CC BY
3
УДК 536.423
Метод определения функций относительных фазовых проницаемостей двухкомпонентных углеводородных смесей
Б.А. Григорьев1, В.М. Зайченко2, О.А. Иванин2, Д.А. Молчанов2*
1 ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Российская Федерация, 142717, Московская обл., no. Ленинский, пос. Развилка, Проектируемый пр-д № 5537, зд. 15, стр. 1
2 Объединенный институт высоких температур Российской академии наук, Российская Федерация, 125412, г. Москва, ул. Ижорская, д. 13, стр. 2
* E-mail: dmitriy.molchanov13@gmail.com
Тезисы. В статье описывается метод определения функций относительных фазовых проницаемостей (ОФП) двухкомпонентных смесей углеводородов. Предлагаемый подход является развитием стационарных методов и может быть использован в условиях применимости закона Дарси. Для реализации метода необходимы результаты измерений распределения давлений по длине экспериментального участка в процессе моделирования стационарной двухфазной фильтрации двухкомпо-нентной смеси, полученные для различных соотношений компонентов этой смеси. Преимуществом предлагаемого метода является отсутствие необходимости измерения влагосодержания по длине экспериментального участка. Результат применения метода показан на примере определения функций ОФП для смеси метана и н-пентана.
Исследования двухфазной фильтрации смесей углеводородов - комплексная задача, требующая совместного применения методов экспериментального и математического моделирования. Необходимость экспериментального моделирования процессов двухфазной фильтрации углеводородов обусловлена сложным поведением флюида в процессе фильтрации, возможностью возникновения неустойчивых режимов течения, причины которого обсуждаются в литературе с различных позиций и, строго говоря, изучены недостаточно [1-4]. При этом большое количество режимных параметров процесса и сложность экспериментов [3, 4] не позволяют провести эксперименты для всех интересующих исследователя режимов фильтрации. В этих условиях разработка математических моделей, которые отражали бы реальные процессы достаточно точно, чтобы по результатам расчетов можно было по крайней мере сократить количество исследуемых режимов, представляется ключевой задачей. Одним из слабых мест существующих математических моделей является выбор функций относительных фазовых проницаемостей (ОФП) смеси, в значительной степени влияющих на режим фильтрации [5, 6]. В литературе приводится множество зависимостей для систем «нефть - вода», однако для двухкомпонентных углеводородных смесей, находящихся в двухфазной области фазовой диаграммы, экспериментальные данные отсутствуют. При этом двухкомпонентные углеводородные смеси используются для моделирования газоконденсатных смесей, данные о функциях ОФП для них могли бы иметь практическое значение. Для вычисления коэффициентов ОФП предлагается использовать эмпирические формулы, определяющие их как функции газонасыщенности (5) [7, 8]:
Ключевые слова:
двухфазная
фильтрация,
фильтрация
углеводородов,
относительная
фазовая
проницаемость,
экспериментальное
моделирование
фильтрации,
применимость
закона Дарси.
(1)
где /1, /2 - коэффициенты ОФП для газовой и жидкой фаз соответственно; а1 - газонасыщенность, ниже которой проницаемость газовой фазы становится равной нулю; а2 - газонасыщенность, выше которой проницаемость жидкой фазы становится равной нулю; Ь1, Ь2 - показатели степени, определяющие вид функций ОФП газовой и жидкой фаз соответственно.
Фактически в выражениях (1), (2) присутствуют 4 параметра (а1, а2, Ь1, Ь2), выбор которых определяет вид функций фазовой проницаемости. Хотя для отдельных режимов возможно подобрать наборы параметров, позволяющих при расчетах получить суммарный расход флюида, соответствующий экспериментально полученному значению, такая задача имеет бесконечное множество решений. Поэтому совпадение расхода флюида -недостаточное условие для того, чтобы считать полученные таким образом параметры соответствующими реальным функциям фазовых проницаемостей. Помимо соответствия расходов важно, чтобы функции отображали соответствующие действительности подвижности отдельных фаз.
Необходимо заметить, что существуют многочисленные методы определения функций фазовых проницаемостей флюидов по результатам экспериментов, причем их можно разделить на две группы: стационарные и нестационарные [9, 10]. Нестационарные методы (методы вытеснения) применимы при расчетах фазовых проницаемостей системы «нефть - вода», поскольку используемая при расчетах теория Баклея - Леверетта применима для описания линейного вытеснения несжимаемых и несме-шиваемых флюидов [11]. Существующие стационарные методы определения функций фазовых проницаемостей предполагают определение распределения газонасыщенности вдоль экспериментального участка, однако в случае со смесью углеводородов в двухфазном состоянии эта задача представляется трудновыполнимой. При моделировании фильтрации углеводородной смеси в условиях, приближенных к реальным условиям залегания газоконденсата, давление на входе в экспериментальный участок может составлять около 200 бар. Для того чтобы выдерживать такое давление, участок изготавливается из толстостенной стальной трубы, что затрудняет применение оптического или ультразвукового метода определения
газонасыщенности [12]. Можно предположить, что при известном давлении в некотором сечении экспериментального участка взятие пробы позволило бы определить состав флюида в этом сечении, а затем с помощью фазовой диаграммы - и газонасыщенность. Однако состав пробы может значительно отличаться от состава флюида в сечении из-за различных значений коэффициентов /1 и /2. По этой причине взятие проб также не является решением проблемы контроля газонасыщенности. Таким образом, для определения функций ОФП стационарным методом необходимо решить задачу определения газонасыщенности по длине экспериментального участка с использованием тех данных, которые могут быть получены с помощью известных и отработанных методов измерений. Такими данными являются распределение давлений по длине участка и суммарный расход флюида [3, 4, 13]. В данной статье предлагается метод определения функций ОФП двухкомпо-нентной углеводородной смеси по результатам таких измерений. Метод представляет собой развитие существующих стационарных методов определения функций ОФП.
Описание метода
В основе стационарных методов расчета ОФП лежит предположение о постоянстве расхода компонентов смеси для всех сечений экспериментального участка в стационарном режиме фильтрации в силу закона сохранения массы. Предлагаемый метод разработан для определения функций ОФП двухкомпонентных углеводородных смесей, расчеты и эксперименты проводились для смеси метана и н-пентана. При определении параметров углеводородной смеси используется одномерная модель фильтрации [4]. Предполагается, что для каждого сечения рассматриваемого участка справедлива гипотеза локального термодинамического равновесия. Исходными данными для расчетов являются: компонентный состав смеси, подаваемой на вход; распределение давлений по длине; геометрические параметры и абсолютная проницаемость участка; массовый расход смеси.
Массовый расход у-й фазы (Ор кг/с) для произвольного сечения может быть определен следующим образом:
в1 = ипЫ*, (3)
где ] = 1 - газ; ] = 2 - жидкость; Uj - скорость фильтрации у-й фазы, м/с; п] - молярная плотность }-й фазы, моль/м3; Mj - молярная масса ]-й фазы, кг/моль; ¥ - площадь эффективного сечения модельного участка с учетом пористости, м2.
где - полный расход флюида; концентрация с'8ШП соответствует компонентному составу, а М8ШП - молярной массе смеси, подаваемой на вход модельного участка. Молярная масса смеси при этом определяется следующим образом:
М] = М 1е) + М С,
(4)
М = М V + М V .
эит эит эит
(8)
где верхний индекс обозначает компонент (здесь и далее: 1 - метан, 2 - н-пентан); М', М2 - молярные массы соответствующих компонентов, кг/моль; с1 и с2 - молярные доли соответствующих компонентов в у-й фазе.
Скорости фильтрации фаз могут быть выражены с помощью линейного закона Дарси при выполнении условий его применимости [14]:
и = -г1
1 ц1 дх'
где г - абсолютная проницаемость участка, м2;
дР
ш - динамическая вязкость фазы, Пас;
дх
е! = о;+о;,
Г - М- _ -М' ^ _ -М'
Обозначим массовую долю газовой фазы в общем расходе через т. Доля жидкой фазы составит 1 - т. Расходы фаз можно выразить через общий расход:
=
°2 = (1 - т)°Вщш.
(9)
(10)
(5)
Подставим выражения (9), (10) в уравнение (7), записанное для метана:
! М1
О с
Бит Бит
М„,.
производная давления по координате, Па/м. Известное для стационарного режима распределение давлений позволяет получить аппроксимирующую функцию зависимости давления от координаты Р(х) для произвольного момента времени соответствующего стационарному
дР
режиму. Тогда — может быть вычислена для
дх
любого сечения как производная аппроксимирующей функции.
Массовые расходы фаз для сечений, соответствующих двухфазной области, неизвестны, но в стационарном режиме сумма этих расходов (С8ШШ) постоянна. Это же утверждение верно и для расходов отдельных компонентов:
= тОштС М + С1 " т)О8ш„С2 М•
М1 М 2
(11)
После деления обеих частей уравнения (11) на общие множители и приведения правой части к общему знаменателю можно выразить т:
т =
мм 2
М8ш„ М2 ) с\М2 -
(12)
Зная расходы фаз, можно выразить коэффициенты ОФП, подставив формулу (5) в формулу (4):
Г, =
V-,
1 ' дР
-г—п М ¥ дх 1 1
(13)
(6)
где - полный массовый расход /'-го компонента; 0[, 0'2 - массовые расходы /-го компонента по газовой и жидкой фазам соответственно. Массовые расходы компонентов могут быть выражены через массовые расходы фаз. В этом случае выражение (6) примет следующий вид:
(7)
В выражениях (12) и (13) нет неизвестных и неопределимых величин. Состав фаз, их молярные плотности и массы определяются уравнением состояния [15] при известном давлении. Коэффициенты вязкости фаз могут быть определены методом Лоренца - Брея -Кларка [16] либо другим полуэмпирическим методом.
Зависимости (3)-(13) позволяют определить значения коэффициентов ОФП по результатам эксперимента в любой точке экспериментального участка в стационарных режимах, однако не позволяют восстановить для них функциональные зависимости: распределение компонентного состава по длине участка, а значит,
и газонасыщенность остаются неизвестными, поскольку практически всегда состав смеси в сечении будет отличаться от состава смеси, подаваемой на вход экспериментального участка. Например, концентрация метана на входе в участок превышает концентрацию в критической точке: в этом случае смесь, подаваемая на вход участка при сверхкритическом давлении, находится полностью в газообразном состоянии. Однако по мере понижения давления смесь попадет в двухфазную область, при этом содержание метана в газовой фазе будет выше, а в жидкой - ниже, чем в исходной смеси. Это значит, что для установления стационарного режима фильтрации (расход компонентов постоянен по длине участка) необходимо, чтобы имело место течение обеих фаз в любой точке двухфазной области. Но при высоких значениях газонасыщенности (5 > а2) жидкость будет иметь нулевую подвижность, что приведет к постепенному накоплению жидкости в сечении - до тех пор, пока ее объемная доля не обеспечит необходимой подвижности. Это означает изменение компонентного состава в сечении участка в сторону увеличения более тяжелого компонента - пен-тана. Аналогичным образом следует ожидать увеличения доли метана при очень низких значениях газонасыщенности, если на вход участка будет подаваться смесь с концентрацией метана ниже критической.
Из выражения (13) следует, что значение коэффициента ОФП связано зависимостью с различными параметрами конкретного процесса, в том числе с абсолютной проницаемостью рассматриваемого участка, локальным градиентом давления и т.д. Однако, если выразить величину///2, используя формулы (9), (12) и (13), получим, что в условиях стационарной фильтрации отношение коэффициентов ОФП в двухфазной области определяется только давлением и составом смеси, подаваемой на вход участка:
отношение фазовых проницаемостей никак не зависит от пористой структуры. С помощью выражения (14) можно определить отношение /1//2 для стационарных процессов фильтрации модельных смесей различных составов на входе в участок.
Серия стационарных экспериментов по фильтрации двухкомпонентной смеси позволяет получить массив данных с зависимостями коэффициентов ОФП от давления в любой точке экспериментального участка и состава смеси, подаваемой на вход. Имея эти данные и предполагая, что общий вид функций фазовых проницаемостей соответствует, например, функциям (1), (2), можно подобрать параметры этих функций, решая многопараметрическую задачу минимизации [17]. Простейший алгоритм решения такой задачи поисковым методом будет следующим:
1) подготовка исходных данных. Исходными данными для расчета являются: фазовая диаграмма смеси при заданной температуре, физические свойства компонентов смеси (молярная масса, критические параметры), экспериментальные данные, полученные для стационарных режимов (концентрация метана в исходной смеси, зависимость коэффициентов ОФП от давления);
2) задаемся начальными значениями параметров функции фазовой проницаемости для одной из фаз, например а2 и Ь2 для жидкой фазы. Эту фазу будем называть независимой, а ту, для которой мы не задаемся этими параметрами, - зависимой;
3) для любой точки в пределах экспериментально полученных данных известно значение коэффициента ОФП для независимой фазы. Поскольку функциональной зависимостью мы задались на предыдущем этапе, зная коэффициент проницаемости, можно получить соответствующее ему значение газонасы-
I «2 " 5
щенности, решив уравнение вида /2 = \—-
А= /2
дР
-г—пМ, ^
дх
^2
дР
-г—п2 М 2 ^
дх
ш^.1п2 М 2 (1 - ш) ц2п1М1
(14)
Из выражения (14) можно также сделать следующий вывод: при стационарной фильтрации в условиях применимости закона Дарси
относительно 5. Поскольку значение 5 лежит в пределах от 0 до 1, уравнение решается методом деления интервала пополам [18];
4) поскольку для любой точки определено /1//2, обе фазовых проницаемости для данной точки становятся известны. Таким образом, значения газонасыщенности, соответствующие относительным фазовым проницаемостям, могут быть определены для всего диапазона
а
параметров, соответствующего загруженным ранее исходным данным;
5) с помощью математической оптимизации параметры функции фазовой проницаемости для второй фазы могут быть определены таким образом, чтобы среднеквадратичное отклонение расчетных значений от полученных экспериментально было минимальным;
6) пункты 3.. .5 повторяются для экспериментальных данных, соответствующих другим составам исходной смеси. При этом будут получены другие значения оптимальных параметров функции фазовой проницаемости. Для каждого с-того состава смеси определяется среднеквадратичное отклонение (сс) расчетных значений от полученных экспериментально. Затем среднеквадратичные отклонения складываются, при этом значения отклонений умножаются на долю экспериментально полученных точек (^с) для соответствующего состава от общего количества экспериментально полученных точек (Ш):
8 = / • ^ с V
(15)
Величину 5 назовем ошибкой аппроксимации;
7) затем варьируется один из параметров функции фазовой проницаемости для независимой фазы. Параметр сначала приращивается, а затем понижается на такую же величину, причем величина должна быть малой, например 0,01. Для обоих случаев вычисляется 5, а затем параметр меняется в сторону понижения величины ошибки по сравнению с предыдущим значением. Процесс повторяется до тех пор, пока ошибка не начнет увеличиваться. В этом случае значение параметра остается равным последнему, для которого 5 снизилась;
8) пункт 7 реализуется для другого параметра. По исполнении пункта 7 снова начинается варьирование первого параметра. Процесс повторяется до тех пор, пока последовательное переключение между двумя параметрами не приводит к снижению ошибки и изменению параметров функции.
В результате реализации предлагаемого алгоритма параметры модельных функций могут быть определены таким образом, что обеспечат максимальное соответствие результатов расчетов проницаемостей экспериментальным данным, а следовательно - максимальную адекватность математического моделирования.
Экспериментальные данные
Экспериментальное моделирование процессов фильтрации проводилось на стенде «Пласт» [3]. Одномерная модель керна на стенде представляет собой сварную конструкцию длиной 3000 мм и внутренним диаметром 6 мм. Модель заполнена кварцевым песком, просеянным через сито с ячейками размером 50 мкм. Вдоль модельного участка расположены мембранные датчики давления, массовый расход смеси фиксируется с помощью расходомера кориолисова типа, расположенного на выходе из участка.
Данные, полученные на стенде «Пласт» в результате эксперимента, позволяют определить значения коэффициентов ОФП, пользуясь формулами (3)-(14) при условии стационарности процесса фильтрации. Процесс считался стационарным, если изменения давлений и расхода не превышали 2 % от среднего значения на временном отрезке, соответствующем времени распространения возмущения вдоль экспериментального участка. Анализ результатов ранее проведенных экспериментов показал, что такое время составляет не более 100 с.
Кроме того, для каждой серии экспериментальных данных необходимо было проверить применимость закона Дарси. Критические значения числа Рейнольдса (Де), ограничивающие применимость линейного закона фильтрации, согласно В.Н. Щелкачеву [14], находятся в пределах от 1 до 12. Поскольку данных для точного определения критического значения Re в рассматриваемых условиях нет, будем считать критическим значением Re = 6,5, т.е. среднее значение в пределах обозначенного диапазона. Число Re для у-й фазы вычисляется по следующей формуле:
10 и;Л/гр,
Яе =-
(16)
где р - пористость среды; pj - плотность у-й фазы, кг/м3. Для подтверждения применимости закона Дарси число Re в каждом из рассматриваемых экспериментов рассчитывалось для газовой фазы в точках, соответствующих первому и последнему датчикам давления на рассматриваемом участке. Газовая фаза была выбрана как определяющая, поскольку предварительные расчеты показали, что числа Re для нее будут выше, чем для жидкой фазы, за счет меньшей вязкости и значительно более высокой скорости. Скорости фаз вычислялись
с помощью выражения (5), необходимые для этого величины расходов фаз вычислялись с помощью выражений (9), (10), (12) в ходе дальнейших расчетов. Из двух рассчитанных значений Re в качестве характерного выбиралось большее.
Для определения функций ОФП использовались результаты восьми экспериментов, проведенных со смесью метана и н-пентана. Характеристики стенда и параметры, общие для всех экспериментов, представлены в табл. 1. Режимные параметры экспериментов, а также характерные значения числа Re представлены в табл. 2. Распределения давлений
по длине экспериментального участка представлены в табл. 3.
Характерные числа Re (см. табл. 2) для всех режимов не превышают выбранного ранее порогового значения Re = 6,5. Следует отметить, что в табл. 2 представлены максимальные значения числа Re на участке для наиболее подвижной и наименее вязкой фазы. При этом для режимов 1...4 характерное значение Re не достигает нижней границы диапазона критических значений. С учетом вышесказанного можно считать, что для рассматриваемых режимов течения применим линейный закон Дарси.
Таблица 1
Постоянные условия экспериментов
м2 28,27-10-6
г, м2 7,5-10-14
р 0,4
Длина экспериментального участка (/), м 3
Расстояние между датчиками давления (Ах), м 0,4
Температура в помещении (Т), К 293
М1, кг/моль 16,04 10-3
М2, кг/моль 72,15 10-3
Таблица 2
Режимные параметры экспериментов
№ режима Молярная доля СН4 на входе Давление на верхней границе двухфазной области, МПа мг/с Длительность режима, с Re
1 0,85 18,8585 16,5 480 0,268
2 0,85 18,8585 21,87 275 0,389
3 0,85 18,8585 25,52 800 0,474
4 0,7 16,8774 37,76 310 0,269
5 0,9 18,150 50 125 1,54
6 0,9 18,150 55,47 260 1,79
7 0,9 18,150 59,60 355 2,03
8 0,9 18,150 69,62 370 2,75
Таблица 3
Распределение давлений, МПа, по длине экспериментального участка для стационарных режимов: цветом выделены точки, находящиеся в однофазной области
№ режима Координаты датчиков давления относительно входа в экспериментальный участок, м
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4
1 19,2326 19,0089 18,7565 18,4795 18,2375 18,0119 17,7674
2 18,9896 18,6921 18,3509 17,9896 17,6545 17,3572 17,0195
3 18,8855 18,542 18,1427 17,7212 17,3323 16,9808 16,5789
4 18,9408 18,2218 17,4775 16,716 16,0689 15,4244 14,3778
5 19,2541 18,5186 17,7656 17,0916 16,4598 15,7521 14,2541
6 19,2818 18,4726 17,6311 16,8856 16,1925 15,3934 13,4912
7 19,2685 18,3912 17,4878 16,6897 15,9347 14,8465 12,4678
8 19,1213 18,1127 17,0646 16,1439 15,2233 13,1336 9,559
й 22 г-
<и К
¡5 20 -
д
— р рз Р4 -Р5 -Р6 -Р8
~Рг ~
— О sum
18
16
14
12
1- 180 -У
- 160
- 140
- 120 - 100 - 80
- 60 -40
й СМ
1500
2000
2500
3000
Время, с
Рис. 1. Показания датчиков давления и расходомера во времени:
стрелка указывает момент времени, соответствующий стационарному режиму
Пример экспериментальных данных, которые были использованы в процессе расчета, представлен на рис. 1 (см. режим № 6). Поскольку для определения коэффициента фазовой проницаемости по формуле (13) необходимо знать значение производной давления по координате в точке, для дальнейших вычислений зависимость давления от координаты для каждого эксперимента аппроксимировалась полиномом третьей степени (рис. 2). С помощью
\ чо О режим № 6 — Р(х)
ч
ч ъ
\
•••о \
"ъ
19 18 17 16 15 14
0 0,5 1,0 1,5 2,0 1,5 3,0
Координата, м
Рис. 2. Аппроксимация распределения давлений по длине участка в выбранный момент времени
этой функции также определяются давление и его производная в точке, соответствующей началу двухфазной области при заданном составе смеси. Хотя эта точка и является началом двухфазной области, она должна содержать только 1 фазу и, следовательно, относительная проницаемость этой фазы должна быть равна 1. В случае если значение относительной проницаемости в результате расчетов получается отличным от единицы, для дальнейших вычислений коэффициентов проницаемости по результатам одного эксперимента вводится поправочный коэффициент а = 1//10, где -ОФП по газу при давлении начала фазового перехода. Для режима № 6 давление на границе двухфазной области, соответствующее исходной концентрации СН4, составляет 18,15 МПа. Аппроксимирующая распределение давлений по длине функция имеет вид:
Р(х) = 20,156 - 3,18-10"3 х + +1,42 -10"6 х2 - 4,47 -10"10 х3.
(17)
Производная (17) в точке, соответствующей началу двухфазной области, составляет -1,71 МПа/м. Координата точки х = 0,892 м. Поскольку расход в точке также известен, с помощью формулы (13) можно определить ОФП по газу:= 0,99. В таком случае поправочный коэффициент а составит 1,01. Поскольку давление, его производные и расход
известны также и для других точек, аналогичным образом вычисляются функции фазовых проницаемостей в них, полученные величины умножаются на а.
Результаты расчета
По результатам анализа восьми экспериментов получены массивы точек соответствия давления и коэффициентов относительных фазовых
проницаемостей в стационарных режимах фильтрации для трех различных концентраций метана в исходной смеси: 0,7; 0,85 и 0,9. Результаты этих вычислений представлены в табл. 4-6, а также на рис. 3, 4. При построении графиков зависимости ОФП от давления использовалась аппроксимация полиномиальными функциями.
Таблица 4
Коэффициенты фазовых проницаемостей в стационарных режимах фильтрации для смеси
с исходной концентрацией метана 0,7
Р, МПа Л (с поправкой) Л (с поправкой) Л (без поправки) Л (без поправки) а
16,752 0,0105 0,818 0,0105 0,818 1
16,208 0,0480 0,855 0,0480 0,855 1
15,665 0,0825 0,938 0,0825 0,938 1
Таблица 5
Коэффициенты фазовых проницаемостей в стационарных режимах фильтрации для смеси
с исходной концентрацией метана 0,85
Р, МПа Л (с поправкой) Л (с поправкой) Л (без поправки) Л (без поправки) а
18,480 0,446 0,331 0,429 0,345 0,960
18,238 0,449 0,368 0,431 0,383 0,960
18,012 0,470 0,410 0,451 0,427 0,960
18,692 0,544 0,323 0,559 0,315 1,027
18,351 0,474 0,373 0,486 0,363 1,027
17,990 0,453 0,397 0,465 0,387 1,027
17,655 0,454 0,424 0,466 0,413 1,027
17,357 0,471 0,456 0,484 0,444 1,027
18,143 0,439 0,371 0,427 0,381 0,973
17,721 0,422 0,389 0,411 0,400 0,973
17,332 0,423 0,412 0,412 0,423 0,973
16,981 0,438 0,441 0,426 0,453 0,973
Таблица 6
Коэффициенты фазовых проницаемостей в стационарных режимах фильтрации для смеси
с исходной концентрацией метана 0,9
Р, МПа Л (с поправкой) Л (с поправкой) Л (без поправки) Л (без поправки) а
17,766 0,827 0,089 0,862 0,093 0,960
17,092 0,713 0,174 0,743 0,181 0,960
16,460 0,619 0,205 0,645 0,214 0,960
17,631 0,901 0,125 0,939 0,131 0,960
16,886 0,734 0,202 0,764 0,211 0,960
16,193 0,504 0,184 0,525 0,191 0,960
15,393 0,389 0,171 0,405 0,178 0,960
17,488 0,950 0,163 0,938 0,161 1,013
16,690 0,721 0,219 0,712 0,216 1,013
15,935 0,502 0,196 0,496 0,194 1,013
14,847 0,344 0,165 0,340 0,163 1,013
17,065 0,817 0,203 0,908 0,225 0,900
16,144 0,548 0,202 0,609 0,224 0,900
15,223 0,340 0,153 0,377 0,170 0,900
17
1 О газ О жидкая фаза
U^b
18
19
P, МПа
Рис. 3. Коэффициенты фазовых проницаемостей в стационарных режимах фильтрации для смеси с исходной концентрацией метана 0,85
С 1,0 ©
О
0,8
0,6
0,4
0,2
1 О газ О
О жидка я фаза У^о
о
14
15
16
17 18
P, МПа
Рис. 4. Коэффициенты фазовых проницаемостей в стационарных режимах фильтрации для смеси с исходной концентрацией метана 0,9
0
0
С 1,0
©
о
0,8
0,6
0,4
0,2
Жидкость: — Б.А. Григорьев и др. ... [8] Газ: — Б.А. Григорьев и др. ... [8]
/ /
у / /
\\ / /
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Газонасыщенно сть
Рис. 5. Сравнение результатов расчета с модельной функцией, предлагаемой в литературе [8]
Полученные данные позволяют решить задачу подбора параметров функций фазовых проницаемостей (1), (2), пользуясь ранее предложенным алгоритмом. Алгоритм реализован в среде программирования Delphi. В результате обработки экспериментальных данных получены следующие значения параметров для функций ОФП для смеси метана и н-пентана: a2 = 0,84; b2 = 2,74; al = 0,11; b1 = 2,62. Параметры
модельных функций, предлагаемые в литературе [8]: а2 = 0,8; Ь2 = 3,5; а1 = 0,1; Ь1 = 3,5. Сравнение полученной зависимости с модельной функцией, предлагаемой в литературе [8], представлено на рис. 5.
Минимальная ошибка аппроксимации 5 составила 0,037. Необходимо заметить, что это довольно высокая ошибка, учитывая пределы изменения функции ОФП (0.. .1). Вероятно, проблема метода заключается в необходимости большего количества экспериментальных данных, которое позволило бы отбросить при расчете данные с высокой систематической погрешностью (например, вследствие незафиксированного изменения температуры стенда). В данном расчете основную долю погрешности внесли эксперименты, проведенные при концентрации метана в исходной смеси, равной 0,85. Кроме того, оптимизация параметров проводится для функций выбранного вида и, возможно, выбор другого вида зависимости мог бы дать более высокий результат.
Разработан метод, позволяющий по результатам экспериментов определять функции фазовых проницаемостей двухкомпонентных углеводородных смесей в условиях применимости закона Дарси. Метод является развитием известных стационарных методов определения функций фазовых проницаемостей. Ключевое
* * *
преимущество метода - отсутствие необходимости измерения влагонасыщенности по длине экспериментального участка. На точность
метода могут влиять выбор вида функций ОФП и объем анализируемых экспериментальных данных.
Список литературы
1. Мирзаджанзаде А.Х. Моделирование процессов нефтегазодобычи / А.Х. Мирзаджанзаде, М.М. Хасанов, Р.Н. Бахтизин. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -368 с.
2. Мишин В.С. Автоколебательные режимы течения двухфазных многокомпонентных смесей через пористые среды / В.С. Мишин // Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 296. - № 6. -
С. 1323-1327.
3. Zaichenko V.M. An experimental setup for simulation of two-phase hydrocarbon mixture flow in porous stratums / V.M. Zaichenko,
I.L. Maikov, A.K. Smolkin, et al. // Instrum. Exper. Tech. - 2012. - Т. 55. - № 5. - С. 601-604. -DOI: 10.1134/s002044121204015x.
4. Zaichenko V.M. Features of hydrocarbon mixtures filtration in a porous medium / V.M. Zaichenko, I.L. Maikov, V.M. Torchinskii // High.
Temp. - 2013. - Т. 51. - С. 776-784. -DOI: 10.1134/S0018151X13050222.
5. Mohamadi-Baghmolaei M. Novel method
for estimation of gas/oil relative permeabilities / M. Mohamadi-Baghmolaei, R. Azin, Z. Sakhaei, et al. // J. Mol. Liq. - 2016. - Т. 224. -С. 1109-1116. - DOI: 10.1016/ j.molliq.2016.08.055.
6. Gholampour F. A new correlation for relative permeability in gas-condensate reservoirs /
F. Gholampour, H. Mahdiyar // J. Pet. Sci. Eng. -2019. - Т. 172. - С. 831-838. - DOI: 10.1016/ j.petrol.2018.08.077.
7. Чэнь Чжун-сян. Задачи фильтрации двухфазной жидкости при учете массовых сил: дис. ... канд. тех. наук: 05.00.00 / Чэнь Чжун-сян. -М., 1962. - 186 с.
8. Басниев К.С. Подземная гидромеханика: учеб. для вузов / К.С. Басниев, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. - М.: Недра, 1993. - 416 с.
9. Шабаров А.Б. Методы определения функций относительной фазовой проницаемости в задачах многофазной фильтрации / А.Б. Шабаров, А.В. Шаталов,
П.В. Марков и др. // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. - 2018. - Т. 4. - № 1. - С. 79-109. -DOI: 10.21684/2411-7978-2018-4-1-79-109.
10. Dury O. A comparison of relative nonwetting-phase permeability models / O. Dury,
U. Fisher, R. Schulin // Water Resources Research. - 1999. - Т. 35. - С. 1481-1493. -DOI: 10.1029/1999WR900019.
11. Buckley S.E. Mechanism of fluid displacement in sands / S.E. Buckley, M.C. Leverett // Transactions of the AIME. - 1942. - Т. 146. -DOI: 10.2118/942107-G.
12. Дробков В.П. Методы и средства измерений влажности нефти: обзор / В.П. Дробков, С.А. Лабутин, В.И. Мельников // Датчики
и системы. - 2002. - № 11. - С. 23-27.
13. Vo H.X. Experimental study of composition variation during flow of gas-condensate / H.X. Vo, R.N. Horne // SPE Annual Technical Conference and Exhibition held in Houston, Texas, USA, 28-30 September 2015. - SPE-175011-MS. -DOI: 10.2118/175011-MS.
14. Щелкачев В.Н. Подземная гидравлика / В.Н. Щелкачев, Б.Б. Лапук. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 736 с.
15. Баталин О.Ю. Фазовые равновесия в системах природных углеводородов / О.Ю. Баталин,
A.И. Брусиловский, М.Ю. Захаров. - М.: Недра, 1992. - 272 с.
16. Lohrenz J. Calculating viscosities of reservoir fluids from their compositions / J. Lohrenz,
B.G. Bray, C.R. Clark // J. Pet. Technol. - 1964. -Т. 16. - С. 1171-1176.
17. Жиглявский А.А. Методы поиска глобального экстремума / А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинскас. - М.: Наука, 1991. - 248 с.
18. Бахвалов Н.С. Численные методы /
Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков. - М.: Наука, 2016. - 636 с.
Method of deriving relative phase permeability functions for binary hydrocarbon mixtures
B.A. Grigoryev1, V.M. Zaychenko2, O.A. Ivanin2, D.A. Molchanov2*
1 Gazprom VNIIGAZ LLC, Bld. 1, Estate 15, Proyektiruemyy proezd no. 5537, Razvilka village, Leninskiy urban district, Moscow Region, 142717, Russian Federation
2 Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences, Block 2, Bld. 13, Izhorskaya street, Moscow, 125412, Russian Federation
* E-mail: dmitriy.molchanov13@gmail.com
Abstract. The article describes a method aimed at determining the relative phase permeability functions for binary hydrocarbon mixtures. The suggested approach expounds the stationary methods and may be applied in case of the Darcy's law applicability. To realize this method, one needs the measured data on pressure distribution lengthwise a tested tube section in course of modelling the double-phase filtration for binary mixtures in various combinations of component concentrations. An advantage of the suggested method is the absence of necessity to measure the humidity lengthwise the experimental section. A result of method approbation is shown for a case of a methane-n-pentane mixture.
Keywords: double-phase filtration, filtration of hydrocarbons, relative phase permeability, experimental simulation of filtration, Darcy's law applicability.
References
1. MIRZADZHANZADE, A.Kh., M.M. KHASANOV, R.N. BAKHTIZIN. Simulation of oil and gas production processes [Modelirovaniye protsessov neftegazodobychi]. Moscow & Izevsk: Institut kompyuternykh issledovaniy, 2004. (Russ.).
2. MITLIN, V.S. Self-oscillating regimes of binary multicomponent mixtures flowing through porous media [Avtokolebatelnyye rezhimy techeniya dvukhfaznykh mnogokomponentnykh smesey cherez poristyye sredy]. DAN SSSR, 1987, vol., 296, no. 6, pp. 1323-1327, ISSN 0002-3264. (Russ.).
3. ZAICHENKO, V.M., I.L. MAIKOV, A.K. SMOLKIN, et al. An experimental setup for simulation of two-phase hydrocarbon mixture flow in porous stratums. Instrum. Exper. Tech., 2012, vol. 55, no. 5, pp. 601-604, ISSN 0020-4412. DOI: 10.1134/s002044121204015x.
4. ZAICHENKO, V.M., I.L. MAIKOV, V.M. TORCHINSKII. Features of hydrocarbon mixtures filtration in a porous medium. High. Temp, 2013, vol. 51, pp. 776-784, ISSN 0018-151X. DOI: 10.1134/S0018151X13050222.
5. MOHAMADI-BAGHMOLAEI, M., R. AZIN, Z. SAKHAEI, et al. Novel method for estimation of gas/oil relative permeabilities. J. Mol. Liq, 2016, vol. 224, pp. 1109-1116, ISSN 0167-7322. DOI: 10.1016/ j.molliq.2016.08.055.
6. GHOLAMPOUR, F., H. MAHDIYAR. A new correlation for relative permeability in gas-condensate reservoirs. J. Pet. Sci. Eng., 2019, vol. 172, pp. 831-838, ISSN 0920-4105. DOI: 10.1016/j.petrol.2018.08.077.
7. CHEN, Zhong-Xyan. Problems of binary fluid filtration at consideration of mass forces [Zadachi filtratsii dvukhfaznoy zhidkosti pri uchete massovykh sil]. Candidate's thesis (engineering). Institute of petroleum chemistry and gas industry named after I.M. Gubkin. Moscow, 1962. (Russ.).
8. BASNIYEV, K.S., I.N. KOCHINA, V.M. MAKSIMOV. Subsoil hydromechanics [Podzemnaya gidromekhanika]: textbook for higher school. Moscow: Недра, 1993. (Russ.).
9. SHABAROV, A.B., A.V. SHATALOV, P.V. MARKOV, et al. Relative permeability calculation methods in multiphase filtration problems [Metody opredeleniya funktsiy otnositelnoy phazovoy pronitsayemosti v zadachakh mnogofaznoy filtratsii]. Vestnik Tyumenskogo gosudarstvennogo universiteta. Fiziko-matematicheskoye modelirovaniye. Neft, gaz, energetika, 2018, vol. 4, no. 1, pp. 79-109, ISSN 2411-7978. (Russ.). DOI: 10.21684/2411-7978-2018-4-1-79-109.
10. DURY, O., U. FISHER, R. SCHULIN. A comparison of relative nonwetting-phase permeability models. Water Resources Research, 1999, vol. 35, pp. 1481-1493, ISSN 0043-1397. DOI: 10.1029/1999WR900019.
11. BUCKLEY, S.E., M.C. LEVERETT. Mechanism of fluid displacement in sands. In: Transactions of the AIME, 1942, vol. 146. DOI: 10.2118/942107-G.
12. DROBKOV, V.P., S.A. LABUTIN, V.I. MELNIKOV. Methods and instruments for measuring oil humidity [Metody i sredstva izmereniy vlazhnosti nefti]: review. Datchiki i Sistemy, 2002, no. 11, pp. 23-27, ISSN 1992-7185. (Russ.).
13. VO, H.X., R.N. HORNE. Experimental study of composition variation during flow of gas-condensate. In: SPE Annual Technical Conference and Exhibition held in Houston, Texas, USA, 28-30 September 2015, SPE-175011-MS. DOI: 10.2118/175011-MS.
14. SHCHELKACHEV, V.N., B.B. LAPUK. Subsoil hydraulics [Podzemnaya gidravlika]. Izhevsk: NITs "Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika", 2001. (Russ.).
15. BATALIN, O.Yu., A.I. BRUSILOVSKIY, M.Yu. ZAKHAROV. Phase equilibria in systems of natural hydrocarbons [Fazovyye ravnovesiya v sistemakh prirodnykh uglevodorodov]. Moscow: Nedra, 1992. (Russ.).
16. LOHRENZ, J., B.G. BRAY, C.R. CLARK. Calculating viscosities of reservoir fluids from their compositions. J. Pet. Technol, 1964, vol. 16, pp. 1171-1176, ISSN 0022-3522.
17. ZHIGLYAVSKIY, A.A., A.G. ZHILINSKAS. Methods for searching global extremum [Metody poiska globalnogo ekstremuma]. Moscow: Nauka, 1991. (Russ.).
18. BAKHVALOV, N.S., N.P. ZHIDKOV. Numerical methods [Chislennyye metody]. Moscow: Nauka, 2016. (Russ.).
