CC BY
11
The theorem is proven completely. Comment. If in (*) the game is considered finished when the average
value
1 г1=го Л=Jo +M
zt,jЛо ^1 ^hJo ^ J^ Ji:z = v~ Z Z zuJ,1 ^*o>^m1 < Jo>Ji 1
Jo
satisfies the condition 8 < z <8 + s. Then a corresponding change can easily generalize Theorems 1-3.
Bibliography
[1] Godunov S.K., Ryabenky V.S. Difference schemes. - M .: Science, 1977, 440 p.
[2] Samara A.A., Nikolaev E.S. Methods for solving grid equations. - M .: Science, 1978, 570 p.
[3] Pashkovsky S. Computational applications of polynomials and Chebyshev series. - M .: Science, 1983, 487 p.
[4] Isaacs R. Differential games .- M .: Mir, 1967, 500 p.
[5] Azamov A.A. Foundations of the theory of discrete games. - Tashkent .: Niso Poligraf, 2011, 160 p.
[6] Dzyubenko G.Ts., Pshenichny B.N. Discrete differential games with information lag // Cybernetics, 1972, №6, p.65-71.
[7] Mamatov M.Sh. On the theory of differential games of pursuit in systems with distributed parameters // Automation and Computer Sciences, 2009, № 1, p. 514.
[8] Mamatov M.Sh. On the application of the finite difference method to solving the problem of pursuit in systems with distributed parameters // Automation and Remote Control, 2009, № 8, p.123-132.
[9] Mamatov M.Sh., Alimov Kh.N. On solving the problem of pursuit in high-order controlled distributed systems // Mathematical works, 2013, v.16, №2, p.1-16.
[10] Mamatov M.Sh., Tukhtasinov M. About the pursuit problem in distributed controlled systems // Cybernetics and Systems Analysis, 2009, V. 45, No. 2, p. 153-158.
[11] Chikriy A.A. On linear discrete quality games // Cybernetics. - Kiev. 1971. - № 5. - C. 90-99.
[12] Chikriy A.A., Chikriy G.Ts. On awareness in discrete game problems // Cybernetics, 1979, № 5, p. 126-128.
[13] Fazylov A.Z. The existence of the nucleus of a convex set in linear discrete control systems // Mathematical Notes, 1995, vol.58, №1, p.119-126.
[14] Satimov N. Yu. On two methods of pursuit in linear discrete games // DAN Uz SSR, 1979, No. 11, p. 3-4.
[15] Satimov N. Yu. The problem of runaway for one class of nonlinear discrete games // Techn. Cybern. Izv. Academy of Sciences of the USSR, 1973, v. 9, No. 6, p.45-48.
[16] Satimov N. Yu., Azamov A.A. Nonlinear discrete games of runaway // Cybernetics, 1976, №4, pp.79-74.
[17] Pontryagin L.S. Linear differential pursuit games // Mat. Collection, 1980, Vol. 112, No. 3, p. 307330.
DISCRETE PLAYING OF PERSECUTION WITH LEVEL OF BRIGHTNESS OF DIGITAL IMAGE DESCRIBED BY SECOND ORDER EQUATIONS_
Mamatov M.SH.
The work is devoted to the study of a class of discrete pursuit games with a digital image level, which is described by systems of second-order equations. Sufficient conditions are obtained for the possibility of completing the pursuit in discrete games with boundary conditions. When solving the problem of pursuit with the level of a digital image, Chebyshev polynomials of the second kind are used.
Keywords: pursuit, pursuer, evader, terminal set, pursuit control, evasion control
УДК 519.854.3_
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
ЧАСТИЧНО-ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ_
Мамедов Князь Шираслан1, Мамедли Нигяр Октай2
1 Доктор физико-математических наук профессор Бакинского Государственного Университета и 1 Завлаб. Института Системных Управлений,
2Докторант Института Системных Управлений DOI: 10.31618^^2413-9335.2019.1.61.2
АННОТАЦИЯ.
В работе разработан новый подход для построения субоптимистического и субпессимиситического решений интервальной задачи частично-целочисленного программирования. Этот подход основан на понятии нелинейно-возрастающего штрафа. Исходя из этого, разработаны два метода для построения решений. Эти методы запрограммированы и проведён ряд вычислительных экспериментов. Проведённые эксперименты ещё раз подтверждали высокую эффективность разработанных методов.
ABSTRACT.
In this article, a new approach to construct subobtimistic and subpes-simistic solutions of an interval problem of mixed-integer programming is developed. This approach is based on a concept of nonlinearly increasing penalty. On this basis, two methods for constructing solutions are developed. The programs of methods were compiled, and a number of numerical experiments were carried out on problems of sufficiently large dimension. Conducted experiments confirmed high efficiency of proposed methods.
Ключевые слова: интервальная задача частично-целочисленного прог-раммирования, нелинейно-возрастающий штраф, допустимое, оптимистичес-кое, пессимистическое, субоптимистическое и субпессимистическое решения, вычислительные эксперименты, погрешности.
Keywords: an interval problem of mixed-integer programming, a nonlinearly-increasing penalty, an admissible solution, optimistic, pessimistic, suboptimistic and subpessimistic solutions, computational experiments, errors.
1.Введение. Рассмотрим следующую интервальную задачу частично-целочисленного программирования:
" _ NV _
X С, cj + X С, cj max (1)
j=1 j=n+l n _ N _ _ _
X[aij,av]xj + X [aj,aj]xj <,bi], {i = 1,m\ (2)
j=l j=n+1
0 < Xj < dj, (j = 1N), (3)
x., целые, (j = 1, n), (n < N). (4)
Здесь предполагается, что 0 < С,. < Cj ,0 < aii < at,-, 0 < bi < bi, d: > 0,
(' — 1, Ш; ] — 1, N) заданные целые числа.
Прежде всего отметим, что задача (1)-(4) является обобщением следующих задач: задач линейного программирования, интервальной задачи линейного программирования, задач Булевого программирования, интервальной задачи Булевого программирования, задачи частично-Булевого программирования, интервальной задачи частично-Булевого программирования, целочисленного программирования, интервальной задачи целочисленного программирования, задач о ранце, целочисленной задачи о ранце и интервальной целочисленной задачи о ранце. Необходимо заметить, что все перечисленные задачи, кроме задач линейного программирования входят в класс ОТ-полных. Поэтому задача (1)-(4) также входит в класс полных, т.е. трудно-решаемых. В работах [2,3,4,7] исследованы интервальные задачи целочисленного программирования. А задачи линейного программирования (нецелочисленного) рассмотрены в работах [5,6,10] и предложены специфические методы решения.
В данной работе мы рассматривали более общую задачу (1)-(4), с целью разработки методов построения приближённого решения. Для этого будем использовать понятие нелинейно-возрастающего штрафа, введенное ниже.
2. Постановка задачи. Отметим, что рассмотренная модель (1)-(4) встречается во многих областях экономики. В частности, если в некоторой области производства выпускаются N видов товар, из них П видов (П < N) штучные товары, то может иметь место модель (1)-(4).
Допустим, что в некоторой области производства для выпуска N видов товар выделен Ш видов
ресурсов, объем которого входит в интервал [Ь, Ь ], (I — 1, Ш). При этом расходы для производства каждой единицы ] — ого товара даёт прибыль, входящий в интервал [С», С] ], (/ — 1, N). При этом требуется расходы из общего объёма, входящий в интервал
[а», ау ], (' — 1, ш; ] — 1, N). В такой
постановке, очевидно, что необходимо найти такой объём произведённых штучных и нештучных товаров, для которых общая прибыль была максимальной, а суммарные расходы не превышали заданных ресурсов
[Ь', Ь' ], (' — 1, ш). Очевидно, что принимая неизвестные Х., (/ — 1, N) удовлетворяющие условиям (3), (4), получается задача (1)-(4).
3. Теоретическое обоснование метода. Для разработки метода приближённого решения задачи (1)-(4), необходимо вести следующие определения, которые являются более общей, чем введенные в работах в [8,9]. При этом использованы принципы интервальных исчислений.
Определение 1. Вектор X — (х1,...,Х^) называется допустимым решением задачи (1)-(4), если
для Уа.. е [а», а у ], УЬ. е [Ьг, Ьг ], (' — 1, ш; ] — 1, N) выполняется условия (2)-(4).
Определение 2. Оптимистическим решением задачи (1)-(4) называем такое допустимое решение
Хор — (Хор ,Х^,...,ХрР), если для УЬ1 е [Ь',Ьг], ( ' — 1,ш) удовлетворяется система N __N _
^ ауХ0 < Ь , (' — 1, ш) и для этого решение функции fop — ^^ СуХ0^ принимает максимальное ]—1 у—1
значение.
Определение 3. Пессимистическим решением задачи (1)-(4) называем такое допустимое решение
Хр — (Хр ,Хр,...,Х^Р), если для УЬ' е [Ь',Ьг], (г — 1ш)удовлетворяется система N _ __N
^ ауХр < Ь-, (' — 1, ш) и для этого решение функции fp — ^^СрХр принимает максимальное
у—1 у=1
значение.
Определение 4. Субоптимистическим (приближённым) решением задачи (1)-(4) называем такое допустимое решение X50 — (Х0 , Х* ,..., Х]0 ), если дЛЯ УЬ' е[Ь', Ьг ] — 1, ш) удовлетворяется
N __N _
система ^^ауХ< Ь., (г — 1, ш) и для этого решение функции fso — ^^ СуХ*0 принимает боль-
у—1 у—1
шое значение.
Определение 5. Субпессимистическим (приближённым) решением задачи (1)-(4) называем такое допустимое решение Хяр — (Х*р,Х"р,...,Х*р), если для УЬг е[Ьг,Ьг], (' — 1,ш)удовлетворяется
N
N ____N
aijX v
система ^^ауХ^ < Ь-, (' — 1, ш) и для этого решение функции fsp — ^^ СjXsp принимает боль-
у—1 у=1
шое значение.
Фиксируем некоторые b. £ [bt, bi ], (i = 1, m) и после этого обе части неравенства (2) разделим
на bf £ [bi, bi ], (i = 1, m) . В результате получаем следующую эквивалентную задачу:
" _ NV _
X С, ^ ]Xj + X С, С / ]Xj j max (5)
j=l j=n+1 n _ N _ _
X[^ij, aij ]Xj + X [^ j, aij ]Xj < 1, (i = 1, m), (6)
j=1 j=n+1
0 < Xj < dj, j = 1, N), (7)
Xj, целые, (j = 1, n), (n < N). (8)
Здесь ау- — агу / Ь, «у — ау / Ь', 0 <ау <1, 0 < а у < 1, ( г — 1, ш), у — 1, N). Поскольку задача (5)-(8) входит в класс ОТ-полных, нахождение оптимистического и пессимистического решений будет требовать нереальное время. Поэтому мы разработали алгоритм построения субоптимистического и субоптимистического (приближённого) решения этих задач.
32_Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) #4 (61), 2019
В начале построения субоптимистического решения принимается
Х™ = (х{°, X™,..., X™ ) = (0,0,..., 0). Далее для различного / последовательно принимается положительное значение х,°. Нахождение номера / определяется ниже:
Определение6. Число £ = 1 / (1 _ Г), ( = 1,т) назовём штрафом за использование оставшихся правых частей системы (3.2) для принятия очередного положительного значения , (/ = 1,Ж), где
,(i = 1,m), m — {j, xj >0}
Г;
]£(
Из этого определения непосредственно видно, что увеличением использованных ресурсов (Х_у,
(г = 1, т), (/ = 1, Ж), т.е. увеличением гг, (г = 1, т), значение штрафа £ , (г = 1, т) возрастает
нелинейно, т.е. быстрее, чем по линейному закону. Уместно, заметить, что в работе [8] такой тип штрафа принят для интервальной задачи целочисленного программирования. А в данной работе эти понятия расширены для интервальной задачи частично-целочисленного программирования. Из определения штрафа
, (г = 1, т) видно, что принятия такого типа штрафа обеспечивает меньшее использование оставшихся правых частей.
Отметим, что с целью усиления штрафа за меньшее использование меньших ресурсов можно принимать £г = 1/ (1 — , (г = 1, т), где к - фиксированное, натуральное число. При вычислительных
экспериментах выяснилось, что лучшее решения получается при к = 1 или к = 2 .
Учитывая вышеуказанные, общий штраф для принятия положительного значения
, (/ £ I ^ Я) составляет
N
Ч =У,(1]1г, (/ = (9)
где I = {1,2,...,П} и Я = {п + 1,п + 2,...,Ж} .
Тогда прибыль за каждую единицу штрафа составляет С/ / Ч , (/ £ I ^ Я). Очевидно, что необходимо принимать положительные значения для такой X. , который соответствует максимальному зна-
чению Cj / q , (j — 1, N). Таким образом, получаем следующий критерий выбора номера j:
j — arg max{cj / q } (10)
jeI uR —j
Отметим, что построение субпессимистического решения проводится аналогично построению субо-
_ N _ _
птимистического решения. При этом вместо формулы (9) и (10) принимается q . — ^ Xj • tj,
j—1
(j — 1,N), и j* — argmax{cj/qj}, где tj —1/(1 -r),(i — 1,m), n —Yajxs. ,
jeI uR j j
jem
sp
( г = 1, т), О = {/, X? > 0}. В начале пос-троения субпессимистического решения принимается
X^ = (х^?, X^,..., Х^ ) = = (0,0,..., 0) Используя критерий (10), для построения приближённого (субоптимистического) решения нами разработаны два подхода:
I подход. Вначале принимаем Xт = (Xso, X™,..., X™ ) = (0,0,..., 0). Тогда по определению 6,
О = 0 и г = 0, ( г = 1, т). Следовательно, £г = 1, ( г = 1, т). Тогда,
N
1 —ХаЛг, (у е I ^ К).
у—1
Таким образом, по критерию (10) можно определить конкретный номер]'„. Очевидно, что необходимо учитывать 2 случая: у е I или у е К.
Случай 1. Пусть Д е I. Тогда Х* должен принимать только целые значения следующим образом:
1 — г^
х^ :— Ш1П
й. ,ш1п
у
а
у
где [z] означает целую часть числа z. Далее принимается,
со:— со^>{у*}, I:— I\{у*},
^— г +Хаух;,(г —1, Ш).
уес
Если хотя бы для одного I удовлетворяется Гг — 1, то процесс построения решения завершается.
Иначе находим £ = 1/(1 — Гг), (' — 1, ш), и по формуле (9) вычисляем очередной Ц ,(у е I ^ К). После этого по критерию (10) находится текущий номер у.
—3
Случай 2. Пусть номер у, найденный по критерию (10) входит во множество К , т.е. у* е К. Тогда неизвестный X*0 будет принимать любое значение из интервала [0, йу ], (не только целые). При
этом значение Х определяется учитывая следующие условия:
х*0 :— ш1п
й. ,ш1п
— г.л
а„
V —у* У
Если й < ш1п ^ 1
— г,л
V а у
то принимаем X^ — ,
СО:—Ш^> {у}, К :— К \{у*}. Далее, находим Г1 — Г ^"ХО-уХ*0, (' — 1, ш). Необходи-мо от-
уес
метить, что если хотя бы для одного г, (г — 1, ш), гг — 1, то процесс постро-ения решения завершается. А в случае г < 1, С — 1, ш) вычисляем £ = 1/(1 — Гг ), ( — 1, ш) и по формуле (9) находя текущие новые значения Ц , (у — 1, N) и про-цесс построения решения продолжается.
В случае й, > ш1п
у
^ 1
'1 — Г.Л
V « У
, принимаем X :— ш1п
1 — г,
V У
1—г
V ач* у
Очевидно, что
неравенство с номером Д из системы (6) будет выполняться как равенство. Поэтому процесс построения решений завершается.
II подход. Если у* е I, то построение субоптимистического решения выполняется согласно 1 -ому случаю первого подхода а в случае у* е К,, т.е. когда неизвестный X*0 может принимать любые значе-
ния из интервала [0, й у ], значение X*0 определяем учитывая следующие условия: если
й < ш1П
у*
V а у
то принимаем Х™ — й , СО '.— С ^ {у* }, К :— К \ {у* }. Если хотя бы для
одного i, (i — 1, m) выполняется условие d > min
Li
V ( У
то фиксируем все найденные значе-
ния X™, принимаем XS° = 0, для / £ I подставим в ограничению (6), а для остальных X™, (/ £ Я)
строим задачу линейного программирования и решаем каким-то известным методом. Ясно, что размерность полученной задачи будет существенно меньшей. Эти обстоятельства еще раз подтверждены при вычислительных экспериментах.
Результаты вычислительных экспериментов обоих методов представлены ниже. Для того, чтобы оценить погрешности, построенных вышеуказанными методами субоптимистического и субпессимистического значений целевой функции (1) от оптимистического и пессимистического значений, используем следующие формулы:
s1 fc <
so.sht
f - f1
J op J so
so.sht
f
S2 и <
so. sht
f - f2
J op J so.sht
op
f
op
f - f1
&1 ^ J p J sp
sp.sht
fp
sp.sht
f - f2
J p J sp.sht
sp.sht r-
fp
Здесь 8°^, означают относительные погрешности субоп-тимистического и
субпессимистического значений от оптимистического и пессимистического, соответственно для 1 -ого и 2-ого подхода,
/ , / - означают оптимальные значения целевой функции соответствующих задач линейного программирования, т.е. случай П = 0.
^ояЫ, fжsht, , /^рхкг - означают субоптимистические и субпессимис-тические значения це-
левой функции, полученные подходами 1 и 2 соответственно,
зЫ и к? - означают число оставшихся непрерывных переменных при применении вышеизложенного 2-ого подхода для оптимистической и песси-мистической задачи.
4. Результаты вычислительных экспериментов.
Для выявления качества разработанных методов составлены их программы и проведен ряд вычислительных экспериментов над задачами большой размерности. Коэффициенты решённых задач выбраны псевдослучайно двухзначными или трёхзначными числами удовлетворяющие следующим условиям:
I. 0<а, <99, 1 <ау <99, 1 <cf <99, 1 <cj <99, (j — 1,N).
j
II. 0<аj <999,1 <aj <999,1 <c- <999,1 <cj <999, j — 1,N).
1 N
1X aj • dj
j—1
1 N -
- x a j • dj
3 j—1
Кроме того, принято = 10, (/ = 1, N). Результаты проведённых экспериментов представлены в следующих таблицах, где для каждой размерности решены 5 различных задач.
Таблица 1. Результаты решённых задач с двухзначными коэффициентами (Ж = 500; п = 300; т = 10).
№ 1 2 3 4 5
f J op 229490.527 227378.366 223084.763 224916.745 219829.074
f1 J so.sht 228690.000 226478.417 222197.000 224412.500 218485.882
f2 so. sht 228690.000 226684.546 222197.000 224856.750 218546.732
s1 ht so.sht 0.003 0.0039 0.004 0.002 0.006
s2 ht so. sht 0.003 0.003 0.004 0.0002 0.0058
кзо.зЫ 107 96 92 101 100
1р 140399.242 141841.900 139481.812 137560.440 135850.227
11 •у зр.зЫ 139740.971 141429.000 138863.509 137004.407 134805.818
12 зр.зЫ 139845.315 141429.000 138863.509 137446.536 134915.512
д1 ы зр.зт 0.005 0.003 0.004 0.004 0.008
д ы зр.зт 0.004 0.003 0.004 0.000 0.007
к кзр.зЫ 142 137 128 135 135
Таблица 2. Результаты решённых задач с двухзначными коэффициентами
(Ы = 1000; п = 600; т = 10).
№ 1 2 3 4 5
1 ^ ор 459128.212 452971.002 444381.328 450934.920 444367.018
11 ^ зо.зЫ 458288.833 451789.182 443960.361 449902.471 443973.462
12 J зо.зЫ 458876.350 451865.322 444010.211 450720.012 444120.010
д1 ы зо.зт 0.002 0.003 0.001 0.002 0.001
д2 , зо.зт 0.0005 0.002 0.000 0.0004 0.0005
^зо.зЫ 182 210 192 197 204
7р 278280.833 281824.033 280697.887 278230.307 274328.993
11 зр.зЫ 277755.804 281184.000 280082.765 277519.011 273675.906
12 зр.зЫ 277982.847 281184.000 280420.356 277954.033 273869.462
д1 ы зр.зт 0.002 0.002 0.002 0.003 0.002
д1рЛГ12 0.001 0.002 0.001 0.001 0.001
к кзр.зЫ 263 268 259 276 274
Таблица 3. Результаты решённых задач с трёхзначными коэффициентами
(Ы = 500; п = 300; т = 10).
№ 1 2 3 4 5
1 ор 2078143.461 2048008.113 2011136.079 2036905.014 1996025.589
11 ^ зо.зЫ 2071170.116 2042500.567 2003756.014 2029205.019 1983177.514
12 ^ зо.зЫ 2076170.125 2046500.667 2010756.014 2034205.019 1993477.124
д1 „ зо.зт 0.003 0.003 0.004 0.004 0.006
д2 , зо.зт 0.001 0.001 0.0001 0.001 0.001
кзо.зЫ 111 105 94 107 104
1р 1415717.044 1428348.507 1398445.814 1383115.720 1364663.837
11 зр.зЫ 1408712.542 1422700.145 1393925.005 1377361.488 1356291.397
12 зр.зЫ 1411712.042 1426700.845 1397934.009 1377961.378 1360091.005
д1 ы зр.зт 0.005 0.004 0.003 0.004 0.006
д2 , зр.зт 0.002 0.001 0.003 0.0037 0.003
к кзр.зЫ 140 134 130 132 136
Таблица 4. Результаты решённых задач с трёхзначными коэффициентами
(N = 1000; n = 600; m = 10).
№ 1 2 3 4 5
f J op 4167732.651 4072629.011 4005598.048 4103210.997 4027310.198
f1 J so.sht 4160053.202 4062713.080 3998026.463 4094951.490 4016642.963
f2 J so.sht 4166734.203 4069813.423 4001021.762 4100017.090 4019842.983
Я1 ы so.sht 0.002 0.002 0.002 0.002 0.003
S2 so.sht 0.002 0.002 0.002 0.002 0.003
kso.sht 194 222 204 213
lp 2807549.865 2842500.397 2828228.952 2805374.485 2770284.307
f1 J sp.sht 2798746.855 2833443.984 2820423.270 2795778.143 2765049.000
f2 J sp.sht 2801546.155 2838443.564 2825421.370 2798978.583 2765049.000
s1 ht sp.sht 0.003 0.003 0.003 0.003 0.002
s2 ht sp.sht 0.002 0.001 0.001 0.002 0.002
k ksp.sht 262 268 260 277 272
5. Выводы. Исходя из вышеуказанных таблиц, можно сделать следующие выводы: Разность субоптимистического и субпессимистического значений задачи (1) -(4), полученная методом в данной работе от оптимистического и пессимистического значений функционала задачи (1)-(4) не велика, а относительные погрешности субоптимистического и субпессимистического значений от оптимистического и пессимистического значений меняется в пределах 0.2-0.6 % и 0.1-0.8% соответственно. С другой стороны, второй подход в большинстве случаев даёт лучшие результаты, чем первый. Однако есть задачи, в которых оба подходы дают одинаковые результаты. Поэтому, учитывая, незначительное компьютерное время для решения конкретной задачи предлагаем применить оба подхода и выбрать из них наилучшее решение из них.
Список Литературы (References)
1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления:учебное пособие. Пер. с англ. М, « Мир »:1987.
2. Девятерикова М.В., Колоколов А.А. Алгоритмы перебора L-классов для задачи о рюкзаке с интервальными данными // Преринт. Омск: Ом ГУ. —2001 . — 20 с.
3. Девятерикова М.В., Колоколов А.А., Колосов А.П. Алгоритмы перебора L-классов для булевой задачи о рюкзаке с интервальными данными // Материалы III Всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономическое
приложение". — Омск: Изд-во Ом ГТУ, 2006. — C. 87.
4. Emelichev V.A., Podkopaev D.P., Quantitative stability analysis for vector problems of 0-1 programming // Discrete Optimitation. — 2010. — № 7 . —P.48-63.
5. Hladik M. On strong optimality of interval linear programming // Optim.Lett . —2017. —11(7).— P.1459-1468
6. Li W., Liu X., Li H., Generalized solutions to interval linear programs and related necessary and sufficient optimality conditions // Optim. Methods Softw . 2015.—30(3) . —P.516-530.
7. Libura M. Integer programming problems with inexact objective function // Control And Cybernetics.— 1980. — Vol. 9, № 4. — P.189-202.
8. Мамедов К.Ш., Мамедова А.Г. Понятия субоптимистического и субпессимистического решений и построение их в интервальной задаче Бу-левого программирования // Радиоэлектроника, Информатика, Управление. — 2016. — №3(38), C.99-107.
9. Mamedov K.Sh., Mammadli N.O. Two methods for construction of suboptimistic and subpessimis-tic solutions of the interval problem of mixed-Boolean programming // Radio Elektronics, Computer Science, Control. — 2018, №3(46). —P.57-67.
10. Mostafaee A., Hladik M., Cerny M. Inverse linear programming with interval coefficients // J.Com-put. Appl.Math. —2016. —292:591-608.
