Метод наименьших квадратов в задачах комплексного вариационного оценивания состояния нелинейных динамических систем и параметров моделей измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

стохастическая динамика и хаос х

УДК 629.191

метод наименьших квадратов в задачах комплексного вариационного оценивания состояния нелинейных динамических систем и параметров моделей измерений

В. И. Миронов,

доктор техн. наук, профессор Ю. В. Миронов,

доктор техн. наук, старший научный сотрудник Р. М. Юсупов,

член-корреспондент РАН, доктор техн. наук, профессор Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Рассматривается применение вариационного подхода для решения задач совместного оптимального статистического оценивания параметров состояния нелинейных динамических систем и параметров моделей измерений по критерию наименьших квадратов.

Ключевые слова — статистическое оценивание, нелинейные динамические системы, критерий наименьших квадратов.

Введение

Решение задач статистического оценивания параметров состояния нелинейных динамических систем на практике часто приходится решать в условиях неопределенности в отношении некоторых параметров моделей измерений. Такая ситуация, как правило, имеет место в задачах определения параметров орбитального движения космических аппаратов по результатам траекторных измерений, когда, например, недостаточно точно известны координаты наземных измерительных средств. Поэтому в процессе статистической обработки выборочных данных необходимо предусматривать возможность совместного определения как параметров движения объекта, так и параметров модели измерений.

Таким образом, в более общей постановке в рамках задачи оценивания параметров состояния нелинейных динамических систем необходимо комплексно предусматривать определение некоторого вектора параметров моделей измерений. Задачи такого рода достаточно сложны и имеют широкое распространение на практике.

Для решения данного круга задач часто применяется известный метод наименьших квадра-

тов (МНК), который находит также широкое применение при обработке количественных результатов естественно-научных опытов, технических данных, астрономических и геодезических наблюдений и измерений.

Распространенность МНК во многом обусловлена тем, что при решении задач оценивания данным методом не требуется знания статистических характеристик ошибок измерений, которые во многих случаях неизвестны или известны с невысокой точностью.

Технология использования МНК для решения различных прикладных задач применительно к динамическим системам широко освещена в отечественной и зарубежной литературе [1-4, 7-11 и др.]. Она предусматривает составление критерия оптимальности, формирование нормальной системы уравнений и получение оптимальной оценки путем ее решения. По смыслу они представляют собой необходимые условия оптимальности, характерные для прямых методов оптимизации.

Вместе с тем МНК может быть реализован на основе использования условий оптимальности оценок вариационного типа. Вопросы обоснования и разработки соответствующей вариацион-

ной технологии рассматривались в работах авторов [5, 6 и др.] применительно к оцениванию параметров состояния нелинейных динамических систем.

Данная статья посвящена методическим аспектам применения указанного вариационного подхода к решению комплексной задачи, предусматривающей совместное оценивание параметров состояния нелинейных динамических систем и параметров модели измерений по критерию наименьших квадратов. При этом определяются и конкретизируются необходимые условия оптимальности оценок вариационного типа применительно к моделям дискретных и непрерывных измерений.

Постановка задачи

Достаточно общая задача оценивания параметров движения динамического объекта заключается в наилучшем в некотором смысле определении re-мерного вектора его исходного состояния x0 на заданный начальный момент времени t = t0 по результатам измерений, проводимых в N точках ti, заданных на интервале измерений т = T -

- t0. В расширенной постановке одновременно требуется оценить и некоторый ^-мерный вектор c параметров модели измерений.

В качестве базовой рассмотрим следующую задачу оптимального оценивания.

Задача. Пусть динамика объекта описывается векторным дифференциальным уравнением

X = Ф(х, t), x(to) = Xo, te[to, T].

Измерениям подвергается m-мерный вектор VW = V[x(i), c ].

Измеренное значение вектора ^ в момент ti обозначим как y(t^ = yi и представим модель измерений в виде

У(Ч ) = V[x(t ), c] + S;, t e[to, T], i = 1(1)N,

где Si — m-мерный вектор случайных ошибок измерений.

Требуется найти такие оценки векторов x0 и c, которые обеспечивают минимальное значение функционала:

N

1=Y, Pi {y(ti ), v\.x(ti ), c]}, (i)

i=1

где

Pi = {y (ti ) - V[x(ti ), c]}T Wi {y (ti ) - y[x(ti ), c]},

i = 1(1) N ; (2)

Wi — симметрические матрицы весовых коэффициентов.

Функции ф(х, t) и ^[х(^), c] будем считать однозначными, ограниченными, непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам во всей области их определения.

Предполагается выполнение известных условий наблюдаемости.

Вариационные условия оптимальности оценок

Для решения поставленной задачи представим функционал (1) в эквивалентной интегральной форме. Для этого введем функцию

р{у^), Ч'[х(#), с]} =

= {У(^) - у[х(#), с]}т W( ^ {у (t) - у[хф, с]}, (3)

где y(t) и W(t) — произвольные непрерывные дифференцируемые функции, принимающие в моменты ti, соответственно, значения yi и Wi (например, полиномы Лагранжа).

Тогда для функционала (1) получим выражение

Т N

I = /р{у(<), w[x(t), с]}£8(<-<)аt,

<0 г=1

где 8(t - ^) — импульсная дельта-функция.

Расширим затем пространство состояний путем введения дополнительного вектора x1(t) = е и системы

х1 (*) = Фх1 (XI, V ° 0; х 1 (#0) = с.

Применяя далее стандартную процедуру вариационного исчисления, по аналогии с работой [6] приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Оптимальные оценки векторов х0, е и порождаемая ими оптимальная траектория доставляют решение краевой задаче для следующей системы дифференциальных уравнений:

х = ф(х, ^;

л=-^гх+ддх [у’ у(х,с)’ 5(t - ^);

¿=1

дпТ п

Й = [у, ¥(х), С, 8(t - ^);

дс ¿=1

при граничных условиях

л(#о) = л(Г) = 0;

ц(*0) = нСЛ = 0-

Эта краевая задача выражает необходимые условия оптимальности вариационного типа МНК для рассматриваемой расширенной постановки задачи оценивания.

Отметим особенность интегрирования сопряженной системы, которая определяется наличием в правых частях дифференциальных уравнений импульсных дельта-функций. Это вызывает в моменты ti скачкообразное изменение соответствующих сопряженных переменных на величины производных от критериальной функции р по вектору текущего состояния динамического процесса x и вектору параметров модели измерений с:

X(t+) = X(t-) + Ak(tt);

Ц(*+) = + Ац(#;),

где

-пт

ДЦЧ) = {yi, ф[х(Ч), c]};

doT

(У;,Vtx(i;)»с]}, i = 1(1)N.

C учетом скачков сопряженных переменных и зависимости (2) теорему 1 можно переформулировать в следующем эквивалентном виде.

Теорема 2. Оптимальные оценки векторов x0, с и порождаемая ими оптимальная траектория доставляют решение краевой задаче для следующей системы дифференциальных уравнений: x — ф(х, t);

,■ дфТ .

- X —------X;

дх

А — 0;

при граничных условиях

Ц*о) = '-(Г) = 0; ц(*о) = иСЛ = 0;

H(t+) = H(t-) + Wi {yi -y[x(t), c]};

°Xi

) = v(4) +dWQcl) Wi {yi - v[x(ti)’c]}’ i = 1(1)N.

В этих выражениях функция р[-] определяется согласно (2).

При наличии непрерывных или дискретнонепрерывных измерений в приведенные выше вариационные условия оптимальности оценок вносятся соответствующие изменения.

Так, например, если вместо дискретных измерений (2) проводятся непрерывные измерения согласно модели

У1 (*) = ¥1[х(#), с] + §!(#),

где 8^) — вектор ошибок измерений, и если относительный вес этих измерений задается весовой матрицей W(t), то краевая задача комплексного оценивания принимает вид

х = ф(х, t);

= -1Г-Х + 1^ ^(,){У1 - ф1[х(#), с]}; ах ах

А = W(í){y1( г) - ф! [х(г), с]};

>.(*0) = ЦТ) = 0; ц(#о) = Ц(Т) = 0.

Согласно приведенным выше вариационным условиям, для получения оптимальных совместных оценок векторов х0 и с необходимо решить систему нелинейных краевых уравнений

Х(х0, с, Т) = 0; ц(х0, с, Т) = 0,

заданных неявно на процедурах интегрирования сопряженных систем дифференциальных уравнений. Для этого можно применить известные численные методы поиска корней нелинейных уравнений, например метод Ньютона, его модификации и др.

Заключение

Предлагаемые методические средства могут быть использованы при разработке и модернизации алгоритмов оптимального статистического оценивания нелинейных динамических объектов различных типов в составе автоматизированных комплексов обработки наблюдений.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 09-08-00259).

Литература

1. Бажинов И. К., Алешин В. И., Почукаев В. Н., Поляков В. С. Космическая навигация. — М.: Машиностроение, 1975. — 352 с.

2. Брандин Н. К., Разоренов Г. Н. Определение траекторий КА. — М.: Машиностроение, 1978. — 216 с.

3. Космические траекторные измерения / Под ред. П. А. Агаджанова, В. Е. Дулевича, А. А. Коростелева. — М.: Сов. радио, 1969. — 504 с.

4. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. — М.: Физмат-гиз, 1958. — 350 с.

'^—СТ0ХАСТЙЧІСКАЯЛЙНАМЙКАЙХА0С™"Х

5. Миронов В. И., Миронов Ю. В., Юсупов Р. М. Вариационное оценивание параметров движения космических аппаратов по критерию наименьших квадратов // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 9-13.

6. Миронов В. И., Миронов Ю. В., Юсупов Р. М. Метод наименьших квадратов в задачах вариационного оценивания состояния нелинейных динамических систем // Информационно-управляющие системы. 2009. № 6. С. 2-6.

7. Мудров В. И., Кушко В. П. Методы обработки измерений. — М.: Сов. радио, 1976. — 190 с.

8. Основы теории полета космических аппаратов / Под ред. Г. С. Нариманова и М. К. Тихонравова. — М.: Машиностроение, 1972. — 608 с.

9. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Сов. радио, 1977. — 432 с.

10. Статистические методы обработки результатов наблюдений/Под ред. Р. М. Юсупова; МО СССР. — М., 1984. — 563 с.

11. Эльясберг П. Е. Определение движения по результатам измерений. — М.: Наука, 1976. — 416 с.

УВАЖАЕМЫЕ АВТОРЫ!

При подготовке рукописей статей редакция просит Вас руководствоваться следующими рекомендациями.

Объем статьи (текст, таблицы, иллюстрации и библиография) не должен превышать эквивалента в 20 страниц, напечатанных на бумаге формата А4 на одной стороне через 1,5 интервала в Word шрифтом Times New Roman размером 13, поля: слева три сантиметра, остальные не менее двух.

Обязательными элементами оформления статьи являются: индекс УДК, заглавие, инициалы и фамилия автора (авторов), ученая степень, звание, полное название организации, аннотация (7-10 строк) и ключевые слова на русском и английском языках, подрисуночные подписи.

Формулы в текстовой строке набирайте в Word, не используя формульный редактор (Mathtype или Equation), только в том случае, если средства Word не позволяют набрать формулу или символ (например, простая дробь, символы с «крышками» и т. д.), используйте имеющийся в Word формульный редактор Mathtype или Equation; формулы, стоящие в отдельной строке, могут быть набраны как угодно; при наборе формул в формульном редакторе знаки препинания, ограничивающие формулу, набирайте вместе с формулой; для установки размера шрифта никогда не пользуйтесь вкладкой Other..., используйте вкладку Define; в формулах не отделяйте пробелами знаки: + = -; не подгоняйте размер символов в формулах под размер шрифта в тексте статьи, не растягивайте и не сжимайте мышью формулы, вставленные в текст.

При наборе символов в тексте помните, что символы, обозначаемые латинскими буквами, набираются светлым курсивом, русскими и греческими — светлым прямым, векторы и матрицы — прямым полужирным шрифтом.

Иллюстрации:

— рисунки, графики, диаграммы, блок-схемы предоставляйте в виде отдельных исходных векторных файлов, поддающихся редактированию: *.vsd, *.cdr, *.xls, *.doc, *.ai, *.dxf;

— при наличии надписей на рисунке используйте тот же шрифт, что и в основном тексте (Times New Roman), размер шрифта не более 10 pt, но не менее 8 pt;

— если при изготовлении рисунка Вы используете стрелочки, руководствуйтесь принципом единообразия;

— фото и растровые — в формате *.tif, *.png с максимальным разрешением (не менее 300 pixels/inch).

В редакцию предоставляются:

— сведения об авторе (фамилия, имя, отчество, место работы, должность, ученое звание, учебное заведение и год его окончания, ученая степень и год защиты диссертации, область научных интересов, количество научных публикаций, домашний и служебный адреса и телефоны, факс, эл. адрес), фото авторов: анфас, в темной одежде на белом фоне, должны быть видны плечи и грудь, высокая степень четкости изображения без теней и отблесков на лице, фото можно представить в электронном виде в формате *.tif, *.png с максимальным разрешением — не менее 300 pixels/inch при минимальном размере фото 40 х 55 мм;

— экспертное заключение.

Список литературы составляется по порядку ссылок в тексте и оформляется следующим образом:

— для книг и сборников — фамилия и инициалы авторов, полное название книги (сборника), город, издательство, год, общее количество страниц;

— для журнальных статей — фамилия и инициалы авторов, полное название статьи, название журнала, год издания, номер журнала, номера страниц;

— ссылки на иностранную литературу следует давать на языке оригинала без сокращений;

— при использовании web-материалов указывайте адрес сайта и дату обращения.

Более подробную информацию см. на сайте: www.i-us.ru