CC BY
10
Shram Vyacheslav Gennadyevich, master, shram18rus@,mail. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian State University of Science and Technology named after academician M.F. Reshetnyova,
Agafonov Evgeny Dmitrievich, candidate of technical sciences, docent, agafonov@gmx. de, Russia, Krasnoyarsk, Siberian State University of Science and Technology named after academician M.F. Reshetnyova,
Lysyannikov Alexey Vasilievich, master, av. lysyannikov@mail. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian State University of Science and Technology named after academician M.F. Reshetnyova,
Lysyannikova Natalya Nikolaevna, master, nataly. nm@,mail. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian State University of Science and Technology named after academician M.F. Reshetnyova
УДК 519.7
МЕТОД МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МИНИМИЗАЦИИ НЕВЯЗОК В УСЛОВИЯХ ВРЕМЕННЫХ
ОГРАНИЧЕНИЙ
А.Н. Миронов, В.В. Лисицкий
Разработан метод многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем на основе минимизации невязок в условиях временных ограничений. Отличием разработанного метода является то, что он не является итерационным, позволяет локализовать все экстремумы в ограниченной области, сокращает время счета при нахождении глобального экстремума. Полученные результаты можно применять в задачах управления развитием сложных организационно-технических систем для решения проблемы учета многокритериальности при синтезе облика желаемой системы.
Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, сложная организационно-техническая система, синтез, управление развитием, векторный функционал качества.
В настоящее время успешное функционирование сложных организационно-технических систем (СОТС) (например, систем связи и телекоммуникаций, систем энергоснабжения, транспортных систем и т.п.) напрямую зависит от качества процесса управления их развитием. Процесс управления развитием таких систем характеризуется значительными вложениями ресурсов, длительным сроком внедрения и реализации, различными видами неопределенности, связанными не только с воздействиями внешней среды, с неточностью или недостаточным количеством
330
информации об управляемых процессах, об условиях применения и обслуживания, но и с возможной неоднозначностью действий управляющих элементов [22]. Дело в том, что концентрация усилий в теории управления развитием на вопросах разработки алгоритмических структур управляющих систем, определяющих их динамические свойства (временные, точностные и др.), привели к недооценке других свойств систем, главным образом надежностных, определяющих их работоспособность на этапе эксплуатации, и ресурсных, определяющих величину материальных, людских и, в конечном счете, финансовых. По существу, речь идет о том, что на стадии синтеза СОТС должны в одинаковой степени согласованно учитываться требования обеспечения целевых характеристик систем (необходимого быстродействия, устойчивости и т. п.), эксплуатационных характеристик, учета воздействия среды и управляющих воздействий при минимальных или ограниченных затратах ресурсов. Отсюда возникает проблема, заключающаяся в том, что, с одной стороны, необходимо учитывать пространственно-временные, технические, технологические факторы, связанные с синтезом системы, с другой - учет многочисленных факторов достаточно сложен, так как приводит к необходимости постановки и решения многокритериальных задач оптимизации большой размерности. Кроме этого, существуют другие научные проблемы, требующие решения при синтезе СОТС, в частности, к ним относятся проблемы учета большой размерности, нестационарности и факторов нелинейности используемых моделей, проблемы учета многокритериальности при синтезе облика системы и неопределенности сценариев возмущающих воздействий со стороны внешней среды, проблемы организации межмодельного согласования при анализе и синтезе структур системы, учета неоднозначности действий управляющих элементов при управлении развитием [7]. В статье остановимся на проблеме учета многокритериальности при управлении её развитием. Рассмотрим задачу управления развитием СОТС.
Пусть известно оптимальное значение функционала качества на г -м
шаге развития (X) = /0 (х). Под векторным функционалом качества F (X) будем понимать функцию от показателей качества функционирования системы во всем множестве реализуемых (заданных) структур. Тогда значение функционала качества на г-м шаге развития обозначим Рг (X ) = / (х).
Определим невязку между текущим и желаемым векторами функционала качества:
Д = тах/(х)-/0(х). (1)
/е/
Математически (1) представляет собой задачу приближения для несовместной системы нелинейных уравнений
/ (х)- Ь = 0, (2)
где _
/(х) = {/ (х)/ е /}, Ь = \bi\i е /}; х = {х^ е J}, / = {г|г = 1, т, т < (3)
331
Отсюда задача управления развитием СОТС сводится к минимизации невязки векторных функционалов качества (текущего и желаемого (заданного)), другими словами, к нахождению вектора
x0 = arg abs min{A(x)|x e d} и величины минимальной невязки
Л0 =л(х0 ),
принимаемой за меру приближения по Чебышеву,
Л = ЛС (x) = max| fi (x)- , iîI
или среднестепенного приближения (p > 2)
(4)
(5)
(6)
Л = Л l (x
D
Ii ( fi (x)-bi ) pdx iîID
1 p
(7)
Здесь имеем случай глобальной минимизации невязки
.0-----{д^о ) kx0 Î 5e(kx0
Se (kx0 )
x = arg min
kîK0
где Se x определяется соотношением
Sek (x )={xx-kx0 £ e, F (kx* )< F (x )},
(8)
в котором F (x) = Лc (x) или F^) = Лl (x), а K0 вычисляется по выражению
K0 = \k
k e
1, M
0
M0 <¥
(9)
Решение задачи в описанной постановке открывает новые возможности отыскания способов объединения и согласования отдельных задач, из которых по выражению [2] складывается здание проблемы в целом. К форме (4) можно свести практически все основные задачи проблемы системного синтеза [3, 4, 5], в том числе задачи оптимизации требований к функциональным элементам различного уровня иерархии, нахождения оптимальных структур, оптимизации параметров.
За счет использования единой вычислительной схемы существенно упрощается реализация алгоритмов решения этих задач для различного уровня иерархической структуры системы, и, как следствие, существенно упрощается решение задач математической, программной и информационной совместимости.
Рассматриваемая задача включает:
задачу локализации экстремумов, которая заключается в нахожде-);
0
нии Se\ x
задачу определения экстремумов, x с заданной точностью.
332
Заметим что для линейных систем (2) известны эффективные методы решения задачи как по критерию Чебышева [6], так и среднеквадратичному (р = 2) критерию [7]. Однако в силу нелинейных свойств приближения по критерию Чебышева эти методы непосредственно не обобщаются на линейную систему (2). Разработаны [1, 8, 9] методы решения нелинейной системы (2) и для случая, когда начальное приближение находится в
£е(кх°), однако задача локализации в известных работах не изучалась. Рассмотрим идеи и свойства метода. Для критерия по Чебышеву
Д = Дс (х ) = тах| // (х)- Ь/|,
/е/
(10)
с учетом последних исследований.
Введем необходимые обозначения и определения. Класс функций Липшица в О определим равенством
Но = {/(х)"е /,х,х'е Б/г(*')-/(У) <Ц
Естественным обобщением О является класс Но:
#$={/•(х)"/е /;ю(/,и)<М/,и},
где
, и) = / эир 1 (х ')- //(х х х "е О.
|х'-х |<и
Представляют практический интерес также классы
НО = {/(х)"/ е /; т/и < /, и) < Мг, и},
/ П
х х
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
тМНга = {/(х))"/ е /;ти <ю(/,и)<М,и}. Здесь 0 < т/ < М1 < ¥; ° < т < М < ¥.
Введем классы соответственно аддитивных и мультипликативных функций
п
(х )= У а7у 7- х
Н У
Н п =
Ф(х)е Но
Ф/(х)е Но
Ф/(х)= У а/]У](х])
7=1
Ф/ (х )= П [у 7 (х/ Ь 7=1
(16)
(17)
Если "7 е J допустимо представление
V 7
У 7(х/ )= У 17кФ 7к (х71
(18)
к=0
где фу =ф7к|ке [°,образуют систему по Чебышеву или ТТ .-систему
Т Т
[13], то соответствующие классы функций обозначим Н у и Нп.
Если "j е J справедливо в (18) ограничение v j <v, то классы функ-
T T
ций обозначим соответственно H^ и Нп . Множество Фf назовем соответствующим f, где f определяется (3), если "i е I, x е D, справедливо sign Ф; (x ) = sign fi (x). Очевидно,
df
Фf ={Ф;(x)"iе I sign Фj(x)= sign fi(x)}. (19)
Идея метода многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем на основе аппроксимации состоит в замене исходной задачи приближения (4) - (6) для системы (2) последовательностью более простых задач [12].
1. Задача приближения по Чебышеву заданного множества f, определяемого (3) соответствующим множеством Фf при условии, что невязка в D
D1 = Pf = Р(f, jf )= max р; , (20)
iel
достигает минимума при Ф f в классе Н ^:
p(f,Ф0 )= inf p(f,Фf). (21)
f FfeHl
2. Задача приближения по Чебышеву несовместной системы линейных уравнений
n
S atjYj -bi = 0, iе I, jе J, (22)
j=1
при условии, что величина невязки
A 2 = max iel
n
Z VjjYj - b , (23)
j=1
принимаемая за меру приближения, была минимально возможной в Dy:
А2 = А°2 = min А2 . (24)
2 Y eDY
3. Задача определения компонент искомых векторов x как корней n независимых уравнений:
y j (xj)- Yj = °. (25)
Здесь система (22) следует из (2) при замене f множеством Фf, и переходе к новым переменным:
Yj =У j (xj) . (26)
Решением системы (22) является значение Y* = Y*; j е J}, обеспечивающее выполнение (24).
Из сопоставления задачи приближения для системы (2) с последовательностью задач 1 - 3 следует, что исходная нелинейная задача сведена на основе идеи аппроксимации к задачам линейного приближения (задачи 1 и 2) и к задаче определения действительных корней уравнений (26). Идея аппроксимации является мощным приемом в решении многих научных проблем [2, 9]. Поэтому вполне естественно, что данная идея нашла свое практическое приложение при решении задач многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем. В частности, идея замены нелинейной задачи приближенной линейной является основой сепарабельного программирования [9] аппроксимирующего программирования [14], методов погружения [15], а также различных градиентных методов [16, 17] и ряда других методов и алгоритмов, анализ которых приведен в [9, 14, 18]
Однако идея метода многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем на основе аппроксимации принципиально и конструктивно отличается от известных идей замены нелинейной задачи приближенной линейной:
известные методы используют локальную аппроксимацию, которая обеспечивает малую погрешность только в е - окрестности выбранной точки хк аппроксимации, а погрешность в произвольной точке хе о может быть как угодно большой, в то время как предлагаемый метод обеспечивает глобальную аппроксимацию (задача 1) при которой гарантируется, что в любой точке х е О погрешность, определяемая модулем разности между исходной / и аппроксимирующей Ф/ функцией не будет превышать величины Д1;
в основе известных методов лежит идея замены относительно аргумента х, в частности, на основе разложения функции в ряд Тейлора [19], в то время как в предлагаемом методе выполняется линеаризация / относительно функций у 7 х), линейно входящих в Ф/ и являющихся нелинейными функциями компонент аргумента исходной функции, поэтому погрешность аппроксимации в О предлагаемым методом существенно меньше, чем для других методов;
принципиально предлагаемый метод не является итерационным, поскольку задачи 1 и 2 приводятся [11] к линейной задаче программирования, решаемой прямым методом (симплекс-методом), а задача 3 разрешима как прямыми численными, так и аналитическими методами (при V < 3), в то время как известные методы - итерационные.
Указанные отличия позволяют получить ряд принципиально новых свойств:
характеристики вычислительного процесса данного алгоритма не зависит от начального приближения, поскольку метод не требует знания начального приближения;
метод позволяет локализовать все экстремумы задачи в заданной области Б, поскольку обеспечивает равномерную глобальную аппроксимацию всех / функциями Фг- и дает возможность построить миноранты и мажоранты каждой / в Фг-, в то время как известные методы обеспечивают определение только локального экстремума задачи [9, 20];
метод позволяет непосредственно моделировать влияние степени важности критериев на решение задачи [21];
метод применим для более широкого класса задач, чем другие методы, использующие идеи аппроксимации, в частности [14, 22], ибо предлагаемая процедура аппроксимации справедлива для /, принадлежащих классу Липшица, а другие методы замены требуют выполнения более жестких условий, в частности, дифференцируемость функций что естественно сужает класс разрешимых задач.
Приведенная вычислительная схема метода требует обоснования: необходимо показать, во-первых, что возможна замена исходной задачи последовательностью задач 1, 2 и 3, во-вторых, что метод позволяет локализовать все экстремумы в Б, в-третьих, выяснить влияние погрешности аппроксимации в задаче 1 на свойства решения.
Обоснование метода обобщенной последовательной линеаризации. Обоснование метода базируется на фундаментальные теоремы [23] необходимых условий экстремума в задачах оптимизации (теоремы А.А. Милютина и А.Я. Дубовицкого, Х. Халкина, Л.Нейштадта), результатах теории приближения функций и основные теоремы метода и требуют для своего доказательства средств, достаточно давно известных математике.
Возможность замены исходной задачи приближения (4) - (6) для системы (2) последовательностью задач 1 - 3 показывают следующие утверждения.
Утверждение 1. Для любого множества / с Ир в классе И^ существует соответствующее множество Ф/, каждый элемент Фг- которого
удовлетворяет условию Липшица с той же константой Ц, что и /1 е /.
Доказательство. Утверждение следует из обобщенной теоремы 3 работы [24], поскольку по определению Ир каждая функция /е Ир удовлетворяет условию данного утверждения. Поэтому (х)е Ир существует функция Фг- (х), удовлетворяющая условию Липшица с той же константой. Поскольку выбор / в классе Ир произволен то для любого набора функций / = {/• (х)е Ир,Iе I} справедлива теорема 3 работы [24], а следовательно, и сформулированное утверждение.
Утверждение 2. Для величины Е^ наилучшего равномерного приближения / соответствующим множеством Ф/ с И^ справедлива оценка
й'[Г]£ 2ЕТ/ £ й+ [/], (27)
где d ~\f ], d + \f ] - соответственно точная нижняя и точная верхняя грани истинных диаметров f.
Доказательство. По определению
Ey f = inf Pf = sup Ey f , (28)
f ФeH y is I f
Pi = max| fi (x)- 0i (x), pf = sup Pi, (29)
is I
Ey = inf р^. Ф sHy i
Но для каждой функции fi s Hd в соответствии с обобщенной теоремой 2 работы [24] существует функция Ф0 ее наилучшего приближения в классе Hy для которой расстояние
P? = p(fi, Ф0 )= maX fi (x)- Ф- (x ), (30)
xsD
будет минимальным и, следовательно, равным по определению Ey
Eyf = р0 = P(fi-,Фо )• (31)
Для величины Ey, по той же теореме справедливо равенство
2Ey. = d0 \fi ], (32)
где djf ] - в соответствии с определениями работы [24] истинный диаметр j -го семейства fV функции fi, которое получается пересечением
Vxj
функции fi с прямой Xj = const при Xj s D.
Поскольку (32) справедливо Vi s I, а в общем случае
d0\fi']* d0\fn
' Т т
о s I, о s I, то полагая
d"f] = М d0o / ], d+[/] = вир d¿ / ], (33)
/е/ /е/
из (28), (32) и (33) имеем (27). Утверждение доказано.
Утверждение 3. Для величины ЕУУ наилучшего приближения /
у /
соответствующим множеством Ф/ с Ну ,справедлива оценка
^^ - В\ < ЕУ < ^^ + В\. (34)
2 / У / 2 /
Доказательство. Из соотношений (28) и (29) имеем
М р/ < ЕУ / < Бир р/, (35)
/е/ 7 /е/
337
для Фг е Ф/ по определению Ф; = X а/у/ (xj) и р- = тах|/ - Фг|, но
Р° - EjV £ Рр £ + EjV, тогда
j=1
тах
хер
/г - X Р/П j=1
X Е/п £ Рг £ тах j=1 хеЭ
е
/г - X / /=1
хер
+ X /. /=1
Аппроксимируя V/ е /у/ (х/) полиномом Р/П(х/) степени V/ £п и
учитывая, что PjV - Е£ / £ / + Е, где Ер - величина наилучшего приближения у/ (х/) полиномом Р/п, получаем
тах
хер
/г - X / /=1
Отсюда имеем
X Е/V £ Рг £ тах
/=1 хеЭ
/г - X / /=1
+ X •
/=1
Бир рг £ Бир ге/ ге/
тах
хе£>
и
0
/> - X / /=1
п
+ X Е/V /=1
£ Бир ге/
тах
хе£>
п
/г' - X Рд /=1
п
+ Бир X Ejv
ге//=1
Учитывая, что в соответствии с (29), (31) и (32)
п
Бир
ге /
и обозначая
тах
хе£>
/г - X РД /=1
£ вир рг (/г-, ФД )£ й [/]
ге /
2
п
Бир X Е/V = Е/
ге/ /=1
находим верхнюю оценку
Аналогично имеем
ЕЕ / £ й+1/] + Е V.
X / 2 /
inf рг > inf
ге / ге /
тах
хе£>
п
/г' - X РД /=1
2 п
X е// /=1
(36)
(37)
> М рг (/г, Ф0)-Бир X Е ге/ ге/ /=1
п
/V
или, учитывая (29), (31), (32) и (36),
inf рг > ^ - Е*.
(38)
2 V
Подставляя (37) и (38) в (35), получаем (34). Утверждение доказано.
Следствие 3.1. Если V/е /у/(х/) полином, то при V ® ¥ справедлива оценка (27).
Доказательство. По определению Е ^ является величиной наилучшего приближения у/ (х/) полиномом Р/у^. В соответствии с теоремой Вейерштрасса [13] имеем
п
п
п
п
п
п
п
п
lim EjV = 0. (39)
С учетом этого из (34) получаем утверждение 2.
Следствие 3.2. Если d~\f ] = d + \f ] = 0, а в Ф/Vzе I функции y j (xj) представляют собой полиномы степени v , то lim ЕУ = 0.
Доказательство. Если множество f таково, что d~\f] = d +\f] = 0 это, в частности, выполняется, если f с Ну, то из (34) и теоремы Вейер-штрасса получаем
lim E-V = 0. (40)
V®¥ Уf
Следовательно, в этом случае можно построить в классе Ну такую
V
f
последовательность множеств Фf, где V = 1,2,к, что предел при v®¥
г
погрешности аппроксимации / множеством Ф/ равен нулю, и погрешность нахождения решения исходной задачи (2) - (6) данным методом будет определяться только погрешностью вычислений.
Сформулированные утверждения устанавливают факт возможности замены исходного множества / соответствующим множеством Ф/, каждый элемент которого обладает той степенью гладкости, что и соответствующий элемент / е /, и удовлетворяет условию Липшица с той же константой, а также определяют величину погрешности подобной замены. Этим косвенно подтверждается возможность замены исходной задачи последовательностью сформулированных задач 1 - 3. Прямым подтверждением возможности указанной замены является следующее утверждение.
Утверждение 4. Произвольный к -й корень системы (2) в области
з!к локализуется последовательностью задач 1 - 3 в сфере Эк радиуса
x x
, определяемого корнями в sjk систем уравнений.
Ф+(х)-Ь = 0, (41)
Ф-(х)-Ь = 0, (42) где Ф+ (х) = Ф0 + Еу , Ф~(х) = Ф0 - Еу , Ф0 - наилучшее приближение
/ в классе Ну , Эк с Б ¡к с Б .
Доказательство. Построим миноранты и мажоранты для каждой // е /, определяя их следующим образом:
Ф-= Ф0 - Еу , Ф+ = Ф0 + Еу , (43)
где Ф1 е Фу и дает наилучшее приближение f в Ну. Тогда в силу (19) - (21)
О <|f
и, следовательно, V/ е I
Щ < EZ
f
Ф/ < fr < ФУ .
(44)
(45)
Заменив в (2) все /- на Ф- и Ф+, получим системы уравнений (41)
и (42). Тогда в области бЦ? притяжения к -го локального экстремума системы (2) в силу свойств / и Ф/ на основе соотношений (43) и (44) справедливо неравенство
" ' " " ' (46)
к
x
<
kx 0
<
kx+
к * к
Аналогично для к -го корня к x е Sk системы
чО,
Ф 0 (x)-b = О,
(47)
полученный при замене / множеством Ф0, в соответствии с (42) справедливо
kx -
<
к * kx
<
kx+
Тогда в силу свойств неравенств (46) и (48) имеем
О <
ко -кг*
Л Л
<
x x
(48)
(49)
откуда, учитывая определение сферы в Rn, получаем утверждение.
Следствие 4.1. Если выполняются условия следствия 3.2, то
lim kx* = kx0
Доказательство. При выполнении (40) из (43) следует
lim Ф+ =
поэтому в силу свойств Фf имеем
lim kx+
lim Ф/-
lim k x .
На основе этого из (49) получаем
г к * к 0 lim x = x .
(50)
(51)
(52)
Главное преимущество разработанного метода по сравнению с методами случайного поиска - возможность локализации всех экстремумов в ограниченной области и благодаря этому существенное сокращение времени счета при нахождении глобального экстремума. Кроме того, данный метод не является итерационным, а сходимость итерационного метода Дэ-видона - Флетчера - Пауэлла не доказана и не гарантирована.
Заключение. В статье рассмотрены постановка и направления решения задачи управления развитием сложных организационно-технических систем на основе минимизации невязки векторных функцио-
340
налов качества в условиях временных ограничений. Задача определения невязки сведена к задаче приближения для несовместной системы нелинейных уравнений. Предложено при решении несовместной системы нелинейных уравнений для определения и локализации экстремумов исходную задачу декомпозировать последовательностью более простых задач. Сформулированы и доказаны утверждения, показывающие возможность декомпозиции исходной задачи приближения последовательностью простых задач. Разработан метод многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем на основе минимизации невязок в условиях временных ограничений. Отличием разработанного метода является то, что он не является итерационным, позволяет локализовать все экстремумы в ограниченной области, сокращает время счета при нахождении глобального экстремума. Полученные результаты можно применять в задачах управления развитием сложных организационно-технических систем для решения проблемы учета многокритериальности при синтезе облика желаемой системы в условиях временных ограничений.
Список литературы
1. Стронгин Р.Г. Простой алгоритм глобального экстремума функций нескольких переменных и его использование в задачах апроксимации функций // Известия вузов. Радиофизика. 1972. № 7. С. 1077 - 1084.
2. Моисеев Н.Н. Численные методы и теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. 424 с.
3. Курилин Б.И. К определению допусков элементов по заданным допускам выходных характеристик контрольно-измерительных систем // Автометрия / Сиб. отд. АН СССР. 1969. № 4. С. 3 - 8.
4. Курилин Б.И. Оптимизация на ЦВМ электрических схем по нескольким граничным критериям // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1969. № 8. С. 861 - 869.
5. Минимизация чувствительности внешних параметров колебательной системы к отклонению параметров элементов / Б.И. Курилин, В.П. Пуганов, Б.М. Розенберг, В.М. Городилин // Вопросы радиоэлектроники, сер. ТРС. 1973. №5. С. 88 - 92.
6. Современное состояние теории исследования операций / под ред. Н.Н. Моисеева. М.: Наука, 1979. 464 с.
7. Охтилев М.Ю., Соколов Б.В., Юсупов Р.М. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов. М.: Наука, 2006. 410 с.
8. Калинин В.Н., Резников Б. А., Варакин Е.Н. Теория систем и оптимального управления. Понятия, модели, методы и алгоритмы оптимального выбора. М., 1987. Ч. 2. 589 с.
9. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967. 508 с.
10. Курилин Б.И. Колебательные системы из отрезков фидерных линий. Киев: Техника, 1969. 283 с.
11. Волков В.М., Курилин Б.И. Методы оптимального проектирования сложных систем. Киев: Техника, 1971. 88 с.
12. Курилин Б.И. К решению чебышевской задачи приближения для несовместной системы нелинейных уравнений // ЖВМ и МФ. 1970. № 1. С. 3 - 14.
13. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.
14. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.
15. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977. 158 с.
16. Демянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 368 с.
17. Дружинин В.В., Конторов Д.С. Проблемы системологии (проблемы сложных систем). М.: Сов. радио, 1976. 296 с.
18. Гафт А.Ш. Автоматизация управления созданием и освоением новой техники. Киев: Наукова думка, 1978. 152 с.
19. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.Н. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 319 с.
20. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967.
267 с.
21. Миронов А.Н., Лисицкий В.В., Сизяков Н.П. Оценивание моделей и методов задания весовых коэффициентов при оценке качества системы технического обеспечения // Научный интернет-журнал «Информационно-экономические аспекты стандартизации и технического регулирования». 2017. № 6(40) [Электронный ресурс]. URL: http://iea.gostinfo.ru/ magazine_ 2017_06 (40).html (дата обращения: 10.05.2019).
22. Лисицкий В.В., Шестопалова О.Л. Управление обеспечением жизненного цикла территориально распределенных сложных технических систем // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 10. С. 366 - 376.
23. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969. 151 с.
24. Оффман Ю.П. О наилучшем приближении функций двух переменных функциями вида j(x )+y(y) // Известия АН СССР. Сер. Математика. 1961. Т. 25. Вып. № 2. С. 239 - 252.
Миронов Андрей Николаевич, д-р техн. наук, профессор, mironov-anikayandex. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Лисицкий Владимир Вадимович, канд. техн. наук, докторант, lisickiiayandex. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского
THE METHOD OF MUL TICRITERIAL NONLINEAR OPTIMIZATION PROBLEMS OF COMPLICATED ORGANIZATIONAL AND TECHNICAL SYSTEMS BASED ON MINIMIZING THE RESIDUALS IN THE TIME CONSTRAINTS
A.N. Mironov, V. V. Lisitskiy
In the article the method of multi-criteria nonlinear optimization of complex organizational and technical systems based on the minimization of residuals under time constraints is developed. The difference of the developed method is that it is not iterative, allows to localize all extremums in a limited area, reduces the counting time when finding a global extre-mum. The results can be used in the problems of management of complex organizational and technical systems to solve the problem of accounting for multicriteria in the synthesis of the desired system glare.
Key words: multi-criteria optimization, complex organizational and technical system, synthesis, development management, vector quality functional.
Mironov Andrey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mironov-anikayandex. ru, Russia, Saint-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy named after Mozhaisky,
Lisitskiy Vladimir Vadimovich, candidate of technical sciences, doctoral, lisickiiayandex.ru, Russia, Saint-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy named after Mozhaisky
УДК 621.865; 711
ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДСТВ АВТОМАТИЗАЦИИ НА ПРИМЕРЕ
ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВА
О.С. Горчакова, О.А. Савкова, Е.Ю. Сорокина
Предложен метод оптимизации расчетов некоторых параметров, используемых при проектировании городов и зданий. Представлен вариант исполнения программы для этих расчетов, включая интерфейс пользователя и текст программы.
Ключевые слова: градостроительство, роботизация, строительство, новые технологии.
Улучшение экономических показателей, таких как стоимость строительства и его продолжительность является важной частью градостроительства. Для этого возможно применение новых технологий, позволяющих роботизировать строительство [1 - 4].
Робототехнические технологии предоставляют строительной отрасли многочисленные преимущества. С целью автоматизации процессов и повышения производительности, робототехника используется для выполнения работы быстрее, дешевле и точнее.
Одним из применений робототехники является обеспечение большей автоматизации различных процессов. Во многих аспектах строительства, особенно в производстве, упаковке и строительстве, автоматизация этих процессов становится целью. По мере развития робототехники и машиностроения строительные компании становятся все более открытыми
343
