Метод оператор-функций в задаче о нормальных волнах анизотропного экранированного волновода произвольного сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.2:621.372.8

DOI 10.21685/2072-3040-2018-3-5

Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур

МЕТОД ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧЕ О НОРМАЛЬНЫХ ВОЛНАХ АНИЗОТРОПНОГО ЭКРАНИРОВАННОГО ВОЛНОВОДА ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - исследование спектральных свойств задачи о нормальных волнах анизотропной магнитной волноведущей структуры.

Материалы и методы. Для нахождения решения использована вариационная формулировка задачи. Задача сводится к анализу оператор-функции, нелинейно зависящей от постоянной распространения. Исследуются свойства оператор-функции, необходимые для анализа свойств спектра задачи.

Результаты. Получены результаты о локализации характеристических чисел оператор-функции на комплексной плоскости. Рассмотрен вопрос двукратной полноты системы собственных и присоединенных векторов с конечным дефектом.

Вывод. Предложенный аналитический метод позволяет доказать дискретность спектра в задаче об азимутальных симметричных волнах закрытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием. Кроме того, данный метод может быть использован для исследования спектральных свойств более сложных волноведущих структур.

Ключевые слова: уравнение Максвелла, анизотропная неоднородная вол-новедущая структура, вариационная формулировка, пространства Соболева, двукратная полнота с дефектом по Келдышу.

E. Yu. Smol'kin, M. O. Snegur

THE METHOD OF OPERATOR FUNCTIONS IN THE PROBLEM OF NORMAL WAVES OF AN ANISOTROPIC SCREENED WAVEGUIDE OF ARBITRARY SECTION

Abstract.

Background. The goal of the work is to study the spectral properties of the problem of normal waves of an anisotropic magnetic wave-leading structure.

Materials and methods. To find the solution, a variational formulation of the problem is used. The problem is reduced to analyzing an operator function that is nonlinearly dependent on the propagation constant. The properties of the operator-function necessary to analyze the properties of the spectrum of the problem are investigated.

Results. Results were obtained regarding the localization of the characteristic numbers of the operator function on the complex plane. The question of double completeness of the system of eigenfunctions and associated vectors with a finite defect is considered.

1 Работа была выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ (1.894.2017/4.6).

© 2018 Смолькин Е. Ю., Снегур М. О. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Conclusion. The proposed analytical method allows one to prove the discreteness of the spectrum in the problem of symmetric azimuthal waves of a closed in-homogeneous anisotropic waveguide with longitudinal magnetization. In addition, this method can be used to study the spectral properties of more complex wave-leading structures.

Key words: Maxwell's equation, anisotropic inhomogeneous wave-leading structure, variational formulation, Sobolev spaces, double completeness with Keldysh defect.

Введение

Задачи о распространении волн в сложных вoлноведущих структурах являются важным классом электродинамических задач. Электродинамические параметры обычных диэлектрических и магнитных сред зависят от их физической структуры. Однако на практике часто требуются среды с конкретными свойствами, которые можно получить, применяя либо частичное заполнение среды, либо однородное по составу.

Процессы распространения электромагнитных волн в таких структурах приводят к краевым задачам на собственные значения. Свойства спектра в таких задачах можно эффективно изучать, применяя метод операторных пучков и оператор-функций. В работах [1-3] построена теория распространения нормальных волн в экранированных волноводах: доказана дискретность спектра задачи, получены результаты о распределении (локализации) характеристических чисел на комплексной плоскости, а также доказаны теоремы о кратной полноте по Келдышу системы собственных и присоединенных векторов задачи в специальных пространствах.

Однако для неоднородных или анизотропных вoлноведущих структур такой теории не построено. В этом случае задача становится значительно сложнее (в силу ^компактности соответствующих операторов). Предложен подход [4, 5], основанный на сведении задачи к исследованию уже оператор-функции, а не операторного пучка.

1. Постановка задачи

3

Будем рассматривать трехмерное пространство M с декартовой систе-

2

мой координатOxyz . Пусть ПсМ - ограниченная область с гладкими границами Г1 и Г2 такими, что Г1 п Г2 = 0 .

Рассмотрим закрытую вoлноведущую структуру, поперечное сечение которой плоскостью z = const образовано областью Q с границами Г и Г2. Границы Г и Г2 - проекции поверхности идеального проводящего, бесконечно тонкого экрана (рис. 1).

Диэлектрическая проницаемость имеет вид вдё

£ =

ё * (x) 0 0 0 £х (x) 0 0 0 £ z (x).

(1)

где х=(х, у) . Будем предполагать, что £х е С1 (П), £г е С1 (П) и £х > 1, £z > 1, 1т £х = 0, 1т £z = 0 и Цо - диэлектрическая проницаемость вакуума.

У

/ тч - Q \

/ с О

( L J \ X

Га4—*"

Рис. 1. Геометрия задачи

Будем искать нетривиальные решения системы уравнений Максвелла

[юМ = -/£Е,

(2)

ШЕ = /И следующего вида [6]:

Е = (Ех (х)е х + Еу (х)е у + Ег (х)е г )е^,

(3)

И = (Нх (х)е х + Ну (х)е у + И (х)е г )ег^,

причем должны быть удовлетворены следующие условия: ограниченность в любом конечном объеме волновода энергии поля

J (IЕ12 +1Н1

2 ' dX < -, (4)

V

обращение в нуль на металле касательных составляющих поля Е:

ЕТ|Г1 = 0, Ет|р2 = 0. (5)

Здесь X = (х,у,г), V сХ:= {X : хе П} - любой конечный объем; т -касательный орт. Система уравнений (2) записана в нормированном виде [3],

У

где осуществлен следующий переход ^х ^ х,у ^—,

к0 \

Н ^ Н, E ^ E ;

£о

, 2 2

где К0 =ю М^£0, У - постоянная распространения волновода.

Перепишем систему (2) в следующем виде:

Г dHz dy - iYHy --ie x

iYHx dHz dx - -ie x

dHy dHx - -ie zj

dx dy

dEz dy - j YEy = iHx,

iYEx dEz _ dx --Hy ,

dEy dx dEx dy = iHz,

выразим функции Ех , Нх , Еу, Ну следующим образом:

(

E - —

nx 2 К

У

\

; (

E - —

пУ 2 К

dEz dHz

Y—- + —-

dx dy

dEz dHz

, Hx 2 К2

ЭН,

dEz

v

dy dx

i (

Hy --y

К

V

Эх

dHz dy

z e 'z

fcx

- + e x

dy

dEz dx

К

-e x-Y2.

(6)

(7)

Таким образом, исходная задача свелась к нахождению следующих двух функций:

П(х, у) := Е2 (х, у), Ф (х, у) := Нг (х, у). (8)

Задача сводится к отысканию таких постоянных распространения у, для которых система уравнений Максвелла имеет ненулевые решения

^ := Л П , к2 Ь2 п =

^П:- АП + к2 Ez П-

e x

VexVn + J(ex, ф), x еП,

Ь2Ф:-АФ + к2Ф VexVФ -4т J(ex,П), x е П,

(9)

К

К

J(u,v) :-

du dv du dv

Эх Эу Эу Эх ' удовлетворяющие граничным условиям на Г и Г2 :

ПЬ - 0,

ЭФ

dn

- 0, ПЬ - 0.

ЭФ

dn

- 0,

(10)

и

2

г

г

2

условиям ограниченности поля:

J (|vn|2 +|УФ|2 +|п|2 +ф

q

x < га.

(11)

Переход к задаче (9)-(11) невозможен лишь при у2 = ex; в этом случае необходимо рассматривать исходную систему (2) отдельно.

2. Вариационное соотношение

Будем рассматривать задачу (9)-(11) в следующих пространствах Соболева: Hq(Q) иH 1(П), со скалярным произведением и нормой

(f, g)1 = J (V/Vg + fg)dx, ||/||2 = (f, f)1.

q

Умножив уравнения системы (9) на непрерывно дифференцируемые функции и и v в Q и применив формулу Грина [7] для области Q, получаем

г £ x _ ЭП , г е x _ ЭП

:= J и rnJт- J и щ.

J ^xrüL1ndx , 2

J к2 к2 Эп

q ^ г2 к

Г2 Г1

Л

к

d т —

—jl-^2vnvu — иVnVex dx + Je

qV ^ к J q

, nudx

и

J -^L^dr = J -2v дф dт — J —

Qk2 г к2 Эп г2 г,к

1 _ ЭФ -v

2 Эп

d т-

- f[_L VФVv —v VФVеx I dx + f mdx.

q ^ k2 k4 j q

Принимая во внимание граничные условия (10), получаем

q

q

J-^-UL 1ndx = — Jl VnVU — иVnVex dx + Jeznudx

Л

к

q

и

Г -^-уЪфх = - ГI -2УФУу —VУФУ£х I dx + Г фуох .

пк2 п ^к2 к4 ^ п

Принимая во внимание правые части уравнений системы (9), получаем

£х Г , Г^ -7

к4 -

J VnVudx + J e z nudx — J^J uJ (e x, Ф )dx = 0,

q

q

q

№ 3 (47), 2018 Физико-математические науки. Математика

-1~2 + |ФйОх + ТХ(ех,П)Сх = 0 .

пк п пк

Складывая последние выражения,

| (е 2 Пи +Фу )с1х -1 -1- (е х УПУЫ + УФУ7 )сСх +

п пк

+ f-^(vJ(ex,П) -uJ(Ex,ф))dx - 0, (12)

j к4

п

2

далее домножив последнее соотношение на у , получаем вариационное со-

отношение

Y2 J (e z Пм + Фу )dx + J (e .^Vm + VФVv) dx - J (e .^Vm + VФVv) dx + п п п^

Y3

+J 4(VJ(ex, П) - J(ex, Ф)) dx - 0, Vu е H (П), v е H 1(П). (13)

о

Определение 1. Функции

ПеН0(О),Фе Н!(О),(( 1 +||ф|1 ф 0)

будем называть собственными векторами задачи (9)-(11), соответствующими характеристическому числу (х.ч.) Уо е С , если для у = Уо вариационное соотношение (13) справедливо для любых и е Но(О), V е Н 1(О).

3. Исследование спектра оператор-функции

Определим на произведении гильбертовых пространств Н = Н 0(О) X Н 1(О) скалярное произведение и норму следующим образом:

2 2 2 = (Ы1,V!)! + (Ы2,V2)l,||U =^11 + ||и211 ;u,vе Н,

u = (Ы1,Ы2)Т,v = О^V2)T, Ы1,Vl е Н°(П), Ы2,V2 е Н 1(О).

Интегралы в соотношении (13) определяют линейные, ограниченные операторы Т:Н ^ Н по формуле

t(u,v)=(Tu,v),Vv е Н, (14)

где полуторалинейные формы ограничены < С|^Ц^Ц.

Определим следующие операторы:

k(u,v):= |(Пи +Фу )сСх = (К^^^е Н, о

к1 (^ v) := | (ехПи + IV) сСх = (К1 u,v), Vv е Н, о

к2^):= Г■е2(ехПи + Ф7)сСх = (К2(у^),Vvе Н,

ок2

а1 (u, v) := | (ехУПУЫ + УФУV + ехПи + IV)х = (А1 u,v), Vv е Н,

о

а2 (^ v) := Г(ехУПУЫ + уфуу + ехПи + IV)сСх = (А2 (ук Vv е Н,

ок2

b(u,v):= Г К4((ех,П) - ыJ(ех, Ф)) = (Б(у)u,v), Vv е Н.

п

Введем в рассмотрение следующую форму и порождаемую ею оператор-функцию:

b0(u,v):- J|

п

ЭФ ЭФ

dx dy

\ (

ЭП ЭП

Эх dy

dx -(B0(y)u,v),Vvе H.

Предположим, что функции gl,g2 е С (О), П, Ф, и, V е С1(О 2). Имеет место оценка

|b0(u,v) -

f

ЭФ ЭФ

Эх dy

Л

f

ЭП ЭП

Эх dy

dx

//

<

п v v

J|N Ы 1т + lg

Эх

ЭФ

dy

+ v

ЭП

lg1 аГ + lg

ЭП

dy

dx <^11 <4(п)1 lu

с(п)1п1н "«¿г'

где g = (gl,g2) .

Распространим оценку по непрерывности

ММ <Л\ И с(о)1 ННМ1 ¿2

на любые функции u, v е Н .

Аналогично доказывается ограниченность формы Ь(^ v). Вариационное соотношение (13) примет следующий вид:

(К(у^) = 0, Vv е Н ,

(15)

или

N(Y)u - 0,N(y):H ^ H,

N(y): -y2K+A1 - K1 - A2(y) + K2( Y) + B(y).

(16)

Собственные векторы N(y) и характеристические числа совпадают

с собственными векторами и собственными значениями задачи (9)-(11) при

2

Y2 •

4. Свойства спектра оператор-функции

Приведем следующие утверждения о свойствах операторов, входящих в оператор-функцию N(y) (доказательство см. в [3]):

Лемма 1. Оператор Ai положительно определен:

I < A1 < max exI . (17)

xeq

Лемма 2. Операторы K,K1 и K2(y) компактные. Оператор K положительно определен и для его собственных чисел верна асимптотика

Xn (K) = O(n-1), n

Лемма 3. Оператор-функции Б(у) являются компактными и голоморфными в области

С \ Ло и Ло :={у: у2 = ех (x),x ей}. Доказательство. Полагая v = Бои в оценке (15), получим

||Бои||2 = |Ьо(и,Бои)| < 7%||С(Ц)||и||||Бои||^ • (18)

Пусть un ^ о,n ^ — слабо в H . Тогда ||un|| < C и Боип ^ о слабо

в H . Так как вложение H 1(П) с ^(Ц) компактно, то ||Боиn|| ^ о, n ^ — , следовательно Бо : H ^ H является компактным. Аналогично доказывается компактность оператора Б.

Оператор-функция Б(у) дифференцируема для фиксированных и, vе H . Далее, применяя теорему 3 [8], получим результаты леммы. □

Лемма 4. Резольвентное множество p(N):={y: 3N-1(y): H ^ H} оператор-функции N(Y) не пусто; p(N) ^ 0.

Доказательство. Пусть уе М, у> о и .

Рассмотрим следующую оператор-функцию:

N(Y) = N1(7) + N2(7),

где

N1 (Y) = Y2K+A1 - K1, N2(Y) = -A2 (Y) + K2 (Y) + Б(y).

Тогда оператор-функцию N(Y) можно рассматривать как возмущение операторного пучка N1 оператор-функцией N2 при больших Y .

Учитывая свойства оператора К, получаем, что при достаточно большом у справедливо

(у)и, и ) = у2(Ки, и) + (А1 и, и) - (К и, и) >||и||2

для любого и .

Поэтому уе р(^), где p(Nl)- резольвентное множество пучка N1.

N-1( Y)

< 1.

Причем, используя теорему 4.1 из [9], имеем оценку

Выберем у так, чтобы (у)|| < 1. Получаем, что существует и ограничен оператор

\-1

(N1(Y) + N2(Y)) 1 =(l + N1-1(Y)N2(Y)) N1-1(Y).

□

Теорема 1. Оператор ^у): И ^ И является ограниченным, голоморфным и фредгольмовым в области Л = С \ Л0.

Доказательство. В области Л, как следует из леммы 3, оператор-функция ^у) ограничена и голоморфна. Поскольку соотношение (12) справедливо для любых - е И) (П), V е И) (П), введем следующие пробные функции -у и у у такие, что

£ x

vf =—v к

Очевидно, что так определенные функции -у и у у принадлежат тем

же пространствам, что и исходные функции - и у . Соотношение (12) примет вид

J

к

ц v x

£ _ _ —Пи f +<bvf

£ x

dx-

J (VnVUf +VOVv"f)

dx

ц

( 2 Л ( u '

-J|ufvnv— + vfVOVk2 dx+J-K2- vfJ(£x,П)J(£x,Ф)

dx = о, (19)

п v / п 4 л

У-у е И0(П), уу е И0(П).

Мы можем переписать оператор-функцию ^у) следующим образом:

Жу):=Ку (у) + 1, (20)

где операторы К у (у) и I определяются следующими квадратичными формами:

k f (и, v) := J к

(£ _ _ Л

—Пиf +Фуу dx ц v £x ' ц ^

- J| и у VnV— + Vf VФVк2

dx +

+{ -у VfJ (е x, П) - U- J (е х, Ф) dx _ (K f (y)u,v), Vv e H,

q г е

и

a(u,v):=|(УПУму + УФУуу + Шу +Фvf )х = ),Vvе Н.

о

Оператор-функция N(7) фредгольмова, как сумма I (обратимого) и компактного К у (у) операторов. □

Теорема 2. Спектр оператор-функции N(7): Н ^ Н является дискретным в Л .

Доказательство. Из теоремы 1 и теоремы о голоморфной оператор-функции [9] следует утверждение теоремы.

5. Теорема о полноте системы собственных и присоединенных векторов оператор-функции

Число уд называется характеристическим числом оператор-функции N(7), если уравнение N(70)90 = 0 имеет нетривиальные решение фд Ф 0. Вектора ф0,ф1,...,фк называются собственными векторами N(7) и образуют цепочку присоединенных векторов, если выполняются следующие соотношения:

1 dN(7o) ф + + 1 дp N(Yo)

--ф r,— \ + ••• +---

1! d7o p! дУр

N(7о)фp + ТГ^^Фр-1 + ••• + — „ Р Ф0 = 0,Р _ 1,k. (21)

Определение 2. Система собственных и присоединенных векторов оператор-функции N(70) называется п -кратно полной, если любой набор из п векторов ^0, ^1,. ., ^п-1 может быть представлен как предел по норме пространства линейных комбинаций

м

^м = ££«РМФ?^, V = 0,1,...,п -1, (22)

к=1 р

с коэффициентами арМ , не зависящими от V , где

,,(k,v) _

eJkt

f

ф(^ + 1ф(^ + t_ ф(k) фр + 1Г фр-1 + •• p! фо

t_o

7k - характеристическое число оператор-функции N(7) •

Рассмотрим оператор-функцию N(7) в области Л^ _ {7: > п} , где П - произвольное положительное число такое, что п> maxxeQeх • Причем очевидно, что Лп с Л •

Теорема 3. Система собственных и присоединенных векторов оператор-функции N(y) , отвечающая характеристическому числу из множества Л^, двукратно полна с конечным дефектом в H XH .

Доказательство. Оператор-функцию N(y) будем представлять как возмущение пучка Келдыша Nj (у) = у2 K - Kj + Aj аналитической в Лп оператор-функцией N2 (у) = -A2(y) + K2(y) + B2(y) и N2(^) = 0. В силу теоремы 1 [9] система собственных и присоединенных векторов оператор-функции N(y) двукратно полна с конечным дефектом в H X H .

Библиографический список

1. Смирнов, Ю. Г. Применение методов операторных пучков в задаче о собственных волнах частично заполненного волновода / Ю. Г. Смирнов // Доклады Академии наук СССР. - 1990. - № 312 (3). - С. 597-599.

2. Делицин, А. Л. О постановке краевых задач для системы уравнений Максвелла в цилиндре и их разрешимости / А. Л. Делицин // Известия Российской академии наук. Серия математическая. - 2007. - № 71 (3). - С. 61-112.

3. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики : монография / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. -268 с.

4. Смирнов, Ю. Г. О дискретности спектра в задаче о нормальных волнах открытого неоднородного волновода / Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин // Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 53, № 10. - С. 1298-1309.

5. Смирнов, Ю. Г. Исследование спектра в задаче о нормальных волнах закрытого регулярного неоднородного диэлектрического волновода произвольного сечения / Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин // Доклады Академии наук. - 2018. -Т. 478, № 6. - С. 1-4.

6. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, 1988. - 440 с.

7. Costabel, M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results / M. Costabel // SIAM J. Math. Anal. - 1988. - Vol. 19, № 3. - P. 613-626.

8. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. - М. : Мир, 1972. - 740 с.

9. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 1965. -448 с.

References

1. Smirnov Yu. G. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences]. 1990, no. 312 (3), pp. 597-599.

2. Delitsin A. L. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya matematicheskaya [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Series: mathematics]. 2007, no. 71 (3), pp. 61-112.

3. Smirnov Yu. G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki: mono-grafiya [Mathematical methods of studying electrodynamics problems]. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009, 268 p.

4. Smirnov Yu. G., Smol'kin E. Yu. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2017, vol. 53, no. 10, pp. 1298-1309.

5. Smirnov Yu. G., Smol'kin E. Yu. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2018, vol. 478, no. 6, pp. 1-4.

6. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnye volny [electromagnetic waves]. Moscow: Radio i svyaz', 1988, 440 p.

7. Costabel M. SIAM J. Math. Anal. 1988, vol. 19, no. 3, pp. 613-626.

8. Kato T. Teoriya vozmushcheniy lineynykh operatorov [The theory of linear operator perturbances]. Moscow: Mir, 1972, 740 p.

9. Gokhberg I. Ts., Kreyn M. G. Vvedenie v teoriyu lineynykh nesamosopryazhennykh operatorov v gil'bertovom prostranstve [Introduction into the theory of linear nonself-adjoint operators in Hilbert space]. Moscow: Nauka, 1965, 448 p.

Смолькин Евгений Юрьевич

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г Пенза, ул^ Красная, 40)

E-mail: е^^то^щ^ИоШаИхот

Smol'kin Evgeniy Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, research assistant, the research center of "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Снегур Максим Олегович

студент, Пензенский государственный университет (Россия, г Пенза, ул^ Красная, 40)

E-mail: snegur.max15@gmail.com

Snegur Maksim Olegovich Student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.927.2:621.372.8 Смолькин, Е. Ю.

Метод оператор-функций в задаче о нормальных волнах анизотропного экранированного волновода произвольного сечения / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 3 (47). - С. 52-63. - Б01 10.21685/2072-3040-2018-3-5.