CC BY
30
Приведем краткое описание алгоритма. Двойственной для задачи (4)-(6) является задача
шт\к'и + и Ои > 0 ,
гдеА - матрица ограничений задачи имеет вид:
; А =
А =
к1 А1
к2 А2
-1 +1 0 ... 0 0 0 -1 +1 ... 0 0
0 0 0 ... -1 +1
А1 =
1 -2 10 0 1 -2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
-2 1 0 1 -2 1
и - вектор решения двойственной задачи размерности (2 N - 3) .
Решение начинается с точки иА = 0 . ир + 1 ,
р = 0, 1, 2, ... находят по формулам
ир + 1
0, мР + 1 |,г = 1, 2, ..., (2N- 3) , (7)
где
+1 =
8 г,
У 8 ир
V = 1
+1 + л
гГ/ 2 У
У 8иР
/ = г + 1 V
/8 = {/б( *1 Ь"/ ^)} л = -А/8
11
О = 1АА' = 4! 44
А1А'1 к1 к2А1А'2 к1к2А2А1 А2А'2
Здесь /8 - вектор размерности Ь - вектор
размерности (2N - 3), О - матрица размерности (2 N - 3 )х( 2N - 3) , и - вектор решения двойственной задачи размерности (2N- 3) .
Матрицы А и О не хранятся в памяти компьютера, вычисления по формуле (7) проводятся просто с учетом вида этих матриц. Поэтому, на каждой итерации для
вычисления 1 + 1 требуется 11 (2N - 3) арифметических операций. Проверку на окончание процесса можно осуществлять через несколько итераций по условию:
N
22 У (А'и)2 < 482 ,
г = 1
проверка которого требует 6Ы операций. Проведенные расчеты показали достаточно быструю сходимость итерационного процесса. Производную вычисляем по
разностным формулам, используя следующие значения
/г =
1
= /8(Хг) - 2(к1(иг - 1 - иг) + к2(иг - 2 + N- 2иг - 1 + N + иг + N) для г = 3,4,., N - 3, и следующие значения для крайних точек:
/1 = /8( х1) - (- к1 и1 + к2иИ)/2;
1
/2 = /8(х2) (к1(и1 - и2) + к2(- 2ин + + 1)) ;
1
/М - 1 =/8( - 1) -2! (к1( UN - 1 - иЫ) + к2( и2 N - 4 - 2и2М - ^);
/М= /8(х#) - (- к1 иМ + к2и2N - 3)Х2 . На рис. 1 и 2 приведены результаты расчетов для тестового примера, данные для которого получены
следующим образом: табулировалась функция у = 4~х, затем в значения функции вносилась случайная погрешность, которая нарушала условия выпуклости и монотонности функций, носила осцилирующий характер и делала невозможным вычисление производной по разностным формулам. Максимальное абсолютное значение погрешности равнялось 0,05 (20% от минимального значения функции и 5% от максимального), среднеквадратическая погрешность в значениях функции составляла 0,05. Погрешность сглаженных значений функции не превышает 0,01 (4% от минимального значения функции), а среднеквадратичная погрешность для сглаженной функции равна 0,27. Улучшение в значениях функции не так велико, однако, тот факт, что сглаженная функция стала монотонной и выпуклой, позволяет получить приближение производной этой функции с приемлемой точностью. На рис.2 погрешность восстановления производной не превышает 0,22 (9% от значения производной) для крайних точек, а среднеквадратичная погрешность равна 0,07.
Приведенный алгоритм использовался при изучении динамики процесса получения кремния и дал хорошие практические результаты.
1,2 п 1 -
0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
—♦—У точное ■ У с погрешностью а у сглаженное
Рисунок 1 - Приближение функции, заданной с погрешностью, с учетом монотонности и выпуклости
Ю. А. Долгов: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ РЕЗЕРВОВ ПРОИЗВОДСТВА И ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ИЗДЕЛИЙ
0,4
-У1 точная
0,6 0,8 У' восстановленная
Рисунок 1 - Производная функции, заданной с погрешностью, с учетом монотонности и выпуклости
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.:Наука,1974, - 223с.
2. Самарин М.К. О сходимости монотонных и выпуклых решений интегральных уравнений. - В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып.35, М.: Изд-во МГУД981, с.41-51.
3. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование.- М.: Изд-во Советское радио,1965. - 300с.
УДК 621.3.049.77.002:519.24
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ РЕЗЕРВОВ ПРОИЗВОДСТВА И
ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ИЗДЕЛИЙ
Ю. А. Долгов
Изложены результаты многолетней работы по математическому моделированию и комплексной системе управления качеством продукции, позволяющей выявить скрытые резервы производства по результатам обработки многомерной контрольно-измерительной информации,
полученной в ходе технологического процесса производства.
Необходимость массового (крупносерийного) выпуска многономенклатурных однотипных изделий вынуждает промышленность прибегать к гибким
автоматизированным производствам с групповым характером технологии. Однако на практике выяснилось, что подобные производства не всегда эффективно используют сырьевые и энергетические ресурсы, могут иметь достаточно низкий процент выхода годных при существенной неоднородности параметров изделий внутри одной партии, межоперационный контроль может быть малоэффективен как из-за отсутствия подходящего метода, так и вследствие необъективной системы выбора контролируемых параметров, и т.д. Для уменьшения этих и многих других недостатков требуется управление технологическим процессом, которое будет наиболее эффективен лишь на основе математического моделирования, базирующегося на массивах пассивной контрольно-измерительной информации, полученной с помощью эффективного метода контроля по количественному признаку для конкретных типов изделий, изготовленных с помощью конкретного технологического процесса.
Ниже предлагается разработанный автором комплекс математических методов, методик и алгоритмов, направленный на повышение точности, стабильности и
однородности групповых технологических процессов, отыскание их математических моделей, эффективности выборочного контроля, качества изделий, увеличение процента выхода годных и оптимизацию самих технологических процессов.
1. Для группового технологического процесса, характеризующегося наличием иерархии обработки (группа - партия - тираж), разработаны методы обобщенной оценки точности и стабильности технологических операций и всего технологического процесса в целом, а также оценки однородности параметров выпускаемых изделий. Методы позволяют интегрально оценивать качество технологического процесса и принимать решения о его коррекции [1].
2. Разработаны методы сокращения числа контролируемых производственных факторов из первоначального списка за счет исключения сильно коррелированных аналогов [2]. Новая таблица накопленных данных содержит всю информацию об объекте контроля без ненужного дублирования и может служить основой для последующего математического моделирования.
3. Для выделения одного фактора из группы (плеяды) сильнокоррелированных разработан экспертный метод весовых коэффициентов важности [2], который основан на попарном сравнении субъективной значимости факторов. Метод позволяет попутно оценить степень компетентности эксперта по исследуемому вопросу.
4. Впервые разработаны принципы и методы нахождения математических моделей, характеризующих состояние технологического процесса, путем обработки результатов пассивного эксперимента (накопленной
2,5
1,5
0,5
0
0,2
1,2
контрольно-измерительной информации) с учетом технологических ограничений (неортогональности факторов, гетероскедастичности, неравномерности расположения точек факторного пространства, неодинаковость числа дублирующих опытов и др.) и оценки адекватности полученных моделей. Модифицированный метод случайного баланса (ММСБ) [2,3,4] дает модель при кодированных значениях факторов, причем коэффициенты модели являются весами этих факторов, список которых одновременно может служить списком информативных контролепригодных факторов (минимальный список контролируемых параметров). Метод наименьших квадратов с предварительной ортогонализацией факторов (МНКО) [2,5] позволяет использовать модель при абсолютных значениях факторов, что удобно в повседневной цеховой работе.
5. Впервые разработан метод выборочного контроля повышенной точности по количественному признаку при выборке малого объема [6], который позволяет при одинаковой с классическими методами точности принятия решения снизить объем выборки в 2-3 раза.
6. Впервые разработан метод технико-экономической оценки решающего правила контроля путем подсчета коэффициента его контролепригодности, в который входит помимо вероятности ложной приемки и ложной браковки полуфабриката еще и его стоимость, а также стоимость последующей технологической операции.
Сочетание указанных методов, методик и алгоритмов позволило построить комплексную информационную измерительную систему контроля, совмещенную с системой статистического регулирования и оптимизации технологических процессов, адаптирующуюся к изменениям условий их протекания. Разработан также полный пакет обрабатывающих и управляющих
программ для ЭВМ. Такая система позволяет производить не только автоматизированный контроль качества изделий с повышенной вероятностью принятия правильного решения и математическое моделирование по пассивной контрольно-измерительной информации с целью управления технологическими процессами, но и документированную оценку качества самого технологического процесса.
Разработанные методы, методики и алгоритмы, а также комплексная система управления качеством продукции вместе с программным обеспечением полностью или частично опробована при производстве кристаллов интегральных микросхем, печатных плат, другой электронной продукции, а также в научных исследованиях по медицинской, биологической, сельскохозяйственной и пищевой тематике на ряде промышленных предприятий и научно-
исследовательских учреждений Кишинева, Москвы, С.Петербурга, Тирасполя с большим экономическим эффектом.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Долгов Ю.А. Оценка точности и стабильности технологических операций // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. - 1992. - Вып. 3. - С. 13-17.
2. Долгов Ю.А., Шестакова Т.В. Методы обработки результатов пассивного эксперимента. - Кишинев: изд-во КПИ, 1989. - 32 с.
3. Долгов Ю.А. Модифицированной метод случайного баланса // Электрон. моделирование. - 1987. - Вып. 4. - С. 79-84.
4. Долгов Ю.А., Борщевич В.И., Сорокин Г.Ф. Информационный подход к моделированию технологических процессов. -Кишинев: Штиинца, 1984. - 172 с.
5. Долгов Ю.А., Шестакова Т.В. Метод моделирования технологических процессов серийного производства // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. -1992. - Вып. 4. - С. 18-23.
6. Долгов Ю.А. Статистический контроль качества продукции при выборках малого объема // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. - 1993. - Вып. 2. - С. 17-21.
УДК 621.192
МЕТОД ОЦЕНКИ НАДЁЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Ю. 3. Житников, Б. Ю. Житников
В работе предложен метод оценки надежности сложных электрических, электромеханических и механических систем с учетом циклограммы работы отдельных блоков.
In this work is offered the method of reliability evaluation the complex electrical, electromechanical and mechanical systems with provision for cyclograms of functioning of the separate blocks.
В дальнейшем под сложной системой будем подразумевать механическую систему,
электромеханическую систему, либо электрическую систему, которая может выполнять определённую совокупность функциональных действий. Также будем
считать, что сложную систему можно условно разбить по функциональному назначению на оконченное число блоков, каждый из которых, в свою очередь, также разбивается на более мелкие составные элементы. В процессе работы системы между отдельными блоками устанавливается зависимость, которая может изменяться во времени. В конечном итоге, указанные взаимосвязи существенно влияю на продолжительность безотказной работы всей системы наряду с отклонениями от технических условий её эксплуатации.
К сожалению, классическая теория надёжности, как и
Ю. 3. Житников, Б. Ю. Житников: Метод оценки надежности сложных систем
опубликованные работы в этой области, не учитывают в должной мере внешних условий эксплуатации системы и зависимость между блоками.
Не учитываются так же циклограммы работы, то есть продолжительность функционирования отдельных блоков, хотя это обстоятельство для определённого вида систем (роботы, автоматические линии) существенно влияют на условные вероятности выхода из строя блоков.
Под надёжностью сложной системы будем понимать её способность выполнять заданные функции, сохраняя при этом эксплуатационные характеристики в заданных пределах на данном интервале времени. При этом предполагается, что надёжность работы отдельных элементов системы известна либо из экспериментов, либо из других соображений.
Обозначим через Т - продолжительность работы цикла системы. Для автоматов и роботов это время выполнения заданного вида работ, а для автоматических линий с непрерывным циклом - единица времени (часы, минуты и т.д.).
Пусть система имеет N блоков, а циклограмма включения их в работу и выключения на интервале длиной Т заданы ступенчатыми функциями включения
{/.(Г)}, г = 1, N. На рис. 1 приведён график (циклограмма) одной из таких функций.
ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Для оценки надёжности сложной системы необходимо иметь определённую информацию о надёжности работы отдельных блоков. Этот вопрос может быть решён посредством проведения серии экспериментов с последующей статической обработкой результатов с целью нахождения закона распределения времени безотказной работы блока.
Пусть - случайное время выхода из строя 1-го
блока, тогда для этой случайной величины закон распределения р. (Г) задаётся соотношением:
р(Г) = Р{%; < Г}, г = 1, N. (1)
Иначе говоря, значение Г) равно вероятности того,
что < Г .
Если р\( Г) непрерывная дифференцируемая функция
ар
на числовой оси времени, то функция р( Г) = —
г аГ
называется плотностью распределения вероятностей.
На практике наиболее часто используется три закона распределения: равномерное распределение на заданном интервале, нормальное распределение и
экспоненциальное распределение.
Пусть Ь. - предельный срок службы 1-го блока, тогда
равномерная плотность распределения определена соотношением:
г 1 /Ь., если Г е (ф, Ь )
Р'(Г) = 1Ф Г г ю
[ф, если Г е Ь.
На рис. 2. показан график этой функции.
(2)
Здесь:
а., а2,а
' п
Рис. 1
моменты включения 1-го блока в
Р. 1/Ь
работу, а е^, в2„ .••, еп. - моменты выключения;
п - общее число включений 1-го блока за время Т, п. > 1 .
Для конкретной системы указанные функции {/.(Г)}
определены однозначно, а необходимость их учёта при вычислении надёжности системы обусловлена следующим обстоятельством. Если 1-й блок на данном интервале времени не работает, то и выйти из строя за указанное время он не может из-за неполадок в самой системе. Очевидно в этом случае данный блок "выпадает" из системы и не влияет на работу других блоков. В конечном итоге изменяется во времени, по этой причине, и условные вероятности выхода из строя других блоков
На значения последних влияют и имеющиеся взаимосвязи между блоками.
Рис. 2
и
Очевидно площадь прямоугольника равна 1. Экспоненциальная плотность распределения задаётся функцией
-РЛ
Рг(Г) = 1 - е , Г е Ь г , график которой приведён на рис. 3.
(3)
Ь г
Рис. 3
Площадь заштрихованной области должна быть равна
а
о
а
с
с
Г
