CC BY
25
УДК 624.042: 629.5.024
МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ КАК ИНСТРУМЕНТ ФИЛЬТРАЦИИ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ КОРПУСНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В. И. Сутырин, Е. И. Короткая
REDUCTION METHOD AS A FILTERING TOOL FOR RESONANT FREQUENCIES OF SHIPBOARD STRUCTURES
V. I. Sutyrin, E. I. Korotkaya
Поиски путей к снижению вибрации и улучшению условий обитаемости на судах продолжают оставаться актуальными. Для предупреждения вибрации важно определить значения частот свободных колебаний различных конструктивных элементов корпуса. Причем сделать это необходимо на начальной стадии конструирования, поскольку меры по снижению вибрации на построенных судах требуют больших затрат труда и денежных средств. В статье речь идет о расчетных методах предупреждения вибрации, основанных на определении частот собственных колебаний корпуса судна с применением конечно-элементных моделей. В частности, рассматривается метод приведения, разработке которого посвящена известная работа Ю. А. Шиманского «Динамический расчет судовых конструкций». Статья содержит алгоритм преобразований расчетной схемы путем приведения жесткости и массы конструкции к ограниченному числу узлов конечно-элементного разбиения, а также примеры реализации предложенного алгоритма. Рассматриваются варианты преобразованных расчетных схем, а также вычисляются погрешности в определении резонансных частот при расчетах балочных и пластинчатых моделей корпусной конструкции транспортного судна. Время расчета резонансных частот корпуса методом приведения сопоставлено со временем модального анализа, проведенного по традиционной схеме метода конечных элементов.
корпусные конструкции, расчетное проектирование, метод конечных элементов, метод приведения (конденсации)
Seeking the ways to reduce vibration and improve living conditions on ships is still of great relevance. To prevent vibration, it is important to determine the values of free oscillation frequencies of various structural elements of a ship hull. Moreover, this needs to be done at the initial stage of construction, as vibration reduction measures on the already built vessels require large amounts of labor and money. The article deals with the calculation methods of vibration prevention based on determination of the frequencies of natural vibrations of a ship hull using finite element models. In particular, the reduction method is considered, after being discussed in the well-known work "Dynamic calculation of ship structures" by Yu. A. Shimansky. The article contains an algorithm for transforming the design scheme by reducing the stiffness and mass of the construction to a limited number of nodes of the finite element
decomposition, as well as examples of implementing the proposed algorithm. The variants of the transformed calculation schemes are considered, and the errors in determination of the resonant frequencies are being found in the calculation of beam and plate models of the ship hull structure. The time of calculating the resonant frequencies of the hull by the reduction method is compared with the time of the modal analysis, carried out according to the traditional scheme of the finite element method.
ship hull structures, design, finite element method, reduction method
Известная монография академика Ю. А. Шиманского «Динамический расчет судовых конструкций», опубликованная в 1941 г., продолжает привлекать внимание инженеров-судостроителей, являясь своеобразным пособием по теории и расчетной практике [1].
Судовые корпусные конструкции как большие системы характеризуются бесконечным числом степеней свободы. В этом смысле процесс приближения математической модели к реальной конструкции также оказывается бесконечным. В своей книге Ю. А. Шиманский предлагает инженерам сосредоточиться на поиске «разумной достаточности» модели с учетом потребностей конкретного расчетного исследования. В качестве эффективного инструмента он рассматривает метод преобразования расчетной схемы, согласно которому массы и жесткости судовой конструкции приводятся к отдельным узловым точкам, концентрируются в них. В результате поиск собственных частот, необходимых для ухода от резонансных колебаний конструкции в процессе ее проектирования, существенно упрощается. К примеру, поиск первой резонансной частоты колебаний может сводиться в итоге к исследованию осциллятора с приведенными жесткостью К1пр и массой М1пр.
Аналитический путь определения приведенных характеристик Ю. А. Шиманский поясняет вводом в рассмотрение функции координат точек тела, определяющей форму колебания, - f(x,y,z) (для простоты лишь поступательного; значение f(x,y,z) в точке приведения равно 1) и функции распределения масс - m(x,y,z).
В случае гармонического колебательного движения уравнение движения точки приведения примет вид: u^ = u0^, sin (ю t), где и0пр - амплитуда точки приведения; ю - частота колебаний, а уравнение колебательного движения упругого тела можно записать следующим образом:
u(x,y,z)= u^ f(x,y,z)= u% f(x,y,z) sin (ю t). (1)
Осциллятор должен обладать такой же кинетической энергией, как и упругое тело (Q). В этом случае:
(1/2) М1^ (5 Unp/д t)2 = (1/2) J m (5 и/д t)2 dQ (2)
или
(1/2) (u"np)2co2 cos 2(co t) = (1/2) (u"lip)2or cos 2(cot) J m f2 dQ;
np7 ^ Ч V" пр/ _____&
np
Q
M1np = Jmf2dQ. (3)
Таким образом, приведенная масса равна сумме произведений масс всех рассматриваемых узловых точек на квадрат перемещений, которые они получают
при единичном перемещении точки приведения. Приведенный коэффициент жесткости С1пр, как следует из его определения, равен удвоенной потенциальной энергии деформаций узловых точек тела при единичном смещении точки приведения. Низшая резонансная частота со1 и период колебаний тела т1, соответствующие функции формы колебаний определяются следующими выражениями:
®1= (С'пр/М'др )1/2; ^=271/ев1. (4)
Изложенный подход позволяет формировать матрицы масс || Mnp|| и жесткости ||Rnp|| для ряда точек приведения конструкции с последующим определением резонансных частот путем решения обобщенной системы однородных уравнений следующего вида:
Det (|| Кпр|| - ш2 || Mпp ||) = 0. (5)
Частоты ш определяются пошаговыми либо итерационными методами [2], среди которых в случае расчета больших систем предпочтение отдается, как правило, методу Ланцоша [3]. Если резонансные частоты определены, то можно определить соответствующие им формы колебаний {упр}, решая систему уравнений следующего вида:
|| R^ - ш2 M^ || {упр} = {0}. (6)
Во времена Ю. А. Шиманского уравнения колебаний решались с помощью логарифмической линейки, вследствие чего возможности использования метода приведения в качестве инструмента проектирования судовых корпусных конструкций были весьма ограниченными. Сегодня для решения задач подобного рода могут применяться программные САЕ-комплексы (Computer-aided engineering: ANSYS, FEMAP with NX NASTRAN и др.), реализующие метод суперэлементов (External Superelements) и имеющие весьма впечатляющие количественные возможности. Благодаря компьютерам четвертого поколения появилась возможность анализировать конечно-элементные расчетные модели с несколькими миллионами степеней свободы. В указанных условиях следование принципу «разумной достаточности» значительно повышает эффективность расчетного проектирования конструкции. В задачах особой сложности переход к преобразованным расчетным схемам становится единственно возможным путем анализа динамики конструкции. Особое значение при этом приобретает эффективная алгоритмизация вычислений.
В операциях, связанных с понижением размерности разрешающей системы уравнений, принято различать расчетные (s) и исключаемые (n) перемещения, что приводит к четырехблочному представлению исходных матриц массы и жесткости системы:
|| M|| =
M M R R
|| R|| =
MM R R
ns nn ns nn .
(7)
Приведение жесткостей и масс обычно выполняется на основе алгоритма, предложенного Айронсом и Гайяном [4]:
|| = ||Л || || ||Л ||т , (8)
пр
M || = ||A || || M || ||A ||T; ||A||= || E L -
пр
(9)
где Е - единичная матрица порядка s; || L|| = - || R || || R
Однако непосредственное программирование (18) и (19) затруднено
большим порядком исходных матриц масс ^Ц и жесткости конструкции.
1/2 1/2
Перемножая блоки указанных матриц с учетом того, что || M Н^^ || ^ || ,
получим следующее равенство для определения приведенных масс и жесткостей сложной системы [5, 6]:
M || =|| M || + || R
пр M
R ||
M
R
M
+
R || || R ||- || R
nn- ns sn Ш1-
T T
| Q || + || Q || + || G|| • || G|| ,
R .|| || R || -
M || =
где
Q || =
T
L|| || M ||
ns
+ || R
|| G|| = - || L|| L||.
M ||
1/2
(10)
(11)
|| R || =|| R
пр ss
Опыт программирования (10) показал, что глобальную систему следует редуцировать построчно. При этом матрицы ^ || и ||Я || становятся
коэффициентами, а операции обращения и тем более возведения матрицы в дробную степень отпадают. В специализированной расчетной программе [7], реализующей матрично-векторные равенства (10) и (11), нами применено сочетание модифицированной процедуры Гаусса с фронтальным методом решения системы уравнений (рис. 1) [8].
Рис. 1. Фронтальная (вихревая) схема исключения неизвестных системы при приведении жесткости и массы системы к расчетным узлам: 1 - узлы фронта исключения; 2 - сохраняемые расчетные узлы (узлы приведения) конструкции; 3 - исключаемый узел, в котором фрагментарно стыкуются конечные элементы
модели; 4 - исключенная (обработанная) область системы Fig. 1. The frontal (vortex) scheme for excluding the unknown quantities of the system when the rigidity and mass of the system is reduced to the calculated nodes: 1 - nodes
of the elimination front; 2 - stored calculation nodes (nodes of reduction) of the structure; 3 - excluded node, in which the final elements of the model are fragmentarily joined; 4 - excluded (processed) area of the system
Можно отметить, по крайней мере, пять существенных преимуществ фронтального способа приведения жесткостей и масс:
1. Фронтальная схема позволяет удерживать в памяти компьютера лишь те коэффициенты, на которые распространяется влияние исключаемых степеней свободы глобальной системы. Положительный эффект возникает здесь в связи с независимостью объемов задействованной памяти от общего порядка системы.
-1
ss
sn
nn
sn
ss
T
Расчет выполняется, как правило, в основной памяти и не требует продолжительной по времени зонной обработки системы разрешающих уравнений с выносом промежуточной информации во внешнюю память компьютера.
2. В процессе фронтальной обработки появляется возможность сохранения шлейфа произвольно расположенных узлов приведения, формирующих подструктуры преобразованных расчетных схем конструкции (ПРС). Процесс приведения (редукции) системы становится управляемым.
3. Фронтальная схема эффективна, поскольку, с одной стороны, исключает построение глобальной модели, а с другой - оптимизирует вычислительную процедуру редукции. Блок-матрица исключаемых степеней свободы модели при фронтальной схеме расчета сокращается до одного коэффициента, а размерность блок-матрицы сохраняемых степеней свободы - остается минимально возможной на протяжении всего расчета.
4. Фронтальная схема эффективно программируется, поскольку рабочие матрицы оказываются в расчете ограниченными по порядку, симметричными и плотно упакованными.
5. Фронтальная схема образует вихревую вычислительную процедуру, инвариантную по отношению к внешней (не пройденной) части модели. Появляется возможность мультифронтальной обработки системы с применением многопроцессорных вычислительных средств.
Применение указанного алгоритма иллюстрируется следующим расчетным примером. На рис. 2 приведена пространственная (3-D) стержневая (балочная) модель трех центральных грузовых отсеков транспортного рефрижератора пр.1337. Судно имеет длину 108,4, ширину 13,7, высоту борта 8,7 м, водоизмещение 920 т. Миделевое сечение конструкции корпуса судна показано на рис. 3. Длина отсека расчетной модели составляет 15,6, длина модели 46,8 м, масса металлоконструкций 521,4 т. Угловые точки палубных вырезов подкреплены пиллерсами.
Модель составлена из 3478 элементов типа Beam, состыкованных в 2162 узлах. Общее число степеней свободы модели 12966. При выборе геометрии стержневых конечных элементов учтены рекомендации Ю. А. Шиманского по выбору присоединенных поясков обшивки и настилов палуб [9].
Рис. 2. Пространственная (3D) балочная расчетная модель средней части корпуса (а) и мидель-шпангоут (б) транспортного рефрижератора Fig. 2. Spatial (3D) beam design model of the intermediate part of the ship hull (a) and midship-frame (b) of the transport refrigerator
Преобразование расчетной схемы представляет стратификацию реальной системы (конструкции корпуса). По сути, ПРС является фильтром резонансных частот и форм колебаний сложной конструкции. Причем модальную фильтрацию можно настраивать, выбирая количество и местоположение узлов приведения. На рис. 3 показана стержневая конечно-элементная аппроксимация нижней палубы средней части корпуса судна с узлами приведения (расчетными узлами), назначенными в точках пересечения бимсов и карлингсов палубы центрального грузового отсека. Преобразованная расчетная схема конструкции (ПРС1) включает 66 расчетных узлов. Общее число степеней свободы ПРС1- 396.
Рис. 3. Выбор преобразованной расчетной схемы (ПРС1) конструкции: 1 - расчетная модель нижней палубы в составе модели средней части корпуса судна (показаны места установки пиллерсов); 2 - узлы приведения нижней палубы среднего грузового отсека; 3 - форма колебаний узлов ПРС1 на резонансной частоте 12,6 Гц Fig. 3. The choice of the converted design scheme (ПРС1) of the structure: 1 - analysis model of the lower deck within the model of the middle part of the hull (the pillar locations are shown); 2 - reduction nodes of the lower deck of the intermediate cargo compartment; 3 - oscillation form of the nodes of ПРС1 at the resonant frequency
Рассматриваемая расчетная модель выявляет балочные частоты и формы резонансных колебаний корпусной конструкции (см. 3 на рис. 3). Подобные модели можно обоснованно назвать классическими, поскольку они вошли в учебники по строительной механике и многие годы обеспечивали и продолжают обеспечивать сегодня потребности проектирования морской техники. Однако в результате модального анализа стержневой модели многочисленные формы колебаний пластин и оболочек корпусных конструкций остаются, как говорится, «за кадром». К тому же рекомендации по назначению присоединенных поясков стержневых конечных элементов в моделях указанного типа (требования по жесткости) входят в противоречия с требованиями по массе, поскольку пояски разнонаправленного набора неизбежно перекрывают друг друга. Поэтому массы поясков стержневого набора модели приходится заменять узловыми массами, собранными с прилегающих площадей обшивки и настилов. Во многих случаях
of 12.6 Hz
подобный подход является весьма грубым приближением, поскольку приведение масс должно осуществляться с учетом жесткостей конструкции. В случае стержневой модели указанное требование нарушается.
Резонансные частоты балочной модели
со, Гц 80
70
Рис. 4. Собственные частоты балочной модели корпуса и ПРС1 в диапазоне от 0 до 70 Гц
Fig. 4. Eigen frequencies of beam model of the hull and ПРС1 in the range
from 0 to 70 Hz
На рис. 4. Приводятся результаты модального анализа балочной модели, а также ПРС1. Частоты, определяемые при помощи преобразования расчетной схемы, на рис. 6 обозначены квадратными маркерами. Погрешности в определении соответствующих частот показаны на рис. 5.
Построение ПРС1 приводит к исключению отдельных степеней свободы конструкции и, как следствие, к некоторому искажению формы колебаний. Характер искажений трудно оценить априори. Парадокс состоит в том, что сегодня критерием правильности выбора ПРС могут служить результаты уточненного расчета динамики судового корпуса как пространственной системы большого порядка. Указанная модель, которая все чаще формируется сегодня в целях расчетного проектирования (конструирования) корпусной конструкции, может использоваться для обоснования корректности выбора ПРС и определения погрешности результата. Откорректированная ПРС может многократно использоваться в дальнейшем в практике расчетного проектирования конструкции.
В наиболее наглядном виде подобный вывод можно проиллюстрировать расчетом с применением CAE-комплекса пластинчатой модели центральной части корпуса рассматриваемого судна (рис. 6.), обеспечивающей наиболее полную информацию о динамике реальной корпусной конструкции. В расчетной модели объединены 253374 конечных элемента (типа Plate), количество узлов стыковки 340093, общее число степеней свободы - 1440160, масса - 521,4 т.
Погрешности определения частот для ПРС1
Д,% 1
0,8 в
0,6
0,4
0,2 " ■ ■ ■
0^1 '| ^
-ч сЯ г^ ьлт^нсчг^ьлт^ног^тт^нсчг^тт^чсчг^ьлгл^нс^г^
' HHdHHHddHHddrJrtrt
■
-0,4 в
-0,6
№ моды
Рис. 5. Погрешности в определении резонансных частот балочной модели
с применением ПРС1 Fig. 5. Errors in the determination of the resonant frequencies of the beam model using
ПРС1
Рис. 6. Пространственная (3D) пластинчатая модель грузовых трюмов транспортного рефрижератора пр.1337 Fig. 6. Spatial (3D) plate model of cargo holds of a transport refrigerator
Спектр резонансных частот пластинчатой модели конструкции корпуса судна оказывается исключительно плотным. Достаточно сказать, что модель обеспечила выявление 1500 мод в диапазоне (0- 70 Гц) (рис. 7). Поэтому выбор данных, относящихся к конкретному фрагменту конструкции, например, к палубному перекрытию, оказывается затрудненным.
Рис. 7. Собственные частоты пластинчатой модели и ПРС1 в диапазоне от 0 до 70 Гц Fig. 7. Eigen frequencies of the plate model and ПРС1 in the range from 0 to 70 Hz
Рис. 8. Погрешности в определении резонансных частот пластинчатой модели
с помощью ПРС1
Fig. 8. Errors in determining the resonance frequencies of the plate model using ПРС1
Построение ПРС1 значительно повышает производительность модального анализа палубы в составе корпуса и сокращает число определяемых мод до 300. Погрешности приведения показаны на рис. 8.
Полный модальный расчет конструкции в указанном диапазоне с использованием типового компьютера, оснащенного 4-ядерным процессором Intel Core i3 c объемом оперативной памяти 16 Гбт, продолжался 20 ч 40 мин. При такой продолжительности расчета вариантный поиск оптимальной конструктивной схемы конструкции становится практически невозможным. Резервы расчетного времени, возникающие при оперировании ПРС1, оказываются весьма значительными. На рис. 9 иллюстрируется время модального анализа ПРС1 в сравнении с анализом всей пластинчатой модели. На графике время расчета мод (Т) отнесено ко времени однократного статического расчета прочности конструкции (Т1). Указанное отношение, находящееся в диапазоне от 4 до 5, характеризует относительное время приведения матриц жесткости и массы к расчетным узлам (т. е. время построения ПРС1 при нулевом количестве рассчитанных мод).
Время модального анализа
Т/Т, 25
20 15
10
0 100 200 300 400
Количество мод
Рис. 9. Сопоставление времени расчетного анализа резонансных частот и форм пластинчатой пространственной (3D) расчетной модели грузовых трюмов судна, а также ПРС1, построенной на ее основе Fig. 9. Comparison of the time of calculation analysis of resonance frequencies and forms of the three-dimensional (3D) model of the cargo holds of the ship, as well as the ПРС1 built on its basis
Результаты модального анализа пластинчатой модели конструкции корпуса судна показали, что формы ее собственных колебаний оказываются сложными (многосвязными) (рис. 10). Поэтому расчеты резонансных частот с использованием моделей фрагментов корпусных конструкций (например, отдельных палубных перекрытий и др.) без учета жесткостных и инерционных граничных условий влекут за собой риски появления значительных погрешностей.
Рис. 10. Мода № 40 пластинчатой модели корпусной конструкции (форма собственных колебаний конструкции на резонансной частоте 30,05 Гц) Fig. 10. Mode № 40 of the plate model of the hull structure (the form of the hull vibrations at the resonance frequency of 30,05 Hz)
Необходимые граничные условия могут быть получены путем приведения жесткостей и масс к граничным узлам анализируемой корпусной конструкции. Таким образом отслеживается влияние общей вибрации конструкции на местную вибрацию и наоборот. Кроме этого, ввод в расчет фрагмента с новой конструктивной схемой не приводит в указанной ситуации к пересчету глобальной задачи, что повышает производительность расчетного проектирования. Наконец, процедуры структуризации могут выполняться параллельно для ряда конструктивных фрагментов, что поддерживает коллективные формы работы над проектом.
Рис. 11. Мода ПРС2 пластинчатой модели нижней палубы центрального грузового трюма корпуса транспортного рефрижератора пр.1337 (форма колебаний при резонансной частоте 30,1 Гц) Fig. 11. Mode ПРС2 of the plate model of the lower deck of the central cargo hold of the hull of the transport refrigerator 1337 (the form of the vibrations at a resonant
frequency of 30.1 Hz)
Следует также подчеркнуть тот факт, что с формированием ПРС проблема граничных условий при оценке местной вибрации конструкции решается автоматически. В качестве примера на рис. 11 показана уточненная форма резонансных колебаний палубного настила и набора, полученная на основе ПРС2, объединяющей в качестве расчетных все узлы стыковки пластинчатых конечных элементов настила и подкрепляющего набора нижней палубы центрального грузового трюма корпуса.
ВЫВОДЫ
1. Метод приведения, который реализуется в современных САЕ-комплексах в форме внешнего суперэлемента (External SuperElement), можно рекомендовать в качестве эффективного инструмента расчетного проектирования, предназначенного для выявления резонансных частот судовых корпусных конструкций.
2. Если во времена Ю. А. Шиманского ПРС служила средством сокращения числа разрешающих уравнений, выполняемых для последующего использования доступного инструмента вычислений (логарифмической линейки), то сегодня парадигма ее применения претерпела серьезные изменения.
3. Благодаря современным вычислительным средствам ПРС можно с успехом применять:
- в качестве эффективного средства структурирования больших (3D) расчетных моделей корпусных конструкции, формируемых в целях расчетного проектирования (конструирования) как альтернативы «проектирования по правилам»;
- для высокопроизводительного расчетного анализа вибрации фрагментов корпусной конструкции;
- в качестве средства расчетного проектирования (синтеза) новых судовых корпусов с учетом спектра возможных резонансных частот;
- для организации эффективной коллективной работы над проектом.
4. При расчетах 3D-моделей корпусных конструкций наблюдаются сложные (многосвязные, многоволновые) формы резонансных колебаний. Спектр собственных частот корпуса судна оказывается исключительно плотным. Плотность спектра возрастает с увеличением числа анализируемых степеней свободы расчетной модели. Выбор резонансных частот и форм колебаний отдельных фрагментов корпуса из общей вибрационной картины является актуальной задачей.
5. ПРС можно рассматривать в качестве фильтра частот корпусной конструкции, который необходимо настроить путем корректного выбора количества и местоположения узлов приведения.
6. Собственные частоты, определяемые на основе традиционных балочных моделей судовых перекрытий, могут существенно отличаться от частот, определяемых с применением 3D-моделей корпусов вследствие неопределенности жесткостных и инерционных граничных условий. Построение ПРС автоматически устраняет указанную проблему.
7. Средством контроля правильности выбора ПРС может служить разовый уточненный численный модальный анализ, а также инструментальный анализ натурной конструкции.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Шиманский, Ю. А. Динамический расчет судовых конструкций / Ю. А. Шиманский. - Ленинград: Судпромгиз, 1948. - 408 с.
2. Голуб, Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван. Лоун. - Москва: Мир, 1999. - 546 с.
3. Grimes, R. G. A Shifted Block Lanczos Algorithm for Solving Sparse Symmetric Generalized Elgenproblems / R. G. Grimes, J. G. Lewis, H. D. Simon // SIAM Journal Matrix Analysis Applications. - 1994. - Vol.15 (1). - Рp.228-272.
4. Guyan, R. J. Reduction of Stiffness and Mass Matrices / R. J. Guyan // JAIAA. - 1965. - № 3. - Р. 380.
5. Сутырин, В. И. Применение способа фронтальной конденсации в расчетах динамики судовых корпусных конструкций / В. И. Сутырин // Судостроение. -1996. - № 7. - С.10-14.
6. Сутырин, В. И. Методология конечно-элементного анализа конструкций при их проектировании / В. И. Сутырин // Проблемы кораблестроения и океанотехники: сб. трудов НГТУ им. Р. Е. Алексеева. - 2010. - № 2. - С.171-177.
7. Сутырин, В. И. Программа для расчета амплитуд установившихся колебаний конструкции с применением структуризации квазистатической модели / В. И. Сутырин, Е. И. Короткая // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. - 2013. - №3 (100). - С. 175-181.
8. Trons, W. M. A frontal solution for finite element analysis / W. M. Trons // International Yournal for Numerous Mathematical Engeeniring. - 1970. - № 2.
9. Шиманский, Ю. А. Справочник по строительной механике корабля / Ю. А. Шиманский. - Ленинград: Судпромгиз,1960. - 627 с.
REFERENCES
1. Shimanskij Ju. A. Dinamicheskij raschet sudovyh konstrukcij [Dynamic calculation of ship structures]. L., Sudpromgiz, 1948, 408 p.
2. Golub Dzh., Ch. Van. Loun. Matrichnye vychislenija [Matrix Computing]. Moscow, Mir, 1999, 546 p.
3. Grimes R. G., Lewis J. G., Simon H. D. A Shifted Block Lanczos Algorithm for Solving Sparse Symmetric Generalized Elgenproblems, SIAM Journal Matrix Analysis Applications, 1994, vol. 15 (1), pp. 228-272.
4. Guyan R. J. Reduction of Stiffness and Mass Matrices. JAIAA, 1965, no. 3,
380 p.
5. Sutyrin V. I. Primenenie sposoba frontal'noj kondensacii v raschetah dinamiki sudovyh korpusnyh konstrukcij [Application of the method of front condensation in calculations of the dynamics of ship hull structures]. Sudostroenie, 1996, no. 7, pp. 1014.
6. Sutyrin V. I. Metodologija konechno-jelementnogo analiza konstrukcij pri ih proektirovanii [Methodology of finite element analysis of structures in their design]. Cb.
trudov NGTU im. R. E. Alekseeva "Problemy korablestroenija i okeanotehniki", 2010, no. 2, pp. 171-177.
7. Sutyrin V. I., Korotkaja E. I. Programma dlja rascheta amplitud ustanovivshihsja kolebanij konstrukcii s primeneniem strukturizacii kvazistaticheskoj modeli [A programme for calculating the amplitudes of steady-state structural oscillations using the structuring of a quasi-static model]. Cb. trudov NGTU im. R. E. Alekseeva, 2013, no. 3 (100), pp. 175-181.
8. Trons W. M. A frontal solution for finite element analysis. International Yournal for Numerous Mathematical Engeeniring, 1970, no. 2,
9. Shimanskij Ju. A. Spravochnik po stroitel'noj mehanike korablja [Handbook of ship mechanics]. L., Sudpromgiz, 1958, 627 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Сутырин Валерий Игоревич - Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Инженерно-технический институт; доктор технических наук, профессор кафедры машиноведения и технических систем; E-mail: vsutyrin@mail.ru
Sutyrin Valeriy Igorevich - I. Kant Baltic Federal University; Institute of Engineering
and Technology; Doctor of Engineering, Professor of the Department of machine science and technical systems;
E-mail: vsutyrin@mail.ru
Короткая Елена Ивановна - Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота ФГБОУ ВО «КГТУ»; доцент кафедры технической механики; E-mail: Ekkat82@gmail.com
Korotkaya Elena Ivanovna - Baltic Fishing Fleet State Academy of KSTU; Associate professor of the Department of engineering mechanics; E-mail: Ekkat82@gmail.com
