CC BY
24Динамические системы, том 3(31), No. 3-4, 249-253
УДК 534.231
Метод нормальных мод для трехмерной модели гидроакустического волновода
Ю. И. Папкова
Севастопольский национальный технический университет, E-mail: yulia.papkova@gmail.com
Аннотация. Построено трехмерное аналитическое решение для неоднородного гидроакустического волновода в случае медленно меняющегося профиля скорости звука по радиальной и азимутальной координатам. Решение строится на основе метода нормальных мод. Представленный подход позволяет учесть влияние затухания в донном слое на характеристики звукового поля.
Ключевые слова: метод нормальных мод, неоднородный гидроакустический волновод, жидкое дно, трехмерное решение
1. Введение
В настоящее время существует большое число моделей гидроакустического волновода, в рамках которых рассматривается детерминированная среда с зависящими от пространственных координат параметрами, учитывающая влияние рельефа дна и его геологические свойства, большинство из которых основано на применении численных методов. Аналитические методы получили широкое распространение для анализа звуковых полей в гидроакустических волноводах, обладающих радиальной симметрией (2D модели) [1]. Использование таких моделей волноводов обеспечивает удовлетворительное решение для большинства прикладных задач, в которых зависимость от угловой координаты незначительна, тем не менее, остается потребность в дальнейшем развитии аналитических методов расчета звукового поля в диапазоне глубина, расстояние и азимут (3D модели). В статье [2] дан обзор теоретических подходов, применяемых для расчета звуковых полей в трехмерных моделях гидроакустических волноводах, но в данных моделях не учитываются геологические свойства донных осадков. В реальных природных волноводах звуковое поле определяется, главным образом, структурой и свойствами донного слоя, поэтому актуальным является построение аналитического решения для трехмерной модели гидроакустического волновода с учетом влияния состава донного слоя.
2. Постановка задачи
В акустике шельфа для нахождения звукового поля в морской среде широко используется метод нормальных мод (волновой метод). В случае цилиндрической симметрии звуковое поле точечного гармонического источника, излучающего волну круговой частоты ш, описывается скалярной функцией Ф(т,г,ф,1) = Ф(г, z, ф) exp(-iwt), удовлетворяющей уравнению Гельмгольца
5(r - tq)5(z - го)5(ф - фо)
r
(2.1)
© Ю. И. ПАПКОВА
где
л ж 1 д ( дФ\ 1 д2Ф д2Ф
ДФ =--r- +----1--
r дг \ дг J r2 дф2 dz2
— оператор Лапласа; Ф(г, z, ф) — амплитуда потенциала скорости; 5 — дельта функция Дирака; c(r, z, ф) — распределение скорости звука в волноводе; (ro, zo, фо) — координаты источника.
Поверхность волновода моделируется как акустически свободная, что соответствует краевому условию
ф\г=0 = 0. (2.2)
Модель двухслойного плоскослоистого гидроакустического волновода полезна как первое приближение к реальным гидроакустическим волноводам. Для исследования основных волноводных эффектов в гидроакустическом волноводе, таких как дальнее распространение звука, влияние структуры осадков на акустическое поле, рассмотрим двухслойную модель волновода, где донный слой расположен на абсолютно-жестком основании, данный волновод ограничен свободной поверхностью и жидким дном на абсолютно-жестком основании:
дФ , ,
to = М
дZ z=h1
Скорость звука в водном слое может быть записана как
Ci = ci(z)+ 4(г,ф). (2.4)
где c1 (z) — рефракционный член; с\(г,ф) — поправка к скорости звука; аналогично в жидком донном слое скорость звука представим как C2 = c2(z) + c%(r, ф). Представим
C2(l,z,v) в виде:
1=1 1 1 () C2(r,z^) = С2Щ + r2(co + е(ф))2 - r2(co + Д(г))2 ' (2.5)
где е(ф) ^ 0, Д(г) ^ 0, c0 = const.
На границе раздела слоев z = h выполняются условия непрерывности звукового поля:
дФ дФ
lim piФ = lim р2Ф lim —— = lim —— (2.6)
z^h- z^h+ z^h- дz z^h+ дz
где pi — плотность слоя воды; p2 — плотность донных осадков.
3. Метод нормальных мод
Общее решение Ф(г, z, ф) краевой задачи, удовлетворяющее как граничным условиям, так и условию излучения, строится в виде суммы нормальных мод:
Ф (r, z, ф) = ^ ^ Яти^фп^фт^), (3.1)
т=0п=1
где и {^n(z)}c^=i — вертикальные собственные числа и собственные функции
следующей краевой задачи:
г + (#) - е2) ф =о
ф(0) = 0, lim Р1ф(г) = lim р2ф(г),
z^h- z^h+ (3.2)
lim ф'(z) = lim ф'(z),
Ф' (hi) = 0,
Аналогично, азимутальные собственные числа и собственные функции {Пт}т=о и {фт(ф)}т=о удовлетворяют следующему уравнению
ф" + ((coo+m)2 +ф =0 (3-3>
и условию ортогональности
п
j фт (ффпфйф = ömn, m,n = 0,1,..., (3.4)
—п
где 5mn — символ Кронекера.
Используя асимптотическую формулу [3], запишем собственные функции и собственные числа в виде:
Фт(ф) = em cos тф, т = 0,1,...,
гЧ5
где
tfm = \ lm 2
Сф = c0 + (max е(ф) + min е(ф))/2;
ш \2 (3.5)
т = 0, (3.6)
^ {1/^П, т = 0.
Краевая задача (3.2) не является классической задачей типа Штурма-Лиувилля, так как, кроме условий Штурма на границах волновода, при г _ Н должны выполняться условия непрерывности звукового поля. Следовательно, эти условия выполняются и для комплексно-сопряженной функции фп(г). Домножим дифференциальное уравнение (3.2) на р(г)фп(г) и проинтегрируем от 0 до Нх:
/1 2 /11
ш2
0
ipn(z)p(z)dz = in2 фn(z)фn(z)p(z)dz. (3.7)
Преобразуя интегралы в левой части полученного равенства интегрированием по частям с учетом условий непрерывности, получим соотношение ортогональности для собственных функций с весом р(г) в пространстве интегрируемых с квадратом функций Ь2[0, Нх]:
Ь,1 Ь,1
фn(z)фm(z)p(z)dz = Snm J p(z^n(z)dz. (3.8)
00
Алгоритм построения собственных функций и чисел краевой задачи (3.2) на основе
, ,2
- - 7 2 Ш
линейной аппроксимации квадрата волнового числа к = 0. . для системы опорных
с2 (г)
точек с(г^) = с^ подробно описывается в статье [4]. Данные формулы остаются справедливыми и в случае введения коэффициента затухания 7 для донного слоя К2 = —(1 — ¿7).
с2
После подстановки выражения (3.1) в неоднородное уравнение Гельмгольца (2.5), с учетом ортогональности (3.8) собственных функций {гфп(г)}<^==1 и ортогональности (3.4) собственных функций {фт(ф)}т=о получим уравнение для Ятп(г):
1 й_ ( йКтп(г) ) + (2_ Пк__^_) к (г) =
тйтУ дтГ ) + \^ г2 (со + А(г))2г2/ Ктп(г) =
5(г — Го) р(го)фп(го)
r fh Р^Ш (z)dz
Фт(фо), (3.9)
При малой вариации скорости звука по радиальной координате, его величина достаточно точно описывается постоянной сг = со + (тахА(г) +ш1пА(г))/2 и решение, описывающее уходящую от излучателя волну, имеет вид
^тп(г) — АтпН\т (Спг)1
где Атп — произвольные постоянные; \т = л/пк + и2/с2.
Для нахождения коэффициентов Атп проинтегрируем [2] уравнение (3.9) в пределах от го — е до го + е при стремлении е к нулю:
(Штп(г) Т0+е 1 р(го)фп(го)
dr
r0fohl p(zWn(z)dz
Фт(ф0 ),
V0-£
тогда определим Amn следующим образом:
1 p(z0 )фп^о)Фт(фо)
тП Го (и[1) (По)У Jo1 P(z)tä(z)dz '
В результате выражение для амплитуды потенциала скорости Ф(г, г,ф) имеет вид: \ Р(го) ^ ^ фп(го)фп(г)фт(фо)ф (ф) (&г)
Ф(г,г,ф) = гп гь,,, .2,,, /П)^ Л' • (3.10)
Г0 т=о п=1 L1 P(z)^n(z)dz (Я^ (СпГо))
4. Заключение
Таким образом, при сделанных выше предположениях о зависимости профиля скорости звука от пространственных координат получено аналитическое представление для потенциала скорости звука в виде суммы нормальных мод (3.10). Предположение о слабой вариации профиля скорости звука по радиальной и азимутальной координате оказываются справедливыми для большинства реальных геофизических волноводов, следовательно, формула (3.10) является обобщением известного решения для двумерных плоскослоистых волноводов.
Список цитируемых источников
1. Толстой И., Клей К. С. Акустика океана —М.: Мир, 1969. — 301 с.
2. Luo W., Schmidt H. Three dimensional propagation and scattering around a conical seamount // J. Acoust. Soc. Am. — 2009. — 1. — pp. 52 - 65.
3. Папкова Ю. И. Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания // Акустичний вшник. — 2010. №3. — С. 42 - 50.
4. Papkova J. I., Papkov S. O., Yaroshenko A. A. . Energy characteristics of the hydroacoustic field in a nonuniform marine medium with a cylindrical body floating on the surface // Physical Oceanography — Springer Science + Business Media, 2006. — Vol. 16, no.3. — pp. 168 -176.
Получена 01.11.2013
