,хп,уп), это равенство принимает вид

хп — 2а> eos (27rí!o) in-1 + а in- 2 = 27rííoasin (27ríio) F (n — 1, xn_ 1 j Уп—i) ■ (6)

Способ аппроксимации производной yn_i в (6) определяет тип разностной схемы для сеточной функции хп. Аппроксимация левой разностью

(I) _ ¿п-1 - хп-2 Уп~1 " 2тгО0

позволяет получить простую явную схему, но имеет лишь первый порядок точности по fio- Более точную

центральную разность предлагается использовать в комбинации "прогноз-коррекция", определив ее через

(р)

прогнозируемое значение х„ как

О) _

(р) ^п хп—2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= 4тгП[) ' (7)

Полученная в рамках такого подхода схема прогноза и коррекции выглядит следующим образом:

X^ - 2а eos (27ríio) ^n-1 + "2in-2 = 27ríí0asm ( 271-^0)^71 - 1, i„_i, y^'lj , ^

xn - 2a eos (27rfio) in-i + a2i„_2 = 27rí!0asin (2îtH0) F ) n - l,i„_i, y^i [-

(5)

Теоретическая оценка точности разностной схемы (8) вызывает затруднения. Можно лишь отметить, что в работе [7] погрешность разностной аппроксимации дифференциального оператора в левой части уравнения (1) оценена как величина второго порядка малости. Также и погрешность разностной аппроксимации (7) оценивается величиной, пропорциональной fio- Поэтому, условно определив (8) как схему второго порядка, оценим ее точность на конкретном примере.

2. Пример: осциллятор Ван дер Поля

В принятых выше обозначениях классическую модель автоколебательной системы — осциллятор Ван дер Поля — можно определить уравнением

<Рх

+ 2т/— + 4тг2Гг^ = 4ít ÍÍQ7{1 - х2)у.

(9)

Здесь параметр 7 характеризует глубину положительной обратной связи в системе. Он связан с параметром превышения порога генерации простым соотношением: р = 7^ (порог генерации р = 1). Для нелинейного осциллятора (9) схема прогноза и коррекции (8) имеет вид

х •Ег.

f-' - 2а eos (2jtÍÍo) x„_i ± а2хп_2 = 7asin (2jtÍÍo) 1 - х2п_у - xn_2) ,

- 2a eos (2jtÍ1o) xn-i + a2xn_2 = 0.57asin (2jtÍ]0) 1 - х„_1 ^xíf' - xn_2

(10)

Вычисления по (10) будем сопоставлять с вычислениями методами Рунге — Кутта четвертого порядка (RK4) и Хойна (метод второго порядка). Метод RK4, как наиболее точный, считается эталонным. При этом зафиксированы следующие значения параметров осциллятора Ван дер Поля: Q = 20 — типичное для автогенераторов значение; р = 7 — высокий уровень возбуждения; fio = 0.1 — соответствует шагу интегрирования с десятью точками на период.

На рис. 1, а приведены графики процесса установления автоколебаний: точками отмечены значения хп, рассчитанные по методу (10), непрерывной линией — по методу RK,{. Временные зависимости огибающих в процессе установления показаны на рис. 1, 6: РС — метод прогноза и коррекции (10), RK — метод Рунге — Кутта. Н — метод Хойна. Выделение огибающих проведено методом аналитического сигнала с использованием дискретного преобразования Гильберта.

Ап

Н / RK/} г / PC

/

L /

1/

40 ш

б

Рис. 1. Процесс установления автоколебаний

Как следует из графиков, в переходном режиме результаты метода (10) более близки к результатам метода КК^, чем к результатам метода Хойна. При этом все три метода дают практически одно и то же значение амплитуды установившихся автоколебаний.

Сравнение частот автоколебаний, рассчитанных тремя методами, проведем в спектральной области.

На рис. 2 показаны амплитудные спектры А(1Т) = А'(^Т) | установившихся автоколебаний в окрестности частоты первой (а) и третьей (б) гармоник. Спектральные оценки получены 4096-точечным дискретным преобразованием Фурье. Они демонстрируют близость частот автоколебаний, рассчитанных методами (10) и ЯЩ: Пкк = 0.0981 ±0.0001 Г2(10) = 0.0994 ± 0.0001. Причем эти частоты несколько ниже собственной частоты контура Но = 0.1. Метод Хойна дает завышенное значение частоты: = = 0.1035 ±0.0001.

В качестве еще одной сравнительной характеристики методов можно использовать результаты генерации третьей гармоники автоколебаний. Временные зависимости ее амплитуды 1 ■ ^;.. рассчитанные тремя анализируемыми методами, показаны на рис. 3. Метод (10) дает завышенное по сравнению с ЕК,{ значение. Но еще большее превышение демонстрирует метод Хойна.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, результаты приведенного тестового примера дают основания считать, что предложенная схема прогноза и коррекции (8) имеет преимущества в точности расчетов перед стандартными методами второго порядка.

Рис. 2. Амплитудные спектры установившихся автоколебаний 0.15-----

Рис. 3. Процесс установления амплитуды третьей гармоники

Заключение

Описанный здесь метод может быть полезен в численных экспериментах с нелинейными осцилляторами [8], в том числе при наличии шумовых воздействий [9]. В последнем случае, учитывая необходимость обработки большого числа реализаций стохастических колебаний, рассматриваются варианты использования методов невысоких порядков, вплоть до модификаций метода Эйлера (см., например, [10]). Метод применим также для моделирования автоколебательных систем с запаздывающими связями, например таких, как генератор, исследуемый в работе [11|.

Отметим также, что результаты спектрального анализа численных решений указывают на то, что высшие гармоники основной частоты нелинейных колебаний в процессе дискретизации времени могут быть подвержены эффекту подмены частот [12]. Так как в спектре нелинейных колебаний в большинстве систем присутствует третья гармоника, в качестве одного из условий адекватности численной модели можно принять условие ее генерации без эффекта подмены. Это означает ограничение на шаг временной дискретизации в виде неравенства ш0Д ^ тг/З, следующего из неравенства 3Î70 ^ 0.5.

Литература

[1] Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Изд. 4-е. М.: Наука, 1974. 504 с. URL: http://bookre.org/reader7fifc542799_

[2] Лайда П. С. Нелинейные колебания и волны. Изд. 3-е. М.: Либроком, 2015. 552 с. URL: https://ru.b-ok.org/book/3371333/2el84f.

[3] Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 302 с. URL: http://samaTskii.Tu/books/book2001.pdf.

[4] Parker T.S., Chua L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. NY: Springer-Verlag, 1989. 348 p. URL: h t tp: // bookre. org/reader?file=464214.

[5] Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с. URL: http:/ /bookre.org/reader?file=470582&pg= 1.

[6] Зайцев В. В., Шилин А.Н. Отображения генератора Ван дер Поля-Дюффинга в дискретном времени // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2017. № 2. С. 51-59. URL: http://www. mathnet.ru/php/archive. phtml?wshow=paper&jrnid=vsgu&paperid=542&option_lang=rus.

[7] Зайцев В.В., Карлов А.В., Карлов Ар.В. О численном моделировании томсоновских автоколебательных систем // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2015. № 6. С. 141-150. URL: ht tp: / /www. ma th net. ru/p hp/archive. pht ml ?wshow= paper &j rnid=vsgufep ap erid=532&op t ion _ lang=Tus.

[8] Кузнецов А.П., Савин А.В., Седова Ю.В. Бифуркация Богданов а-Такенса: от непрерывной к дискретной модели // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17. Вып. 6. С. 39-158. URL: https://cybeTleninka.Tu/ar ticle/n/bifurkatsiya-bogdanova-takensa-ot-nepreryvnoy-k-diskretnoy-modeli.

[9] Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / B.C. Анищенко [и др.]. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 544 с. URL: https: / / www.studmed.ru/ anischenko-vs-nelineynye-effekty-v-haoticheskih-i-stohasticheskih-sistemah_f9fbbb34alc. html.

[10] Фильтрация сигналов на фоне шума вблизи аттрактора / В.И. Нефедов [и др.] // Радиотехника и электроника, 2019. Т. 64. № 2. С. 175-180. DOI: http: doi.org/10.1134/S0033849419020165.

[11] Балакин М.И., Рыскин Н.М. Мультистабильность и сложные колебательные режимы в генератор« с запаздывающим отражением от нагрузки // Письма в ЖТФ. 2019. Т. 45. Вып. 6. С. 33-35. DOI: http://doi.org/10.21883/PJTF.2019.06.47497.17551.

[12] Зайцев В.В., Стулов И.В. О влиянии подмененных гармоник на динамику колебаний в дискретном времени // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2015. Т. 23. Вып. 6. С. 40-46. DOI: http: doi.org/10.18500/0869-6632-2015-23-6-40-46.

References

[1] Bogolyubov N.N., Mitropolskiv Yu.A. Asimptoticheskie melody v teorii nelineinykh kolebanii. Izd. 4~e [Asymptotical methods in nonlinear oscillations theory. 4th edition]. M.: Nauka, 1974, 504 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=542799 [in Russian].

[2] Landa P.S. Nelineinye kolebaniya i volny. Izd. 3-е. [Nonlinear oscillations and waves. 3rd edition). M.: Librokom, 2015, 552 p. Available at: https://TU.b-ok.org/book/3371333/2el84f [in Russian],

[3] Samarskii A.A., Mikhaylov A.P. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical modeling). M.: FIZMATLIT, 2002, 302 p. Available at: http://samarskii.ru/books/book2001.pdf [in Russian).

[4] Parker T.S., Chua L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. NY: Springer-Verlag, 1989. 348 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=464214 [in English].

[5] Hairer E., Norsett S., Wanner G. Reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii. Nezhestkie zadachi [Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff Problems). M.: Mir, 1990, 512 p. Available at: http://bookre.org/reader?flle=470582&;pg= 1 [in Russian].

[6] Zaitsev V.V., Shilin A.N. Otobrazheniya generatora Van der Polya-Dyuffinga v diskretnom vremeni [The mappings of Van der Pol — Duffing generator in discrete time). Vestnik Samarskogo universiteta. Est est venno n auchnaya seriya [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2017, no. 2, pp. 51-59. Available at: http: //www. mathnet. ru / php / archive. phtml?wshow = paper & jrnid = vsgu & paper id = 542 & option _ lang = rus [in Russian).

[7] Zaitsev V.V., Karlov A.V., Karlov Ar.V. О chislennom modelirovanii tomsonovskikh avtokolebateVnykh sistem [About numerical modelling of Thomson self-oscillatory systems). Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennonauchnaya senya [Vestnik of Samara State University. Natural Science Series], 2015, Vol. 21, no. 6, pp. 141-150 [in Russian].

[8] Kuznetsov A.P., Savin A.V., Sedova Yu.V. Bifurkatsiya Bogdanova-Takensa: ot nepreryvnoi к diskretnoi modeli [Bogdanov-Takens bifurcation: from flows to discrete systems). Izvestiya vuzov. Prikladnaya nelineinaya dinamika [Izvestiya VUZ. Appled nonlinear dynamics], 2009, Vol. 17, no. 6, pp. 39-158. Available at: https://cybeTleninka.Tu/article/n/bifmkatsiya-bogdanova-takensa-ot-nepreryvnoy-k-diskretnoy-modeli [in Russian).

[9] Anishhenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е., Neiman А. В., Strelkova G.I., Schimanskii-Gaier L. Nelmeinye effekty v khaoticheskikh i stokhasticheskikh sistemakh [Nonlinear effects in chaotic and stochastic systems). Moscow-Izhevsk: Institut komp'yuteraykh issledovanii, 2003, 544 p. Available at: https: // www.studmed.ru/anischenko-vs-nelineynye-effekty-v-haoticheskih-i-stohasticheskih-sistemah_f9fbbb34alc. html [in Russian],

[10] Nefedov V.l., Reshetnyak S.A., Ttetyakov G. N., Zasovin E.A. Fil'tratsiya signalov na fone shuma vblizi attraktora [Filtration of a signal against the background of noise near an attractor). Radiotekhnika i elektronika [Journal of Communications Technology and Electronics], 2018, Vol. 64, no. 2, pp. 175-180. DOI: http: doi.org/10.1134/S0033848418020165 [in Russian],

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[11] Balakin M.L, Rvskin N.M. Mul'tistabil'nost' i slozhnye kolebateVnye rezhimy v generatore s zapazdyvayushchim otrazheniem ot nagruzki [Multistability and complex oscillatoiy Tegimes in the generator with delayed reflection from the load]. Pis'ma v ZhTF [Technical Physics Letters], 2018, Vol. 45, issue 6, pp. 33-35. DOI: http: doi.org/10.21883/PJTF.2018.06.47487.17551 [in Russian).

[12] Zaitsev V.V., Stulov I.V. O vliyanii podmenennykh garmonik na dinamiku kolebanii v diskretnom vremeni [About influence of the changed harmonics on dynamics of self-oscillations in discrete time]. Izvestiya vuzov. Prikladnaya nelineinaya dinamika [Izvestiya VUZ. Appled nonlinear dynamics], 2015, Vol. 23, no 6, pp. 40-46. DOI: http: doi.org/10.18500/0869-6632-2015-23-6-40-46 [in Russian],