Метод оценки задержки ip- пакетов в узле коммутации Текст научной статьи по специальности «Математика»

4-

Телекоммуникационные системы и компьютерные сети^

УДК 621.395

А.Н. Соколов

МЕТОД ОЦЕНКИ ЗАДЕРЖКИ IP-ПАКЕТОВ В УЗЛЕ КОММУТАЦИИ

В современных телекоммуникационных сетях все виды передаваемой информации представлены в форме пакетов, что снижает затраты на построение телекоммуникационной сети. Однако применение пакетных технологий передачи и коммутации связано с дополнительной задержкой при обмене информацией между терминалами пользователей.

Параметры задержки пакетов нормированы в документах ряда международных организаций как показатели качества обслуживания. При проектировании сети необходимо рассчитывать ряд характеристик времени задержки в узлах коммутации пакетов, чтобы разработать способы обеспечения нормированных показателей качества обслуживания, к которым относятся среднее значение и дисперсия времени задержки пакетов, а в некоторых случаях — и коэффициенты асимметрии и эксцесса этой случайной величины.

Выбор модели узла коммутации. Моделью узла коммутации пакетов может служить система массового обслуживания (СМО). На вход СМО поступает поток заявок, о характере которого можно судить по результатам измерений. Обычно подобные измерения позволяют построить гистограмму, представляющую собой плот-

ность распределения длительности интервалов между моментами поступлений соседних заявок (пакетов).

Пример плотности распределения а(г) показан на рис. 1, а. Ступенчатая функция распределения А(г), построенная по плотности a(t), изображена на рис. 1, б. По оси абсцисс отложено отношение времени t к величине т, равной периоду, с которым измеряются значения длительности интервалов между моментами поступления заявок.

Предположим, что интервал между моментами прихода соседних заявок tz находится между значениями /т и (/ + 1)т. Возможны два варианта:

tz-h<(i+l)z-tz; tz-h>(i + l)x-tz. (1)

В первом случае количество заявок для точки it увеличивается на единицу. Во втором случае на единицу возрастает количество заявок для точки (/ + 1)т. Допустим, что для всех возможных значений /т накоплены статистические данные в виде количества заявок /У(/т). Тогда может быть построена гистограмма, пример которой показан на рис. 1, а. Величины р, =a(ix) находятся по очевидной формуле

б)

АО)' 1,0 •

Рис. 1. Плотность a(t) и функция распределения A(t): а — гистограмма (результаты измерений); б— функция распределения А(1)

^Научно-технические ведомости СПбГПУ 4'2009

-. w

Z /V(yx)

j=o

где m определяется как точка на оси абсцисс, в которой зафиксировано последнее изменение плотности a{t). Рассчитанные прирашения p¡ позволяют построить функцию A(t). Преобразование Лапласа — Стилтьеса этой функции a(s) определяется так 11J:

a (i)=e-n'Xfte-iB, (3)

í=0

где ZX — сдвиг прирашения р0 относительно точки t = 0; для гистофаммы (см. рис. 1, о) z = 0.

Коэффициент вариации длительности интервалов между моментами поступлений соседних заявок Са может меняться в широких пределах |2]. Для приемлемой аппроксимации функции /1(0 используются разные законы распределения, однако получение некоторых характеристик СМО, важных для практики, возможно только в том случае, если функция A(t) представима экспоненциальным законом распределения. Если поведение функции А(1) заметно отличается от экспоненциального закона распределения, то для исследования СМО целесообразно использовать выражение (3). Оно не содержит ошибки, возникающей при замене эмпирического распределения теоретическим.

Время обработки пакетов можно считать постоянной величиной, равной Ь. Величину ¿удобно определять произведением /г .Функциюраспределения длительности обслуживания заявок B(t) целесообразно выражать через преобразование Лапласа — Стилтьеса P(s) :

POO = (4)

Такое представление функции не будет вносить заметной ошибки во все дальнейшие вычисления, если величина т достаточно мала. При необходимости оценка влияния величины т на результаты расчета исследуемых характеристик может быть выполнена простым путем; надо взять два значения времени обслуживания: /, х и /2 т. Величина представляет собой результат округления частного от деления b на т до ближайшего целого значения в меньшую сторону, тогда /2 =/] +1. Все характеристики, вычис-

ленные для значений /|Т и /2т , будут определять верхнюю и нижнюю границы для характеристик исследуемой СМО.

С учетом того, что количество обслуживающих устройств равно единице, предложенная модель в классификации Кендалла [3] обозначается G/D/1. Для конкретизации факга использования ступенчатых функций A(t) уместно в символе G ввести нижний индекс s — первая буква в слове stepped (ступенчатый). Тогда исследуемая модель может быть представлена в следующей форме: Gs/D/\. Для такой модели в явном виде не получены выражения оценки параметров времени задержки заявок.

Исследование модели узла коммутации. Для исследования выбранной модели целесообразно использовать результаты, полученные в [4J для

кумулянтов л-го порядка W„c времени ожидания начала обслуживания в СМО вида G/D/X :

Hf (5)

*=iк о

где функция F(x) определяется следующим преобразованием Лапласа — Стилтьеса ф(5) :

<p(i) = a(-5)P(5). (6)

Очевидно, что для исследуемой модели функция cp(s) имеет следующий вид:

<р(s)=e«-'*±Pie>v. (7)

/=0

В формулу (5) входит к- кратная свертка функции F(x). Эта свертка для преобразования Лапласа — Стилтьеса вычисляется возведением правой части выражения (7) в степень к [ 1 ]:

. km

[tp(s)]k=e^-'^qi(k)e^. (8)

/=о

Коэффициенты qt(k) определяются на основании правила возведения ряда в степень [5]:

Ро , если /' = 0;

= . j ■ _ (9)

— -,(*)• если i = lmk.

Теперь выражение для расчета кумулянтов может быть представлено в таком виде:

I

Телекоммуникационные системы и компьютерные сети^

т. , кт

И?=т"£7£Л(Ш+*(*-/>ГЧ/+А<*-/)1, (10) к=\ к <=0

где функция 5(л) равна единице при нулевом или отрицательном значении х и нулю — в остальных случаях,

Х = -

1

5(х) =

1 при jc<0; 0 при х>0.

(П)

Кумулянты и определяют среднее значение и дисперсию длительности ожидания заявок в очереди для СМО вида / £)/1. Среднее значение времени задержки заявок (первый

момент) Е<]) и дисперсия этой величины а2 рассчитываются следующим образом:

£<'> = ^с+/т; а2=Щс. (12)

Для вычисления значений Е([) и ст2 с использованием формулы (10) необходимо выбрать верхний предел суммирования по Л:, т. е. заменить символ " оо " неким конечным значением величины М, которая определяется видом функции АО) и значением нагрузки СМО р. Последняя равна отношению интенсивности входящего потока заявок \ к интенсивности обслуживания м:

X

Р=--M

(13)

Величины А. и р обратно пропорциональны средним значениям времени между моментами поступления соседних заявок в СМО и длительности обслуживания соответственно. Искомые величины можно определить из формул (3) и (4) на основании правила расчета моментов случайной величины по преобразованию Лапласа — Стилтьеса [1]:

z + ^iPt

í=0

(14)

Если р > 0,7, то можно использовать приближенные оценки, полученные для работы СМО вида G/G/1 при большой нагрузке [3|. Следовательно, применение метода, предложенного в данной статье, будет полезным в диапазоне нагрузки оценки 0<р<0,7 . Именно для этой области изменения параметра р необходимо определить верхний предел суммирования по к. Численный анализ показал, что при 0<р<0,7 достаточно установить М - 100. Тогда даже для самых сложных видов функции A(t) ошибки в расчете первых четырех кумулянтов не превысят одного процента.

Анализ ошибок при аппроксимации функции A(t). Теоретически вместо выражения (10) можно использовать приближения, которые основаны на различных предположениях. Наиболее распространенное из них — предположение об экспоненциальном законе распределения функции A(f) с интенсивностью поступления заявокX:

А(г) = 1- е~х>. (15)

Для оценки точности величин £0> и а: при использовании формулы (15) рассмотрим две

плотности — о,(/) и а20), показанные на рис. 2. Предположим, что каждая функция получена в результате измерений, выполненных с высокой точностью.

Для функций û,(/) и а20) по известным соотношениям [3] можно найти три характеристики: среднее значение длительности интервалов

между моментами поступления заявок Л,'", дис-

à)

До =0,4

Рг = 0,3 б) i

/>4=0,2 Ра = Pi ~Р\ =Рб = 0,2

.Рб=0,1 1 1 1 1

0 1 3 4 5678 //т 012345678

Рис. 2. Два примера (а, б) плотности a¡(t)

^Научно-технические ведомости СПбГПУ 4'2009

Таблица 1 Характеристики двух распределений

Плотность Характеристики СМО

с,

2,0 4,0 1,0

«М 4,0 4,0 0,5

персию а,2 этой величины, а также коэффициент вариации С,. Численные значения этих характеристик для рассматриваемых примеров приведены в табл. 1.

Использование функции (15) для описания характера поступающего потока заявок означает, что исследуемая СМО заменяется моделью вида М/й/1. Первое распределение формально схоже с экспоненциальным, об этом свидетельствует тот факт, что С, = 1. Данное значение коэффициента вариации позволяет надеяться на минимальную величину ошибок при оценке

(16)

12(1-р)2

В табл. 2 приведены значения этих же характеристик СМО, вычисленных на основании предложенного метода, а также при использовании гипотезы об экспоненциальном законе распределения функции Л(/). Указаны возникающие относительные ошибки (6( и 52 )■ Величина В выбирается из условия, что нагрузка равна 0,5 для обоих примеров.

Предположение о минимуме ошибки для гис-тофаммы £?,(/) оказалось верным только для среднего значения времени задержки заявок в СМО. При оценке дисперсии величина ошибки оказалась весьма существенной. Для гистограммы а2(г) ошибки в оценке обеих характеристик СМО, как и следовало ожидать, значительно выше.

Итак, предложен метод оценки времени задержки пакетов в узле коммутации телекоммуникационной сети. Он позволяет рассчитывать кумулянты (а по ним — начальные и центральные

Та б л и и а 2

Характеристики исследуемых моделей

Определение Характеристики

5„% 2 а 5„%

Расчет по формуле (10) для гистограммы а,(/) 1,37 9 0,30 93

Оценка для модели М/й/\ 1,50 0,58

Расчет по формуле (10) для гистофаммы ар) 2,58 16 0,95 145

Оценка для модели М/й/1 3,00 2,33

характеристик СМО. Для модели М/й/1 среднее значение задержки заявок в системе

и дисперсия этой величины о2(М) определяются на основании известных соотношений, приведенных, например, в[3]:

2(1-р)

моменты) л-го порядка для исследуемой случайной величины.

Выбранная модель адекватно отражает процессы функционирования узла коммутации пакетов. Упрощение модели (в частности, использование предположения о пуассоновском входящем потоке) приводит к существенным ошибкам при оценке среднего значения и дисперсии времени задержки пакетов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дигкин В.А., Прудников А.П. Интефальныс преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

2. Зелигер Н.Б., Чугреев О.С., Яновский Г.Г.

Проектирование сетей и систем передачи дискретных сообщений. М.: Радио и связь, 1984.

3. клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979.

4. Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей. М.: Мир, 1979.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.