Метод оптимизации многоэтапных программ повышения уровня техногенной безопасности региона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Design and Simulation Tool for QCA/K. Walus// Internet journal of Nanotech. and Appl. 2005. Vol.2. №1. P.1 - 7. 4. Пакулов Н. И., Уханов В. Ф. Расчет и экпериментальные исследования мажоритарных элементов интегрального типа. В кн. Приборы и системы автоматики. Изд-во Харьк. ун -та. 1971. Вып. 19 . С.37-44.

Надійшла до редколегії 23.12.2013

Мельник Олександр Степанович, канд. техн. наук, доцент кафедри електроніки Національного авіаційного університету. Наукові інтереси: наноелектроніка, системи автоматизованого проектування, моделювання одноелектронних схем. E-mail: melnyk.ols@gmail.com, тел.: (050) 5501090, (093) 9945251.

Козаревич Вікторія Олександрівна, асистент кафедри електроніки Національного авіаційного університету. Наукові інтереси: цифрова наноелектроніка, математичне моделювання одноелектронних схем. E-mail: st-viktoria@yandex.ru

Тодавчич Сергій Васильович, студент кафедри кафедри електроніки Національного авіаційного університету. Наукові інтереси: моделювання одноелектронних схем. E-mail: s.todavchych@gmail.com.

УДК 519.6

В.М. ПОПОВ, М.В. НОВОЖИЛОВА, И.А. ЧУБ

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОЭТАПНЫХ ПРОГРАММ ПОВЫШЕНИЯ УРОВНЯ ТЕХНОГЕННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ РЕГИОНА

Предлагается и исследуется математическая модель оптимизационной задачи повышения уровня техногенной безопасности региона в рамках многоэтапных программ обеспечения безопасности региональных социально-экономических систем. Представляется метод ее решения, который отличается от предложенных ранее учетом специфики формирования функции цели и ограничений рассматриваемой оптимизационной задачи, а также построением модификации аддитивного алгоритма Балаша.

1. Введение

При решении задачи обеспечения техногенной безопасности территорий и населения необходимо учитывать постоянное повышение требований к системе гражданской защиты как по ее составу, так и по качеству управления [1,2], наличие дефицита финансовых и материальных ресурсов государства и предприятий, высокий износ основных фондов территориальных (региональных, местных) подсистем гражданской защиты и предприятий.

Одним из этапов управления является определение текущего уровня техногенной безопасности региона и решение двух взаимосвязанных задач: разработка стратегии повышения уровня техногенной безопасности, а также обеспечение текущего уровня безопасности региона с учетом фактора старения основных фондов предприятий, ухудшения состояния инженерной инфраструктуры городов, понижения рекреационных способностей региона.

Решение этих задач, как правило, осуществляется в рамках многоэтапных программ обеспечения безопасности в региональных социально-экономических системах.

2. Анализ предыдущих исследований

Различным аспектам оценки и обеспечения техногенной безопасности потенциально опасных объектов (ПОО) посвящено множество научных публикаций. В работе [3] обсуждался переход от концепции «абсолютной» безопасности к концепции «приемлемого» риска. Вопросы создания формальных средств оценки эффективности региональной системы гражданской защиты как целенаправленной системы изучались в [4-6].

Модели разработки многоэтапных программ обеспечения безопасности в региональных системах и методы решения соответствующих оптимизационных задач рассматривались в работах В. Н. Буркова, А. Ф. Грищенко [7], А. И. Хлытчиева [8] и других авторов.

Анализ этих и других публикаций показывает, что инструментальные средства математического моделирования и решение задачи повышения уровня техногенной безопасности

70

региона в условиях ограниченных ресурсов развиты недостаточно. Это объясняется сложностью параметрической идентификации задачи в силу ее большой размерности, наличия неформализованных данных, экспертной информации и, следовательно, комбинаторной сложностью.

Целью данной работы является построение оптимизационного метода решения многоэтапной дискретной задачи повышения уровня техногенной безопасности региона в условиях ограниченных ресурсов.

3. Постановка задачи повышения уровня техногенной безопасности региона

В настоящее время не существует универсальной методики оценки уровня техногенной безопасности ПОО. Такая ситуация обусловлена большим количеством и разнородностью ПОО, характеризующихся собственными множествами свойств и параметров, а также опасных факторов чрезвычайных ситуаций (ЧС), возникновение которых на ПОО является наиболее вероятным. Техногенная безопасность - это понятие многофакторное, оно включает пожарную безопасность, а также химическую, радиационную и другие виды безопасности.

В основу всех имеющихся методик оценки техногенной безопасности объектов положена концепция определения численных значений критериев техногенной безопасности ПОО, которые характеризуют влияние опасных факторов техногенной ЧС на человека и окружающую среду, а также опасность уничтожения или повреждения материальных ценностей.

Рассмотрим регион, в котором расположено конечное множество N предприятий -объектов повышенной опасности. Каждый ПОО характеризуется своим уровнем техногенной безопасности yn, n=1,2,...,N. В общем случае yn представляет собой вектор, компоненты которого yk, k= 1,2, , Kn, характеризуют уровни различных видов техногенной

безопасности.

Измерение уровней безопасности и риска реализации различных видов опасности может осуществляться как в качественных («низкий», «средний», «высокий») [3], так и в количественных шкалах в зависимости от предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР). В работе используется целочисленная количественная шкала [0,1,_, Mmax], такая, что уровень yk безопасности k-го вида n-го ПОО связан с уровнем риска х n соотношением

х k+yk

yk=Mn

M

n

max •

max. Пусть при этом отсутствие k-го вида опасности на ПОО означает

Тогда скалярная оценка yn общего уровня безопасности ПОО представляется как

Уп = “Ч yk'

k =1,2...,Kn

(1)

Таким образом, использование скалярной оценки уровней yn, n=1,2,_,N техногенной безопасности множества ПОО региона позволяет построить интегральную оценку техногенной безопасности региона в виде аддитивной функции

N

Y= Z Хnyn , (2)

n=1

где ^={^ь А,2,_., ^n} - вектор оценок значимости каждого из N предприятий для региона.

Отметим, что в зависимости от предпочтений ЛПР коэффициенты А,= {А,1, А,2,_., 4} могут отражать уровень потенциальной техногенной опасности для территории и человека в соответствии с классификацией ПОО.

На сегодня состояние территориальных подсистем ГСЧС Украины предполагает выделение значительных средств в рамках создания и осуществления долговременной многоэтапной программы обеспечения техногенной безопасности на всех уровнях иерархии. Особенности планирования бюджета территориальных подсистем ГСЧС Украины, бюджета города и области таковы, что период планирования - год, т. е. задача допускает дискретизацию по времени. Будем считать, что уровни техногенной безопасности измеряются по дискретной шкале с K градациями, что соответствует принятой форме отчетнос-

71

ти. Тогда имеет место следующая двухкритериальная задача: необходимо определить Т-этапную программу повышения уровня техногенной безопасности региона до требуемой величины Yopt с минимальными затратами.

Отметим также следующие особенности рассматриваемой задачи, вытекающие из анализа практической деятельности территориальных систем ГСЧС Украины.

Начальные уровни безопасности разных предприятий могут быть различными:

- затраты на повышение уровня безопасности n-го ПОО c величины yn = і до

значения yn = j в период t составляют S)j(t) единиц;

- затраты Сn(t) на поддержание достигнутого уровня yn=i безопасности ПОО не являются постоянными как в силу необходимости учета инфляционных процессов, так и в силу амортизационных расходов, необходимых для компенсации физического и морального износа основных фондов предприятий и территориальной подсистемы ГСЧС Украины. Амортизационные расходы на все основные фонды включаются в себестоимость продукции и начисляются обычно равными долями в течение нормативного или фактического (в зависимости от типа основных фондов) срока службы. Поэтому далее в данной работе принимается, что оценка амортизационных расходов в структуре

затрат С n(t) проводится в периоде t=tb а в следующих периодах времени выполнения программы затраты С n (t) индексируются в соответствии с уровнем инфляции;

- общая сумма затрат для каждого периода t ограничена величиной Zдоп .

С учетом приведенных выше особенностей задача такова: составить Т-этапную программу повышения уровня безопасности региона до максимально возможной вели-

ЛЛтях X. 7д°п _ /"7 доп ^доп 7 доп г

чины Ymax в рамках выделяемого по этапам финансирования Z - {Zi ,Z2 zt } .

Размерность рассматриваемой задачи определяется величиной NЧТ. Учитывая, что, например, на территории Харьковской области находится более 1100 ПОО [9], задача относится к классу задач комбинаторной оптимизации большой размерности.

Предположение. В течение периода времени [t, (t+1)] повышение безопасности n-го ПОО может осуществляться не более, чем на один уровень.

Замечание 1. Величина затрат Сn(t), S)j(t) может быть задана только для первого периода программы обеспечения техногенной безопасности, а затем индексироваться в соответствии с уровнем инфляции r. В общем случае, индекс инфляции представляет собой вектор г ={гь ..., ГТ}.

В данной работе положим индекс инфляции г = 10% в среднегодовом исчислении.

В условиях Предположения матрица Sn(t) является верхней треугольной. Элементы затрат Сn(t) располагаются на главной диагонали матриц Sn(t), n=1,2,...,N.

Элементы матриц затрат в следующие моменты времени выполнения программы определяются по правилу S)j(t) =(1+rt) • S)j(t -1). На основании Предположения достаточно заполнить наддиагональные элементы матриц Sn(t).

4. Метод решения задачи повышения уровня техногенной безопасности

региона

Рассмотрим T-этапную {t1,t2,.,tT} программу повышения уровня безопасности региона.

Предлагаемый подход к решению задачи основан на ее представлении в виде ряда подзадач с функциями цели и ограничениями более простого вида, соответствующими этапу t выполнения программы. При этом значения компонент вектора у формируются последовательно в соответствии с выполняемыми итерациями.

Таким образом, t-я итерация метода имеет вид:

1. Решение дискретной оптимизационной задачи

72

Nt

x* = argmaxF(x) = argmax I X п(уП +xn)

xeDt xeDt n=1

(3)

где Nt - количество компонент вектора у, удовлетворяющих неравенству yn JMmax, область допустимых решений Dt задается ограничениями

Nt

Z«i

n

Xn)Спп (t) + xnSnn(yn +1)(t)}< Zдоп,

xn Є {0,1}, n = 1,2,...Nt. (4)

2. Определение вектора уП+1= уП + xn.

3. Если для некоторого индекса n уП+1 =Mmax, то Nt+1 = Nt - 1. Этот факт означает, что предприятие n достигло заданного уровня безопасности, поэтому на следующих этапах решения для n-го ПОО учитываются только затраты Сn (t).

4. Определение соответствующих значений затрат sn(t +1) = (1+rt) • S^j (t) и

с n(t+1)=(1+rt) • cn (t).

5. Переход к следующей итерации t=t+1, tJT.

Nt

Функция цели F(x) для конкретного этапа решения, содержит константу К= I Xпуп и

n=1

Nt

может быть записана в более простом виде: F(x) = <1 X nxn + K).

n=1

Оптимизационная задача относится к классу задач булевого программирования. Арсенал современных средств прикладной математики включает множество точных и приближенных методов решения подобного рода задач. Оптимизационный метод решения, развиваемый в данной работе, основан на применении аддитивного алгоритма Балаша [3], позволяющего уже на первых шагах решения найти вектор x*, близкий к глобальнооптимальному.

Суть алгоритма Балаша состоит в следующем. Рассмотрим подмножество xj, j=1,2,...,s, в котором каждой переменной xj поставлено в соответствие значение 0 или 1. Такое подмножество называется частичным решением. Формально процесс поиска оптимального решения можно представить в виде генерации некоторого дерева вариантов, где каждая вершина (не концевая) соответствует частичному решению, а возможные его дополнения генерируют ветви двоичного дерева.

Пусть на уровне s дерева решений построено частичное решение xj, j=1,2,...,s. Тогда переменные xj, j=s+1, ., N, не входящие в частичное решение, формируют набор переменных, называемых дополнением соответствующего частичного решения. На каждой вершине s-го уровня дерева решений известна нижняя оценка функции цели FS (x), где

s

FS(x) = IX n(уn +xn), xn є {0,1}. Существует 2N возможных наборов значений переменных

n=1

x1, x2, ., xN. Многие из них недопустимы из-за ограничения (7) и лишь некоторые из них являются оптимальными.

Правила построения частичного решения основаны на следующих особенностях оптимизационной задачи:

1. Задача имеет только одно ограничение, при этом все коэффициенты функции ограничения при неизвестных переменных x больше нуля.

Таким образом, изменение значения неизвестной хп с 0 до 1 увеличивает левую часть

неравенства на величину ^П(уП +1)(t)- спП (t)} > 0.

73

2. Функция цели аддитивна, поэтому в целях упрощения процесса решения допускает упорядочение слагаемых X nxn по уменьшению коэффициентов Xn.

Следовательно, в качестве нижней оценки F0pt (x) оптимального значения функции цели

S

задачи можно принять величину F<Spt (x) = I X nxn, где s - количество переменных xn,

n=1

, 'У'{СуП(уП +1)(t) — С уП (t)} < Z доп

значения которых равны 1, причем n n t .

n=1

Упорядочим все 2n решений с помощью сетевой модели А, где каждая вершина і-го слоя сети, содержащая список Мі, представляет решение, в котором переменные с индексами из МІ равны единице, а остальные - нулю.

Пусть известна нижняя достигнутая оценка F<Spt (x) оптимального значения целевой функции и зафиксировано допустимое решение (x1,x2,...,xS,xS+1,...,xNt) на вершине

x1 = x2 =... = xs = 1, xS+1 = ...xNt = 0, дающее эту оценку. Тогда имеет место Правило 1 отсечения бесперспективных вершин.

Если выполняется условие

min (8ПП(уП +1)(t) - Сyn(t)) > Zдоп n=s+1,...,Nt

I {Snn(yn +1)(t) - с yn (t)},

n=1

то рассматриваемая вершина является концевой (прозондирована).

При зондировании частичного решения, содержащего S переменных, неявным образом перебирается 2n-s возможных значений.

Следовательно, при k = 0 подмножество решений состоит из единственного решения х =

0, в то время как k-е подмножество состоит из СNt решений.

В связи с таким представлением имеет место еще одна особенность задачи (4). Одно и то же частичное решение может быть получено несколькими путями. Так, частичное решение (1,2,4) может быть получено тремя путями: а) (1), (1), (2), (1), (2), (4); б) (2), (1),(2), (1), (2), (4); в) (4), (2),(4), (1), (2), (4).

Правила прохода по сетевой модели, рассмотренные ниже, позволяют разрешить данную неоднозначность и представить модель в виде дерева решений В (не двоичного как в базовом алгоритме решения задачи булева программирования, но содержащего меньшее количество вершин, подлежащих просмотру).

Спуск по дереву решений. На каждом уровне i дерева решений формируется список м1 ,

получаемый добавлением к списку МІ-1, достигнутому на предыдущем уровне дерева решений, номера s, который определяется индексом g последнего ненулевого элемента частичного решения, полученного на предшествующей вершине. При первом построении последующей вершины s = g + 1, при дальнейших построениях последующих вершин: s = g + j, где j - количество посещений предшествующей вершины, сделанных ранее. Это означает, что значение xs=0 на заменяется значением xs=1.

Подъем по дереву решений. Если некоторая вершина (x1,x2,...,xs) і-го уровня дерева решений является концевой, то значение xs=1 полагают равным 0. Если s<Nt, xs+1, полагают равным 1 и продолжают спуск. В противном случае поднимаются на предыдущий уровень дерева решений, полагают xs-1 = 0 и зондируют следующую на этом уровне (правого соседа) вершину дерева решений.

Анализ построенного дерева решений позволяет сформулировать

Правило 2. Второй и следующие просмотры последующих вершин дерева решений осуществляются только на уровнях 1,..., (Nt - 2).

74

Замечание 2. Из процесса построения дерева решений В очевидно, что множество вершин уровня i дерева В, последующих за некоторой вершиной предыдущего уровня, упорядочено по невозрастанию функции цели F(x).

Следовательно, имеет место

Правило 3. Если достигнута вершина n-го уровня дерева решений В, то она генерирует оптимальное значение функции цели задачи.

5. Численная реализация

Рассмотрим Пример. Пусть на рассматриваемой территории имеются четыре ПОО (N=4). Пусть также выделены 4 уровня безопасности. Начальные уровни техногенной безопасности рассматриваемого множества ПОО задаются вектором y={1, 1, 2, 3}. Приоритеты значимости предприятий, заданные ЛПР, имеют вид: l={0,3; 0,2; 0,2; 0,3}.

Необходимо построить оптимальную 3-этапную {t1,t2,t3} программу повышения уровня техногенной безопасности региона.

Положим, что прогнозируемые затраты по периодам в условных денежных единицах распределяются следующим образом: Zдоп ={1400, 1900, 2200}. Индекс инфляции г поло-

жим 10% в среднегодовом исчислении. Матрицы затрат Sn(t1), Сn (t1), n=1,.. ,,N, в первый период времени выполнения программы имеют вид (рисунок).

1-й этап решения. Ni=4, yx={1, 1, 2, 3}.

В результате параметрической идентификации модели получаем Н йти x* = argmax{0,3x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 0,3x4 +1,8}

ХЄБ1

при ограничениях

300x1 + 250x2 + 250x3 + 100x4 < 550,

xn Є{0,1}, yn < Mmax.

Решение задачи первого этапа: значение функции цели F1(x)=2,4; вектор х =(1,0,0,1). Следовательно, вектор y2={2, 1, 2, 4}. Это означает, что 4-й ПОО выведен на заданный уровень безопасности, и размерность задачи уменьшается на 1, т.е. N2=3.

Уровни безопасности

ПОО 1 1 2 3 4

Уровни безопас ности 1 200 500 800 1200

2 300 450 700

3 320 400

4 450

ПОО 2 1 2 3 4

Уровни безопас ности 1 300 550 850 1250

2 400 500 750

3 500 350

4 550

1

ПОО 3

1 150 450 750 1200

2 200 400 700

3 300 300

4 350

ПОО 4 1 2 3 4

1 200 400 700 1000

2 300 450 700

3 400 300

4 360

Задание матриц затрат S n (t 1 ), С n (t1), n=1,.,4

2- й этап решения. Задача имеет вид:

F2 (x) = {0,3x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 0,3x4 + 2,4} .

Ограничение на затраты имеет вид:

165x1 + 275x2 + 275x3 +1221 < 1900,

Решение задачи 2-го этапа: вектор х2 =(1,1,0), вектор y3={3,2,2}, F2(x)=2,9.

3- й этап решения. Задача имеет вид:

F(x) = {0,3(3 + x1) + 0,2(2 + x2) + 0,2(2 + x3) +1,2} = {0,3x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 0,3x4 + 2,9} . Ограничение на затраты имеет вид:

97,8x1 + 242x2 + 242x3 +1427 < 2000 .

Решение задачи 3-го этапа: вектор х =(1,1,0); вектор yopt={4, 3, 2}; F3(x)=3,4.

Анализ решения показывает, что при моделировании распределения средств многоэтапной программы повышения уровня безопасности можно оценить объём неиспользованных средств, а также недостающий объем средств для повышения уровня безопасности. Так,

75

если на втором этапе объем выделенных затрат увеличить на менее, чем на 2%, до 1936 ден. ед., то приращение значения функции цели возрастет на 40%.

Данный подход был программно реализован в среде визуального программирования Borland Delphi 7, язык программирования ObjectPascal 6.0. Проведено множество численных экспериментов с наборами данных практической размерности.

6. Выводы

Исследована математическая модель оптимизационной задачи повышения уровня безопасности региона и представлен метод ее решения, который отличается от предложенных ранее учетом специфики формирования функции цели и ограничений рассматриваемой оптимизационной задачи, а также построением модификации аддитивного алгоритма Бала-ша решения задач булева программирования. Перспективным представляется математическая постановка и решение задачи с учетом нечеткости задания исходных величин затрат на повышение и поддержание уровня техногенной безопасности региона.

Список литературы: 1. Белов П.Г. Теоретические основы системной инженерии безопасности / П.Г. Белов. М.: МИБ СТС, 1996. 424с. 2. Бурков В.Н. Задачи оптимального управления промышленной безопасностью/ В.Н. Бурков, А.Ф. Грищенко, О.С. Кулик. М.: ИПУ РАН, 2000. 70 с. 3. Бурков В.Н. Экологическая безопасность / В.Н. Бурков, А.В. Щепкин. М.: ИПУ РАН, 2003. 92 с. 4. Чуб И.А. Модель адаптивной системы техногенной безопасности региона / И. А. Чуб, М.В. Новожилова, В.М. Попов // Системи обробки інформації. 2012. Вип. 6 (104). С. 248- 252. 5. ЧубИ.А. Концептуальное представление системы техногенной безопасности региона / И. А. Чуб, М. В. Новожилова, В. М. Попов // Системи обробки інформації. 2012. Вип. 9(107). С. 201-205. 6. Лєвтєров О.А. Оцінка небезпеки населення регіонів України як критерій ефективності державної системи цивільного захисту / О.А. Лєвтєров, Д.В. Олійник, В.В. Тютюник, Р.І. Шевченко // Проблеми надзвичайних ситуацій. 2010. № 12. С. 92-103. 7. Бурков В.Н., Грищенко А.Ф., Кулик О.С. Задачи оптимального управления промышленной безопасностью. М.: ИПУ РАН, 2000. 70с. 8. Хлытчиев А. И. Методы оценки и оптимизации уровня безопасности региона : дисс ... канд. техн. наук : 05.13.10. Воронеж, 2005. 111 с. 9. Паспорт ризику виникнення надзвичайних ситуацій Харківської області. Харків: ГУМНС України в Харківській області. 2010. 132 с.

Поступила в редколлегию 12.12.2013

Попов Вадим Михайлович, канд. техн. наук, доцент, проректор Национального университета гражданской защиты Украины. Научные интересы: математическое моделирование системы техногенной безопасности региона. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Чернышевская, 94, тел. (057) 707-34-13.

Новожилова Марина Владимировна, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой Харьковского национального университета строительства и архитектуры. Научные интересы: системный анализ, математическое моделирование сложных динамических систем. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Сумская, 40, тел.: (057) 706-20-49.

Чуб Игорь Андреевич, д-р техн. наук, профессор, начальник кафедры Национального университета гражданской защиты Украины. Научные интересы: оптимальное размещение объектов, управление техногенной безопасностью объектов и территорий. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Чернышевская, 94, тел. (057) 707-34-13.

76