CC BY
46
УДК 656.62.052.484
И. В. Адерихин, М. Г. Воротынцева
Московская государственная академия водного транспорта Астраханское речное училище
МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ГОТОВНОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СУДНОМ
При создании и эксплуатации судов морского и речного транспорта (МРТ) возникает необходимость оценивать показатели эксплуатационных свойств (ЭС), и прежде всего такого интегративного свойства, как готовность системы управления судном (СУС) к решению задач в различных условиях плавания. Анализ современного состояния вопроса показал, что наиболее приемлемым методом исследования готовности сложных систем является метод пространства состояний (МПС) на основе марковских и полумарковских процессов (МП и ПМП). В общем виде простые модели с использованием МП и ПМП исследовались в ряде работ, например [1-3], в которых анализ проводился путем задания исходной системы интегральных уравнений. Исследования же готовности СУС МРТ методом пространства состояний на базе МП и ПМП отсутствуют. Ниже излагается содержание одного из наиболее доступных для практики методов оценивания готовности СУС МРТ с использованием ПМП и МП [1, 4].
Существует несколько способов задания ПМП при исследовании сложных систем [2]. Анализ показал, что наиболее адекватным для решения теоретических и прикладных задач оценивания готовности СУС является такое представление, когда фазовый портрет исследуемого процесса функционирования СУС МРТ задан: графом состояний G(P,Q); возможными переходами {/, у}; матрицей независимых функций распределения Q(t) = {бг/(0 времени пребывания СУС МРТ в 7-м состоянии перед переходом в у-е состояние, т. е. таких функций, которые имели бы место, если бы данный выход из состояния 7 был единственным; начальным состоянием процесса в момент 7 = 0. Тогда при наличии смежных состояний вероятность перехода Ру(0 в направлении 7 ® у вычисляется следующим образом [2]:
t
р*(о=|п[1- агмшА(), (1)
0 кф
где П ьу[1- Qг■k(7)] - вероятность невыхода из 7-го состояния за время 7 по направлению к Ф у; dQ7j(t) - вероятность перехода по направлению у в окрестности 7.
Установившееся (стационарное) значение переходной вероятности р7у получим из выражения
Ру( ) = 1 1ШРгу( 7) = \рг()Ж = |П[1- Qгk(7)]dQгj(7). (2)
0 0 к Ф]
Вероятность (1) есть вероятность сложного события: перехода в состояние у(Ру) и пребывания в 7-м состоянии в течение времени 7 (Ру(7)), т. е.
Ру(7) = РтРу{7), (2а)
откуда можно определить условную функцию распределения времени ожидания перехода
ру(7) = Ру(7)Ру1. (2б)
Следовательно, исходная матрица независимых функций распределения времен ожидания переходов Q(7) трансформируется в две матрицы: переходную матрицу Р = {dQу{f)}, г,у = 1, Ы, и матрицу условных функций распределения (ФР) времени ожидания перехода Р(7) = {^(7)}, г , у = 1, Ы, определяющих функционирование полумарковской модели СУС МРТ. Если все Ру(7) = 0, при 7 < 1 и F у(7) = 1, при 7 > 1 (скачки происходят через каждую единицу времени), то ПМП превращается в марковскую цепь с дискретным временем [1, 2], если же Ру(7) экспоненциальные, то ПМП превращается в МП с непрерывным временем. Показатель готовности СУС СМРТ в переходный период определим как вероятность ру(7) того, что в момент времени 7 СУС находится в состоянии у, если в момент 7 = 0 она была в состоянии . СУС, стартовав из состояния , может попасть в состояние у в момент времени 7 разными путями. Во-первых, если г = у, то она может не покидать состояния в течение промежутка времени, или, выйдя из состояния г, она все-таки возвращается в состояние г к моменту времени 7. Во-вторых, СУС может попасть в произвольное состояние у, занимая в момент времени т некоторое промежуточное состояние г. Вероятности этих двух взаимно исключающих возможностей должны складываться. Таким образом, приходим к уравнению для вероятности рг](7):
N 7
Ру(7) = Уг(7) + X \ршу(7 - т)йрш(т). (3)
п=1 0
Первый член в (3) - Уг(7) - вероятность того, что СУС не покинет состояние в момент времени 7.
Уг(7) = [1- Рг(7)]6у, (4)
где 5у - символ Кронеккера, 5у- = 1, если г = у; 5у- = 0, если г Ф у, Р](7) - безусловная функция распределения времени пребывания ПМП в состоянии может быть получена непосредственно через Qу(7) по формуле
Рг(7) = 1- П[1- Qу(7)]. (5)
у
Тогда выражение (4) будет иметь вид
V(7) = 5уП[1- Qу(7)], (6)
у
где П[1- Qу(7) - вероятность того, что ПМП за время 7 не перейдет из г -го
ни в какое у-е состояние; 1 - Пу[1 - Qу(7)] - вероятность перехода хотя бы
в одно из у-х состояний.
Второй член выражения (3) - вероятность последовательных событий, когда СУС совершает переход из состояния г в состояние п к моменту т и затем переходит из состояния п в состояние у за оставшееся время 7 - т. Вероятности частных переходов суммируется по всем промежуточным состояниям п, в которые возможны переходы из начального состояния г, и интегрируются по всевозможным временам перехода т между 0 и 7.
Система линейных интегральных уравнений (3) является основной. Она позволяет получать выражения для вероятностей состояний исследуемого процесса, в частности и для показателей готовности СУС МРТ через основные характеристики полумарковского процесса (вероятностновременные параметры). Решим ее, используя выражение для вероятности (2а), приведя к виду
N 7
Ру(7) = Уг(7) + ХРг^Рпу(7 - т^т(т). (7)
п=1 0
После дифференцирования подынтегральное выражение примет вид
N 7
Ру(7) = Уг(7) + ЪРгп\/гп(т)Рщ(7 - Т)Л, (8)
п=1 0
где/7п(т) - плотность переходной вероятности в направлении п.
Применим преобразование Лапласа для свертки [2]:
N
РО = У&) + ХРу/ЛФп^). (9)
7 =1 1 £ уу £ N
Обозначим
фт(?) = Рг/гп^), (9а)
затем представим систему (9) в матричном виде:
Р(5) = У?) + ф(ф(у), (10)
в результате её решения получим
Р(?) = [I - фООГ'фОО, (11)
где I - единичная матрица, [I - ф(?)] = А0(,?) - переходная матрица.
Для ПМП, заданного переходной функцией Q(7) = ^уу(7)}, 7,у = 1, N в пространстве состояний Х, значения недиагональных компонентов переходной матрицы А() в терминах преобразования Лапласа определяются переходными вероятностями из соотношения
ф(?) = ?Ргу(?). (12)
Из определения переходной вероятности (12) после дифференцирования, учитывая, что р7у - скаляр, получим выражение
<фгу(7)М= Рг/у(7). (13)
Используя правило дифференцирования для преобразования Лапласа, получим, что
Pjjs) = spjs) - p„( + 0). (14)
Из (1) получаем, что
py(0) = pi/Fy (0). (15)
Из свойств функций распределения Fj(t) следует, что ее значение в окрестности нуля Fy(+ 0) = 0.
Таким образом, получены все исходные данные для решения системы уравнений (3). В результате из (9) выражение для вероятностей со-
стояний исследуемого ПМП в терминах преобразования Лапласа относительно независимой переменной s имеет вид
Pij(s) = [detAD(s)]-14i(s)y/(s), (16)
где detA (s) - определитель матрицы AD(s) из решения уравнения; Aji(s) -адъюнкта элемента а/7 матрицы AD(s) (алгебраическое дополнение элемента ар матрицы A; yj(s) - преобразование Лапласа от yj(t).
Выражение (16) позволяет определять вероятности состояний полу-марковского процесса как функции времени после обращения преобразования Лапласа. Если необходимы только стационарные значения вероятностей состояний, то целесообразно воспользоваться следующим алгоритмом. Предположим, что финальные вероятности состояний существуют, определим их стационарные значения:
Pi/ = limp у(0 = limspj(s). (17)
t-s----------0
Из условия инвариантности начальных распределений для эргодиче-ского процесса следует, что вероятности, полученные для переходного режимаPj(t), сходятся при t—¥ к финальным вероятностям p/ [2].
Из (11) получим
lims {pij(s)} = lims [I - j(s)]-1Fj(s). (18)
s—0 s—0
Как показано в [2], решив пределы в формуле (18), получим выражение для финальных вероятностей
N
Pi = Ziti/Zz/tj, (19)
i=j
где ti - среднее время нахождения в i-м состоянии:
ti = Jy (t)dt = ]п[1- Qij(t)]dt; (20)
0 0 jeX
zi - стационарные вероятности состояний вложенной марковской цепи, которые определяются из решения системы уравнений
Zi = ZZjPji при ZZj = 1. (21)
j j
Необходимо заметить, что марковские вероятности zi могут значительно отличаться от полумарковских вероятностей pi, так как в системе (21) не учитывается время, проведенное процессом в том или ином состоянии. Выражение (19) можно представить в виде
Рг = t/ZOjtj, j = 1, N, (22)
где a = Zj/Zi, что намного упрощает решение системы (21) за счет того, что можно исключить нормирующее условие и при этом можно искать не значения Zj, а их отношения а;-. Если все ti равны, то pt = zi, т. е. если ПМП во всех состояниях в среднем пребывает одинаковое время, то вероятности этих состояний совпадают с марковскими.
Таким образом, подводя итог в целом, следует отметить, что изложенный метод позволяет разрабатывать конкретные математические модели оценивания нестационарных и стационарных показателей готовности СУС, учитывающие режимы и динамику функционирования, условия и особенности применения, эксплуатационные и технические характеристики СУС МРТ и обслуживающего персонала, а также ряд других специфических факторов, влияющих на их готовность.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Сильвестров Д. С. Полумарковские процессы и их приложения. - Киев: Наук. думка, 1982.
2. Тараканов К. В., Овчаров Л. А., Тырышкин А. Н. Аналитические методы исследования систем. - М.: Сов. радио, 1974.
3. Тихонов В. И., МироновН. П. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977.
4. Адерихин И. В., Чертов В. В. Методика построения полумарковских математических моделей оценивания показателей эксплуатационных свойств сложных систем. - М.: МГАВТ, 1999. - С. 30-44.
Получено 3.03.05
METHOD OF INDEXES ESTIMATION FOR READINESS OF VESSEL CONTROL SYSTEM
I. V. Aderikhin, M. G. Vorotyntseva
It should be noted that on solving theoretical and practical problems on estimation of vessel control system readiness of sea-going vessel (SVC SV) it is a matter of convenience to present its functioning.
In the form of polymarkovian' s process when given: graph of conditions G (PQ) and possible change-overs {i, j}, matrix Q (t) = {Qj (t)} of time independent function of distribution of system stay in i-condition before the transition of it into j-condition if the given exit from i-condition would be the only one; the initial state at the moment is t = 0. All necessary components were obtained under these conditions by using the method of space states, advisable for readiness of SVC SV.
