Научная статья на тему 'Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений'

Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
222
59
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / НЕМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС / БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ / ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ / НЕРАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ / ФЛИККЕР-ШУМ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Морозов А. Н.

Предложен метод нахождения характеристических функций немарковского случайного процесса при его описании системой линейных интегральных уравнений. Показано, что в этом случае решение задачи может быть найдено с помощью ранее разработанного метода нахождения характеристических функций процесса, описываемого одним линейным интегральным уравнением. Разработанный метод применен для описания броуновского движения в равновесной и неравновесной средах. Рассчитана спектральная плотность флуктуаций импульса броуновской частицы в неравновесной среде и установлено, что в низкочастотной части спектра она представляет собой фликкер-шум. Показано, что спектральная плотность флуктуаций импульса броуновской частицы в неравновесной среде линейно зависит от производства энтропии

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Method for Describing Non-Markovian Processes Defined by a System of Linear Integral Equations

We suggest a method for determining characteristic functions of a non-markovian stochastic process when a system of linear integral equations describes it. We show that in this case it is possible to find the solution to this problem using a previously developed method for determining characteristic functions of a process described by a single linear integral equation. We employed the method we developed to describe Brownian motion in equilibrium and non-equilibrium media. We computed spectral density of impulse fluctuations for a Brownian particle in a non-equilibrium medium and determined that in the low-frequency region it is represented by flicker noise. We show that the spectral density of impulse fluctuations for a Brownian particle in a non-equilibrium medium is a linear function of entropy generation

Текст научной работы на тему «Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений»

УДК 536.75

DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-57-66

МЕТОД ОПИСАНИЯ НЕМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ, ЗАДАВАЕМЫХ СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

А.Н. Морозов amor@bmstu.ru

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Предложен метод нахождения характеристических функций немарковского случайного процесса при его описании системой линейных интегральных уравнений. Показано, что в этом случае решение задачи может быть найдено с помощью ранее разработанного метода нахождения характеристических функций процесса, описываемого одним линейным интегральным уравнением. Разработанный метод применен для описания броуновского движения в равновесной и неравновесной средах. Рассчитана спектральная плотность флуктуаций импульса броуновской частицы в неравновесной среде и установлено, что в низкочастотной части спектра она представляет собой фликкер-шум. Показано, что спектральная плотность флуктуаций импульса броуновской частицы в неравновесной среде линейно зависит от производства энтропии

Ключевые слова

Броуновское движение, характеристическая функция, немарковский процесс, неравновесное состояние, производство энтропии, фликкер-шум

Поступила в редакцию 30.01.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Описание броуновского движения в неравновесных средах может быть выполнено с помощью уравнения Ланжевена [1], в котором внешние случайные воздействия частиц среды на броуновскую частицу описываются случайным процессом, отличающимся от белого шума [2, 3]. В этом случае становится невозможным использование метода стохастических дифференциальных уравнений для нахождения характеристических функций (функций распределения) флуктуаций импульса броуновской частицы [4, 5]. Это связано с тем, что броуновское движение становится немарковским случайным процессом [6, 7].

Метод нахождения характеристических функций немарковского случайного процесса Z (t), описывающегося с помощью линейного интегрального преобразования, предложен и обоснован в работах [5, 8]:

t

г (0 = { G (и x)dw (т), (1)

о

где G(t,т) — непрерывная функция переменной т; W(т) — процесс с независимыми приращениями. Полагается, что интеграл (1) представляет собой интеграл Ито [4, 9].

Одномерная характеристическая функция gi (А,; t) процесса Z(t) имеет вид [5, 8]

gi (А; t) = exp

jx(AG(t,т); т)т

Здесь

x(A,G(t,т); т) = —lnhi (AG(t,т); т); hi (AG(t,т);т) = (exp(¿AG(t, t)W(т))).

(2)

(3)

(4)

Если процесс W (I) является винеровским с интенсивностью ув (t) и описывается одномерной характеристической функцией

hi (А;t) = exp(-1 Vb (t)A2tj,

(5)

то выражение для одномерной характеристической функции (А,; t) процесса % (t) принимает форму

gi (А; t) = exp

-^А2JG2 (t,т)Vb (т)т

2 П

(6)

Если процесс W (t) — пуассоновский с интенсивностью уп (t) и описывается одномерной характеристической функцией

Й1 (А;t) = ехр(уп (0(^(А)-1)t), (7)

где g (А) — характеристическая функция скачков пуассоновского процесса, то выражение для одномерной характеристической функции (А;t) процесса % (t) принимает вид

gi (А; t) = exp

J(g(AG(t,т))-i)vn (^di

(8)

В более общем случае для нахождения Ь-мерной характеристической функции gL (А1,..., Аь; t1,..., ) процесса % (t) необходимо использовать выражение [5, 8]

gL (,..., Аl; ti,...,tL) = exp

L J Х(||ЕА^(tk,т) ]; т ]dт

(9)

Здесь

х| I i^G(,т))]; т^^ =-|тЬhi (,т) ]; т ];

(i0)

ь ^¿ХкО(,т);т^ехр^I(^¿^О(,т)W(т)^. (11)

При нахождении интеграла в выражении (9) необходимо учитывать условие

О ( ^, т)|тХк = 0- (12)

Формулы (2)-(4) являются частными случаями выражений (9)—(11) при Ь = 1.

Если процесс W (t) является винеровским, то

gL (А,!,...,АL; ti,...,tL) = exp а если — пуассоновским, то

1 l min(ti ,tk)

- - X XiXk J G (ti, x)G (tk, x)vb (i)di

2 l, k=i о

, (13)

gL (А-,...,Xl; ti,...,tL ) = exp

X J (g(¿^kG(tk,i) |-1 |vn(i)di

(14)

Проведем разработку метода нахождения характеристических функций немарковского случайного процесса Z (t) в случае, если для его описания требуется использование системы линейных интегральных уравнений:

2 (0 = {О1 (^,§)Х (§^§; (15)

0 §

X(§) = {О2 (§,т)dW(т), (16)

0

где О1 (t,§), О2 (§,т) — непрерывные функции переменных § и т. Здесь так же, как и для интеграла (1), полагается, что интегралы (15) и (16) представляют собой интегралы Ито.

К системе линейных интегральных уравнений (15), (16) может быть сведена задача описания броуновского движения при воздействии на частицу случайного процесса, не являющегося процессом с независимыми приращениями. В этом случае броуновское движение описывается уравнением следующего вида:

^+у*(0 = х^). (17)

dt

Здесь у — коэффициент вязкого трения; X (t) — случайный процесс, который может быть получен из процесса с независимыми приращениями W (t) с помощью интегрального уравнения (16). Если решение уравнения (17) представить в интегральной форме (15) с ядром

О (t,§) = ехр(-у(t-§)), (18)

то рассматриваемая задача описания броуновского движения сведется к решению системы линейных интегральных уравнений (15), (16).

Для нахождения характеристических функций процесса Z (t) проведем следующее преобразование системы линейных интегральных уравнений (15), (16):

t ^ 2^) = |С1 (t,£) 102 (£,т)dW(т) d£ =

0 V 0 )

t (t ^ = | 11 (^-т)01 (t,^)02 (т)dW(т) d£ = о V о )

t (t ^ = 1 101 (t,^)02 (£,т)ddW(т), о Чт )

где 1 (£-т) — единичная функция.

Следовательно, систему уравнений (15), (16) можно свести к линейному интегральному уравнению (1), в которое необходимо подставлять ядро преобразования 0 (t, т) в виде

0(,т) = }о (,^)02 (£,т^.

т

Таким образом, при нахождении характеристических функций процесса 2 (t), описываемого системой линейных интегральных уравнений (15), (16), могут быть использованы выражения (2)-(4) (для частных случаев винеровского и пуассоновского процессов — (6) и (8)) и (9)-(11) (для частных случаев указанных процессов — (13) и (14)).

Предложенный метод позволяет рассчитать характеристические функции процесса 2 (t), описываемого системой линейных интегральных уравнений, состоящей из любого количества таких уравнений. Например, в случае системы из трех линейных интегральных уравнений

Z(t) = {Gi (t,§)X(§)d

0 §

X(§) = {G2 (§,3)Y (3)d3;

Y(3) = }G3 (3,x)dW(x),

где 01 (t, £), 02 (£,3), 03 (3, т) — непрерывные функции переменных , 3 и т; она сводится к линейному интегральному уравнению (1), ядро преобразования 0 (t, т) которого имеет вид

0(,т) = |01 (,£) 102 (£,3)0з (3,т)d3 d£.

т чт )

Аналогично можно найти ядро преобразования О (t, т) для системы из N линейных интегральных уравнений.

Рассмотрим применение полученных выражений для нахождения характеристических функций флуктуаций импульса броуновской частицы в равновесной и неравновесной средах.

1. Пусть 2 (t) описывает импульс броуновской частицы в равновесной среде при воздействии на нее случайного 5-коррелированного процесса. Тогда его интенсивность уВ можно представить как [5]

vb = 2ymkT,

(19)

где т — масса броуновской частицы; к — постоянная Больцмана; Т — температура среды, а ядра преобразований О1 (, §) и О2 (§, т) имеют соответственно вид (18) и

О2 (§,т) = 5(§-т).

В этом случае формула для О (t, т) принимает вид

О (, т) = } ехр (-у( -§))5(§-т)§ = ехр (-у( -т)). (20)

т

Подстановка выражений (19) и (20) в формулу (13) дает формулу для Ь-мерной характеристической функции gЬ (А1,..., XЬ; t1,..., ) процесса 2 (t) при воздействии на броуновскую частицу винеровского процесса

gь (Хь-о Х Ь; tl,..., 1ь ) =

= exp

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^fäkt l

—— X (XiXk (exp(-у|ti -tkI)-exp(-y(ti + tk))))

2 l,k=i

(21)

Аналогичное выражение при воздействии пуассоновского процесса (см. (14)) имеет вид

gь (Хь-о Х Ь; t1,..., ^Ь ) =

= ехр 2уткТ¿Т | [ gХк ехр(-у(-т))1-1 Ът . (22)

_ 1=1 ^ V V к=1 ) )

При Ь = 1 получаем выражения для одномерных характеристических функций в случае воздействия винеровского и пуассоновского процессов:

ткТ

gi (X; t) = exp

-X2 (i - exp (-2yt))

gi (X; t ) = exp

2ymkTJ(g (X exp (-у (t -t)))- i)di

(23)

(24)

Выражения (21)-(24) совпадают с формулами, полученными для случая броуновского движения в равновесной среде в работах [5, 8].

2. Рассмотрим описание броуновского движения в случае, когда броуновская частица находится в неравновесной среде, воздействие которой на нее имеет интенсивность

v = 2 ymoST, (25)

где os — производство энтропии при движении броуновской частицы в неравновесной среде, а ядро преобразования G2 т) можно представить в виде

G2 (^ ТЬ-ЛГГ.

Тогда выражение для G (t, т) принимает форму [10]

G (t, т) = |eXP (~Y(t = ^ exp (-y(t-т))аАШГГ)), (26)

т Vy(^-t) У

где erfi(x) = -i erf(ix).

Если подставить выражения (25) и (26) в формулу (13), то для L-мерной характеристической функции gL (Xb..., XL; t1,..., tL ) процесса Z (t) при воздействии на броуновскую частицу винеровского процесса имеем

gL (А,!,...,XL;ti,...,tL) = exp

■KmoST l min( ,tk)

X XiXk J exp(y( + tk -2x))x

Y i,k=i

x erfi ((y(i-x) )erfi (((tk-x)) dx

(27)

Аналогично при подстановке выражений (25) и (26) в формулу (14), описывающую воздействие пуассоновского процесса, получим

gL (^..оXI; Í1,..., ^ ) =

= exp

L ti

f f

2YmcsTX J

l=1 ti-i

V V

— XXk exp(-Y(tk -x)) erfi(((k-x))

Y k =l .

-1

dx

. (28)

При L = 1 выражения (27) и (28) переходят в формулы для одномерных характеристических функций винеровского и пуассоновского процессов:

gi (А; t) = exp

%maST

t

X2 J exp (-2 y(-x) ) erfi2 (((-x) ) d x

gi (X; t) = exp

t ( ^

2YmcsTJ g —Xexp(-Y(t-x)) erfi(((t-x))

-1

V V

d x

Определим математическое ожидание (2(0), дисперсию (22(£)) и корреляционную функцию (2(^)2 ( ^ )) процесса 2 (t) при воздействии винеровского процесса:

Zt)>=

(z 2(t )>

_ a2gl (X;t)

ax2

X_0

i&k

^^^Jexp (-2y (t -x))erfi2 ((—) );

(Z(t2)Z (t1 ))_* g 2 tl> 12)

iÖA1iÖA2

(29)

x1_ 0

_ 0

2%maST tl

Y 0

J exp(—y(ti — x)) erfi(((1— x))exp(—y(— x))erfi((Y(^))dx.

Формула (29) для корреляционной функции процесса 2 (t) позволяет найти одностороннюю спектральную плотность Gz (ю) флуктуаций этой величины [11]:

Gz (ю) = 4J (2(t + £)Z (t) >|t^ cos (ю£)d£ =

8%maST

->ft

j j exp (—y( — t) ) erfi ((( — т) ) exp (—y( — x + ^) ) x

Y 0 V 0

xerfi ((( — x + ^))dx

cos

(30)

Рассмотрим нахождение односторонней спектральной плотности О2 (ю) для высокочастотного случая при га » у. Для этого случая в первом приближении можно использовать следующую формулу [12]:

егй Ми

Подстановка выражения (31) в формулу (30) дает

О2(ю)=

(31)

t _ Л

: 32YmaSTJ exp(—Y^)Jexp(— 2y( — x)))(f-x)(f — x + ^)dx

0 V 0

cos (ra^)d^. (32)

t—

Вычисление интегралов в выражении (32) позволяет найти спектральную плотность [10]:

, ч 4кmosT 02 .

Следовательно, в высокочастотной части спектра спектральная плотность флукту-аций импульса броуновской частицы обратно пропорциональна третьей степени частоты.

Рассмотрим случай га ^ у, для которого можно использовать следующее первое приближение [12]:

erfi (X) |х . 1 ^ (33)

После подстановки выражения (33) в формулу (30) имеем

cos (<ȣ) (34)

8%maST ТГ л 1 ^

GZ (ю) =---J 0 , ■ dx

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

П ' Y2 0 [о V(t-x)(t-x + $)

Вычисление интегралов в формуле (34) позволяет получить [10]

, . 4%masT

Gz (ю) =-2-. (35)

у 2га

Из формулы (35) следует, что при движении броуновской частицы в неравновесной среде в низкочастотной части спектра спектральная плотность флуктуа-ций импульса броуновской частицы описывается фликкер-шумом [13, 14].

Заключение. Предложенный метод нахождения характеристических функций немарковского процесса, описываемого системой линейных интегральных уравнений, позволил рассчитать статистические характеристики броуновского движения в неравновесной среде. Спектральная плотность флуктуаций импульса броуновской частицы в такой среде линейно зависит от производства энтропии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 528 с.

2. Брауэрс Й.Й.Х. Уравнение Ланжевена для частицы жидкости в потоке с вызванной наличием стенок турбулентностью // Теоретическая и математическая физика. 2010. Т. 163. № 2. С. 328-352.

3. Marchesoni F., Taloni A. Subdiffusion and long-time anticorrelations in a stochastic single file // Physical Review Letters. 2006. Vol. 97. Iss. 10. P. 106101-1-106101-4.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.97.106101

4. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990. 632 с.

5. Бункин Н.Ф., Морозов А.Н. Стохастические системы в физике и технике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 366 с.

6. Морозов А.Н. Применение теории немарковских процессов при описании броуновского движения // ЖЭТФ. 1996. Т. 109. № 4. С. 1304-1315.

7. Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Применение интегральных преобразований для описания броуновского движения как немарковского случайного процесса // Известия вузов. Физика. 2009. № 2. С. 66-74.

8. Морозов А.Н. Метод описания немарковских процессов, задаваемых линейным интегральным преобразованием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2004. № 3. С. 47-56.

9. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987. 400 с.

10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. М.: Наука, 2003. 632 с.

11. Морозов А.Н. Необратимые процессы и броуновское движение. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 332 с.

12. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 344 с.

13. Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Новое в исследованиях 1//-шума // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. № 1. С. 151-176. DOI: 10.3367/иБ№.0141.198309а.0151

14. Кузовлев Ю.Е. Почему природе нужен 1//-шум // Успехи физических наук. 2015. Т. 185. № 7. С. 773-783. DOI: 10.3367AUFNr.0185.201507d.0773

Морозов Андрей Николаевич — д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Морозов А.Н. Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5. С. 57-66. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-57-66

METHOD FOR DESCRIBING NON-MARKOVIAN PROCESSES DEFINED BY A SYSTEM OF LINEAR INTEGRAL EQUATIONS

A.N. Morozov amor@bmstu.ru

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

Abstract

We suggest a method for determining characteristic functions of a non-markovian stochastic process when a system of linear integral equations describes it. We show that in this case it is possible to find the solution to this problem using a previously developed method for determining characteristic functions of a process described by a single linear integral equation. We employed the method we developed to describe Brownian motion in equilibrium and non-equilibrium media. We computed spectral density of impulse fluctuations for a Brownian particle in a non-equilibrium medium and determined that in the low-frequency region it is represented by flicker noise. We show that the spectral density of impulse fluctuations for a Brownian particle in a non-equilibrium medium is a linear function of entropy generation

Keywords

Brownian motion, characteristic function, non-markovian process, non-equilibrium state, entropy generation, flicker noise

Received 30.01.2017 © BMSTU, 2017

REFERENCES

[1] Crispin W.G. Handbook of stochastic methods for physics, chemistry, and the natural sciences. Springer-Verlag, 1985. 442 p.

[2] Brauers Y.Y.Kh. Langevin equation of a fluid particle in wall-induced turbulence. Theoretical and Mathematical Physics, 2010, vol. 163, iss. 2, pp. 677-695.

DOI: 10.1007/s11232-010-0050-2

[3] Marchesoni F., Taloni A. Subdiffusion and long-time anticorrelations in a stochastic single file. Physical Review Letters, 2006, vol. 97, iss. 10, pp. 106101-1-106101-4.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.97.106101

[4] Pugachev V.S., Sinitsyn I.N. Stokhasticheskie differentsial'nye sistemy [Stochastic differential systems]. Moscow, Nauka Publ., 1990. 632 p.

[5] Bunkin N.F., Morozov A.N. Stokhasticheskie sistemy v fizike i tekhnike [Stochastic systems in physics and technique]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 366 p.

[6] Morozov A.N. Use of the theory of non-Markovian processes in the description of Brow-nian motion. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1996, vol. 82, no. 4, pp. 703-708.

[7] Morozov A.N., Skripkin A.V. Application of integral transforms to a description of the Brownian motion by a non-Markovian random process. Russian Physics Journal, 2009, vol. 52, no. 2, pp. 184-195. DOI: 10.1007/s11182-009-9217-4

[8] Morozov A.N. Method of describing non-Markovian processes defined by linear integral transformation. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2004, no. 3, pp. 47-56 (in Russ.).

[9] Horsthemke W., Lefever R. Noise-induced transitions. Springer, 1984. 322 p.

[10] Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i ryady. T. 1. Elementarnye funktsii [Integrals and raws. Vol. 1. Elementary functions]. Moscow, Nauka Publ., 2003. 632 p.

[11] Morozov A.N. Neobratimye protsessy i brounovskoe dvizhenie [Irreversible processes and Brownian motion]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1997. 332 p.

[12] Jahnke E., Emde F., Lösch F. Tafeln höherer funktionen. Stuttgart, Teubner Verlagsgesellschaft. Preis, 1960. 318 p.

[13] Bochkov G.N., Kuzovlev Yu.E. New aspects in 1/f noise studies. Sov. Phys. Usp., 1983, vol. 26, pp. 829-844. DOI: 10.1070/PU1983v026n09ABEH004497

[14] Kuzovlev Yu.E. Why nature needs 1/f noise. Phys. Usp., 2015, vol. 58, no. 7, pp. 719-729. DOI: 10.3367/UFNe.0185.201507d.0773

Morozov A.N. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, Head of Physics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Morozov A.N. Method for Describing Non-Markovian Processes Defined by a System of Linear Integral Equations. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2017, no. 5, pp. 57-66. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-57-66

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.