Метод оптимизации нагретого толстостенного цилиндра на основе решения обратной задачи теории упругости неоднородных тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

4/2010 ВЕСТНИК

_МГСУ

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ НАГРЕТОГО ТОЛСТОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

METHOD OF OPTIMIZATION OF WARM THICKWALLED CYLINDER ON THE BASIS OF THE DECISION OF RETURN PROBLEMS OF THE THEORY OF ELASTICITY OF NONHOMOGENIOUS BODIES

В.И. Андреев, A.C. Минаева

V.I. Andreev, A.S. Minaeva

ГОУ ВПО МГСУ

На основе первой теории прочности определяется зависимость модуля упругости от радиуса, при которой максимальные напряжения в цилиндре постоянны.

On the basis of the first theory of strength dependence of the module of elasticity on radius at which the maximum pressure in the cylinder are constant is defined.

1. Постановка задачи

В монографии [1] приведено разрешающее уравнение относительно напряжения ar для плоской осесимметричной задачи (плоское деформированное состояние):

a'r+9(r К + y(r) = f (r), (1)

где для случая V = const

, ч 3 Е' 1 - 2v Е'

Ф(г)-----; ¥(r) = -——-•—;

r Е r(1 -v) Е

(2)

f (r)=-

r (1 -v )

Здесь 8 - вынужденные (в данном случае температурные) деформации, которые при вычисляются по формуле:

в e =аТТ(r), (3)

где коэффициент линейного температурного расширения ar = const. Подставляя (2) и (3) в (1), приходим к уравнению

„ ,3 Е' 1 - 2У Е' Е (1 + у)атТ'

ъг + (- - — К - —-- • — ---4 У 2 ч • (4)

г Е г(1 -V) Е г(1 -V )

Стационарное температурное поле в цилиндре, на внутренней границе которого поддерживается температура Т0, а на внешней поверхности Т = 0, описывается формулой

где Ь и а - соответственно внешний и внутренний радиусы цилиндра.

Для определения констант интегрирования уравнения (4) используются граничные условия

г = а, а г = 0;

и ■ ^

Г - Ь, а г =-Рь •

2. Прямая задача для однородного материала.

С учетом однородности материала уравнение (4) преобразовывается к виду

,, 3 . Е(1 + \)<ХтТ'

' '""аг =--Г

Г г(1 -V

Из уравнения равновесия

а'Г +" аГ =~ (1 2) • (7)

Г Г (1 -V )

^ + = 0 (8) ^ Г

получаем

ае = тС'г + а г . (9)

Из третьего соотношения Дюгамеля-Неймана, полагая £2 = 0, можно получить выражение

аг =у(аг +ов)-агЕТ . (10)

Иа рис.1 приведены результаты расчета, полученные при следующих исходных данных: V = 0.2; а = 1м; Ь = 2м; Т0= 100°С; Е0= 2104МПа; ат = 1 • 10 51/°С; ра = 0;

рь = 50 МПа.

Отметим, что решение задачи получено в предположении, что цилиндр достаточно длинный, и в нем осуществляется плоское деформированное состояние.

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

-25 -50 -75 -100 -125

-150

МПа -175

N oL

Рис. 1. Напряжения в однороднее цилиндре

Однако на практике конструкции имеют конечную длину и при наличии свободных торцов напряжения а. на торцах будут равны нулю. Как показано в [2], из усло-

вия

|а zdF = 0

= 0 можно вычислить среднее напряжение

|аzdF / F,

которое следует добавить к вычисленным напряжениям. Тогда в средней части цилиндра будет осуществляться напряженное состояние, соответствующее конечному цилиндру.

3. Равнонапряженный цилиндр. Обратная задача.

Идея метода создания модели равнонапряженных конструкций основана на многочисленных результатах расчетов неоднородных тел, в которых показано, что если в некоторой области тела модуль упругости меньше, чем в однородном материале, то напряжения в этой области также уменьшаются, и наоборот. Ниже приводится решение обратной задачи, в которой разыскивается функция £(r), уменьшающаяся вблизи

внутренней поверхности цилиндра, что приводит к снижению напряжений ае в этой

области.

В данном случае, исходя из теории прочности максимальных нормальных напряжений, определяется напряженное состояние, удовлетворяющее условию amax = ае = const, что соответствует модели равнонапряженного цилиндра [3].

Подставляя ае = а0 = const в уравнение равновесия (8), получим

(11)

Решением этого дифференциального уравнения будет функция

r

А

ог =—ьа 0. (12)

г

Константы А и а0 можно определить, используя граничные условия (6): Л=100МПам, а 0= -100МПа.

Подставляя функцию напряжений (12) в разрешающее уравнение, после некоторых преобразований получаем дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции £(г):

Е'—г-,—4--ЛЕ----Е2 = 0, (13)

г[А(1 - к)- кго0 ] А(1 - к) - кго0 К '

ат Т ■ г 1 - 2у В-----, к =-.

1 -V 1-V

Уравнение (13) представляет собой уравнение Бернулли [4], решая которое получаем искомую зависимость £(г):

я = 1

й

где К =

В (йг + е)" „ ^ (йг + с)" п (14)

-А Н--О

, ,, , пс пс2 «с3 1п(йг + с) +---- + -

йг + с 2(йсг + с)2 3(йсг + с )3 п(йг + с)" п -1/(1 - к), т=п+1, й = -ко0, с - А(1 - к).

Константу О можно определить из двух различных граничных условий для Е:

1 - г=а, £=£0=20000 МПа;

2 - г=Ъ, Е= £,=20000 МПа.

На рис.2. представлены соответствующие двум указанным вариантам графики зависимости £(г).

На рис. 3 приведены эпюры напряжений в равнонапряженном цилиндре. Как и следовало ожидать, результаты вычисления напряжений оказались для обоих вариантов одинаковыми, поскольку напряжения зависят не от конкретных значений модуля упругости, а от тенденции его изменения. Следует отметить, что в равнонапряженном цилиндре напряжение Се = а0= -100 МПа, в то время как в однородном цилиндре

тах = -160 МПа.

Для проверки полученных результатов было проведено решение прямой задачи, определяемой уравнением (4), путем прямой подстановки в него зависимости (14). Результаты совпали с представленными на рис. 3.

т

г

п

г

с

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

2.8 E/E0 2.4

2 1.6

1.2 1 0.8

0.4

1 ^

3 г~

1

\_2_

1 1.2 1.4 1.6 1.8 r/a 2

Рис. 2. Зависимости модуля упругости в неоднородном равнонапряженном цилиндре

1 - E=E1(r); 2 - E=E2 (r); 3 - E=E0 = const

Рис.3. Напряжения в однородном (---) и

неоднородном ( — ) цилиндре

Литература

1. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: Изд-во АСВ, 2002, - 288 с.

2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1979. - 560 с.

3. Андреев В.И., Потехин H.A. Равнопрочные и равнонапряженные конструкции. Моделирование и создание. Строительные материалы, оборудование, технологии XXI века, 2009, № 6, с. 48-50

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

The literature

1. Andreev V. I. Some problems and methods of mechanics of non-рщьщпутшщгы bodies. M: Publishing house ASV, 2002, - 288 p.

2. Timoshenko S.P., Gudjer of J. The theory of elasticity. - M: Nauka, 1979. - 560 p.

3. Andreev V. I, Potekhin I.A. Equally-stressed and stress-ration structures. Modeling and creation. Building materials, the equipment, technologies of the XXI-st century, 2009, № 6, p. 48-50

4. Kamke E. Spravochnik on the ordinary differential equations. - M: the Science, 1976. - 576

Ключевые слова: оптимизация ,теория прочности, неоднородность, толстостенный цилиндр, теория упругости, обратная задача, напряжения

Key words: optimization, the strength theory, heterogeneity, thick-walled cylinder, the theory of elasticity, a return problem, stresses

129337, Москва, Ярославское ш., 26, МГСУ, тел./факс: (499)183-57-42, e-mail: [email protected]

Рецензент: Кривошапко С.Н., д.т.н., профессор РУДН