Метод моментов для исследования математической модели параллельного обслуживания кратных заявок потока марковского восстановления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.872

МЕТОД МОМЕНТОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ КРАТНЫХ ЗАЯВОК ПОТОКА МАРКОВСКОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ

И.А. Синякова, С.П. Моисеева

Томский государственный университет E-mail: [email protected]; [email protected]

Предлагается математическая модель параллельного обслуживания кратных заявок в виде системы массового обслуживания (СМО) с параллельно функционирующими блоками. Методом моментов найдены основные вероятностные характеристики двумерного процесса, характеризующего число заявок, находящихся на обслуживании.

Ключевые слова:

Параллельное обслуживание, кратные заявки, поток марковского восстановления, метод моментов.

Key words:

Parallel service, multiple demands, stream of Markov restoration, the method of moments.

В настоящее время внимание к теории массового обслуживания в значительной степени стимулировалось необходимостью применения результатов этой теории к важным практическим задачам, возникающим в связи с бурным развитием систем коммуникаций, возникновением информационно-вычислительных систем, появлением и усложнением разнообразных технологических систем, созданием автоматизированных систем управления.

Исследование систем массового обслуживания с групповым поступлением заявок и параллельным обслуживанием является одним из востребованных направлений теории массового обслуживания [1-2].

Исследованию однолинейных систем массового обслуживания с неординарными входящими потоками (пуассоновским и рекуррентным) посвящены работы П.П. Бочарова, А.В. Печинкина и других российских учёных [3-5], в которых рассматриваются системы массового обслуживания с марковским неординарным входящим потоком, несколькими типами заявок, обобщённой дисциплиной преимущественного разделения прибора заявками с минимальной обслуженной длиной, марковским обслуживанием и накопителем бесконечной ёмкости. Кроме того, в статье украинских учёных [6] предлагается исследование подобных систем с двумерным пуассоновским потоком, но предлагаемый авторами метод неприменим для исследования аналогичных систем с произвольным временем обслуживания или непуассонов-ским входящим потоком.

В настоящей работе предлагается математическая модель параллельного обслуживания кратных заявок в виде системы массового обслуживания с параллельно функционирующими блоками.

Рассмотрим систему массового обслуживания (MR (2)|M2|<») с входящим потоком кратных заявок и двумя блоками обслуживания, каждый из которых содержит неограниченное число приборов. На вход системы поступает поток Марковского восстановления сдвоенных заявок, заданный набо-

ром функций распределения длин интервалов Л^х^.-.Д^х) и матрицей Р - вложенной по моментам наступления событий цепи Маркова [7].

М2

Рисунок. СМО Шга|М2|<» с параллельным обслуживанием кратных заявок

Продолжительности обслуживания различных заявок стохастически независимы, одинаково распределены в каждом блоке и имеют экспоненциальное распределение с параметрами /л1и соответственно. Поступившая заявка занимает любой из свободных приборов, завершив обслуживание, заявка покидает систему. Ставится задача исследования двумерного процесса, характеризующего число заявок в каждом блоке.

Обозначим 4 - число заявок в к-м блоке обслуживания. Так как входящий поток непуассонов-ский, то двумерный процесс {^(ОЛСО), немарковский, поэтому рассмотрим четырехмерный марковский процесс {к(1),1(?),1С)М^}, который является марковским, где 1^) - длина интервала от момента времени / до момента наступления очеред-

ного события во входящем MR потоке, а процесс k(t) - вложенная по моментам наступления событий цепь Маркова.

Определим вероятности

. . А u\k (t) = k ,z (t) < z, h(t) = \

P(k,z, iu i2,t) = P •! . .

[ = \ , i2 () = i2 Для распределения P(k,z.,i1,i2,t) At-методом запишем равенства:

P(k, z - At, i1, i2, t + At) =

= (P(k, z, ii, i2, t) -P(k, At, ix, i2, t)) x x(1 - ilßlAt )(1 - i2 ß2At) +

+LP(v, A^ ii -1 i2 -1 t)PvkAk(z) + v

+P( k, z, i1 +1, i2, t)(i1 +1) ß1At +

+P( k, z, i1, i2 +1, t )(i2 +1) p2 At + o( At),

из которых получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова [8]

dP(k, z, i1, i2, t) = dP(k, z, i1, i2, t) dP (k ,0, i1, i2, t)

dt dz dz

-P (k, z, i1, і2, t)i1^1 - P(k, z, i1, і 2, t )i2ß2 +

+P(k, z, i1 +1, і2, t )(i1 +1)ß1 +

+P(k, z, i1, i2 +1, t )(i2 +1)ß2 +

>ÖP(v,0, i1 -1, i2 -1, t)

+l-

v

dz

-PvkA (z).

dH (k, z, u1, u2)

du1

dH (k, z, u1, u2)

d = І YLij eiu2‘2 P(k, z, h, i2),

дщ k=o i2=o

= І 'L^e^1 eju2i2 P(k, z, i1, i2),

i =0 ij =0

для функций Н (к,1,Щ,ы2) запишем систему дифференциальных уравнений в частных производных [9] дН (к, г, и1, и2) дН (к ,0, и1, и2)

dz

dz

+j^1 - e -*)H (k,Z, u1,u 2)

+iß2(1 - e

du1

H (k, z, u1, u 2)

du2

+e

j(u1+u2)

L

dH (v,0, щ, щ) dz

PvA (z) = 0.

(2)

Обозначив H (z,ubu2)=[H(1,z,ubu2),H(2,z,ubu2). f A1(z) ... 0 "

D( z) =

0 ... Ak (z) j

' P11 • • • P1kл f 1 . . 0"

P = ,Pk1 . ■ pkk j , I = ,0 . • 1 j

получим основное уравнение для исследования системы МК(2)|М2|<»

ан( z, ии щ) + эн(0, ul, щ) ]+и2) рВ(. _ 1, +

дг дг

+ ]^1 - е-») дН^и- “2) +

+iV,(1 - e-J")

du1

dH( z, u1, u2) du

= 0.

(3)

Для стационарного распределения вероятностей эту систему перепишем в виде:

dP (k, z, i1, i2) dP(k ,0, i1, i2)

dz dz

-P (k, z, i1, і2)І1^1 - P (k, z, i1,i2)i2ß2 +

+P(k, z, І1 +1, І2)(І1 +1)ß1 +

+ P(k, z, І1, І2 +1)(І2 +1)ß2 +

+LdP(v-0,i-1,i'-P,A (z) = 0. (1)

V dz

Введем функции, аналогичные характеристическим [8]

H (k, z, ux, u2) = LLe1'‘lhe1'‘2'2 P(k, z, І1, І2).

І1 =0 І2 = 0

Тогда из системы уравнений (1), принимая во внимание, что

Решение Ы(^,ы1,ы2) дифференциально-матричного уравнения, удовлетворяющее условию Н(г,0,0)=К(г), определяет характеристические функции процессов {/1(/)},{/2(/)}, описывающих число приборов, занятых в стационарном режиме в системе ИЯ (2)|М2|ю, равенствами

к(щ) = Ые1иМ‘] = Н(», щ,0) Е,

к(и2) = Ые]и2‘2(‘ "> = Н(», и2,0)Е

Здесь Щг) - вектор-функция стационарного распределения вероятностей значений двумерного марковского процесса {к(1),г,(1)}.

Решение системы дифференциальных уравнений в частных производных (2) возможно найти только численными или асимптотическими [10] методами, но все вероятностные характеристики рассматриваемых процессов можно определить методом моментов [8].

Моменты первого порядка

Учитывая свойства характеристических функций [8]:

дН (к, г, и1, и2)

du1

dH (k, z, u1, u2)

= irnm(k, z),

du1

= irnm(k, z),

Для векторных функций имеем:

v

u =0

u =0

u =0

u =0

дН( z, и1, и2)

ди1

= 7ті ’(2) =

дт^(0)(РВ-(Мі) -1) + ^Ш го\Мі) = 0,

сг сг

Лт^(1, 2), т^(2, z),..],

(»і

дт1(1)(0) = дЯ(0)

дг

РБ*(д)(Г - РБ*(д))

дН( г, и1, и2)

ди.

= Іт2 (2) =

щ = 0 и2 = 0

Ят2(Г>(1,2),тг\2, 2Х ■■■]■

Дифференцируя уравнение (3) по и1, получаем

д2 Н( 2, и1, и2) д2 Н(0, и1, и2)

Тогда

{еЛЧ +и2)р0(2) - Г} +

дгди1

д2и1

д2

ті(1)М = фі(0) =

'дЩ0)

д2

хРБ* (д )(Г - РБ* (^ ))-і (РБ* (0) - Г) -, дЯ(0)п

д2

РБ

дН(0, щ, и2)

д2

— ІРі(-І)е

еіи ]' еіщ РБ( 2) -

дН(2,иі,и2)

Для момента первого порядка числа занятых приборов в первом блоке системы ИЯ (2)|И2|да можно записать

™ (1)(= т (1'и= 1 дК-(0) г = ^

-І^і(еЧщ -1)

диі

д2 Н( 2, иі, и2)

т1 ) (да) = ті(1 (да)Е =

Е =—.

V д2 V

ди12

Аналогично, для момента первого порядка числа занятых приборов во втором блоке системы ИЯ®|И2|<», получим равенство

-Ш(е-1)

д 2Н( 2, и1, и2)

= 0.

(4)

ди1ди2

Положив ы1=0, ы2=0, получим систему дифференциальных уравнений для вектор-функции ш(1)(г)={т1(1)(1,г),т1(1)(2,г),^}

дт1(1)( г) дт1(1)(0)

т21) (да) = т 2(1) (да )Е =

1 дЩ0) Е = Я

V.2 д2 V2

д2

дЯ(0)

' д2

д2

-(РБ(2) - Г) +

Моменты второго порядка

Найдём момент второго порядка числа занятых приборов в первом блоке системы ИЯ (2)|И2|да. Продифференцируем по ы1 уравнение (4):

РБ(2) - дт/ ’ (2) = 0

(5)

д3Н(2, и1, и2) д3Н(0, и1, и2)

{еЛи +и2} РБ(2) -Г} +

д2дЩ

Эту систему дифференциальных уравнений будем решать с помощью преобразования Лапла-са-Стилтьеса [8]

ф1(а) = ]е~аі(іт1(і)(2), Б* (а) = |е~а сШ{2).

0 0 Выполнив в (5) преобразование Лапласа-Стил-тьеса, получим

дт/1^) 1 Ґпп*Ґ ч ТЧ

фі(а) + ;------------(РБ (а)-Г) +

02 а

+ д?д(0) - РБ*(а) -Д фі(а) = 0

д2 а а

д2и1

д2 Н(0, и1, и2) д2ди1 д2 Н(0, и1, и2)

е^2 РБ( 2) +

д2ди1

еіи2 ^еіиі рб( 2) +

+ дН(0,и1,и2) е-2/е^1 РБ(2) -д2

-11(- ,-е-^1) дН(2 и^ и2) - ,, е-и 1 д2Н(2 и^ щ) Ач( J е ) ~ Иіе - 2

диі дщ

д 2Н( 2, иі, щ)

или

V-а)фі(а) = дті'1)(0)(РБ*(а) - Г) + д2

+°|°> рб».

д2

(6)

-^д(-^е-“')

^Ді(ЧеЧщ -1)

---JV2(-Je-и -1)

ди^2 д3Н( 2, и1, и2) ди3

д3Н( 2, и1, и2)

Отсюда

фі(а) =

1

дт1(1)(0) д2 дЯ (0)

(РБ (а) - Г) +

д2

РБ*(а)

2 = 0. (7)

дщдщ

Учитывая свойства характеристических функций: д2 Н (к, 2, и1, и 2)

ди1

д2 Н (к, 2, и1, и 2)

Положив в (6) а=д, имеем:

ди2

= /т2(2)(к, 2).

и =0

и =0

и =0

и =0

и =0

и =0

Тогда для векторных функций имеем:

д 2Н( г, и1, и2)

дих

= /т^ г) =

тор

Положив в а=2— определим неизвестный век-дт1(2) (0) _

дг

= г), т^(2, г),...],

дт^2 (0) = дг

д 2Н( г, и1, и2)

ди2

= ] т 2(2\г) =

= ]2[т2(2\1, г), т2 ’ (2, г),...].

Положив в (7) ы1=0, ы2=0, получим систему дифференциальных уравнений:

•2 дт/2)(г) + . дт/2)(0)

]

дг

■ + ]

дг

(РБ(г) -1) +

или

+2/ ^ рВ(г)+] ^ рП( „+

дг дг

+ Н-1]2т1т (г) - ! — / т2(2) (г) = 0

д<М+дт^ (р0( г) -1)+

дг

дг

2 дтМ+дШ, р0(г)+

^ 2°т

^ дг дг

+—т® (г) - 2—т2(2) (г) = 0,

(8)

решать которую будем также с помощью преобразования Лапласа-Стилтьеса.

Обозначив

ф1(а) = "^е~а(1т^г>(г), ф2(а) = jë~а2dm1(2■'(г),

0 0

от

Б* (а) = | е-агсШ( г)

0

для (8) получаем:

дт/2)(0) К™*, ч ТЧ ф2(а) +---т--------(РБ (а) -1) +

дг а

2 + дШ 11 РБ*(а) +

дг дг ) а

+ — ф1(а) - '2— ф2(а) = 0, а а

(2— -а)ф2(а) = дт()(0)(РБ*(а) -1) +

дг

0дт1(1)(0) ЯК(0)' *, . ...

2—1-------------------------1-|РБ (а) + —1ф1(а),

дг

дг

ф2(а) =

1

2—1 - а

дт/2^)

дг

(РБ*(а) -1) +

^дт1(1)(0) дК(0) .__*,

2----1----+-------|РБ (а) + ^ф(а)

дг

дг

—М!—) +

г 2 дт!>) +д^(0) ^ рб*(2 *)

дг дг )

х( I - РБ*(2 —,)) ~1-Тогда, учитывая, что

от

Ак\0) = |dAk (г) = А(от) - А(0) =1,

0

Б*(0) = I, ф1(0)Е = т1(1)(от)Е =

= т 1 5Я(0^_ Я

я Е = —, —1 —1

для момента второго порядка числа занятых приборов в первом блоке системы ИЯ(2)|И2|от можно записать

т^2) (от) = т/2 (от)Е = ф2(0)Е =

^т/» + дЩ0)

1

2—1

-+—1ф1(0) гЕ =

{2 е+я + я\ =

2—1 [ дг

—1

= 1 | дт1(1)(0)

Е + —[ =

= _[(I_рб (—1))-1 РБ —)Е +1].

—1

Повторив все выкладки, аналогично получаем выражение для момента второго порядка числа занятых приборов во втором блоке системы ИЯ(2)|И2|от:

Я

т2(2)(от) = — [(I - РБ*(—2))-РБ\—2)Е +1].

—2

Аналогично можно найти моменты более высокого порядка для числа приборов, занятых в системе ИК2Щ\от.

Корреляционный момент

Дифференцируя уравнение (4) по ы2, получаем

д3Н(г,и1,и2) + д3Н(0,и1,и2) ^ дгдидщ Яzu1Яu2

д 2Н(0, и1, и2)

(е] (иг+и2> РБ(г) -I) +

дгди2 д 2Н( г, и1, и2)

е]и1 ]е]и2 РБ( г) +

е]и2 ]е]и1 РБ( г) +

дН(0, ии и2) ]е]и2]е]и!рб(г) -дг

и =0

щ =0

и =0

щ =0

- ]u1 д 2Н(0, щ, щ)

ди1ди2

-Ju1 1Лд3И( z, Ui, U2)

дщ ди2

-Jß2(-J)e

-Jß2(eJu -1)

-Ju2 д2H(z,Ui,U2)

ди1ди2 д3Н( z, и1, и2) ди1ди2і

— 0.

Учитывая свойства характеристических функций, имеем:

дН( z, и1, и2)

ди1ди2

= Jm12(z) = J[m(1,z),m(2, z),..].

öz

öz

-(PD( z) -1) +

дш, (0) + 5m^ + öR(0) |x öz öz öz

xPD(z) - (ß1 + ß2 )Ш12 (z) = 0

Используя аналогичные преобразования, можно записать корреляционный момент процессов

ш,м

т12 (от) = т12 (от)Е = ф12 (0)Е =

= 1 {дт1(1)(0) дт1(2) (0) дЯ (0)]

ß1 +ß2

öz

öz

öz

E =

1 J^^E+ömmE+A^

¡І1 +ß2 A

öz

öz

Тогда, положив ы1=0, ы2=0, получим систему дифференциальных уравнений для нахождения корреляционного момента:

дт12( г) +дт12(0),

[(І - РБ*(Ді +Д2))^ РБ*(Мі +Д2)Е +1].

Мі + М2

Таким образом, в работе рассмотрена математическая модель параллельного обслуживания кратных заявок в виде системы массового обслуживания с параллельно функционирующими блоками. Методом введения дополнительных компонент проведена марковизация исследуемого процесса, что позволило получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для характеристических функций. Методом моментов найдены основные вероятностные характеристики двумерного процесса, характеризующего число заявок, находящихся на обслуживании в каждом блоке, а именно моменты первого и второго порядка. Используемый метод позволяет найти точные характеристики любого порядка.

и =0

ил — 0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Таташев А.Г. Система массового обслуживания с групповым поступлением и инверсионной дисциплиной // Кибернетика и системный анализ. - 1995. - № 6. - С. 163-165.

2. Таташев А.Г Одна инверсионная дисциплина обслуживания в одноканальной системе с разнотипными заявками // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 7. - С. 177-181.

3. Печинкин А.В. Инверсионный порядок обслуживания с вероятностным приоритетом в системе обслуживания с неординарным входящим потоком // Случайные процессы и их приложения. Математические исследования. - Кишинёв: Штиин-ца, 1989. - Вып. 109. - ххх с.

4. Печинкин А.В. Об одной инвариантной системе массового обслуживания // Math. Operationsforsch. und Statist. Ser. Optimization. - 1983. - V. 14. - № 3. - P. 433-444.

5. Бочаров П.П., Д’Апиче Ч., Мандзо Р., Фонг Н.Х. Об обслуживании многомерного пуассоновского потока на одном приборе с конечным накопителем и повторными заявками // Про-

блемы передач информации. - 2001. - Т. 37. - № 4. -С. 130-140.

6. Чечельницкий А.А., Кучеренко О.В. Стационарные характеристики параллельно функционирующих систем обслуживания с двумерным входным потоком // Сборник научных статей. -Минск, 2009. - Вып. 2. - С. 262-268.

7. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - Томск, Изд-во НТЛ, 2006. - 204 с.

8. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания.

- Томск, Изд-во НТЛ, 2004. - 228 с.

9. Эльцгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

10. Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. - Томск, Изд-во НТЛ, 2006.

- 112 с.

Поступила 19.11.2012 г.