CC BY
13
УДК 536.71
Метод построения уравнения состояния жидкости и газа, основанный на феноменологической теории Мигдала
и гипотезе Бенедека
Канд. техн. наук С. В. РЫКОВ1, А. В. СВЕРДЛОВ1, д-р техн. наук В. А. РЫКОВ1, канд. техн. наук И. В. КУДРяВЦЕВА 1, канд. техн. наук Е. Е. УСТЮЖАНИН2
1 Университет ИТМО 2Национальный исследовательский университет «МЭИ» E-mail: togg1@yandex.ru
Предложен метод построения фундаментального уравнения состояния (ФУС) жидкости и газа, учитывающего особенности термодинамической поверхности в окрестности критической точки. Структура уравнения состояния выбрана в соответствии с новым представлением масштабной гипотезы в виде выражения для свободной энергии Гельмгольца F=Fr+Fs, где Fr — регулярная функция плотности р и температуры T; Fs=Fs (р, T, S, a (x)) — сингулярная составляющая F, которая описывает в асимптотической окрестности критической точки поведение равновесных свойств жидкости в соответствии с масштабной теорией (МТ) критических явлений. Здесь S — критический индекс критической изотермы; a0 (x) — масштабная функция свободной энергии Кудрявцевой-Рыкова, которая разработана на основе феноменологической теории Мигдала, гипотезы Бенедека и линейной модели Скофилда -Литстера -Хо; x — масштабная переменная. При расчете индивидуальных параметров масштабной функции a0 (x) свободной энергии Гельмгольца используется соотношение теории подобия, связывающее параметры решеточного газа и реальной жидкости. На основе предложенного метода разработано уравнение состояния шестифтористой серы, которое в соответствии с МТ описывает поведение равновесных свойств SF6. Представлено сравнение экспериментальныеp-p-T-данных, данных об изохорной теплоемкости и изобарной теплоемкости, значений плотности насыщенного пара и насыщенной жидкости с соответствующими данными, рассчитанными на основе разработанного ФУС SF6.
Ключевые слова: уравнение состояния, шестифтористая сера, критическая точка, гипотеза Бенедека, теория подобия. Информация о статье:
Поступила в редакцию 27.02.2020, принята к печати 25.06.2020 DOI: 10.17586/1606-4313-2020-19-3-83-90 Язык статьи — русский Для цитирования:
Рыков С. В., Свердлов А. В., Рыков В. А., Кудрявцева И. В., Устюжанин Е. Е. Метод построения уравнения состояния жидкости и газа, основанный на феноменологической теории Мигдала и гипотезе Бенедека // Вестник Международной академии холода. 2020. № 3. С. 83-90.
A method for constructing the equation of state of a liquid and gas based on the Migdal phenomenological theory and the Benedek hypothesis
Ph. D. S. V. RYKOV1, A. V. SVERDLOV1, D. Sc. V. A. RYKOV1, Ph. D. I. V. KUDRYAVTSEVA1, Ph. D. E. E. USTYUZHANIN2
4TMO University 2National Research University «Moscow Power Engineering Institute» E-mail: togg1@yandex.ru
A method is proposed for constructing the fundamental equation of state (FEoS) of a liquid and gas that takes into account the features of a thermodynamic surface in the vicinity of a critical point. The structure of the equation of state is chosen in accordance with the new representation of the scale hypothesis in the form of an expression for the Helmholtz free energy F=F+Fs, where Fr is the regular function of density р and temperature T; Fs=Fs (р, T, S, a (x)) is a singular component F that describes in the asymptotic neighborhood of the critical point the behavior of the equilibrium properties of the liquid in accordance with the scale theory (MT) of critical phenomena. Here S is the critical index of the critical isotherm; a0 (x) is the large-scalefree-energy function of Kudryavtseva - Rykov, which is developed on the basis ofMigdal's phenomenological theory, the Benedek hypothesis, and the Scofield - Lister - Ho linear model; x is a scale variable. When calculating the individual parameters of the Helmholtz free energy scalefunction a0 (x), a similarity theory relation is used, which relates the lattice gas and the realfluid. Based on the proposed method, an equation of state for sulfur hexafluoride
has been developed, which, in accordance with MT, describes the behavior of equilibrium properties of the SF6. A comparison is made of experimental data, data on isochoric heat capacity and isobaric heat capacity, density values p-p-T of saturated steam and saturated liquid with the corresponding data calculated on the basis of the developed FEoS o SF6. Keywords: equation of state, sulphur hexafluoride, critical point, Benedek hypothesis, dimensional analysis.
Article info:
Received 27/02/2020, accepted 25/06/2020 DOI: 10.17586/1606-4313-2020-19-3-83-90 Article in Russian For citation:
Rykov S. V., Sverdlov A. V., Rykov V. A., Kudryavtseva I. V, Ustyuzhanin E. E. A method for constructing the equation of state of a liquid and gas based on the Migdal phenomenological theory and the Benedek hypothesis. Vestnik Mezhdunarodnoi akademii kholoda. 2020. No 3. p. 83-90.
Введение
В последнее время все большее распространение получают методы построения уравнений состояния (УС), которые в той или иной мере учитывают поведение вещества вблизи критической точки на линии насыщения жидкости и пара. Причем эти УС можно условно разбить на две группы: группа А и группа Б.
К группе А мы относим уравнения [1]-[6], которые удовлетворяют гипотезе Бенедека [7] и приводят к возникновению линии псевдокритических точек [8], положение которых на термодинамической поверхности определяется равенствами [9]:
¿Р = 0 и Ю= о,
dp )т Us Jp '
использована авторами [6] при построении масштабного уравнения состояния. Заметим, что уравнение состояния (2), построенное на основе масштабной функции Кудрявцевой -Рыкова (4) содержит в составляющей Fs (р,Т, 8, а (х)) интегралы от дифференциальных биномов.
К группе Б мы относим уравнения состояния [12]-[19], которые не удовлетворяют гипотезе Бенедека и равенствам (2). В этой группе уравнений следует выделить масштабные уравнения состояния [12]-[14], разработанные на основе масштабной функции химического потенциала Безверхого - Мартынца - Матизена (БММ) [12, 13]:
h (x) = А [(
(5)
(1)
где р — плотность; p — давление; T — абсолютная температура; S — энтропия.
Уравнения состояния [1]-[6] разработаны на основе нового представления масштабной гипотезы [10] и имеют следующую структуру:
F = Рг (р,Т) + Fs (р,Т, 8, а (х)), (2)
где Fr (р,Т) — регулярная составляющая свободной энергии Гельмгольца F; Fs (р,Т,8, а (х)) — сингулярная составляющая F ; а(х) — масштабная функция; х = т / |Др|1/р — масштабная переменная; т = Т / Тс -1; Др = р / рс -1; р и 8 — критические индексы. Масштабная функция а (х):
а(х) = А ^(х + х1 )2-" -( / х2 )(х + х2 )2-"Щ + В (х + х3)у + С, (3)
которую авторы работ [1]-[5] используют при построении фундаментальных уравнений R218 [1, 2], R32 [3], R1234yf [4] и аргона [5], не включает в свою структуру интегралов от дифференциальных биномов и этим выгодно отличается от УС [6]. Постоянный коэффициент С в функции (3) находится из равенства химических потенциалов ц + = ц-, где ц+ и ц- — значения химического потенциала на жидкостной и паровой ветвях линии насыщения, соответственно; а и у — критические индексы; Л, B и х; (/= 1, 2, 3) — постоянные параметры. Масштабная функция химического потенциала h (х):
к(х) = А [(х + х1 )у - ( - х0 )4Р (х + х1 )у-4р Щ, (4)
разработана авторами [11] на основе феноменологической теории Мигдала [13] и гипотезы Бенедека. Функция (4)
Масштабные уравнения [12]-[14] удовлетворяют всем степенным законам МТ, описывающим поведение равновесных свойств в асимптотической окрестности критической точки. Заметим, что масштабное уравнение [14] разработано на основе (5) при у = 4р и 8 = 5 (при таких значениях критических индексов функция (4) вырождается в функцию (5)). В то же время широкодиапазонные уравнения состояния [15]-[18], разработанные на основе (5), удовлетворяют не всем степенным законам МТ. В частности, характер поведения коэффициента изотермической сжимаемости Кт и изобарной теплоемкости Ср в асимптотической окрестности критической точки определяется степенными зависимостями Кт (р = рс ,Т ® Тс)~ т и Ср(р = рс,Т®Тс)~т , в тоже время, согласно МТ, Кт ( ,Т ® Тс)~ ту и Ср ( ,Т ® Т)~ ту.
Однако, уравнения состояния [15]-[17], разработанные на основе масштабной функции БММ, с высокой точностью описывают равновесные свойства диоксида углерода [17]. Поэтому представляет интерес задача по разработке широкодиапазонного уравнения состояния, структурно включающего масштабную функцию (4) и удовлетворяющее всем степенным законам МТ в асимптотической окрестности критической точки. Решению этой задачи и посвящена данная работа.
Определение структуры фундаментального уравнения состояния
В работе [18] показано, что на основе (3) с помощью
известного термодинамического соотношения F = -| SdT и гипотезы Бенедека [7] можно построить фундаментальное уравнение состояния в следующем виде:
F (p,T) = Fg (p,T) + Fost (p,T) + Fs (p,T, 5, fl(x)),
(9)
где Fg (р,Г) — идеально-газовая составляющая F ; (р,Т ) — регулярная функция.
Нерегулярная составляющая Fs свободной энергии Гельмгольца в (9) имеет вид [18]:
Fs =y(co)|Apf+1 a (x). (10)
Здесь 8 — критический индекс критической изотермы; a (x) — масштабная функция свободной энергии Гельмгольца; w = р / рс.
В данной работе используется масштабная функция a (x ), рассчитанная на основе функции h (x) (4). Функции a (x ) и h (x) связаны между собой уравнением:
h (x) = (8 + l)a (x) - jXa'(x).
_Ucß_(
'k ■ х,2|И
Ж 1_ + Y (-l) (2ß-1)...(^ -n) X tl n!(2-a-n) U x +
2-a
1_ + é (-l)n (6ß- 1)...(6ß- n)(
n!(2-a-n) U x + x
2-a
Fast (p,T ) = RT «éî C т/ (Др)
i=0 j=0
F (р,Т ) = RT
F + у2ш + yc
- 0,2 +
i=0 i=0
+03 (w - Уб«) +1-1 у(со)Др|8+' Й0 (x),
где pc — критическое давление;
y2 = 7,7/6 + 2,9/6 Др-1,1/6 Др2 + 0,05 Др3; y2 = 5 - 4Др + 3Др2 - 2Др3 + Др4, y6 = 4 - 3Др + 2Др2 - Др3 + Др5.
(11)
В результате решения дифференциального уравнения (11) (см., например, [8]) получим:
Кроссоверную функцию у (со) мы выбрали в виде [2]:
у(со) = [(Дю)2 -1]2. (15)
При таком выборе кроссоверной функции выражение (14) обеспечивает, во-первых, переход УС в области малых плотностей и давлений в уравнение Клапейрона-Менделеева, а в окрестности критической точки выполнение степенных законов МТ [21].
Термическое уравнение состояния и изохорная теплоемкость
С целью вывести на основе (14) термическое уравнение состояния SF6 и выражение для расчета изохорной теплоемкости мы задали идеально-газовую составляющую F¡g (р,Т) согласно результатам работы [22]:
^ = ЯТ|]пю + /0 + Т"(( -1Т-
-é +é fi I*
exp\f I-1
(16)
(12)
Коэффициенты выражения (16) приведены в табл. 1.
Таблица 1
где и0 — индивидуальный параметр вещества;
к = |>-1) X Т.
Регулярную составляющую ФУС (10) мы выбрали в соответствии с рекомендациями [5]:
Коэффициенты уравнения (16)
Coefficients for the equation (16)
Table 1
(12)
где Су — коэффициенты, которые определяются на основе экспериментальных данных о равновесных свойствах исследуемого вещества; т1 = Тс • Т-1 -1; R — газовая постоянная.
Фундаментальное уравнение состояния, разработанное на основе (1) с составляющей Fs (р,Г,8, а (х)), включающей масштабные функции (3), (4) или (5), передает степенные законы МТ только в том случае, если выполняются следующие условия [19]:
эР" У™ =0' (Рр=,^ ~ °(^ (13)
где п = 1,2,3,4, о — символ Ландау [20].
Наш анализ показал, что проблемы в [15]-[17] при описании области критических состояний вещества связаны с тем, что предложенные в этих работах малопараметрические УС не удовлетворяют условиям (13). Поэтому, мы преобразовали (12) с учетом (13) и условия р (р = рс ,Т = Тс ) = рс. В результате получили выражение для ФУС (9) в следующем виде:
i fi gi
0 1,8009691417 —
1 3,9837756784 3447,899076
2 2,2181851010 1114,38
3 -10,921337374 925,64
4 3,3102497939 499,26
5 17,5189671483 884,90
6 2,8903523803 1363,93
î î Ciт/Др'' + Dт (w2 - 3w) + D2%, («3 - 2w2 )+ (14)
Согласно термодинамическому равенству p = p2 (3F/ Эр) и (14) термическое уравнение состояния имеет вид:
z (р'T)=^^=1+У1ю2+У2Ю+(У5Ю 2+УбЮ) (TpR " О+
22 6
е Ci, j t;jAp'-1 (iw + Dp) + D1wil (2w - 3) + D2w \ (3w - 4) +
i=0 j=0
+D3w(y3w + y4 - y5w- Уб) +
-1 |Др|М/Р [ f (ю)|Др|1/M sign(Dp)ho (x) + f '(ю)|Др|1№ ao (x)],
(17)
где масштабные функции h0 (x) и a0 (x) выражениями (4) и (12).
Выражение для изохорной теплоемкости мы рассчитали на основе (14) и термодинамического равенства
CV = -T(a2F/ЭТ2) :
C (t ,р) = с 0 (t ) - rC éé Cj (j - 1)т/-2Др'' -
' i=0 j=0 a
- R^co^1 a"(x ), (18)
где C о (T ) = -T (Э2 Fj ЭТ2 )t .
=2
=2
X
Таблица 2
Коэффициенты Ctj фундаментального уравнения состояния (14) при j е{0;1;2}
Table 2
Coefficients Chj of the fundamental equation of state (14) at j e {0;1;2}
J
0 1 2
0 0 0 1,6477539932936
1 0 0 -0,6202998501464
2 0 0 -8,1353300872948
3 0 -1,784773328546 3,6936552444821
4 0 2,9728637459843 25,118153219254
5 0 -2,4274046814654 -21,48078544712
6 -0,19360407357632 -11,588414058539 -46,740155604234
7 -0,0029533534785944 16,018248260674 57,200893323661
8 0,19390626011565 17,056640932416 41,382475199841
9 0,67897840240594 -44,198748537171 -73,776200967664
10 -0,53690112875467 -2,19253723713 -10,027283954063
i 11 -1,894376707391 77,495753066671 50,538810893431
12 2,4395805689908 -52,337366016695 -11,476602492784
13 1,2728373013915 -61,250299945223 -15,085818393056
14 -4,0216681089629 97,10575468023 8,1480654183844
15 1,418118548414 -10,489265817163 0
16 2,4524166172095 -62,675871591011 -0,6741626274607
17 -2,5549518160605 45,091313190143 0
18 0,30479043338143 1,1369553033463 0,048450238922691
19 0,86507082868738 -16,545098364442 0
20 -0,61269722851571 9,3506216502468 0
21 0,17490789403009 -2,3135867624933 0
22 -0,019224723200644 0,22655784168231 -0,00038864110780734
Таблица 3
Коэффициенты Ci3 и Ci4 фундаментального уравнения состояния (14)
Table 3
Coefficients Ci3 and Ci4 of the fundamental equation of state (14)
j
3 4
0 -7,8037365164937 -11,944631078099
1 11,833856529709 18,404752653442
2 1,166902128991 21,421178962545
3 -15,386931431056 -43,040976933457
4 55,177417319405 26,31282119214
5 -52,246351362278 -15,122015838273
6 -91,646158455541 -49,903124725878
i 7 145,3870329103 90,362668830188
8 31,125798044813 -9,2663333272966
9 -127,85622439571 -50,879383775267
10 30,17320747445 24,698827392218
11 38,6829762599 0,78772431059548
12 -19,486763301427 -1,6195215242002
13 0 0
14 0,94357464951527 0
Критические индексы и критические параметры выбраны в соответствии с [21, 23]: Тс = 223,555 К; рс = 37,54981 МПа; рс = 742,3 кг/м3; R = 44,221 Дж/ (К кг); R0 = 8314,51 Дж/ (К моль); а = 0,11, и у = 1,24.
При расчете параметра и0 мы использовали соотношение теории подобия, предложенное авторами [24]:
k
A + Bo
(19)
где Л = 1,274 и В0 =-2,327 [14]; ^ = рс / (рсГс).
Опорный массив опытных и расчетных данных [25]-[29], на базе которого определялись остальные коэффициенты и параметры (14), включает: р - р - Т данные; рв - р± - Т данные на линии фазового равновесия; информацию о С. На основе [25]-[29] рассчитаны значения С,.,!, представленные в табл. 2-4, и другие параметры (14): и0 = 6,699116597183179; Д = 0,72584109435301; Д2 = 0,96748869710277; Д = 0,0067565178500781.
Уравнение состояния (17) описывает термические данные [25]-[28] с точностью, соответствующей опытной неопределенности этих данных на линии насыщения (рис. 1, 2), области низких температур (рис. 3), окрестности критической точки (рис. 4), области высоких температур и давлений (рис. 5). Данные о изохорной теплоемкости [29], уравнение (18) описывает в пределах экспериментальной неопределенности этих данных (рис. 6). На основе выражений (17) и (18) мы численно, в пакете MathCad 15, рассчитали значения изобарной теплоемкости. Затем сравнили полученные результаты с опытными
d
u =
Таблица 4
Коэффициенты С,5 и C,6 фундаментального уравнения состояния (14)
Table 4
Coefficients Ci5 and Ci6 of the fundamental equation of state (14)
С J
< J 5 6
0 -17,162775316795 1,1561550393097
1 18,67800786479 -4,9065610741485
2 37,961274042824 -0,058984044390502
3 -46,524125116135 4,0628733050369
4 -22,577752527572 -1,2451439309)161
5 34,850823915881 0
6 2,19787090318219 0
7 -8,1074111446242 0
8 -0,44201590109611 0
9 0,87415789500685 0
Sp", % 3
2.5
2
1.5
1
0.5 0
-0.5 -1
01 □ 2 Д 3 ° 4 J
□
□ □
□ □ п п
□
И №||||пм [ lyywgb)-
^ташш □ □ [
й
200 225 250 275
300
T, K
Рис. 1.Зависимоста от температуры отклонений Sp = (1 - р- / рее 100 % , где р- — плотностъ на паровой ветви линии насъщуния, рассчитанная по уравнению (17), р- — опытные данные: 1—[Л5],Л — [24], 3 — [Л6], 4 — (Л017) [15]
Fig. 1. Dependence on the temyeratu re of the deviations Sp = (1 - p- / p-) 100%%, where p- — satunated vapor ¡density calculated accordi5g to the equation (17), p- — the experimental data: 1 — [25], 2 — [24], 3 — [2(], 4 — (2017) [15]
Sp+, % 0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
200 225 250 275 300 T, K
01 D2 Д3 □ 4 д
Л
д
Ê
□
8p,% 0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
□
%
Вас?3 X*3. * i I Ш щ. й в е 0 ÈS
01 □ 2 Д3 04
25
50
75
100
p, бар
0
Рис. 2. Зависимость от температуры отклонений 5р = (1 -р+ / р+ ) 100%, где р- — плотность на жидкостной ветви линии насыщения, рассчитанная по уравнению (17), р+ — опытные данные: 1 — [25], 2 — [24], 3 — [26], 4 — [15]
Рис. 3. Отклонения 5р = (1 - рг / ре ) ■ 100% плотности в однофазной области, где значения рг рассчитаны по уравнению (17), ре — опытные данные [27]на изотермах: 1 — 240 К, 2 — 250 К,3 — 26Р К, 4 — 270, 5 — 280 К 6—290К
Fig. 2. Dependence on the temperature of the deviations 5p = (1 - p+ / p+) ■ 100%, where p- — saturated liquid density calculated according to the equation (17), p+ — the experimental data: 1 — [25], 2 — [24], 3 — [26], 4 — [15]
Fig. 3. Density deviations 5p = (1 - pr / pj ■ 1 00% in a single-phase
area, where the values of pr are calculated according to the equation (17), pe — the experimental data [27] on isotherms: 1 — 240 K 2 — 250 K 3 — 260 K 4 — 270, d — 280 K, 6 — 290 K
данными [30] и значениями СР, рассчитанными по ФУС [15] и [23]. При этом, как и авторы работ [15] и [23], мы скорректировали данные [30] по давлению на Ар = 0,17 бар. Мы описали положение максимумов ср(Т) изобарной теплоемкости [30] с помощью степенной функции, которая в соответствии с требованиями МТ [21], была задана в виде выражения:
С™(Т) = А\ тР + В, (20)
где А и В — постоянные коэффициенты.
В результате обработки экспериментальных данных [30] и расчетных значений С™, полученных на основе [15], [23] и (14), мы получили следующие показатели степени ц в (20): ц = 1 <У [233 ц = 0<<у [15]; ц = 1.24 = у (14). Таким образом, только значения С™(Т), рассчитанные
на основе УС (14), качественно верно, то есть в соответствии с МТ, ведут себя в широкой окрестности критической точки. Этим разработанное нами уравнение состояния (14) выгодно отличается от уравнений состояния, которые приведены в работах [15, 26].
Выводы
Предложенное в р аботе фундаментальное уравнение состояния (14) имеет следующие характеристики:
— в области р->0 и р -— 0 переходит в уравнение К лапейрона - Менде леева;
— в соответствии с треб ованиями масштабной теории передает особенности поведения равновесных свойств жидкости в асимптотической близости к критической точке;
Рис. 4. Отклонения Sp = (1 - pr / ре )■ ЮОУоплотности в однофазной области, где значения pr рассчитаны по уравнению (17), pe — опытные данныз [27] на изотермах: 1 — 318,663 К, 2 — 318,713 К, U — 318,7UU К, 4 — 318,733, 5 — 318,788 К, 7— 318,938 К
Fig. 4. Density deviations Sp = (1 - pr / pj 100% )а a single-phase area, where the values o[ pr are calculated according to the equation (17), pe — the experimental data [276 on isotherms: 1 —318.663 K, 2 — 318.713 K,3 — 318.733 163,4 — 318.733, 3 — 318.788 Kb, 6— P18.938 К
SCV, %
1[ [
-1[
-2[
-30
о
' о о • > о > о о < , О
318 32[ 322 323 326 328 33[ TDK
Рис. 6. Отклонения SCr = (1 - Cr / Cy}) ■ 100% в однофазной области, где знач ения C(, рассчитаныто уравнению (18й), Cf — опытные данныге [29]на изохоре р = 741.83 кг/м3
Fig. 6. Deviations SCV = (1 - CVV / Cy}) 100% in a single-phase area, where the values of C' are calculated according to the equation (18), C(Ve) — the experimental data [29] on isochors p = 743.83 кг/м3
Рис. 3. Отклонения p = (1 - p,. /ры)100%плотности в однофазной области, где значения рн рассчитаныг по уравнению (17), pe — табличным данным [26] на изобарах: 1 — ИЗ баp, 2 — o33 бар, 31 — 233 бар, 4 — 330 бар., 3 — 7u3 бар, 6— я 033 бар
Fig. 3. Density deviations p = (1 - pr / pe) ■ 100% in a single-phase
area, where the values of pr are calculated according to the equation (17), pe — the tabulated values [26] on isobars: 1 — 133 bar, 2 — 233 bar, 3 — 233 bar, 4 — 333 bar, 3 — 733 bar, 6 —1333 bar
Метод апробирован на примере построения фундаментального уравнения состояния SF6. Показано, что это уравнение, во-первых, с малой неопределенностью передает равновесные свойства 8Р6 в области разряженного газа, плотной ж идко сти, низких и высоких температур, в окрестности кр итической точки. Во-вторых, уравнение (14) верно передает поведение максимумов Кр вблизи кр итической т очки.
Заключение
В рамках метода построения фундаментального уравнения состояния жидкости и газа, предложенного в данной работе, сингулярная составляющая уравнения рассчитывается на основе теории подобия. Это позволяет использовать предлагаемый метод при построении уравнений состояния веществ, малоизученных в окрестности критической точки.
Литература
1. Кудрявцева И. В., Рыков А. В., Рыков В. А., Рыков С. В. Единое неаналитическое уравнение состояния перфторпропа-на, удовлетворяющее масштабной теории критических явлений // Вестник Международной академии холода. 2[13. № 3. С. 22-26.
2. KudryivtseviI. V., Rykov V. A., Rykov S. V., UstyuzhininE. E. A new variant of a scaling hypothesis and a fundamental equation of state based on it // J. Phys.: Conf. Ser. 2[18. V. 936. P. [12118.
3. Рыков С. В., Кудрявцева И. В., Рыков В. А., Полторацкий М. И., Свердлов А. В. Уравнение состояния хладагента R32 // Холодильная техника. 2[16. № 11. С. 33-37.
3. Rykov V. A., Rykov S. V., Sverdlov A. V. Fundamental equation of state for R1233yf // J. Phys.: Conf. Ser. 2[19. V. 1385. P. [12[13.
5. Rykov S. V., Kudryivtsevi I. V., Rykov V. A., Ziitsev A. V. Methods for calculating equilibrium properties of pure substances,
References
1. Kudryavtseva I. V., Rykov A. V., Rykov V. A., Rykov S. V. Uniform not analytical equation of state R218, satisfying scale theories of critical phenomenas. Journal of International Academy of Refrigeration. 2013. No 3. P. 22-26. (in Russian)
2. Kudryavtseva I. V., Rykov V. A., Rykov S. V., Ustyuzhanin E. E. A new variant of a scaling hypothesis and a fundamental equation of state based on it. J. Phys.: Conf. Ser. 2018. V. 946. P. 012118.
3. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Rykov V. A., Poltoratskiy M. I., Sverdlov A. V. The equation of state of refrigerant R32. Kholod. Tekh. 2016. No 11. P. 34-37. (in Russian)
4. Rykov V. A., Rykov S. V., Sverdlov A. V. Fundamental equation of state for R1234yf. J. Phys.: Conf. Ser. 2019. V. 1385. P. 012013.
5. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Rykov V. A., Zaitsev A. V. Methods for calculating equilibrium properties of pure substances, considering the critical point features. J. Phys.: Conf. Ser. 2018. V. 1128. P. 012106.
considering the critical point features // J. Phys.: Conf. Ser. 2018. V. 1128. P. 012106.
6. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Rykov V. A., Ustyuzhanin E. E. Scaling Migdal model and a nonparametric equation of state for argon // J. Phys.: Conf. Ser. 2019. V. 1147. P. 012018.
7. Benedek G. B. Polarisation, matiere et rayonnement. Presses Universitaires de France, Paris. 1969, p. 49.
8. Рыков С. В., Кудрявцева И. В., Рыков В. А. Физическое обоснование метода псевдокритических точек // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. № 2. С. 44-47.
9. Рыков В. А. Определение «псевдоспинодальной» кривой на основе термодинамических равенств (dT/dS )v = 0 и (dV/dy)T = 0 // ЖФХ. 1985. Т. 59. № 11. С. 12905-2906.
10. Rykov V. A., Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Sverdlov A. V. Method of constructing a fundamental equation of state based on a scaling hypothesis // J. Phys.: Conf. Ser. 2017. V. 891. P. 012334.
11. Kudryavtseva I. V., Rykov S. V. A Nonparametric scaling equation of state, developed on the basis of the Migdal's phenomenological theory and Benedek's hypothesis // Russian journal of physical chemistry A. 2016. V. 90. No 7. P. 1493-1495.
12. Bezverkhii P. P., Martynets V. G., Matizen E. V. A nonparametric scaled equation of state for 4He in the critical region // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2007. V. 105. No 1. P. 142-144.
13. Bezverkhii P. P., Martynets V. G., Matizen E. V. A nonparametric scaling equation of state for liquids // Russian Journal of Physical Chemistry A. 2007. V. 81. No 6. P. 847-853.
14. Рыков С. В., Кудрявцева И. В., Рыков В. А., Свердлов А. В. Непараметрическое уравнение состояния, разработанное на основе феноменологической теории критической точки с использованием теории подобия // Вестник Международной академии холода. 2020. № 2. С. 79-85.
15. Безверхий П. П., Мартынец В. Г., Каплун А. Б., Мешал-кин А. Б. Расчет термодинамических свойств SF6, включая критическую область. Тепловые функции и скорость звука // ТВТ. 2017. Т. 55. № 5. С. 716-724.
16. Безверхий П. П., Мартынец В. Г., Каплун А. Б., Мешал-кин А. Б. Расчет термодинамических свойств SF6, включая критическую область. Комбинированное термическое уравнение состояния с малым числом параметров // ТВТ. 2017. Т. 55. № 5. С. 706-715.
17. Bezverkhii P. P., Martynets V. G., Kaplun A. B., Meshalkin A. B. The thermodynamic properties of CO2 up to 200 MPa including the critical region, calculated by a new combined equation of state with few parameters // International Journal of Thermophysics. 2020. V. 41. P. 2-20.
18. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Rykov V. A. Method for constructing fundamental equation of state that satisfies the scaling theory and applicable for substances insufficiently explored in the critical point vicinity // J. Phys.: Conf. Ser. 2019. V. 1385. P. 012014.
19. Рыков С. В., Кудрявцева И. В., Свердлов А. В., Рыков В. А. Особенности построения фундаментальных уравнений состояния удовлетворяющих требованиям масштабной гипотезы // Семинар вузов по теплофизике и энергетике: материалы Всероссийской научной конференции с международным участием (СПб, 21-23 октября 2019 г.) 2019. С. 340-341.
20. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука. 1976. 296 с.
21. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир. 1980. 298 с.
22. Scalabrin G., BettioL., MarchiP., StringariP. A Fundamental Equation of State for Sulfur Hexafluoride (SF6) in Extended
6. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Rykov V. A., Ustyuzhanin E. E. Scaling Migdal model and a nonparametric equation of state for argon. J. Phys.: Conf. Ser. 2019. V. 1147. P. 012018.
7. Benedek G. B. Polarisation, matiere et rayonnement. Presses Universitaires de France, Paris. 1969, p. 49.
8. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Rykov V. A. Physical justification of the pseudo-critical point method. Scientific and Technical Bulletin of Povolzhie. 2016. No 2. P. 44-47. (in Russian)
9. Rykov V. A. The definition of a «pseudospinodal» curve on the basis of thermodynamic equalities (dT/dS)v = 0 and (ЭV/dp)T = 0. Russ. J. Phys. Chem. A. 1985. V. 59. No 11. P. 2905-2906. (in Russian)
10. Rykov V. A., Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Sverdlov A. V. Method of constructing a fundamental equation of state based on a scaling hypothesis. J. Phys.: Conf. Ser. 2017. V. 891. P. 012334.
11. Kudryavtseva I. V., Rykov S. V. A Nonparametric scaling equation of state, developed on the basis of the Migdal's phenomenological theory and Benedek's hypothesis. Russian journal of physical chemistry A. 2016. V. 90. No 7. P. 1493-1495.
12. Bezverkhii P. P., Martynets V. G., Matizen E. V. A nonparametric scaled equation of state for 4He in the critical region. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2007. V. 105. No 1. P. 142-144.
13. Bezverkhii P. P., Martynets V. G., Matizen E. V. A nonparametric scaling equation of state for liquids. Russian Journal of Physical Chemistry A. 2007. V. 81. No 6. P. 847-853.
14. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Rykov V. A., Sverdlov A. V. Nonparametric equation of state developed on the basis of the phenomenological theory of a critical point using similarity theory. Journal of International Academy of Refrigeration. 2020. No 1. P. 79-85. (in Russian)
15. Bezverkhii P. P., Martynets V. G., Kaplun A. B., Meshalkin A. B. Calculation of thermodynamic properties of SF6 including the critical region. Thermal functions and speed of sound. High Temperature. 2017. V. 55. No 5. P. 702-710. (in Russian)
16. Bezverkhii P. P., Martynets V. G., Kaplun A. B., Meshalkin A. B. Calculation of thermodynamic properties of SF6 including the critical region. Combined thermal equation of state with a small number of parameters. High Temperature. 2017. V. 55. No 5. P. 693-701. (in Russian)
17. Bezverkhii P. P., Martynets V. G., Kaplun A. B. Meshalkin A. B. Thermodynamic properties of CO2 at up to 200 MPa, including the critical region, calculated by the equation of state with small number of constants. J. Phys.: Conf. Ser. 2018. V. 1105. P. 012156.
18. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Rykov V. A. Method for constructing fundamental equation of state that satisfies the scaling theory and applicable for substances insufficiently explored in the critical point vicinity. J. Phys.: Conf. Ser. 2019. V. 1385. P. 012014.
19. Rykov S. V., Kudryavtseva I. V., Sverdlov A. V., Rykov V. A. Особенности построения фундаментальных уравнений состояния удовлетворяющих требованиям масштабной гипотезы. Scientific Conference «Thermophysics and Power Engineering in Academic Centers» TPEAC-2019. 2019. P. 340-341. (in Russian)
20. Landau L. D., Lifshitz E. M. 1980. Statistical Physics. Part 1 (Course of Theoretical Physics vol 5) (Oxford: Pergamon).
21. Ma Sh. 2018. Modern Theory of Critical Phenomena (New York, NY: Roudedge).
22. Scalabrin G., Bettio L., Marchi P., Stringari P. A Fundamental Equation of State for Sulfur Hexafluoride (SF6) in Extended Equa-
Equation of State Format // J. of Phys. and Chem. Ref. Data. 2[[7. V. 36. P. 617-662. 23. Guder C., Wagner W. A Reference Equation of State for the Thermodynamic Properties of Sulfur Hexafluoride (SF6) for Temperatures from the Melting Line to 625 K and Pressures up to 15[ MPa // J. Phys. Chem. Ref. Data. 2[[9. V. 38. P. 33-93. 23. Лысенков В. Ф., Рыков В. А. Связь параметров линейной модели решеточного газа и уравнения состояния реальной жидкости // ТВТ, 1991, Т. 29, № 6. С. 1236-1238.
25. Funke M., Kleinrihm R., Wagner W. Measurement and correlation of the (p, r, T) relation of Sulfur Hexafluoride (SF6). II. Saturated-liquid and Saturated-vapour densities and vapour pressures along coexistence curve // J. Chem. Thermodynamics. 2[[1. V. 33. P. 735-753.
26. Funke M., Kleinrahm R., Wagner W. Measurement and correlation of the (p, r, T) relation of sulphur hexafluoride (SF6). I. The homogeneous gas and liquid region in the temperature range from 225 K to 33[ K at pressures up to 12 MPa // J. Chem. Thermodynamics. 2[[2. V. 33. P. 717-733.
27. Blance W., Hausler H., Weiss R. Isochoric pvT Measurements of SF6 in the Density Range 1[[ to 12[[ kgm -3 // International Journal of Thermophysics. 1988. V. 9. P. 791-8[2.
28. CliusP., Kleinrphm R., Wagner W. Measurements of the (p, p, T) relation of ethylene, ethane, and sulphur hexafluoride in the temperature range from 235 K to 52[ K at pressures up to 3[ MPa using an accurate single-sinker densimeter // J. Chem. Thermodyn. 2[[3. V. 35. P. 159-175.
29. BeckL., Ernst G., Gurtner J. Isochoric heat capacity of carbon dioxide and sulfur hexafluoride in critical region // J. Chem. Thermodyn. 2[[2. V. 33. P. 277-292.
3[. Сирота А. М., Хромых Ю. А., Гольдштейн И. И. Экспериментальное исследование изобарной теплоемкости шестиф-тористой серы // Теплоэнергетика. 1979. Т. 12. С. 62-67.
Сведения об авторах
Рыков Сергей Владимирович
К. т. н., доцент факультета низкотемпературной энергетики Университета ИТМО, 191[[2, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9, togg1@yandex.ru
Свердлов Александр Викторович
Аспирант факультета низкотемпературной энергетики Университета ИТМО, 191[[2, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9, togg1@yandex.ru
Рыков Владимир Алексеевич
Д. т. н., профессор, доцент факультета низкотемпературной энергетики Университета ИТМО, 191[[2, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9, togg1@yandex.ru
Кудрявцева Ирина Владимировна
К. т. н., доцент факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО, 1971[1, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 39, togg1@yandex.ru
Устюжанин Евгений Евгеньевич
К. т. н., доцент, доцент факультета инженерной теплофизики Национального исследовательского университета «Московский энергетический институт», 111250, Москва, Красноказарменная улица, 13
tion of State Format. J. of Phys. and Chem. Ref. Data. 2007. V. 36. P. 617-662.
23. Guder C., Wagner W. A Reference Equation of State for the Thermodynamic Properties of Sulfur Hexafluoride (SF6) for Temperatures from the Melting Line to 625 K and Pressures up to 150 MPa. J. Phys. Chem. Ref. Data. 2009. V. 38. P. 33-94.
24. Lysenkov V. F., Rykov V. A. Relationship between the parameters of the linear lattice gas model and the equation of state of a real fluid. High Temperature. 1991, V. 29. P. 1236-1238. (in Russian)
25. Funke M., Kleinrahm R., Wagner W. Measurement and correlation of the (p, r, T) relation of Sulfur Hexafluoride (SF6). II. Saturated-liquid and Saturated-vapour densities and vapour pressures along coexistence curve. J. Chem. Thermodynamics. 2001. V 34. P. 735-754.
26. Funke M., Kleinrahm R., Wagner W. Measurement and correlation of the (p, r, T) relation of sulphur hexafluoride (SF6). I. The homogeneous gas and liquid region in the temperature range from 225 K to 340 K at pressures up to 12 MPa. J. Chem. Thermodynamics. 2002. V. 34. P. 717-734.
27. Blance W., Hausler H., Weiss R. Isochoric pvT Measurements of SF6 in the Density Range 100 to 1200 kg m-3. International Journal ofThermophysics. 1988. V. 9. P. 791-802.
28. Claus P., Kleinrahm R., Wagner W. Measurements of the (p, p, T) relation of ethylene, ethane, and sulphur hexafluoride in the temperature range from 235 K to 520 K at pressures up to 30 MPa using an accurate single-sinker densimeter. J. Chem. Thermodyn. 2003. V. 35. P. 159-175.
29. Beck L., Ernst G., Gurtner J. Isochoric heat capacity of carbon dioxide and sulfur hexafluoride in critical region. J. Chem. Thermodyn. 2002. V. 34. P. 277-292.
30. Sirota A. M., Khromykh Yu. A., Gol'dshtein I. I. An experimental study of the isobaric heat capacity of sulfur hexafluoride. Therm. Eng. 1979. V. 26. P. 733. (in Russian)
Information about authors
Rykov Sergey V.
Ph. D., Associate Professor of Faculty of Cryogenic Engineering of ITMO University, 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9, togg1@yandex.ru
Sverdlov Aleksandr V.
Graduate student of Faculty of Cryogenic Engineering of ITMO University, 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9, togg1@yandex.ru
Rykov Vladimir A.
D. Sc., Professor, Associate Professor of Faculty of Cryogenic Engineering of ITMO University, 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9, togg1@yandex.ru
Kudryavtseva Irina V.
Ph. D., Associate Professor of department of Faculty of Control Systems and Robotics of ITMO University, 49 Kronverksky Pr., St. Petersburg, 197101 Russia, togg1@yandex.ru
Ustyuzhanin Evgeniy E.
Ph. D., Associate Professor of the Faculty of Engineering Thermophysics National Research University «Moscow Power Engineering Institute», 14 Krasnokazarmennaya str., Moscow, 111250, Russia
