CC BY
54
системы поддержания очистного простран- ства.
1. Андреичев А.Н. Разработка калийных и каменно-соляных месторождений. Часть 2. М, Госхимиз-дат, 1954, 104 с.
2. Замесов Н.Ф. Создание и совершенствование технологии очистной выемки и принципы конструирования систем разработки в условиях больших глубин. Сб. Перспективы подземной добычи руд на больших глубинах. М, ИПКОН
АН СССР, 1985, 9-26 с.
---------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3. Кузьменко А.С. Механика горных пород. М, МГГУ, 2003, 242 с.
4. Патент США № 4136739 кл. 166/300, опубл. 1979 г.
5. Демидов Ю.В, Гущин В.В, Юров А.С. и др. Оценка эффективности разгрузки элементов в конструкции днища блоков защитными зонами. Сб. Разработка мощных месторождений на больших глубинах. Апатиты,
КФ АН СССР, 1983, 31-36 с.
— Коротко об авторах ------------------------------------------
Кузьменко Александр Сергеевич - кандидат технических наук, ОАО НПО ''Физика''.
----------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ
ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
Автор Название работы Специальность Ученая степень
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА
ПЕПЕЛЯЕВ Роман Владимирович Разработка методики гидродинамических расчетов для низкопроницаемых коллекторов с учетом снижения проницаемости 25.00.17 к.т.н.
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЦВЕТНЫХ МЕТАЛЛОВ «ГИНЦВЕТМЕТ»
НОВОЖИЛОВ Андрей Валерьевич Исследование, разработка и внедрение аэрационных устройств для повышения эффективности действия флотационных реагентов 25.00.13 к.т.н.
© О.А. Хачай, О.Ю. Хачай, 2005
УДК 624.131.537/621.37
О.А. Хачай, О.Ю. Хачай
МЕТОД ОЦЕНКИ И КЛАССИФИКАЦИИ УСТОЙЧИВОСТИ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД
С ПОЗИЦИИ ТЕОРИИ ОТКРЫТЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ДАННЫМ ГЕОФИЗИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА *
Семинар № 3
~П настоящее время для более адекватного понимания динамики процессов, происходящих в геологической среде под воздействием как естественных, так и техногенных факторов академиком Паниным В.Е. на основе результатов полученных в рамках его школы [1] введена новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела, лежащая в основе физической мезомеха-ники.
1. Идентификация механизмов пластического течения на различных структурных уровнях деформации, приводящих к кардинальному изменению исходной внутренней структуры твердого тела и формированию в нем диссипативных субструктур как мезоскопических носителей пластической деформации.
2. Установление связи между внешним воздействием, изменением исходной внутренней структуры, формированием иерархии мезоскопических самосогласованных структурных уровней деформации и возникающими вследствие этого механическими полями.
3. Синергетический подход в методологии описания деформируемого твердого тела как неравновесной многоуровневой среды, которая в точках бифуркации теряет свою сдвиговую устойчивость на различных структурных уровнях и разрушается в условиях глобальной потери своей сдвиговой устойчивости на макромасштабном уровне.
Для экспериментального изучения механизмов деформации образцов на мезоуровне были разработаны новые методы с использованием спектр-интерферометрии, оптико-
телевизионных средств технического зрения, измерения фрактальной размерности поверхности деформируемого твердого тела. Оказалось, что на мезоуровне как целое движутся трехмерные структурные элементы (мезообъе-мы). В этом случае достаточно рассмотреть представительный объем, состоящий из не-
скольких десятков мезообъемов, чтобы записать уравнения мезомеханики, учитывающие внутреннюю структуру деформируемого твердого тела.
Для осуществления второго пункта новой парадигмы Паниным В.Е. с соавторами была выписана система уравнений, описывающих механическое поле в деформируемом твердом теле [2]. Оказалось, что она подобна уравнениям Максвелла для переменных электромагнитных полей.
сИл8а - /аЬс (АХ) = ^0
дН.а
(та$а )— [ А^С ]м=-^
(та1Яа )м - /аЬс [А^С ]м = ^Ц- +1 Г;
СШа - (АЬЯС) = 0
где г- =
0 ■■ к п
г0=-р^л?па-^~
от
8а - изменение во времени градиента компонента тензора дисторсии, а = 1,2, ,9; Аа -
градиент компонента тензора дисторсии, отражающий калибровочное поле; С, - предельная скорость распространения калибровочного поля в структурно-неоднородной среде; Ка - градиент компонента тензора изгиба-кручения; /иЪс - структурные константы, учитывающие, что калибровочные поля образуют алгебру Ли; Ха -генераторы группы ОЦ3); За0 - источники калибровочных полей, связанные с изменением репера п во времени; в пространстве; За; -потоки, обусловленные изменением репера в пространстве; =ди - ХаАV - ковариантная
производная; 8а, Яа -компоненты тензора на-
*Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 02-05-64229, .
пряженности калибровочного поля; С; -
упругие константы; р-плотность материала; 1-размерный параметр структурных уровней деформации среды.
Если сделать свертку уравнений по групповому индексу, можно выделить поле смещений и поворотов структурных элементов. В этом случае уравнения принимают вид:
= £паП1а
_ дт
таtv =---
д1
ЛуЗ = 0
(тагё)- = Сг( ^^ Па( °;Па)
V - скорость трансляционных потоков.
Подобно электромагнитному полю, в котором взаимосвязаны переменные электрические и магнитные поля, в деформируемом твердом теле возникает единое механическое поле, содержащее органически взаимосвязанные трансляционную и поворотную моды [2].
Этот результат оказался чрезвычайно важным при выборе геофизических методов, используемых в рамках мониторинга структуры и состояния массива горных пород, находящихся под сильным техногенным воздействием.
Для изучения процессов изменения структуры и состояния массивов горных пород, находящихся под сильным техногенным воздействием впервые именно при использовании разработанной в ИГФ УрО РАН попланшетной электромагнитной методики удалось в рамках натурных исследований реализовать идею выявления зон дезинтеграции в массиве горных пород и организовать мониторинг их морфологии [3, 4]. Используемая методика относится к геофизическим методикам неразрушающего контроля. Она отличается от известных ранее методик просвечивания или томографии системами наблюдения и последующим методом интерпретации, основанной на концепции трехэтапной интерпретации [5-6].
В работе [7] описаны первые натурные результаты по обнаружению явления самоорганизации в массиве горных пород при техногенном воздействии и способу разработки критериев устойчивости на основе предложенной методики классификации. Эти результаты получены на основе анализа нескольких циклов электромагнитного мониторинга массива удароопасного Таштагольского подземного рудника, проведенных в 2000, 2001, 2002, 2003,
2004 гг. в ряде выработок, расположенных на четырех горизонтах на глубинах от 540 до 750 м, с целью выявления морфологии зон дезинтеграции в околовыработочном пространстве в массиве горных пород, находящемся под интенсивным техногенным воздействием и влиянием естественного поля напряжений.
С использованием математического аппарата интерпретации данных электромагнитных исследований [5-6] была проведена количественная интерпретация. В результате построена объемная геоэлектрическая модель массива на четырех горизонтах, которая представляет собой блоковый разрез с неоднородностями меньшего ранга. Эти неоднородности описываются параметром М0, который является моментом эквивалентного сингулярного источника электрического типа (токовая линия). Он пропорционален относительной контрастности проводимости в локальной зоне неоднородности и во вмещающей среде, длине токовой линии и зависит от частоты в случае вложенности строения выделенной локальной зоны, [ - номер источника. В [7] анализируется морфология зон дезинтеграции в почве массива, выявленная по данным электромагнитного индукционного мониторинга в разные годы и в разных выработках. Они разнесены по вертикали на 140 м и по горизонтали на 330 м. Изучение установления подобия структур и их фрактальной размерности позволит понять процессы, происходящие в массиве, которые можно зафиксировать по данным геофизического мониторинга.
Далее в [7] для осуществления количественной оценки устойчивости массива относительно сильных динамических его проявлений введен интегральный параметр поинтерваль-ной интенсивности зон дезинтегра-
ции 8р1п1( N, Т), выявленных по данным электромагнитного индукционного мониторин-
к
га: 8р и =^М0, где Ы-номер интервала, на ко-
I =1
торые разбивается подпочвенное выработочное пространство: N = 1 (0-1 м), N = 2 (от 1 м до 2 м), N = 3 (от 2 м до 3 м), N = 4 (от 3 м до 4
м), N = 5 (от 4 м до 5 м), N = 6 (от 5 м до 6
м), N = 7 (от 6 м до 7 м), N = 8 (от 7 м до 8
м), N = 9 (от 8 м до 12 м), N = 10 (от 12 до 17
м), Т - циклы измерений: Т = 1 (2000 г.), Т = 2 (2001 г.), Т = 3 (2002 г.), Т = 4 (2003 г.), Т = 5 (2004 г.), К = 1%.-количество выделенных не-
однородностей в пределах интервала N по всей длине выработке.
№ 1-я группа 2-я группа 3-я группа
1 Горизонт -140, орт 3 Горизонт -210, орт2 Горизонт -210, орт 8
2 Горизонт -350, орт 20 Горизонт -350, орт 18 Горизонт -280, орт8
3 Горизонт -210, орт4 Горизонт -350, орт 19
Анализируя результаты, полученные для трех частот 20, 10, 5 кГц, можно разбить эти орты на три группы, обращая внимание только на количественные значения8рШ(N,Т): 1-я группа - до 30, 2-я группа от 30 до 40, 3-я группа - более 40.
Структура массива 1-ой группы, не зависимо от глубины залегания орта, характеризуется установлением устойчивой упорядоченности распределения параметра 8р1п1( N, Т) от контура вглубь почвы, особенно это характерно для 4 орта -210 горизонта, где были предприняты повторные измерения в течение трех последних лет, а для 2004 г., измерения проводились до и после массовых взрывов. В свою очередь 4-ый орт проходит по охранному целику, наши результаты исследования свидетельствуют об устойчивости его состояния. Распределение параметра 8р1п1(N, Т) для массива второй группы характеризуется ежегодным изменением своей упорядоченности по интервалам от контура выработки вглубь почвы, при этом имеет место частотная несогласованность этих изменений, однако амплитуда изменений ограничена. По всей вероятности, состояние этого массива можно характеризовать как ква-зиустойчивое. Для массива третьей группы особенности распределение параметра
8рШ(N, Т), указанного для массива второй группы только увеличиваются по своей амплитуде, а массив можно характеризовать как потенциально неустойчивый. Следует отметить, что в 2002, 2003 гг. наиболее сильные динамические проявления имели место именно вблизи 8-ых ортов -210 и -280 горизонтов, орт 19 горизонта -350 также выделяется как аномальный.
Применяя третий пункт новой парадигмы о синергетическом подходе в методологии описания деформируемого твердого тела, следует помнить, что оно должно рассматриваться как открытая, сильнонеравновесная в локальных зонах концентраторов напряжений система, в которой в ходе нагружения протекают неравновесные локальные структурные превращения. Последние развиваются на различных масштабных уровнях и различаются по характеру, энергии, протяженности в объеме, скорости протекания. Их самоорганизация в заданных граничных условиях нагружения обусловливает формирование диссипативных структур, эволюция которых определяет характер пластического течения и разрушения материала. Для нелинейных диссипативных систем было замечено, что в них часто происходит уменьшение числа степеней свободы, эффективно описывающих систему [8].
Уменьшение числа степеней свободы означает, что в системе происходит самоорганизация. Другими словами у системы появляются свойства, которыми не обладают ее части. Возникновение упорядоченности в открытых нелинейных системах кажется парадоксальным. В равновесных системах диссипативные процессы уничтожают любую упорядоченность. В нелинейных динамических системах диссипация выступает в
ином качестве. Ее совместное действие с другими процессами приводит к возникновению структур, она влияет на их тип, форму и размеры.
Оказалось, что для решения многих конкретных задач физики необходимо ответить на вопрос, какие механизмы возникновения пространственно-временной упорядоченности в нелинейных средах. Существуют ли эффективные способы управления процессами в диссипативных системах.
Обычно с целого класса начальных данных в таких системах происходит выход на один и тот же установившийся режим, другими словами, наблюдается “забываются “ детали начальных данных. Это позволяет поставить вопрос о направлении процессов. Для замкнутых систем ответ дает второе начало термодинамики. Для ряда нелинейных сред ответ оказывается аналогичным. С течением времени в них устанавливаются однородные по пространству стационарные распределения. Для моделей, которые их описывают, можно по аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями построить функцию Ляпунова, которая и определяет направление процессов [9, 10]. Однако эта ситуация является не правилом, а исключением. Обычно установившийся режим является более сложным. Его математическим образом является предельное множество, к которому притягиваются траектории в фазовом пространстве системы. Часто его называют аттрактором.
Вернемся к результатам натурных экспериментов, описанных выше и проанализируем динамику параметра 8ріпі(N, Т) в течение го-
да за все 5 циклов наблюдения для массива из ортов, принадлежащих различным группам устойчивости. В качестве одного из устойчивых рассмотрим массив орта 4, горизонта -210 (рис.
1 а-г).
Так, в 2000 г. мы видим, что максимальное значение параметра 8р Ш приходится на первый интервал от 0 до 1 м, в 2001 г. максимум параметра 8рШ перемещается на 4-й интервал.
В 2002 г. максимальное значение параметра 8рШ перемещается еще глубже в массив.
В 2004 г. максимальное значение параметра перемещается снова на контур выработки.
Таким образом, полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что имеет место циклическое перемещение зон дезинтеграции, проявляемое в положении максимального значения параметра 8рШ . На частотах 5 и 10 кГц имеет место аналогичная картина, однако цикличность смещена на один год в сторону запаздывания.
Представляет интерес проанализировать динамику параметра 8р1п1(N, Т) в течение года за все 5 циклов наблюдения для массива из ортов, принадлежащих группе неустойчивых массивов. К ним принадлежит орт 8, горизонта -210 (рис. 1д-з).
Резкие изменения в максимальных значениях параметра 8рШ проявляются в 2002 г., причем от 8 до 9 м от контура выработки вглубь почвы.
Г ори зонт -210,орт4, частота 20 кГ ц 2000-2001 гг.
1 23456789 10
Номера интервалов
Рис. 1а. Распределение поинтервальной интенсивности для массивов различной степени устойчивости
Номера интервалов Рис. 1в
Номера интервалов Рис. 1г
В 2003 году проявляется резкое уменьшение параметра 8рШ и оно сохраняется и в 2004 г. Массив орта 8 находится в стадии сильного разрушения.
Надо сказать, что для этого орта динамика распределения параметра 8р Ш идентична для всех частот.
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы: массив горных пород представляет многоранговую иерархическую структуру. Изучение динамики состояния, его структуры и явлений самоорганизации массива можно вести геофизическими методами, настроенными на такую модель среды.
Spint Spirit Spirit Spirit
Горизонт -210, орт8, частота20 кГц, 2000-2001 гг.
Номера интервалов Рис. 1д
Горизонт -210, орт8, 20 кГц, 2001-2002гг.
Номера интервалов
Рис. 1с
Горизонт -210, орт©, частота20 кГц, 2002-2003гг.
Номера интервалов
Рис. 1ж
Горизонт -210, орты 8,7, частота20 кГц, 2003-2004гг.
—^—2003г. ,8орт
0—“Т —і № ^ g — 1 0 1 В 1 В 1 Н 1 6 і Н 1
1 23456789 10
Номера интервалов
Рис. 1з
Рис. 2а
Использование попланшетной многоуровневой индукционной электромагнитной методики с контролируемым источником и соответствующей методики обработки и интерпретации позволило выявить зоны дезинтеграции, являющиеся индикатором устойчивости массива. Введение нового интегрального параметра -поинтервального распределения интенсивности зон дезинтеграции, позволяет перейти к детальной классификации массива по степени устойчивости, ввести для этого количественные критерии и характеризовать устойчивость массива с точки зрения выхода на стационарную цикличность положения максимума параметра 8рШ в зависимости от глубины от контура выработки 7шах. Анализ дисперсии от частоты 7шах позволит ввести дополнительные градации по устойчивости массива в детальную его классификацию.
Для проведения геомеханических исследований необходимо использовать информацию о глубине расположения максимума зон дезинтеграции. Анализ динамики во времени параметра 8рШ позволяет сделать предположение о необходимости перемещения по глубине реперов измерения деформационных характеристик, а также приращения напряжений в массиве.
Использование настоящей системы мониторинга в рамках технологии отработки глубо-козалегающих месторождений может позволить предотвратить сильные динамические явления, в частности, использованием разнонаправленных массовых взрывов. Эта идея была опробована на Естюнинской шахте магнетитового месторождения. Таштагольское и Естю-нинское месторождения входят в состав Казско-го и Тагильского рудных полей, обладающих парагенетической связью
Зависимость от частоты распределения поинтервальнои интенсивности _____зон дезинтеграции Висячий бок, горизонт -240, 17-18 марта 2004г._
(До массового взрыва)
\
\\
\\ О 5 кГц —а—10 кГи —г!!—20 кГ и —«—40 кГ и ж 80 кГ и
%
—~ &_
1 23456789
_______Номера интервалов_
Рис.4а
Рис.4б
Зависимость от частоты расределения поинтервальнои интенсивности зон дезинтеграции Висячий бок, горизонт -240,23 марта 2004г. (После массового взрыва)
123456789
Номера интервалов
Рис.4в
[11]. Представляет интерес исследовать и поведение массивов горных пород при сильных техногенных воздействиях в рамках той же системы мониторинга.
Краткую сравнительную с Таштагольским месторождением геомеханическую характери-
стику можно получить из работы Зубкова А.В.
[12]. Например, если полусумма максимальных и минимальных тектонических напряжений в Таш-таголе составляют 24.5 МПа, то на Естюнинском месторождении эта величина достигает значений 124 МПа,
Зависимость от частоты распределения поинтервапьной интенсивности зон дезинтеграции Висячий бок, горизонт -240, 24 марта 2004г. (После массового взрыва)
Номера интервалов
Рис. 4г
Изменение во времени распределения поинтервальной интенсивности зон дезинтеграции (Висячий бок), горизонт-240, частота 5 кГц.
Рис. 5а
Рис. 5б
что превышает аналогичные величины на всех известных на Урале месторождениях. В работе
[13] делается вывод о том, что такой массив может накапливать высокий уровень напряжений.
В связи с этим в 2004 году в марте и июне месяце было произведено два цикла электромагнит-
ного индукционного мониторинга в течение нескольких дней до и после массовых взрывов. В марте месяце был произведен массовый взрыв вдоль направления максимальных горизонтальных напряжений, в июне поперек, причем сила массового взрыва была примерно сопоставимой.
Изменение во времени распределения поинтервапьной интенсивности зон дезинтеграции (Висячий бок), горизонт -240, частота 20 кГц.
0 11 июня 2004г (до взр.) □ 13 июня 2004г.(до взр.) Д 15 июня 2004г.(после взр. к 1В июня 2004г (после взр. * 17 июня 2004г (после взр.
С о с
123456789 Номера интервалов
Рис. 5в.
Электромагнитные наблюдения велись на нескольких горизонтах, мы приводим результаты исследования на горизонте -240 по профилям (1), расположенном в висячем боку рудного тела и (2) в лежачем боку.
Система наблюдения абсолютно идентична той, что использовалась на Таштаголь-ском руднике. Поэтому перейдем сразу к анализу аналогичных параметров электромагнитного индукционного мониторинга. Будем анализировать параметр интегральной интенсивности Бр в почве массива для двух циклов мониторинга [13]:
Полученные результаты (рис. 2 а, б) свидетельствуют о значительной зависимости этого параметра, характеризующего активизацию отклика массива, от направления взрыва.
Будем анализировать параметр 8рШ [17]: анализ первого цикла наблюдений показывает, что наибольшая интенсивность распределения зон дезинтеграции в массиве висячего бока, горизонт -240 до массового взрыва сосредоточена в почве вблизи контура выработки, и это прослеживается на всех частотах.
На следующий день после массового взрыва интенсивность зон дезинтеграции существенно (от 5 (40 кГц) до 30 раз (5 кГц)) упала, причем максимум параметра 8рШ сместился на второй интервал (от 1 до
2 м).
На следующий день картина распределения параметра 8рШ стала восстанавливаться к той, что была до взрыва, однако с большей дисперсией по частоте:
так, на частоте 5 кГц, т. е. на частоте большего проникновения вглубь массива наблюдается большая растянутость вглубь массива значимых значений параметра 8р Ш .
На следующий день (рис. 4, г) наблюдается резкое увеличение 8рШ на частоте 80 кГц для второго интервала, что означает начало новой перестройки распределения зон дезинтеграции вблизи контура.
На рис. 5а-5в анализируется изменение во времени параметра 8рШ во время второго цикла мониторинга для частот 5, 10 и 20 кГц. Из полученных результатов следует, что только на частоте 5 кГц имеется резкое уменьшение параметра 8рШ на следующий день после массового взрыва. Затем эта величина восстанавливается до исходной. Наибольшая дисперсия по смещению максимума параметра 8р Ш наблюдается по результатам мониторинга на 20 кГц, причем максимум параметра 8рШ сместился после взрыва на третий интервал от контура выработки и его положение совпало со значением интервала по максимуму 8рШ на предыдущих частотах. При этом амплитуда максимума практически не зависела от воздействия взрыва.
Таким образом система мониторинга, применяемая в течение 5 лет в Таштаголе является эффективной и информативной по изучению строения и состояния массива и в Естюнинской шахте. Явления саморганиза-ции, которые мы зафиксировали по данным электромагнитного индукционного мониторинга в шахте Естюнинская свидетельствуют о перестройке массива вблизи его контура, не затрагивая более внутренние его части.
Поэтому деформационные замеры, производимые на контуре выработки характеризовали состояние массива в целом. Предложенный новый параметр поинтервальной интенсивности зон дезинтеграции, позволяющий ввести количественную классификацию со-
1. Физическая макромеханика и компьютерное конструирование материалов. 1995 - Новосибирск: Наука Т.1 СИФР, С. 365
2. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е. и др. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле. // Изв. Вузов. Физика. 1987, №1, с. 34-51.
3. Хачай О.А., Новгородова Е.Н., Хачай О.Ю.
Новая методика обнаружения зон дезинтеграции в око-ловыработочном пространстве массивов горных пород различного вещественного состава. // Горный информационный аналитический бюллетень. - М.: Изд-во
МГГУ. 2003, №11, с. 26-29.
4. Хачай О.А. К вопросу об изучении строения, состояния геологической гетерогенной среды и их динамики в рамках дискретной и иерархической модели. //Геомеханика в горном деле. - Екатеринбург: ИГД УрО РАН, 2003. с. 30-38.
5. Хачай О.А. К вопросу об изучении строения и состояния геологической гетерогенной нестационарной среды в рамках дискретной иерархической модели // Российский геофизический журнал, 2004, № 33-34, С. 32-37.
6. Хачай О А., Влох Н.П., Новгородова Е.Н., Хачай А.Ю., Худяков С.В. Трехмерный электромагнитный мониторинг состояния массива горных пород. // Физика
Земли, 2001, №2, с. 85-92.
стояния массива в рамках трех градаций: устойчивый, неустойчивый и промежуточный. Проверка этого подхода осуществлена на данных пространственно-временного электромагнитного индукционного активного мониторинга.
----------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
7. Хачай О.А. Явления самоорганизации в массиве горных пород при техногенном воздействии. // Физическая мезомеханика 7, Спец.выпуск, Ч.2., 2004, С. 292-295.
8. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.1992. - М.: Наука. Гл.ред физ.-мат.лит-ры.
9. Зеленяк Т.И. Качественная теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа. - Новосибирск: Изд-во НГУ 1972, 147 с.
10. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений - М.: Мир.- 1985. 376 с.
11. Карасик М.А. Послемагнитные рудные поля и их классификация. АН УССР, ИМР, Киев. 1963, с. 205.
12. Зубков А.В. Гипотеза нелинейного изменения гравитационно-тектонических напряжений с глубиной в верхней части земной коры.// Геомеханика в горном деле. ИГД УрО РАН, Екатеринбург, 2003., с. 17-21.
13. Нечкин Г. С. Естюнинское скарново-
магнетитовое месторождение и его место в Кушвин-ско-Высокогорской рудно-магматической системе. // УГГА, Екатеринбург, 2002г. Тезисы докладов III Все-уральского металлогенического совещания "Металлогения и геодинамика Урала. С. 87-89.
— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------------------
Хачай Ольга Александровна - доктор физико-минералогических наук, главный научный сотрудник, зав. гр. СЭМИ, Институт геофизики УрО РАН, Екатеринбург.
Хачай Олег Юрьевич - магистрант математико-механического факультета Уральского государственного университета.
--------------------------------------------------------------- © Л. Д. Павлова, 2005
УДК 622.831.232
