CC BY
7
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Яблочнiков С.Л., Купцов М.1., Яблочшкова М.С., Купцов 1.М. Метод перетворюючоi матриц як доказ iснування 'штегральнихмноговид'в. Ф'вико-математичнаосв'та. 2018. Випуск 1(15). С. 344-349.
Yablochnikov S., Kuptsov M., Yablochnikova M., Kuptsov I.The Method Of Transforming Matrix For The Evidence Of Integral Manifolds' Existence. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 1(15). Р. 344-349.
УДК 517.925.42+517.925.53+517.928.7
С.Л. Яблочшков1, М.1. Купцов2, М.С. Яблочшкова3,1.М. Купцов3
1В'шницький со^ально-економ'чний '¡нститут YHieepcumemy «Украна», Украна
[email protected] 2Академ1'я права та yправлiння, РФ kuptsov_mich [email protected] 3Московський ф'1зико-техн'1чний iнститут, РФ
[email protected] DOI 10.31110/2413-1571-2018-015-1-066
МЕТОД ПЕРЕТВОРЮЮЧО1 МАТРИЦ ЯК ДОКАЗ 1СНУВАННЯ 1НТЕГРАЛЬНИХ МНОГОВИД1В
Анотац'я. Авторами успшно виршено задачу пошуку локального ненульового iнтегрального многовиду нелiнiйноi(п+т) - вимiрноiсистеми звичайнихдиференцйнихр'внянь, права частинаяко¡'е пер'юдичною вектор-функцею вiд незалежно¡'зм'шно¡' та м/'стить параметр. Загальний п'дх'д до розв'язання вказаного вище класу задач, у св'ш час, було розроблено Н. Боголюбовим, Ю. М'тропольским та А. Самойленко, котрий, зокрема, передбачав формування функцИ Гр'ша. Однак, автори дано)' публ'кацП, пд час практичного вир'шення сформульовано¡'вище задач'1, прийшли до висновку, що запропонований попередниками загальний п'дх'д, в даному випадку, фактично, реал'!зувати не можливо. В свою чергу, вони висунули припущення, що для системи диференцйнихр'внянь, котра досл'джуеться, '¡снуе п-вим'рний трив'альний iнтегральниймноговид при будь-якихзначенняхпараметру, а в'дпов'дналiнiйна п/'дсистемар'внянь також мае т-параметричне амейство пер'юдичних розв'язк'!в. На думку автор'в, це св1'дчить, зокрема, про те, що лiнiйнiй п'дсистем'! р'внянь не притаманна властив'сть так звано¡' експоненцйно)' дихотомп. Ними також висловлюеться припущення стосовно того, що матриця лiнiйного наближення системи при нульовому значенн параметру, е певною функцею незалежно)' зм'шно)'. Доведення /'снування iнтегрального многовиду авторами статт'1 фактично зведено до пошуку роз'вязку операторних р'внянь в просторi обмежених Л'пшиц-неперервних пер'юдичних вектор-функцй. З цею метою, вих'дна система звичайних диференцйних р'внянь л'неар'зуеться I', в подальшому, до не) застосовуеться, розроблений, усвй час, Купцовим М. I. таЯблочнковим С. Л. йзгодоммодиф'кованийними, метод перетворючо)'матриц. Зазначений модиф'кований метод перетворюючо¡'матриц авторами дано)' статт'1 було поширено, в тому числ'¡, й на окремий випадок в'дсутност'! лiнiйнихза параметром члешв операторнихр'внянь. Кр1м того, визначен й достатн умови '¡снування в окол'1 стану рiвноваги системи n-вимiрного ненульового перодичного iнтегрального многовиду.
Кnючовi слова: метод перетворюючо¡' матриц, iнтегральний многовид, система звичайних диференцйних р'!внянь, операторне рiвняння, зменшення розмiрностi фазового простору.
Постановка проблеми. Нехай система звичайних диференцйних рiвнянь
У = I V, У,1) (0.1)
для будь-яких V, ^ мае стан рiвноваги у = 0 та в обласп Л и розв'язок кнуе, а також е единим (уыкальним). Тут i надалi
f, y,v - (n + m) - вектори, У = ^у, f И У, t + Т) = f {v, y, t), A-\xA2, ^ = {y :||y|| <aJc R
,,n+m
A2 = { : И < A2}c RM, a, a - константи, R
2 : ||v|| < A 2j c r , A, A -константи, R стандартний евклщовий проспр p03MipH0CTi p та Ц-Ц - евклщова
норма у Rp .
Нехай, замЫа змшних
y -Г(е,x,p,t), v-£(e) (0.2)
призводить систему piвнянь (0.1) до наступного виду:
(0.3)
(0.4)
Гх = X (б, х,р, г )• х, I р = ф(б, х, р,г),
де Г,£,б- (п + т)— вектори, X — (пх п) — матриця, х- п— вектор, р,Ф- т — вектори, Г(б,х,р,г)ф 0 при х / 0 , Г(б,0,р,г)= 0 .
^м того, вважатимемо, що система рiвнянь
Гх = X (0,0, р, г )• х,
I р = ф(0,0,р,г),
мае т — параметричне амейство ненульових кТ — перюдичних розв'язкiв х = х(р0,г\р = рр0,г) .
Будемо також стверджувати, що для системи (0.1) юнуе л-вим1рний нетривiальний перiодичний iнтегральний многовид %(р0,г), якщо для уах р0 е таке значення у0=^(б0) параметру у, при якому
Г(б0,%(р,„г),р2(р0,г),г)= /(§{б„),г(\0,жр0,г),рг(р„,г),г),г). При цьому, ^(р,,г) не перетворюеться в нуль при будь-яких значеннях р та г , е — перiодичним за компонентами т — вектору р0 , кТ — перiодичним по г , де к — натуральне число, р = р1(р0,г), котре визначае штегральну криву на ньому. Задача юнування нетривiального перюдичного iнтегрального многовиду системи (0.1) в околi II стану рiвноваги й виршуеться авторами у данiй публтацп.
Аналiз актуальних дослiджень. Загальний пщхщ до розв'язання такого класу задач, у свм час, було розроблено Н. Боголюбовим, Ю. Мiтропольским та А. Самойленко [1-4]. Зокрема, вш передбачае формування функцп Грiна. Однак, автори дано! публтацп, пiд час практичного виршення сформульовано! вище окремо! задачi, прийшли до висновку, що такий пщхщ, в даному випадку, фактично реалiзувати не можливо, осктьки система рiвнянь (0.3) при уах значеннях параметру Б мае нульовий Ытегральний многовид х = 0 , а система (0.4) - т — параметричне амейство перюдичних розв'язюв. На нашу думку, цих проблем, цтком, можливо уникнути за рахунок виршення допомiжного векторного рiвняння i здiйснення переходу в його окт [7, 8].
Результати, що представлен в цiй статтi, отриман авторами шляхом модифiкацií запропонованого Купцовим М. i Яблочнiковим С. в публтацп [9] метода перетворюючо! матрицГ Його застосування, зокрема, дало можливють отримати новi достатнi умови юнування локального iнтегрального многовиду для систем бтьш загального виду нiж т^ що розглядаються науковцями у публтащях [10 - 15].
Метою статт е модифiкацiя розробленого авторами у попередых публiкацiях методу перетворюючо! матриц для успiшного вирiшення задач щодо iснування нетривiального перiодичного iнтегрального многовиду системи рiвнянь (0.1) в околi стану рiвноваги.
Виклад основного матерiалу. Нехай л(р,г)еО,Бр)еО2 - ш- перiодичнi за компонентами вектора ф вектор-функцп, якi обмеженi вщповщно числами 810 и 820 , задовольняють умовам Лiпшиця:
||Л к г1) — Л р2,г21Н1 \р —РЛ + 812 |г1 — г1 (1.1)
Б(Р1 )—б(Р2 Ц<8й\ р1 — PJ, (1.2)
й там, котрi мають вiдповiдну розмiрнiсть п та I (0 < I < п+т), Л(р,г) кТ- перiодична за t,
Г (P, г ) =
X гI
ге[0,кТ ]
Кр)|= X 8иР|Б(р)|
г=1 ре[0>^]
).
Зазначимо, що у випадку застосування до множини О вказаних вище умов, вони стають опуклими компактами [9, С. 15].
Для роз'язку диференцмного рiвняння
р = Ф(Бр>0),Лр11,г),р,г\ (1.3)
котре задовольняе початковим умовам р(0) = р,застосуемо позначення рЛ. Нехай, крiм того, У/(р,г) - е матрицантом рiвняння
х = X (б(р ), л(р0, г \рр, г )• х. (1.4)
Тут i надалi Л(р,г)еЦ , п+т-1 значення компонентiв вектора £ вважають такими, що дорiвнюють 0, а замiсть решти I значень, у рiвняння системи (0.3) пщставлеы елементи функцп \(р^)е О2 .
Визначення. Неособливу функцiональну п х п - матрицю QF(р) з постiйним визначником, неперервну за уама сво!ми змiнними та ш- перiодичну за компонентами вектору р0 , будемо iменувати перетворюючою матрицею системи (0.3), якщо для матриц
У (р0,кТ)—1п)• QF (р,) (1.5)
юнуе, принаймнi, один ненульовий стовпчик qF(р) . В даному випадку, /и - одинична п х п - матриця.
Позначимо Х = {х : ||х\\ <81}^ Я, Е = \ : \\б\\ < 82}с гт.
Доведення теореми щодо кнування iнтегрального многовиду. Тут i далi ми передбачаемо, що правi частини системи (0.3) е ш- перюдичними за компонентами вектора ф и Т- перюдичними за незалежною змiнною г е Я,
1/2
1/2
неперервн та забезпечують кнування i унiкальнiсть системи (0.3) в област Rm+ хХхЕ при досить малих S1 и 8г. 1накше кажучи, ми передбачаемо, що замша змшних (0.2) зберiгаe властивосп iснування та унiкальностi розв'язку системи (0.1). Вiзьмемо до уваги систему рiвнянь
qF (ы ) = о,
, (2-1)
Ро ), F (%,t Ы, t jtft = о.
Теорема. Нехай перетворюючу матрицю системи (0.3) можливо побудувати таким чином, що кнуе число l (0 < l < n+m) та такий ненульовий стовпчик qF(р), при яких, для знаходження розв'язку системи (2.1) , достатньо знайти розв'язок певно''' системи, який е вщмЫним вщ (2.1) системи l рiвнянь
SF (ы ) = 0, (2.2)
котра для кожно''' функци F(ç0,t)eQj е единим (унтальним) рiшенням еF(ы) з множини Q2 . ^м того, нехай, якщо t е [0;kT], то виконуються наступнi умови:
YF (P0,t )-QF (ыо)< Го, (2.3)
|y/ (ы*, t*)-QF ы )-YF (Po,t)-QF (ы |< г\ы-ыо||+r2|t* -1. (2.4)
Тодi для будь-якого вектору реRm iснуе таке значення параметру v, для якого система (0.1) буде мати ненульовий штегральний многовид в околi стану рiвноваги y=0.
Доведення теореми. Оскiльки е = еF (ы) е розв'язком системи (2.2), то, вщповщно, при е = еF (ы) в тотожнiсть перетворюеться також й (2.1). Вщповщно, диференцмне рiвняння (1.4) для кожно''' функци f(^0^)еЦ мае kT-перiодичний розв'язок
xF (ыо,t) = YF (^t) QF (ы )-С, (2.5)
де ус елементи сталого n- вектору C дорiвнюють нулю, окрiм елементу, що вщповщае номеру стовпчику qF(ы), який, в свою чергу, дорiвнюе c (будь-якiй сталм). Вiдсутнiсть особливостi перетворюючо''' матрицi забезпечуе нетривiальнiсть
xF (ы0,t ).
Вiдповiдно до умов (2.3) та (2.4), xF(ы,t) задовольняе умовам Лiпшицю зi сталою г •с за змЫною ы та г2 • с за t, обмежено числом г0 • с . Тому, за рахунок зменшення c цтком можливо забезпечити виконання наступних умов -xF(ы,t)е Q1 . Таким чином, ми, фактично, сформували оператор, котрий визначаеться рiвняннями (2.2) та (2.5), до якого, в силу едносп значення еF(ы) для кожно''' функци f(%,t)e Ц , можливо застосувати теорему [16, С. 26] (або ж теорему I.1.3 [9, С. 20]). Тому, для цього оператора кнуе «нерухома» точка ,t) = Y/(%,t)-Qj(%)-С .
Цтком зрозумто, що при е = еТ(%) функци ,t), ср^ визначають сiмейство ненульових kT- перюдичних розв'язюв системи (0.3). Дiйсно, для того, що б впевнитись в цьому, достатньо прийняти до уваги перетворення у
тотожнкть (2.1) та здмснити диферен^ювання ,t), враховуючи ту обставину, що функщя Рt задовольняе (1.3). Для завершення доведення теореми залишаеться повернутися до системi (0.1) за допомогою замiни (0.2). Отже, ,t) -шуканий n- вимiрний нетривiальний перiодичний iнтегральний многовид системи (0.1). Теорема доведена.
Приклад системи, що задовольняе умовам теореми про кнування штегрального многовиду. В якосп iлюстрацiï практичного використання наведено)' вище теореми розглянемо систему спе^ального виду, до якоï не може бути застосовано жодно' з достатых ознак iснування iнтегральних многовидiв, котрi зазначенi у публiкацiях [1 -15]. Нехай до системи трьох диферен^альних рiвнянь
y = [cost + st2 - е 2 • (l + sin21)- е * -y22 • y2]• y - [cos2t + a2(s) + y2]• y,
У 2 =[sin t + «1(е) + 2УУ3] y^ (4.1)
. = [cos2t + a2(s) + y]• y + [cost + е* - s2 • (l + sin21)- е 34 -y2 • y2]• y,
входить лише одна векторна величина S = (s1' S2' S3 J та щ{е) = ап • ei + ai2 • е2 + ai3 • ег+щ(е), ai (s 0(IS
а12 • a23 ^ • a22 "
Будемо також вважати, що для виразiв at(s) виконуються умови Лтшиця з такими сталими yt , для яких 0 при 0 . Шсля замiни змiнних y = x • cosp, y = x, y = X • sin^, система рiвнянь (4.1) перетворюеться до наступного виду (0.3):
X = [cos/ + sJ2 - £* • (l + sin2 t)— s-f - X2 • X2 • sin2 X' x2 = [sint + (xl (s) + Xj2 • sin2p]^ x2, <p = cos 2t + a2 (s )+ x2.
X = cost • x,
X = sint • x, та мае однопараметричне (m=1) сiмейство
<= cos2t
Тодi система (0.4) тут мiстить три рiвняння:
о
(4.2)
(4.3)
2л-пepioдичних poзв'язкiв x = e'm t, x2 = e1 cos t, p = p+ 0,5- sin2t. Замicть piвнянь (1.3) и (1.4) будуть вiдпoвiднo poзглядатиcя
Pp = cos2t + « (epPo ))+F2 (.o, t ), Г :¿l = [cos t + Xl(Po,t )]- Xl,
[i2 = [sin t + X2 (p, t )] • x2,
дe
Xp t) = Sl2 {Po )-ff24 {Po )-{l + sin2 t)-ff {Po )-F12 {Po, t)- F2 {Po, t)- sÍ"2 {PtF ), X 2 {Po, 4 = «{4>0 )) + F1 {Po, t)- sÍ" {p ), пpи цьoму F(Po,t)= HPoÀ F2 {Po,t))T, ff(p0 )= ff (p0 )ff2 (p0 ),ff3 (p0 ))T
- 2л-пepioдчнi за p0 , а Fp0,t) й за t . KpiM тoгo, завдяки влаcтивocтям пpавих частин cиcтeми (4.1), poзв'язoк pF piвняння (4.2) oбмeжeний, задoвoльняe умoвi Лтшиця за уама cвoïми зм1нними пpи t e [o,2w] та 2л-пepиoдичний за пoчаткoвими даними p . А ТОД1 матpицант piвняння (4.3) е дiагoнальнoю матpицeю
{Po,t) = diag
(
exp
sin t +
J Xl {.o, г)
г) dг
exp
1 - cost + JX2 (p,г) dг
та йoму пpитаманнi такi ж cамi влаcтивocтi (див. [9, С. 29]).
Обиpаючи тeпep пepeтвopюючу матpицю QF (p) =
1 0 1 1
для виpазу (1.5) oтpимуeмo
(if (po,2^)-12 )• QF (po ) =
exp
exp
J Xl po^)
г) dг
J X 2 {Po,г)
г) dг
-1
-1 exp
0
J X 2 po^)
г) dг
Тoдi, пepeбачивши в умoвах тeopeми пpo icнування iнтeгpальнoгo мнoгoвиду l=3 та
f
qF {po )=
exp
J Xl po,r)
г) dr
- l, exp
J X 2 {Po,r) ^
\
-1
, для системи (2.1) oтpимаeмo такe:
exp
exp
JX1 Р,,г) ^ . 0 2 ж
J X 2 {Po,г)
= 1,
= 1,
«2{ff p0))- 2ж+ JF2 p0,г) dг = 0
Тoму, в ягост cиcтeми (2.2) дocтатньo poзглянути систему тpьoх piвнянь
fflPo = j ffl {po )- 3^ + ff34 p0 )- J F12 {Po,г)• F22 {Po,г)• sÍ"2 {p'F ) dг,
2k
«{ff po))- 2ж+ J Fx 2 (p0 ,г)- sin (2 pF ) dг = 0,
0
2ж
«{ff po))- 2ж+ J F (p ,г) dг = 0.
o
1 o o ^
(4.4)
У вiдпoвiднocтi дo умoв a2 • a^ Ф аз • a22 мaтpиця A =
al1 al2 al3
пoдaти у нacтупнoму вигляд1:
4 )=A-1 • y^po ),
будe нeocoбливoю та cиcтeму (4.4) мoжнa
(4.5)
дe yF'ff{po ) = {yF ff{po), f{ff{po), У3F{po )),
F ff
Fl {p0
(p ^ = УЛ^ ] ff 24 (p0 ^ 3Ж + ff 34 p0 ^ 2Ж + JF12 (p0, F22 {po , sin 2 {PF ^ d г ,
2ж 2к
F2F (po ) = -«l(ff (po ))-J F12 (po^)- sin {2pF ) ^ У3 'S (po )=-«2 (ff (po ))-J F2 Po^ dT'
0
1
o
o
o
a21 a22 a23 ^
Шляхом зменшення значення Sy легко впевнитись, що оператор, котрий задае рiвняння (4.5), е стискаючим та для кожно' функци F^,t)eQj переводить простiр Ц в Ц . Таким фактом остаточно пщтверджуеться виконання уах умов теореми та, вщповщно, кнування локального ненульового штегрального многовиду системи (4.1).
Висновки. Пщсумовуючи усе зазначене вище, зауважимо, що at(s) можна вибрати таким чином, щоб система
алгебра'чних рiвнянь
-1,5• s 24 - s* = 0,
o(s) = о, не мала нетривiальних розв'язкiв, а матриця A залишалася неособливою.
a2(s)= 0
Дмсно, ця умова виконуеться, наприклад, при о,(s ) = s2 - s3, a2(s) = s2 + s3 та, вiдповiдно, жоден з достатых ознак
iснування iнтегральних многовидiв не тiльки наведених у публта^ях [1 - 8], але й [9 - 15] не може бути застосований до
системи (4.1).
Список використаних джерел
1. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Львов: Изд-во АН УССР, 1945. 139 с.
2. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. 512 с.
3. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987. 301 с.
4. Самойленко А. М., Теплшський Ю. В., Пасюк К. В. Про кнування нескiнченновимiрних iнварiантних торiв нелшмних злiченних систем диференщально^зницевих рiвнянь. Нелшмы коливання. 2010. Т. 13, № 2. С. 253-271.
5. Курбаншоев С.З., Нусайриев М.А. Построение оптимальных интегральных многообразий для нелинейных дифференциальных уравнений. Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 11-12. С. 807-812.
6. Щетинина Е. В. Интегральные многообразия быстро-медленных систем и затягивание потери устойчивости. Вестник Самарского государственного университета. 2010. № 6 (80). С. 93-105.
7. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. Л.: ЛГУ, 1991. 142 с.
8. Волков Д. Ю. Бифуркация инвариантных торов из состояния равновесия при наличии нулевых характеристических чисел. Вестник Ленинградского университета. 1988. Серия 1. №2. С. 102 - 103.
9. Купцов М. И. Существование интегральных многообразий и периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений: дис. ... к-та физ.-матем. наук / УдГУ. Ижевск, 1997. 133 с.
10. Купцов М. И. Локальное интегральное многообразие систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. №11. С. 1579-1580.
11. Купцов М. И. Об условиях существования интегрального многообразия системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производных. Труды средневолжского математического общества. 1999. Т.2, №1. С. 95-96.
12. Купцов М. И. Существование интегрального многообразия системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. №6. С. 855.
13. Купцов М. И., Теняев В.В., Купцов И.М. Об одной модификации метода интегральных многообразий в системах управления. Вестник РГРТУ. 2016. № 55. С. 146-152.
14. Kuptsov M. I. Local intégral manifold of a system of differential équations. Differential équations. 1998. vol. 34, no. 7, pp. 1005-1007.
15. Купцов М. I., Яблочнтов С.Л. Аспекти застосування методу перетворюючо'| матрицк Фiзико-математична освпа науковий журнал. 2016. Випуск 1(7). С. 87-95.
16. Терёхин М. Т. Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: РГПИ, 1992. 88 с.
References
1. Bogolyubov N.N. O nekotorykh statisticheskikh metodakh v matematicheskoi fizike (About some statistical methods in
mathematical physics), Lvov: Akad. Nauk Ukr. Sov. Sots. Resp., 1945, 139 p.
2. Mitropol'skii Yu.A., Lykova O.B. Integral'nye mnogoobraziya v nelineinoi mekhanike (Integral manifolds in nonlinear mechanics), Moscow: Nauka, 1973, 512 p.
3. Samoilenko A.M. Elementy matematicheskoi teorii mnogochastotnykh kolebanii. Invariantnye tory (The elements of mathematical theory of multi frequency vibrations. Invariant tori), Moscow: Nauka, 1987, 301 p.
4. Samoylenko A.M., Teplins'kyy Yu.V., Pasiuk K.V. On the existence of infinite-dimensional invariant tori of nonlinear countable
systems of difference-differential equations, Neliniyni kolyvannya, 2010, vol. 13, no. 2, pp. 253-271 (in Ukrainian).
5. Kurbanshoev S.Z., Nusairiev M.A. The construction of optimal integral manifold for the nonlinear differential equations,
Doklady Akademii Nauk Respubliki Tadzhikistan, 2014, vol. 57, no. 11-12, pp. 807-812 (in Russian).
6. Shchetinina E.V. Integral manifolds for slow-fast systems and the stability loss delay, Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo
Universiteta, 2010, no. 6 (80), pp. 93-105 (in Russian).
7. Bibikov Yu.N. Mnogochastotnye nelineinye kolebaniya i ikh bifurkatsii (Multi frequent nonlinear vibrations and their bifurcation), Leningrad: Len. Gos. Univ., 1991, 142 p.
8. Volkov D.Yu. Bifurcation of invariant torus fromcondition of equilibrium having zero eigenvalue, Vestnik Leningradskogo
universiteta, 1988, vol. 1, no. 2, pp. 102-103 (in Russian).
9. Kuptsov M.I. The existence of integral manifolds and periodic solution of system of ordinary differential equations, Can. Sci.
(Phys. - Math.) Dissertation, Izhevsk, 1997, 133 p (in Russian).
10. Kuptsov M.I. Local integral manifold ofdifferential equations' system which depend on the parameter, Differ. Uravn., 1999, vol. 35, no. 11, pp. 1579-1580 (in Russian).
11. Kuptsov M.I. About the conditions of existence of integral manifolds of ordinary differential equations not solved relating theirderivatives, Trudy Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva, 1999. vol. 2, no. 1. pp. 95-96 (in Russian).
12. Kuptsov M.I. The existence of integral manifolds of differential equations' system, Differ. Uravn., 1998, vol. 34, no. 6, pp. 855 (in Russian).
13. Kuptsov M.I., Tenyaev V.V., Kuptsov I.M. Concerning an integrated variety modification method in control systems, Vestnik Ryaz. Gos. Radiotekhnich. Univ., 2016, no. 55, pp. 146-152 (in Russian).
14. Kuptsov M.I. Local integral manifold of a system of differential equations, Differential Equations, 1998, vol. 34, no. 7, pp. 1005-1007.
15. Kuptsov M.I., Yablochnikov S.L. Aspects of the method transforming matrix, Fizyko-matematychna osvita: naukovyy zhurnal, 2016, no. 1(7). pp. 87-95 (in Ukrainian).
16. Terekhin M.T. Periodicheskie resheniya sistem obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii (Periodic solutions of systems of ordinary differential equations), Ryazan: Ryaz. Gos. Ped. Inst., 1992, 88 p.
THE METHOD OF TRANSFORMING MATRIX FOR THE EVIDENCE OF INTEGRAL MANIFOLDS' EXISTENCE
Yablochnikov Sergiy
Vinnitsa socio-economic Institute University "Ukraine" Kuptsov Mikhail The Academy of Law Management Yablochnikova Mariya, Kuptsov Ivan Moscow Institute of physics and technology Abstract. The authors successfully solved the problem of finding a local nonzero integral manifold of a nonlinear (n + m) -dimensional system of ordinary differential equations, the right part of which is a periodic vector function of an independent variable and contains a parameter. The general approach to solving the above-mentioned class of tasks, in its time, was developed by Bogolyubov N., Mitropolsky Y. and Samoilenko A., which, in particular, envisaged the formation of the Green's function. However, the authors of this publication, during the practical solution of the above problem, came to the conclusion that the general approach proposed by the predecessors, in this case, in fact, could not be realized. In turn, they suggested that for the system of differential equations under investigation there is an n-dimensional trivial integral variety for any parameter values, and the corresponding linear subsystem of equations also has an m-parametric family of periodic solutions. According to the authors, this is evidenced, in particular, by the fact that the linear subsystem of equations is not inherent in the property of the so-called exponential dichotomy. They also suggest that the matrix of the linear approximation of a system with a zero value of a parameter is a certain function of an independent variable. The proof of the existence of an integral variety by the authors of the article is actually reduced to the search for the decomposition of operator equations in the space of bounded Lipschitz-continuous periodic vector-valued functions. To this end, the original system of ordinary differential equations is linearized and subsequently applied to it, developed in its time by Kuptsov M. I. and Yablochnikov S. L., and subsequently modified by them, the method of transforming the matrix. The mentioned modified method of transforming the matrix by the authors of this article was extended, including, on a separate case, the absence of linear operator operator parameters in the parameter. In addition, sufficient and sufficient conditions for the existence of an equilibrium state of a system of n-dimensional nonzero periodic integral manifold are established.
Keywords: the method of transforming matrix, integral manifold, ordinary differential equations system, operator equation, dimensional reduction of phase space.
