CC BY
13
УДК 519. 248
метод нелинейной параметрической идентификации
с использованием критерия минимума вероятности
ошибки оценивания
© 2008 г. П.А. Кучеренко
Ростовский государственный университет путей сообщения, 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2. pavelpost83@mail.ru
Rostov State University of Means of Сommunication, 344038, Rostov-on-Don, Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolchehija sq, 2. pavelpost83@mail. ru
Показана актуальность исследования альтернативных (по отношению к традиционным) методов стохастической нелинейной параметрической идентификации. Предложен синтез процедуры идентификации параметра дискретного наблюдателя с использованием критерия минимума вероятности ошибки оценивания. Рассмотрен численный пример, иллюстрирующий эффективность предлагаемого подхода.
Ключевые слова: нелинейная параметрическая идентификация, стохастический дискретный объект, оптимальный дискретный фильтр Калмана, цифровая обработка сигналов.
The relevance of the alternative (related to the traditional) methods of stochastic nonlinear parametric identification is performed in the paper. The identification procedure of the parameter of the discrete observer based on the minimum criterion of the estimation error probability is produced. The numerical example which demonstrates an efficiency of the offered method is considered.
Keywords: nonlinear parametric identification, stochastic discrete object, optimal discrete Kalman filter, digital signal processing.
Существующие в настоящее время методы решения задачи стохастической параметрической идентификации требуют, как правило, для своей удовлетворительной реализации принятия целого ряда крайне упрощающих ограничений - линейности модели измерителя относительно параметров, необходимости нормального вида распределения аддитивных помех наблюдаемых сигналов и др. Это в большинстве реальных ситуаций оказывает значительное отрицательное влияние на качественные характеристики процедуры идентификации и как следствие снижает потенциально возможную точность получаемых оценок параметров [1-4].
Проведение исследований, направленных на синтез методов и алгоритмов, позволяющих в значительной (или полной) мере устранить недостатки традиционных методов, представляется весьма актуальным как с практической, таки с теоретическойточекзрения.
Для решения данной задачи ниже рассмотрим подход, позволяющий, во-первых, избавиться от существующих ограничений разработанных методов, а во-вторых, повысить потенциальную точность процедуры идентификации за счет использования обобщенных вероятностных критериев, зависящих в общем случае нелинейно от апостериорной плотности распределения вектора состояния.
Для упрощения изложения синтеза процедуры идентификации и его наглядности остановимся подробнее на скалярных уравнениях, определяющих в общем случае нелинейную модель исследуемого объекта и структуру его наблюдателя (обобщение на векторный случай, как это будет очевидно из последующих построений, особенностей не имеет).
Постановка задачи параметрической идентификации
Пусть дискретный объект задан в общем случае нелинейным разностным уравнением х/( = /'(х/( |) + п ,
где п - шум объекта с известной плотностью вероятности д(п); х^ - переменная состояния в к-й момент времени; / - известная нелинейная функция.
Наблюдение переменных состояния в дискретном времени осуществляется измерителем, описываемым в общем случае также нелинейным уравнением (уравнением наблюдения) следующего вида: гк = /(с. хк) + н>, где с - неизвестный искомый параметр наблюдателя; м> - шум наблюдения с известной плотностью вероятности g(w); % - известная нелинейная функция наблюдения; 2 к - дискретный отсчет сигнала наблюдения.
Для сокращения дальнейшей записи набор дискретных отсчетов сигнала наблюдения 21 (/=1..к) обок
значим через 2^ .
В рассматриваемом общем нелинейном стохастическом случае задача идентификации неизвестного параметра с может быть сформулирована как задача нахождения такого его значения, при котором величина некоторого нелинейного вероятностного функционала, зависящего от апостериорной плотности распределения переменных состояния, принимала бы наибольшее (наименьшее) значение. (Иными словами, как задача определения параметра, удовлетворяющего некоторому вероятностному критерию оптимальности J).
Исходя из физического смысла поставленной задачи идентификации, в качестве критерия J используем далее критерий минимума апостериорной плотности вероятности (АПВ) текущей ошибки оценивания а переменных состояния объекта на выбранном интервале ее предельно допустимого изменения - от о~П1П1 до о~|гах ,
т.е. J = min J p(<Jk | zx )dak, где ak =xk - xk , xk -
c а ^ min
текущие ошибки оценивания и переменной состояния объекта; р(рк | zf) - апостериорная плотность вероятности ошибки оценивания.
Учитывая линейную зависимость значений ошибки су ]: и переменной состояния хк: сгк =хк-хк, выразим АПВ ошибки оценивания р(<т/; | zf) через АПВ переменной состояния p(xk | zx) (выражение для которой будет получено ниже): p(<yk\zx) =
= p(ak+xk I zf).
В этом случае критерий идентификации можно представить следующим образом:
^шах ,
J = min J p(<Jk I zx )dak =
с Л-
max ,
= min J p(ak+xk\zl)dak.
C <T ^ mm
В результате проделанных построений поставленная задача сводится к отысканию плотности
р(сгк + хк | 2\ ) и последующему определению значения искомого параметра из условия минимума критериальной функции (1).
Синтез метода нелинейной параметрической идентификации
Для определения АПВ р(сгк + хк \ ) предварительно используем выражение для АПВ р(хк | zx ) с последующей соответствующей заменой переменных.
Известно [5], что АПВ информационного параметра х для к-го момента времени р(хк | zx) определяется выражением
р(ч 14) =
I Р(хк-1 I z\ *)' Р(хк I xk-\)dxk-\ ■ p(zk I хк) (2)
h ¿-Ь
+00 +00
где к = ^ ^ р(Хк~1' 2*~1>)' Р<уЧ ' хк-№хк-1 х
хР(2к \ч)<Лхк-
Условная плотность вероятности р(хк \хк_х) в правой части этой формулы может быть получена из исходного уравнения объекта при известном виде плотности распределения вероятности значений шума п (в предположении их взаимной статистической независимости): р{хк \ хк_х) = ц{хк - /(хк_.
Аналогичным образом из уравнения наблюдения можно определить и входящую в (2) функцию правдоподобия: р(гк \хк) = - х(с, хк)) .
Так как АПВ р(хк_х\гх ') в правой части равенства (2) является известной функцией (определенной на предыдущем шаге), рекуррентный алгоритм определения АПВ переменной состояния для к-го момента времени при наличии дискретных отсчетов сигнала
наблюдения zх принимает вид
Р(xk I zl ) =
I p(xk-i1 z kxk~f (xk-i))dxk-i
h (c)
,g(zk ~X(c>xk))
h (c)
(3)
где
к (с) = | | р(хк_х\гх~ )-д(хк - ¡{хк_х))йхк_х х
—оо —оо
-Х(с-хк))Лхк-
Производя соответствующую замену переменных в (3) и обозначив критериальную функцию через Г1(с), критерий (1) представим в следующем компактном виде:
J = mmQ(c), (4)
где
Q(с) = j р(сгк +xk\zx )dak =
(5)
i р(хк-\\z\ l)-q(iCTk+xk)-f(xk-\))dxk-\
h (c)
g(zk -Х(с,(гк +xk)) ' *
h (c)
da
k-
Здесь важно отметить, что в общем случае решения поставленной задачи оценка переменной состояния
хк, входящая в (5), представляет собой некоторый функционал (оператор) Ь от апостериорной плотности распределения переменной состояния, т.е.
хк =Ь^{хк ) , и следовательно, в силу выражения (3) является нелинейной функцией от искомого пара-
метра с : Хк=и (с).
Тогда выражение критериальной функции в (4) окончательно можно представить в следующем обобщенном виде: £2(с) =
i р(хк-11z\ 1)-чКРк+иf(xk-\)hxk-\
-со_
*
h (c)
*
h (с)
der i-
(6)
c
Идентификация параметра, удовлетворяющего критерию (4), предполагает минимизацию критериальной функции (6). Для этой цели в зависимости от конкретного вида получаемой функции (Л(с) можно использовать известные и широко применяемые методы оптимизации: градиентный, Ньютона, сопряженных направлений, различные прямые методы и прочие, выбор которых определяется особенностями исследуемого объекта и его наблюдателя.
Для иллюстрации эффективности использования предложенного подхода рассмотрим пример.
Стохастический дискретный объект задан разностным уравнением - + п. Х| = 3 . где и -белый гауссовский шум с нулевым средним и дисперсией Б„ = 0,01.
Наблюдение переменных состояния в дискретном времени осуществляется измерителем, описываемым уравнением = с ■ хк + м>, где с - неизвестный искомый параметр наблюдателя (для рассматриваемого далее модельного примера выберем исходное значение искомого параметра с— 2): - белый гауссовский шум с нулевым средним и дисперсией £>„, = 0,35.
Априорную плотность вероятности для первой итерации алгоритма (к=2) выберем нормальной с дисперсией £>о =1,5 и математическим ожиданием 2,5. При этом интересно отметить, что отклонения среднего значения априорной плотности от начального значения переменной состояния не оказывают в дальнейшем существенного влияния на качество процедуры идентификации (алгоритм идентификации к ним устойчив).
Для определения текущего значения оценки переменной состояния объекта был использован оптимальный фильтр Калмана [5], который в рассматри-
ваемом случае имеет вид
+ K
k
Rk =
zk-c-xk-1
Xk=U{c)= =xk-\ +
Ri
x\ =2.5 : K,.= с
D ,
2 А
Rk-1 +Dn Dw
■ R\ = 1,5
Определение оценки искомого параметра с на очередном шаге алгоритма осуществлялось, исходя из условия, определяемого выбранным критерием J, и предварительного задания границ допустимого интервала изменения текущей ошибки наблюдения (<тП1П1 =-1,5, °"пих = )- а также замены бесконечных пределов интегрирования по переменной состояния х на конечные значения, удовлетворяющие точностным требованиям к алгоритму оценки (хпл п = 0, х11ИХ = 5 ).
На рисунке представлена полученная в результате моделирования зависимость критериальной функции П(с) от искомого параметра наблюдателя на А-м шаге алгоритма (к=200).
Интегралы, входящие в (5), определялись численно с использованием квадратурных формул с шагом Дсг = Ат = 0,02 .
Как показали результаты моделирования, вид приведенной на рисунке зависимости является характерным для критериальных функций, получаемых на различных итерациях алгоритма (5). Здесь важно отметить, что, являясь многоэкстремальными, критериальные функции на различных шагах алгоритма (рисунок) принимают свои наименьшие значения в районе истинного значения искомого параметра с = 2 .
О(с) 2,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0 С
Зависимость критериальной функции от искомого параметра (к=200)
Для минимизации критериальной функции на очередном шаге алгоритма, т.е. для однозначного определения численного значения текущей оценки искомого параметра, целесообразно, задав некоторый интервал возможных значений параметра с (в примере был выбран интервал 0 < с < 8). воспользоваться одним из методов прямой минимизации. В данном случае использовался модифицированный симплексный метод Бокса прямой минимизации Нелдера-Мида, обладающий достаточной вычислительной эффективностью и удобной программной реализацией [6].
Результаты компьютерного моделирования процедуры нелинейной параметрической идентификации показали, что при выборе количества дискретных значений сигнала наблюдения т>300 отклонение оценки параметра наблюдателя с от его истинного значения с=2 не превышает 8 % от его величины.
Таким образом, результаты проведенных исследований подтверждают принципиальную возможность эффективной реализации метода нелинейной параметрической идентификации с использованием критерия минимума АПВ текущей ошибки оценивания.
Полученное выше выражение (6) определяет общий вид алгоритма нелинейной параметрической идентификации, обладающего рядом принципиально новых свойств. К их числу следует отнести: более высокий по сравнению с традиционными методами уровень потенциальной точности процесса идентификации за счет использования обобщенных вероятностных критериев, зависящих в общем случае нелинейно от апостериорной плотности распределения вектора состояния и позволяющих охватить самый широкий класс условий оптимальности по точности; инвариантность к виду плотности распределения вероятности шума как объекта, так и наблюдателя; возможность применения метода для нелинейных объек-
1
1
тов и наблюдателей, в том числе при нелинейной зависимости функции наблюдения от параметра.
Таким образом, предложенный метод нелинейной параметрической идентификации на основе обобщенных вероятностных критериев может быть весьма эффективно использован в самых различных областях связи, управления, метрологии и т.д.
Литература
1. Гроп Д. Методы идентификации систем. М., 1979.
2. Петров Б.Н. и др. Теория моделей в процессах управления. М., 1978.
3. Справочник по теории автоматического управления
/ Под ред. А. Красовского. М., 1987.
4. Хуторцев В.В., Соколов С.В., Шевчук П.С. Современные принципы управления и фильтрации в стохастических системах. М., 2001.
5. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М., 1991.
6. Bunday B.D. Basic Optimization Methods. L., 1984.
Поступила в редакцию_14 ноября 2007 г.
