CC BY
71
Дедков В.К, Бабишин В.Д., Дорошенко М.А.
Московская академия рынка труда и информационных технологий
«МЕТОД ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИМ СОСТОЯНИЕМ БОРТОВЫХ СИСТЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ»
Аннотация: Исследованы возможности использования метода
оптимального управления техническим состоянием сложных систем на основе решения обратных задач по сравнению с существующими методами оптимального управления для вновь создаваемых космических комплексов, разрабатываемых в единственном экземпляре. Данный метод позволяет существенно повысить оперативность управления техническими характеристиками бортовых систем КА путем реализации алгоритма решения обратной задачи.
Annotation: Are researched the possibilities of using the method of optimal reliability management of complex systems based on solving of inverse problem in comparison with existing methods of optimal control for the newly created space complexes being developed in a single copy. This method allows to significantly improve the management efficiency of technical characteristics of onboard spacecraft systems through the implementation of the inversion algorithm.
Ключевые слова: оптимальное управление, система, надежность, бортовая система, техническое состояние, обратная задача, регуляризация, регуляризатор.
Keywords: optimal control, system, reliability, onboard system, technical condition, inverse problem, regularization, regularizer.
Анализ существующей практики разработки, испытаний и эксплуатации высоконадежных малосерийных космических аппаратов показывает необходимость предъявления требований к надежности космической техники уже на этапе разработки, с тем чтобы технические характеристики проектируемых бортовых систем КА обеспечивали требуемый уровень надежности на этапе летных испытаний и эксплуатации. При этом сокращаются как объемы заводских, так и летных испытаний.
В такой постановке задача в отличие от существующей задачи оценивания надежности сложных технических систем представляет задачу управления надежностью и является «обратной» задачей по отношению к прогнозированию надежности, являющемуся прямой. При этом под управлением техническим состоянием системы понимается получение законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения технического состояния.
В настоящей статье в отличие от существующих методов оптимального управления предлагаемая задача оптимального управления состоит в том, что для любого момента времени оптимальный закон управления ищется в виде управляющей функции от состояния объекта, действующий по принципу обратной связи.
В существующих методах задача оптимального управления сводится к задаче конструирования управления, доставляющего минимум функционалам качества объекта управления, динамика которого описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений
X = f (х (1)
где X = [xv..xnf - n - мерный вектор состояния системы, xє Rn, и = [и1...ит]Т; m -мерный вектор управления, принадлежащий замкнутой области и є U с Rm, m < n , U - ограниченное множество, f (x, и) - известная нелинейная векторфункция.
В качестве критерия оптимальности принимаются функционалы
f ___
(х(ґ£))+ JFt (x(tІ и(ґ))dt, і = 1M (2)
0
где tf - длительность процесса управления.
Первое слагаемое в выражении (2) характеризует точность управления конечным состоянием системы, а второе - интегральное качество управления.
Заданы характеристики начального состояния объекта управления
x(0) = X 0 =[xi°...xn° Г (3)
и ограничения по требуемым характеристикам технического состояния q є Q.
При этом в данных методах оптимальное управление функции и = и(х) будет такое управление и0 (х), при котором целевой функционал (и0)
выражения (2) принимает экстремальные значения т.е. минимизируется или максимизируется.
Если известна синтезируемая функция управления и(х), то технически обеспечить оптимальный ход процесса можно по схеме управления с обратной связью: измеряемая величина x(t) в каждый момент времени t с бортового измерительного прибора передается наземному комплексу, обеспечивающему вычисление оптимального управления и = и(х). Найденное значение
оптимального управления и = и(х) передается на исполнительный бортовой механизм, непосредственно реализующий требуемое течение управляемого процесса.
Таким образом, закон управления для любого момента времени определяется в виде зависимости
и = g (х q), (4)
где х = [х1...хп f - вектор состояния системы, х є Rn, q = [q1.. qR ]T - вектор параметров системы управления, q є Q c rr , Q - ограниченное множество по требуемым характеристикам технического состояния (вероятностей событий, выходное качество функционирования системы).
Выражение (4) позволяет формализовать задачу решения оптимального управления для уравнения (1), по принципу формирования канала управления с обратной связью. Данная задача требует построения структуры уравнения (4) и выбора оптимальных значений вектора параметров q = [q1...qR] для обеспечения
минимумом функционалов (2) при начальных условиях (3) и ограничениях по требуемым характеристикам технического состояния q є Q .
Обеспечение минимумов (требуемых) функционалов понимаем в смысле построения множества Парето оптимальных решений.
Существующие методы математической теории оптимального управления содержат в себе основные достижения классического
вариационного исчисления [1], и др., принципа максимума Л. С. Понтрягина [2], метода динамического программирования на основе решения уравнения Беллмана для непрерывных детерминированных систем: [3], градиентных методов оптимизации [1], методов оптимизации нелинейных случайных процессов [4] и т.д. Наряду с теоретическими исследованиями, известно большое количество работ посвященных численным методам решения задач оптимального управления (см., например, [4], [5]). Исследования,
направленные на разработку новых вычислительных методов решения задач оптимального управления, продолжаются и в основном направлены на решение прямой задачи оптимизации.
Проблема управления техническим состоянием или надежностью БС КА как подвижного объекта состоит в построении функции управления u = u(x), называемой синтезируемой функцией и представляющей собой значение оптимального управления при условии, что в момент t техническое состояние БС КА (1) находится в точке x = x(t).
Решение проблемы управления техническим состоянием БС КА имеет особую актуальность в прикладных задачах оптимального управления бортовыми системами КА на этапе летных испытаний, особенно при управлении надежностью функционирования БС КА для вновь создаваемых космических комплексов, разрабатываемых в единственном экземпляре, когда полностью отсутствует статистический анализ оперативной оценки технических характеристик бортовых систем.
Проведенный анализ существующих методов решения задач синтеза (оптимального управления) показал, что данные методы создают принципиальные возможности решения задач управления сложными техническими системами на основе решения так называемых «обратных задач». Однако задача оптимального управления техническим состоянием БС КА в отличие от существующих методов оптимального управления с учетом особенностей поведения бортовых систем на этапе летных испытаний космических комплексов, разрабатываемых в единственном экземпляре, требует разработки иных подходов к решению «обратной задачи» и должна удовлетворять следующим условиям для ее решения:
-на этапе проектирования и наземных испытаний КА предъявляются жесткие требования к техническим характеристикам БС КА, поэтому в процессе полета возникает необходимость постоянно управлять техническим состоянием БС КА, обеспечивающим заданные требования к техническим характеристикам БС КА
-выходной процесс изменения технического состояния БС КА должен представлять собой случайный стационарный процесс.
Решение проблемы управления техническим состоянием БС КА предлагается осуществить на основе решения обратной задачи, в основе которой лежит теория «решения некорректных задач» по Тихонову А.Н.. Обратная задача в приведенной выше постановке задачи (1) формулируется согласно [6] как задача автоматического регулирования (определение переходных функций k(t) линейных преобразователей по входному и выходному сигналам x(t) и y(t)):
t
Ak = J x(t - t)k (т)дт = y(t)
0
В отличие от формулировки обратных задач по Тихонову, в общем виде постановка обратной задачи для систем управления формулируется так:
t
Аи(t) = JF(x(t)u(t))dt =y(t), (5)
0
где u (t) - управляющее воздействие (входной процесс) системы управления,
А - оператор объекта управления или переходная функция системы, y(t) - выходной процесс управляемой системы, x(t) - состояние управляемой системы,
x є X, y є Y .
При решении данной задачи необходимо определить управляющее воздействие (входной процесс) системы управления u(t) уравнения (5), которое обеспечит требуемое качество (состояние системы управления) выходного процесса y(t), определяемое известным заранее оператором А.
Данная задача, как задача оптимального управления, в отличие от существующих методов решается в три этапа.
На первом этапе решается прямая задача по определению выходного (требуемого) процесса системы управления y(t) уравнения (5) при известном управляющем воздействии (входного процесса) u (t), полученному по результатам условий наземных испытаний и по рассчитанному заранее оператору А объекта управления, численным методом.
На втором этапе решается обратная задача по определению оператора А уравнения (5) объекта управления при известном управляющем воздействии (входного процесса) u (t), полученному по результатам решения прямой задачи, и по известному выходному процессу системы управления y(t) , полученному по результатам летных испытаний.
На третьем этапе решается обратная задача по определению оптимального управляющего воздействия (входного процесса) u(t) уравнения (5) при известном приближенно (требуемом) законе выходного процесса системы управления y(t), полученном по результатам решения прямой задачи, и заданному, приближенно оператору А, полученному по результатам решения обратной задачи 2-го этапа.
Таким образом, данный метод, в отличие от существующих методов оптимального управления, позволяет путем решения 2-х обратных задач получить управляющее воздействие u(t), которое будет соответствовать
оптимальному управляющему воздействию u(t), обеспечивающее заданный (требуемый) закон выходного процесса системы управления y(t), получаемый в результате решения прямой задачи.
При решении обратных задач (уравнение (5)) естественно исходить из предположения, что исходные данные задачи {A, у} известны лишь приближенно, т.е. в действительности нужно считать известным множество {Ah,yd}, аппроксимирующее в выбранной топологии множество {A,у}. Поэтому на 2-м и 3-м этапах решения данная задача является некорректной.
Данная некорректная задача согласно [6] решается методом регуляризации (по А.Н. Тихонову), т.е., в отличие от существующих методов, оптимальное управляющие воздействие u(t) получается путем
непосредственного решения уравнения (5), без применения методов оптимизации (минимизации или максимизации целевого функционала). Суть метода регуляризации заключается в следующем.
Пусть (U, r), (Y, р) - метрические пространства, а оператор A взаимно однозначен. Параметрическое семейство определенных на всем пространстве Y многозначных отображений {Ra: Y ® U} называется регуляризатором
(регуляризирующим оператором или алгоритмом) задачи (5) на множестве D е U, а D называется множеством регуляризуемости, если для всякого числа e > 0 существует d> 0 и значение параметра a = a(d) такие, что при любых
элементах у є A(D n D(A)) (D(A) - область определения оператора A) и yde Y, р( y0, yd)<d, для произвольного элемента u є^а^у) будет справедливо неравенство r (x, A-у0) <e. Иными словами, существует возможность выбрать значение параметра регуляризации a(d) независимо от элемента у є A(D n D(A))
таким образом, чтобы множества Ra(d)Yd сходились к точке A-1Y0 при d® 0 .
Данный метод оптимального управления по сравнению с существующими методами позволяет существенно сократить объем вычислительных операций и значительно повысить оперативность решения задачи для вновь создаваемых космических комплексов, разрабатываемых в единственном экземпляре, когда полностью отсутствуют данные для априорного статистического анализа технического состояния БС КА.
Данный метод позволит повысить точность определения функции оптимального управления за счет непосредственного решения уравнения (5) методом регуляризации.
Появляется возможность получения решения данной задачи в форме оптимальной аналитической функции управления.
Литература
1. Андреева Е.А., Цирулева В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации-М: Высшая школа, 2006.
2. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г.И и др. Математическая теория оптимальных процессов -М.:Физматгиз,.1976.
3. Беллман Р. Динамическое программирование- М.: Мир, 1960.
4. Васильев Ф.П. Методы оптимизации.- М.: Факториал Прес, 2002.
5. Бабенко К.И. Основы численного анализа М.: Наука, Гл. физ.-мат. лит., 1984.
6. Тихонов А.Н.Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач . М.-Наука.1986.
