Метод многоуровневой оптимизации в задаче раздельного резервирования элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.336

И. Б. Бондаренко

МЕТОД МНОГОУРОВНЕВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕ РАЗДЕЛЬНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

Представлен метод получения оптимального решения в многоуровневой системе, разработанный на примере решения задачи раздельного резервирования элементов. Исследован метод генетического поиска решений в многоколониальной модификации. Описаны дальнейшие направления исследований генетического метода для задач многоуровневой оптимизации.

Ключевые слова: генетический алгоритм, оптимизация, многоуровневая система, резервирование, многоколониальный алгоритм, колония, поколение.

Задачи многоуровневой оптимизации возникают при выработке оптимальных решений в иерархических сложных системах, которые представляют собой множество взаимоподчиненных уровней. Сложность процесса принятия решений заключается в том, что оптимальное решение, достигнутое на нижних уровнях системы, — локальное и не означает получения оптимального — глобального — решения для системы в целом. При этом процесс выработки решения носит лавинообразный характер, а результаты, полученные на промежуточных уровнях, взаимосвязаны. Поэтому исследования в данной области направлены на выделение координирующих переменных, определяющих взаимосвязь нижних и верхних уровней [1], а также декомпозицию системы 0опт на подсистемы Q¿ меньшей размерности с последующим решением локальных задач оптимизации [2]:

QоПт = extr(Qi(X)), Q¡(X) = Q(хь*2,...,Ч), i = 1, 2,..., n, где n — количество подсистем, к — количество параметров каждой подсистемы.

Данные методы включают процедуры выработки постоянных уточняющих межуровне-вых коэффициентов взаимосвязи отдельных подуровней и матриц этих коэффициентов. Решение задачи многоуровневой оптимизации с использованием такого подхода, особенно для систем большой размерности и при наличии ограничений, — сложная вычислительная процедура.

Резервирование относится к методам повышения надежности приборов и систем и используется на стадии их проектирования. При раздельном резервировании создается избыточность: к каждому элементу системы с помощью коммутаторов может быть подключено до (да—1) таких же резервных элементов (рис. 1), где i=1, 2, ..., n — номер „столбца" (блока элементов). Каждый элемент характеризуется вероятностью безотказной работы рг. Тогда вероятность безотказной работы основной цепи равна

росн = p1 ' p2 '...' Pn ,

а „столбца" —

m

Рст = 1 -П (1 - Pj ). (1)

j=1

Отсюда для всей резервируемой системы

Рс =П (1 - (1 - Рг)m ).

i=1

В качестве ограничения для решаемой задачи используем выражение, определяющее общую массу системы:

= Х < ^шах.

г=1

где gi — масса 1-го элемента.

Таким образом, задача оптимизации определяется выражением

п

бопт = шах

(2)

X gгmг <Сшах

П (1 - (1 - Рг) ^ )

г =1

(3)

П.

Р1

Коммутатор

и

3 5

Р2

Коммутатор

Р1

а

Р1

ь

К

Основная цепь

Р2

Коммутатор

[I

Резервные элементы

т1

т2

Рис. 1

При заданном уровне надежности элементов, известной их массе и ограничении на массу всей системы рассматриваемая задача может быть представлена в виде иерархической системы, где локальной задачей оптимизации является максимизация надежности (1), а глобальной — максимизация по соотношению (3) при выполнении ограничения (2).

Графическая интерпретация задачи (1) для двух элементов представлена на рис. 2. Ограничение (2) „отсекает" область, в которой находятся оптимальные решения (в данном случае два). На рисунке представлен вариант, когда массы элементов одинаковы, поэтому ограничивающая плоскость проходит под углом 45° к осям т1 и т2. Когда массы элементов не равны, эти углы разные. Для численных методов оптимального поиска задача усложняется тем, что вероятность безотказной работы, описываемая поверхностью б(т1, т2), сначала резко повышается, а затем ее рост замедляется.

т2

Оптимальные решения

т1

Рис. 2

Для решения задачи (3) можно использовать аналитические методы: например, метод неопределенных множителей Лагранжа или вариационный метод, однако при этом трудоем-

г=1

п

п

п

т

п

0

кость задачи существенно возрастает, а решение, особенно при небольших значениях т¡, не всегда является оптимальным.

В настоящей статье для решения поставленной задачи предлагается использовать многоуровневый многоколониальный генетический алгоритм (рис. 3).

Рис. 3

Реализация генетических алгоритмов предусматривает совмещение случайного поиска с отбором наилучших решений, что было исследовано в работах [3, 4]. Для решения каждой локальной задачи оптимизации используется отдельная колония хромосом, функционирующая на нижнем уровне (см. рис. 3), в результате чего формируется максимум локальной целевой функции (1) с локальным ограничением:

Q,.опт = max (l - (1 - pt)m). (4)

Управление поиском при работе многоуровневого многоколониального генетического алгоритма осуществляется путем сужения интервала поиска и повышения точности от поколения к поколению. Из каждой популяции нижнего уровня, содержащей 20 хромосом, отбирается несколько вариантов решений, образующих колонию верхнего уровня. Из этих вариантов на основе выражения (3) осуществляется выбор наилучшего решения с учетом ограничения (2). В результате процесса эволюции хромосом через несколько поколений формируется оптимальное решение. Как показано в работе [5], выгоднее использовать большее количество хромосом в колонии, чем наращивать число поколений, что и было использовано при проведении экспериментов.

Исходные данные и результаты вычислительного эксперимента для трех основных элементов, при G(;=485 кг, приведены в таблице — оптимальное решение, найденное на третьей итерации поиска (для Ш поколения), выделено жирным шрифтом; ход поиска представлен на рис. 4.

Номер ^max? кг m, — варианты локальных решений для поколения

блока Р,,% gi, кг I II III

элементов 1 2 1 2 1 2 3 4 5

1 90 10 15 16 11 12 9 10 8 8 8

2 80 15 500 10 10 10 11 15 15 13 14 13

3 95 20 8 8 9 10 8 8 6 7 7

Оптимум

Локальные решения для III поколения

Локальные решения для II поколения Рис. 4

Локальные решения для I поколения

В заключение следует отметить, что представленный в статье подход управления многоуровневой системой не является окончательным. Возможна организация управления хромосомами низших порядков за счет составления ступенчатой целевой функции, оптимизации операторов отбора, скрещивания, мутации и т. д., что требует дополнительных исследований. Разработанная методика может быть использована при принятии решений в многоуровневых задачах для управления сложными техническими системами.

список литературы

1. Баранов В. В. Автоматизация управления предприятием. М.: ИНФА-М, 2000. 239 с.

2. Лисяной Г. В. Модели оценки эффективности функционирования интегрированной автоматизированной системы управления // Вюник Кременчуцького полггехшчного ушверситету. 2009. Вып. № 2 (55). С. 7—9.

3. Коробейников А. Г., Михайличенко О. В., Прохожее Н. Н., Бондаренко И. Б. Метод поиска множества оптимальных решений тестовой функции Бранинса // Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе: Сб. материалов Всерос. науч.-практ. конф. с международным участием. Йошкар-Ола: Марийск. гос. техн. ун-т, 2012. Ч. 1. С. 73—77.

4. Бондаренко И. Б., Гатчин Ю. А., Гераничев В. Н. Синтез оптимальных искусственных нейронных сетей с помощью модифицированного генетического алгоритма //Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 2 (78). С. 51—55.

5. Бондаренко И. Б., Каляева Е. А., Кокшаров Д. Н. Адаптация параметров генетического алгоритма для оптимизации сложных функций // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 9. С. 5—9.

Игорь Борисович Бондаренко

Рекомендована кафедрой проектирования и безопасности компьютерных систем

Сведения об авторе канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра проектирования и безопасности компьютерных систем; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10.01.14 г.