Метод продолжения решения по параметру в задаче оптимальной стабилизации систем линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Л., 1977.

2. Малахов Н.А., Нигай P.M. Численно-аналитический метод моделирования жестких динамических систем//Изв. вузов. Приборостроение. 1991. №8.

3. Бесекерский В.А., Фабрикант Е.А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Л. Судостроение, 1968.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Kotov Р.А. Questions of modeling of corrected data-measuring devices and substantial bases of integration of the determined systems of non-resonant differential equation. Questions of modeling of corrected data-measuring devices are considered. Ways of formulation of an interval and a step of integration with a substantiation of the valid characteristic polynomial of diagnosing of the rest for differential system of the initial equations are offered.

Key words: dynamic system; non-resonant differential equation; constracyive parameters of integration.

Котов Петр Алексеевич, Воронежская Государственная Технологическая Академия, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, e-mail: [email protected].

УДК 517.929

МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ

АРГУМЕНТАМИ

© Е.В. Кошкин

Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения; кусочно-постоянные аргументы; оптимальная стабилизация; продолжение по параметру.

Исследуется задача оптимальной стабилизации линейных периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами. Показана ее эквивалентность задаче оптимальной стабилизации системы разностных уравнений. Для решения последней задачи применяется метод продолжения по параметру.

Рассматривается система дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами

= Л°({)х(Ь) + ^Лк(£)х([£ — к]) + В°(£)и, £ е М+, (1)

к=0

где х е М™; и е Мг; Л° : М+ ^ м™х™, в° : М+ ^ Е™хг, Лк : М+ ^ М™х™, к = — непрерывные 1-периодические функции, [а] — целая часть числа а. Ста-

вится задача нахождения управления и0, формируемого в дискретные моменты времени

по принципу обратной связи, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1) и минимизирует следующий критерий качества переходных процессов

+СЮ

1° = J (хТ(£)Б°(Ь)х(Ь) + иТ(£)^и(Ь)и(Ь)) №. (2)

о

Здесь БХ : М+ ^ Ктхт и В°и : М+ ^ Мтхг — непрерывные 1-периодические функции,

значения которых являются положительно определенными матрицами.

В работе [1] показано, что задачу (1), (2) можно свести к эквивалентной задаче оптимальной стабилизации системы разностных уравнений хп+\ = Ахп + Вип с критерием

качества 1 = ^ (х'ПБхХп + и'ПВ^п) , где Хп е Мт(1+1); ип е Мг; А, В, Бх, Би —

п=0

матрицы размерностей т(1 + 1) х т(1 + 1), т(1 + 1) х г, т(1 + 1) х т(1 + 1) и г х г, соответственно; Вх и Ви — положительно определенные матрицы.

При решении полученной задачи используются методы, предложенные в работах . Задача оптимальной стабилизации разностной системы заменяется задачей оптимальной стабилизации вспомогательной системы

хп+1 = (1 - ц)хп + Ц-Ахп + (1 - у)Уп + цВип (3)

с критерием качества

1» = Х!((1 -V) ххп+у’тУп) +V хБххп+БиУп)^ , V е [0,1]. (4)

п=0

Оптимальные управления вспомогательной задачи (3), (4) определяются в форме Уп = — ((1 — м)С(м) + уС(Р)В + ^т(г+1}) С(р) (МА +(1 — м)1т(1+1)) хп,

и<п = —Б-1 вТ(у(1—м)с(^)+^С(у)В + /т(г+1^ С(м) (уА+(1—^)1т(г+1)) xn, где функция С (у) является решением матричного уравнения Риккати

(уИА + (1 — ц)1т(г+1) + (1 — ц)кТ(у) + ^КТ(м)В) С(у) х х ^А + (1 — М)1т(1+1) + (1 — м)К(м) + уВК(м)) — С(м) +

+Ц-Бх + (1— Ц)1т(г+1) + (1— Ц-)кТ (м)К (^)+^кТ (м)В К(у) = 0.

Здесь К(у) = — ^(1 — Ц)С(у) + 1^С(р)В + /т(г+1)) С(р) (МА +(1 — м)1т(1+1)) , 0 ^ М ^ ^ 1. С помощью метода, предложенного в работе [5], алгебраическое уравнение Риккати заменяется дифференциальным уравнением с начальным условием С(0) = С, которое находится аналитически. Для численного интегрирования матричного дифференциального уравнения использовался метод Рунге-Кутты четвертого порядка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Долгий Ю. Ф., Кошкин Е.В. Оптимальная стабилизация динамических процессов в периодических линейных системах дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами // Сборник научных трудов ИМ К МГУ: Проблемы динамического управления. 2010. Вып. 5. С. 102-112.

2. Красовский Н.Н. Об оптимальном регулировании в линейных системах запаздываниями времени // Сиб. матем. журнал. 1963. Т. 4. № 2. С. 295-302.

3. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н. Некоторые алгоритмы оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12. № 2. С. 3-17.

4. Жулин С.С. Метод продолжения решения по параметру и его приложение к задачам оптимального управления // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 205-217.

5. Давыденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 601-602.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Koshkin E.V. The parameter solution continuation method in optimal stabilization problem for linear periodic systems of differential equations with piecewise constant arguments. Optimal stabilization linear periodic differential equations with piecewise constant arguments is considered. It is shown that it is equivalent to the problem of optimal stabilization for systems of difference equations. For the solution of the last one the parameter continuation method is applied.

Key words: linear differential equations; piecewise constant arguments; optimal stabilization; the parameter continuation.

Кошкин Евгений Вячеславович, Уральский государственный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, аспирант, e-mail: [email protected].

УДК 517.98

ОБ ОЦЕНКЕ КОММУТАТОРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С

ОПЕРАТОРОМ УМНОЖЕНИЯ

© Т.Б. Кузнецова, В.М. Тюрин

Ключевые слова: линейный дифференциальный оператор эллиптического вида; пространство Бесова; пространство Бесова-Степанова.

Для линейного дифференциального оператора эллиптического типа приводится оценка коммутатора в пространствах Бесова и Бесова-Степанова.

Пусть Ьр = Ьр (Кп, X) — пространство Лебега сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Кп ^ X с обычной нор мой ||-||о ; Бр = Бр (Кп,Х) —пространство Степанова [1] сильно измеримых функций и : Кп ^ X, норма в котором определяется формулой

Ммр = sup

xeR"

(

K(x)

\

1

||u(x)||p dx

p

<,

/

где К(х) - единичный куб в Кп с центром в точке х, ||-||- норма в X, К — одно из пространств Ьр, Мр; пространство Соболева Шт (К) состоит из функций и е К, имеющих обобщенные производные Баи е К, |а| ^ т, при этом [2]:

U

F,

DC

д\ а\

dxC1...dxa" ’

a = (al,....., an) — мультииндекс, |a| = al +.......+ an, m є N.