МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ α, β СОПРЯЖЁННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ КОРРЕКЦИЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРУД Ирина Валерьевна, магистрант гр. ТПМ-141 факультета элитного образования и магистратуры. СЕРДЮК Ольга Евгеньевна, студентка гр. ТП-121

нефтехимического института.

СКИТЧЕНКО Виктория Викторовна, студентка гр. ТП-121 нефтехимического института. ВАСИЛЕВИЧ Ксения Витальевна, студентка гр. ТП-121 нефтехимического института. ЕПИФАНЦЕВА Кристина Александровна, студентка гр. ТП-131 нефтехимического института.

ФЕДОРЧУК Марина Федоровна, ведущий инженер научного издательства, магистрант гр. ТПМ-151. Адрес для переписки: sia1960@mail.ru

Статья поступила в редакцию 23.09.2015 г. © И. А. Сысуев, И. В. Пруд, О. Е. Сердюк,

В. В. Скитченко, К. В. Василевич, К. А. Епифанцева, М. Ф. Федорчук

УДК 621.311.001

Н. П. БАДАЛЯН А. А. МИТРОФАНОВ Е. А. ЧАЩИН Л. И. ШЕМАНАЕВА

Владимирский государственный университет им. А. Н. и Н. Г. Столетовых Ковровская государственная технологическая академия им. В. А. Дегтярева

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ а, р СОПРЯЖЁННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ КОРРЕКЦИЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА_

Предложен метод построения математических моделей а, в сопряженных ЭЭС при коррекции установившегося режима электроэнергетической системы сочетанием теоремы Телледжена и декомпозиции-диакоптики.

Ключевые слова: коррекция, теорема, система, узел, ветвь, схема, параметр, ток, напряжение.

В основе теории расчетов установившихся режимов для больших электроэнергетических систем (ЭЭС) лежат подходы, сформированные в конце 50-х —начале 60-х годов XX века, основанные на решении систем нелинейных уравнений итерационным методом [1 — 6]. В этом случае любое изменение начальных условий, вызывает необходимость повторного решения всей системы нелинейных алгебраических уравнений. Последнее связано с большими затратами машинного времени, т.к. каждая итерация изменения начальных условий рассматривается как самостоятельная задача анализа установившегося режима. Этот подход не всегда оправдан, особенно для случаев, когда требуется быстро определить отклик системы с распределенными параметрами, на небольшое возмущение, которое осуществляется, например, с целью коррекции установившегося режима ЭЭС. Один из путей снижения затрат машинного времени заключается в коррекции установившегося режима ЭЭС [7]. В этом случае на основании положений теоремы Телледжена [8, 9] рассматриваются, помимо заданной исходной ЭЭС, рассмотреть ещё две а и в со-

пряженные ЭЭС. В настоящей работе рассмотрен метод построения математических моделей а, в сопряженных ЭЭС при коррекции установившегося режима ЭЭС, сочетанием теоремы Телледжена и декомпозиции-диакоптики.

Рассмотрим расчет установившегося режима а сопряженной ЭЭС. Будем считать, что в исходной ЭЭС из-за изменения продольных комплексных сопротивлений действуют новые напряжения П1 и Пь и токи I , I ь в узлах и ветвях. Тогда, относительно а сопряженной системы имеем выражения в виде [10—11].

П, - „ П, . иI" = и"+-А I" = 0;

'1 I '1 '1 I .

и1 „ и1 и" += и? + ^1" = 0.

I ^ I ^

и?+ П-1? = и? + +-1" = 1. 1

(1)

(2)

ч

221

Перепишем уравнения (1) и (2) в следующем виде:

и

и " Г;

и А

иа =

1 N I

и? = - и Iг+1. 11

(3)

Принимаем, что

й.

ч ич, и1

ч1 Г ' ' ' '' ; ' I í

(4)

Тогда с учетом подстановки (4) выражения (3) примут вид:

и ¡"=-Z¡I?;

и -

-и-

(5)

и"

и "

и "

11 0 0 - ^

00

'К' -

I" 1+>0

X + 0+] +

I" 0 + >0 _

(6)

В результате получили два матричных уравнения (6) и (8) для определения неизвестных многомерных векторов и®,и®,...,и® и 1а, I",...,Iа . Предполагая, что исходная схема ЭЭС представляется в виде ра-диально связанных оптимальных подсистем [6], матричное уравнение (8) в развернутой форме можно представить в следующем виде:

и; = иБ +

и; = иБ + Z¡ , Г ищ = иБ + Z м +AZ1АI г

иЕ. = и + Z■ м -мт+ы . „ I

Б1М Б ¡Ымы NN У

(9)

где иБ

напряжение единственного базисного

узла для всей системы в целом; и

напряжение

Ш1

узла М1 первой подсистемы, к которому примыкает вторая подсистема; им — напряжение узла Мы М-ной подсистемы к которому примыкает последняя подсистема; Z ,.■■, Z ¡хМ„ — последние столб-

цы матриц Z■

,! . ; ЛZ ■ о,...,ЛZ . о — являются

~ /»г/»г 1 /1О1 ^ ^ /лгОлг

Как было показано нами ранее [11], узел с индексом 1 находится в первой подсистеме, поэтому выражения (5) удобно представить в матричном виде:

комплексными сопротивлениями вновь полученных узлов из-за разрезания; I у — многомерный вектор комплексных токов разрезанных линий и определяется по выражению:

ZЛЭПГ Щ.

(10)

С другой стороны, комплексное сопротивление Z¡s определяется по формуле:

"¿¡а ~ ^ ) ^ж Zж ).

(11)

где в первом верхнем блоке все элементы соответствующим индексу 11(1ФГ) равняются нулю и только элемент с индексом 1 равен 1+_/0.

Для а сопряженной ЭЭС было принято, что ее продольные элементы равняются соответствующим продольным элементам исходной ЭЭС, поэтому уравнения отдельных подсистем можно представить:

и" = г,, г

В выражении (10) Z 1в является диагональной матрицей, элементы которой являются комплексными сопротивлениями отключенных ЛЭП:

ЛЭП 0

0

^ 77

Ди, = ди, + ... +ди. .

(12)

(13)

(7)

и" = I I",

^ 1NJN ^

и Г 0 0 "

иГ 0 z .. ■2 ]2 0

- X

и Г 1ы 0 0 z . . 1 N^N _

IГ

(8)

Токи ЛI2N, ЛI3N,...,Ыя определяются с помощью следующих выражений:

где йа,---,йа являются искомыми многомерными комплексными напряжениями, I , Iа — искомыми многомерными комплексными токами, Z.....! . — являются квадратными матрицами

ч1]1 ' ' 1NJN

узловых комплексных сопротивлений подсистем 11, .., г'М. Отметим, что эти сопротивления составлены относительно единственного базисного узла, который был обозначен индексом "0". С учетом сделанных замечаний, систему уравнений (7) а сопряженной ЭЭС можно представить в следующем виде:

л 2N = £ I12 +1 4 +•+1 к

М2 М, Мм

лI 3N = Е 4 +14 + •+Е 4

(14)

Таким образом, относительно иа и ^ для 1=11, ..., имеем следующие системы уравнений:

\и,= + Z „I?

I ч1 Ы1 41 ч1

[и ?? =-z 111? + (1 + >0),

\и ? = + I ?

|и ? =-и?

(15)

(16)

и-

Z¡I?+1

z

2

z

z

0

0

Л! NN = 0

2 2

\и« = иш + 2, > I«

I 'ы Б1Ы 1ЮЫ 1Ы

}и" = -2.. Г

Представим (15), (16), ..., (17) в виде:

2 X + 2г1? =-)Бг + А,

' 1 1 1\]\ ' Б1 5

1,1? +=-иБ1 ,

Ч I 2 Ч л 1 2 Б 2 5

2, I ? + 2, , I ? = -иБ

(17)

(18)

(19)

(20)

ки Х13 К1з

+ ^22 Х 23 К23

К32 X 3 + X 33 - К3 + ^33

ч1

Устанавливая матричные уравнения (21—23), можем определить значения искомых токов путем обращения соответствующих неособенных квадратных матриц, а именно:

" I

и

а;

с;

в;

о;

-1 ( и Б "1+>0 1 л

X +

V и Б 0 /

(25)

Матрица А является столбовой матрицей с нулевыми элементами, кроме элемента строки с номером 1, в которой записано комплексно число 1+ у0. Разлагая комплексные величины, входящие в (18 — 20), на действительные и мнимые составляющие и вновь объединяя относительно действительных величин, получим:

(21)

А" '1 в" 1 X " I" '1 и Б' + "1+>0"

С" 1 о" 1 I" '1 .-и Б.1. 0

А" ' 2 В"' 2 X " I"' '2 "- иБ2 "

С" 2 о" 2 I" ' 2 .- и Б.2 _

(22)

А"

'ы

С"

в"

'ы

о"

" I" " "-и'Б, "

X =

I" 'ы - и Б,

(23)

Если г^ =1,2,3 и 1=2, то матричное уравнение для этого частного случая принимает следующий вид:

К + Кц Х1 " Х11 К12 -

К21 - X 21 + X 2 — X 22 К23 - 23

Ки - .У 31 К32 - 32 + К33 X3 — X33

X, + Хп К + X12 К12 X13 К13

Х 21 X 2 + X 22 — + 23 К23

Х 31 Л31 32 К32 X3 X33 — +

'-и я' " 0 "

- и;2 1 + >0

- и и 0

+

- и; 0

- и;2 0

.- и¡3. 0

(24)

" I и " А2 в:' -1 X и Бк '

I; С о. и к.

(26)

" I?' Г Аа ы в;] ы -1

= X

I; 'ы са ы о; ы

и „

и"

(27)

Обращая матрицы, входящие в (25 — 27), блочным методом, определяем искомые составляющие

та та та та

комплексных токов I. .....I. т.е. токи I,',..., I,

" " '1 'ы . '1 .'ы

та та та та

и 1, ■,..., . Определяя комплексные токи 1, ,..., 1Чм , переходим к определению комплексных напряжений иа,...,иа. Для этого должны пользоваться вы-

'1 'ы

ражениями (9). Далее завершаем расчет установившегося режима, определяя комплексные узловые напряжения и токи Р сопряженной ЭЭС.

Теперь рассмотрим построение математической модели установившегося режима Р сопряженной ЭЭС. Согласно исследований, выполненных нами ранее [11], для Р сопряженной ЭЭС удобно записать:

и ? + ^ I » = и? + ^ I ? = 0

'1 I ' ' I '

и) ? + ^¡Р = и ? + Iе = 0

'ы I 'ы 'ы I 1ы

и? + и 1? = )р+ и 1? = 1.

Перепишем выражения (28 — 29) в виде:

и" = - ^ I"

'1 I '1

(28)

(29)

В данном случае:

А. =

В. =

'1

.

С'1 ~

К + X1 - X11 К12

К21 - X 21 К2 + К22

К31 - X 31 К32 _

- -^12 К13 - X13

X 2 - 21 К23 - 23

- 32 К3 + К33 X3 - X33

X! + X п - + Кц -^12

X 21 К21 X2 + X

X 31 К31 32

и" = -

' n i ' n

(30)

и"=- ^ П +1 1l

Пользуясь обозначениями (4), перепишем выражение (30):

и? = -2 А?

и? =-2,1?

'ы 'ы 'ы

и?=-21!? +1

ы

ы 'ы

ы

ы

I

I

I

I

I

I

22

Тогда система уравнений (31) в матричной форме будет иметь вид:

(32)

где число 1+ у0 соответствует только строке с индексом 11, соответствующий узел которого находится в первой подсистеме. Поскольку продольные элементы Р сопряженной ЭЭС равняются соответствующим продольным элементам исходной ЭЭС с обратными знаками, то систему уравнений можно представить в следующем виде:

"UL ■ 'z< 1 0 : 0 " ~tL " "1+J0"

UL = 0 Zl 2 : 0 X tL + 0+J0

и L 0 0 : Zl „ . iL 0 + J0

U? = -2, А

и? = -zi j i?

lNJN

где и в,...,и в являются искомыми многомерными комплексными напряжениями; Iв,..., Iе — искомыми многомерными комплексными токами;

Uf = UK. - Z. . If

| lN blN 1NJN lN

IU f=-zjf

Приравнивая правые стороны выражения (3739), получим:

ZJf- Z.if =-Us + A,

h h hJ\ h si '

ZJ?- Z. J? =-U„

Z if- z t if = -us

(40)

(41)

(42)

(33)

Если разложить комплексные величины, входящие в выражения (40 — 42), на действительные и мнимые составляющие и вновь объединить относительно действительных величин, тогда получим:

~A? \ Б?

C? \ D?

" i ?' l1 - U V "1 + J0"

X = +

i? l1 .- U Б1. 0

(43)

Z. .,...,Z. . — квадратными матрицами узловых l1J1 lnjn комплексных сопротивлений подсистем i, ..., Г A? l 2 Б? " i l "-u ;,2"

В матричной форме уравнение установившегося X = , (44)

режима Р сопряженной ЭЭС является: C? D? !?. U Б,.

\zt, 0 ; 0 1

= 0 Zj \ 0 l 2J2 X . (34) " A? lN Б lN " i lN "- UБN

UC. 0 0 ; Z t. l njn _ tC . C? l„ D? l„ . X i ? lN = .- U БN ■ (45)

Поскольку исходная система, как было показано выше, представляется в виде совокупности ради-ально связанных подсистем, то для Р сопряженной ЭЭС можем написать следующие матричные уравнения:

ТТ Р- 77 _7 ТР

Uf= UEi -Z .if

l bh U\ l

Uf = UEi - z , if

ln mn lnjn ln

где

UBt= UБ - Zm -Ыш -AZI_ ir USl = UMt - ZhMi -Ai3N -AZisi r

U = U - 7 -aT - a7 T

u Bi„ u MN-1 ^l,,M„ "'nn ^.„s,, r

ill f = U Б1 - Z,.if

I l1 Б11 l1J1 l1

|Uf=-Zi i if+a+m,

U f = UB - Z,,if

I l 2 Б12 l 2J2 2

| Uf = -Zjf t l2 l2 l2

В случае, когда ^=1, 2, 3 и 1 = 2, то матричное уравнение (43) в развернутой форме имеет вид:

(35)

(36)

(37)

(38)

«1 - «11 Xx + Xa - R12 X12 — «13 X13

- R21 X 21 «2 — R22 X2 + X22 — «23 X 23

R31 X31 - «32 X 32 «3 — «33 X 3 + -X33

- Xn - R1- R11 — X12 — R12 — X13 — «13

- X 21 - R21 x 2 — -x22 — R2 — «22 — X 23 — «23

- X 31 - R31 — X32 — «32 X 3 — X33 — «3 — «33

Величины, входящие в выражения (35, 36), имеют те же определения, что и в (9). В результате, относительно искомых комплексных величин ив,...,ив и Iв,...,Iв соответственно получим сле-

'1 'ы '1 'ы

дующие системы уравнений:

if,' "— u я' " 0 "

if — U и 1 + J0

i3f if = — u б3 —и; + 0 0

if 1 2 — U ¡2 0

i _ 3 , - u¡3. 0

При этом Af =

БЦ =

Cе =

Df =

«1 - «11 X1 + X11 - «12

- «21 X21 «2 - «22

- «31 X 31 - «32 _

X12 - «13 X13

X 2 + X 21 - «23 X 23

_ X 32 «3 - «33 X 3 + X 33 _

X1 - X11 - «1 - «11 - X12

- X 21 - «21 X 2 - X22

- X 31 - «31 - X32

- «12 - X13 - «13

«2 «22 X 23 - « 23

«32 X3 - X33 - «3 - «3

(46)

N '„

X

X

После установления матричных уравнений (43 — 45) можно определить значения искомых токов Р сопряженной ЭЭС:

(47)

■ А Г A» li в» ' -1 X f ■-UБ," + "1 + J0 l \

с,» l i D» i К .-UБ.. 0

Г A » \ B » l 2 l 2 -1 "- Uk "

= X , (48)

с» ; d» 2 2 _- UБ,.

■ l» a» ; в » 1 ln ln -1 "- U

= X ■ (49)

с» ; d» ln ln Г U ^

квадратные матрицы входящие

в (47 — 49), этим определяя составляющиеIf-,...,Iе ;

I в гв ' "

Ih ,.■■,Ilu находим искомые комплексные токи узлов Р сопряженной ЭЭС. Затем, пользуясь выражениями (35), определением искомых комплексных напряжений Û в ,...,Û в завершается расчет установившегося режима Р сопряженной ЭЭС.

Имея 1Л1Л комплексные токи исходной ЭЭС и определяя токи I а) ; I I в) на основании полученных результатов по расчетам установившихся режимов а и Р сопряженных ЭЭС, пользуясь выражением (2), определяем приращение AI; комплексного тока узла 1, чем и завершается решение задачи.

Заключение.

1. Анализ расчета установившихся режимов основной, а и Р сопряженных систем показывает, что индекс узла 1, относительно которого необходимо определить приращение комплексного тока Ai[ фигурирует только в матричных уравнениях (5) и (47), что характеризуется наличием величины 1+ j0 на 1-й строке.

2. Перемещая индекс 1 наверх и вниз, можем непосредственно без дополнительных расчетов определить приращения комплексных токов других узлов.

3. Сочетание теоремы Телледжена с идеей декомпозиции — диакоптики позволяет решить множество задач по большим ЭЭС.

Библиографический список

1. Хачатрян, B. C. К методам расчета собственных и взаимных сопротивлений сложных энергосистем / В. С. Хачатрян // Электричество. — 1964. — № 10. — C. 47 — 51.

2. Хачатрян, B. C. Диакоптика и задача определения обобщенных параметров больших энергосистем / В. С. Хачатрян, О. А. Суханов // Электричество. — 1973. — № 4. — C. 1 — 10.

3. Хачатрян, B. C. Метод декомпозиции и коррекции матрицы обобщенных параметров электрических систем /

В. С. Хачатрян, В. С. Сафарян // Электричество. — 1980. — № 12. - С. 18-23.

4. Хачатрян, B. C. Метод и алгоритм расчета установившихся режимов больших электроэнергетических систем / В. С. Хачатрян // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1973. — № 4. — C. 20 — 23.

5. Хачатрян, B. C. Определение установившихся режимов больших электроэнергетических систем с применением метода Ньютона-Рафсона / В. С. Хачатрян // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1974. — № 4. — C. 36 — 43.

6. Хачатрян, B. C. Автоматизация разбивки больших систем на радиально связанные оптимальные подсистемы / B. C. Хачатрян, М. А. Балабекян // Электричество. — 1977. — № 9. — C. 15.

7. Хачатрян, B. C. Метод коррекции установившихся режимов электрических систем / B. C. Хачатрян, Э. А. Этмекчян // Электричество. — 1987. — № 3. — С. 6—14.

8. Tellegen, B. D. A general network theorem with application / B. D. Tellegen. — Philips Res, 1952. — Р. 259 — 269.

9. Хачатрян, В. С. Расчет установившегося режима большой электроэнергетической системы методом диакоптики / В. С. Хачатрян, Н. П. Бадалян // Электричество. — 2003. — № 6. — C. 13—17.

10. Хачатрян, B. C. Энергетическая теория электрических цепей и электроэнергетические системы / В. С. Хачатрян, Н. П. Бадалян, Э. А. Этмекчян, М. Г. Тамразян, А. Г. Гулян // Вестник ИАА. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 244 — 249.

11. Бадалян, Н. П. Решение задачи коррекции установившегося режима электроэнергетической системы методом декомпозиции / Н. П. Бадалян, Е. А. Чащин, Ю. В. Молокин // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2014. — № 1 (127). — С. 170—175.

БАДАЛЯН Норайр Петикович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры электротехники и электроэнергетики Владимирского государственного университета им. А. Н. и Н. Г. Столетовых.

Адрес для переписки: norayrbadalyan@mail.ru МИТРОФАНОВ Андрей Анатольевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), декан факультета автоматики и электроники Ковровской государственной технологической академии им. В. А. Дегтярева.

ЧАЩИН Евгений Анатольевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), заведующий кафедрой электротехники Ковровской государственной технологической академии им. В. А. Дегтярева. Адрес для переписки: kanircha@list.ru ШЕМАНАЕВА Людмила Ивановна, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры электротехники Ковровской государственной технологической академии им. В. А. Дегтярева.

Статья поступила в редакцию 20.04.2015 г. © Н. П. Бадалян, А. А. Митрофанов, Е. А. Чащин, Л. И. Шеманаева