МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ В ГЕОМЕТРИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

© 8кпрсЬепко Уи.

МЕТОД МАТЕМАТИЧНО1 ЩДУКЦП В ГЕОМЕТРП

Ю.А. Скрипченко, старший викладач, Чернтвський державний пеутверситет Ш. Т.Шевченка,

м. ЧернШв, УКРА1НА

Обговорюеться роль, мгсце / значения методу математичног тдукцп при розв 'язаннг плашметричних задач, а також методика формування вмтня ним користуватися при розв 'язанш р1зних титв геометричних задач. Пропонуеться добгрка задач для самосттного розв 'язання.

Ключов1 слова: платметричне завдання, метод математичног ¡ндукци, майбутнт вчитель математики, позакласнаробота, робота в математичному кружку.

1ндукц1ею називаеться метод мiрку-вань, який веде вщ висновюв, зроблених в часткових випадках (при розглядi прикла-дiв), до деякого загального висновку. 1пдые-Ио - латинське слово, що означае «наве-дення». 1ндуктивт мiркування - типове явище для математики. Розрiзняють кiлька мегодiв, що грунтуються на вдукци. Метод мiркувань, при якому загальний висновок робиться на основi розгляду (розбору) все-можливих випадкiв, називаеться повною 1ндукц1ею. Зрозумшо, що його можна за-сгосувати коли число випадкiв сюнченне (i не «надто велике»). Складтшою е ситуа-щя, коли кшьюсть випадюв е несюнчен-ною. У цьому випадку iнодi (коли випадок залежить вiд натурального п ) бувае корис-ним (продуктивним) метод математичноi вдукци.

Метод математичноi iндукцii - один з важливих мегодiв доведення математичних тверджень, який грунтуеться на принципi математичноi iндукцii: якщо твердження Т(п), залежне в1д натурального числа п, Iстинне для п = 1 I з припущення про те, що воно ¡стинне для п = к випливае його ¡стинтсть г для натурального числа п = к +1, то це твердження Iстинне при всгх натуральных значеннях п. Принцип математично!' вдукци - одна з аксюм арифметики натуральних чисел (аксюм Пеано [2]). Зауважимо, що вш мае двi рiзнi, але етвалентт форми (ми навели першу з них).

Реатзащя на практищ цього методу здшснюеться за наступною схемою:

1) перевiряеться iстиннiсть твердження

при п = а, де а - найменше з допустимых значень; 2) припускаеться, що воно ^инне для п = к > а ; 3) доводиться, що з пункпв 1) i 2) випливае ютинтсть твердження для п = к +1. Робиться висновок про ^ин-тсть твердження Т(п) для вах натуральних значень п > а.

Iнодi цей метод називають методом повно' математично1 iндукцii [12]. Вiн е строгим дедуктивним методом доведення, який включае в себе елемент iндукцii, а са-ме: безпосередню перевiрку дослiджувано-го твердження при найменшому допустимому значеннi п. Ратше метод математич-но' вдукци вивчався в загальноосвiтнiй школi в кура «Алгебра i початки анашзу» (див. [9], [10]), а зараз лише в класах з по-глибленим вивченням математики.

Постановка проблеми. Мсце, роль i велике значення методу математично' iн-дукцii в математищ загальновiдомi. Зрозу-мiло, що будучи по сво'й сут1 пов'язаним з поняттям натурального числа, вш е ефек-тивним в арифметищ, комбiнаторицi, алге-брi та теори чисел, хоча застосовуеться в самих рiзноманiтних галузях математики. На наш погляд, роль методу математично' iндукцii в геометр11 (зокрема, елементарно') е недостатньо вивченою i часто недоощню-еться. В завуальованому виглядi вш вико-ристовуеться в шкiльному кура геометри (наприклад, при виведеннi формули суми внутрiшнiх кут1в випуклого многокутника). 1снують достатньо природнi геометричнi задач^ чи не единим методом розв'язання яких е метод математично' вдукци. Засто-сування методу математично' iндукцii в

геометри мае свою специф^. В «чистому» виглядi цей метод використовуеться до до-ведення тверджень типу: (Vпе N) Т(п) (тобто до тверджень, яю виражають деяю властивосп, прнтамант будь-якому натуральному числу) або ("/пе N) (п > к —> Т(п)) (будь-якому натуральному числу, яке бшьше деякого натурального числа к ). Лише частина геометричних задач мае таку форму вимоги, осюльки юнуе чотири типи геометричних задач (класифь кацiя «за вимогою»):1) задачi на знахо-дження величин (зокрема, на обчислення); 2) на доведення; 3)на побудову; 4) на до-слщження.

Зауважимо, що вчителю математики було б корисно мати тд руками поабник, який мiсгив би велику юльюсть геометричних задач, яю розв'язуються методом ма-тематично! шдукци як з розв'язками, так i задач для самостшного розв'язання. Але про юнування таких автору не вщомо. Бь льше того, юнуе практично два джерела [6],

[16], в яких цьому питанню придшена на-лежна увага. Поодинокi приклади таких задач, можна зустрiти в рiзних джерелах, зокрема [1], [3-5], [7], [8], [11], [14], [15],

[17], де вони часто повторюються.

Наведемо приклади використання методу математично! iндукцii в платметри.

Приклади застосування методу в геометри

Означення 1. Барицентром (центром мас) системи точок А1, А2, ..., Ап назива-еться точка О , для яко! мае мiсце векторна рiвнiсть

ОА1 + ОА +... + ОАп = 0. (1)

Задача 1 ([14]). Довести, що довыьна стнченна множина (система) точок мае единий барицентр.

Розв'язання. Доведення юнування барицентра проведемо методом математи-чно! вдукци.

1. При п = 2 барицентром системи А1А2 е середина вiдрiзка А1А2.

2. Припустимо, що твердження прави-льне для п = к, тобто юнуе точка О' така, що

ОГА1 + ОА +... + ОГАк = 0 . (2)

Розглянемо точку О, яка дшить на-

прямлений вiдрiзок Ак+1О' у вiдношеннi к, тобто точку, для яко! мае мюце векторна рiвнiсть Ак+1О = кОО'. Останню рiвнiсть можна переписати у виглядi

Ак+1в = Щ+ао'+Щ+Ар '+•••+ОА0 + АО Щ" + СА, + ••■ + ОА; = Щ + ОА + ••■ + + ОАк+1 Але з (2) випливае, що лiва частина останньо! рiвносIi дорiвнюе 0. Тому

<О4[+оа0+•••+Щ"+ЩА^ 0.

Отже, точка О е барицентром системи точок А1,А2,...,Ак,Ак+1. Тод^ зпдно з

принципом математично! вдукци, дане твердження правильне для довшьно! сюн-ченно! кiлькостi точок.

Тепер доведемо единють. Нехай ^м рiвносг'i (1) мае мiсце i рiвнiсть

ОА1 + ОА2 +... + ОАп = 0. (3) Вщнявши вiд рiвностi (1) рiвнiсть (3), одержимо

(Щ - ОА )+(О4- ОЛ2)+...+ (ОА-О1) = 0 пОО = 0.

Звiдки О = О. Сдинють та все твердження доведено.

Зауваження. Задача 1 може бути ви-користана вчителем в системi гуртково! допускае модифкаци та переформулюван-ня, зокрема як задача на побудову. Зауважимо, що на обласнш олiмmади з математики для школярiв Кшвсько! обласп ф^-рувала задача: чи може барицентр п'яти точок, яю лежать на одному колi, ствпада-ти з його центром, якщо п'ятикутник Л1Л2 А3А4 Л5 не е правильним?

Задача 2 ([6]). Обчислити довжину а2„

сторони правильного 2п -кутника, вписа-ного в коло радiуса Я .

Розв'язання. 1. При п = 2 правильний 2п -кутник е квадратом зi стороною а4 = Ял/2 . Використовуючи формулу по-двоення сторiн правильного 2п -кутника

a

2R2 - 2R cos

2p 2n ■ 2

2R2 - 2RjR2- ^

знаходимо, що сторона правильного вось-

© Skripchenko Yu.

льного

a

миканита a8 = W 2 S , cгорона прaви-

шгcтнaдцятикyтникa

= W 2-V 2 + V2 , cторонa прaвильно-тридцятидвyxкyтникa

a32 = R^/2 ->J2 + yl2 + J2 . Тому можга припустити, що cторонa прaвильного впи-caного 2n -кyтникa при будь-якому n > 2 обчиcлюeтьcя зa формулою

•*1б го

a

R

V

2-V2+V2+I.+V2 .

2. Припycтимо, що cгоронa прaвильно-го впиcaного 2n -кyтникa вирaжaeтьcя формулою (1). 3a формулою подвоeння

-

2 R2 - 2 R

2 -J 2 + ... + V2

R2- R2

R

V

2—у/ 2 + 72+" + V2

и-1 ââ3éîê

звГдки випливae, що формyлa (1) прaвильнa для вcix нaтyрaльниx знaчeнь п . Вщповщь:

a

R

V

2-V2+V2+T.+V2 .

и- 1 двшок

Зауваження. Дaнa зaдaчa e зaдaчeю нa вивeдeння формули, яга нaпeрeд нeвiдомa. При ïï розв'язaннi викориcтовyютьcя Гнду-ктивнГ мгркyвaння, якг мaють допомогти cформyлювaти гiпотeзy. Для довeдeння ви-cyнyтоï гiпотeзи i був викориcтaний метод мaтeмaтичноï Гндукци. Тaкг зaдaчi кориcно дaвaти учням для caмоcгiйного розв'язaння з мeтою розвитку ïx творчиx здiбноcтeй. При цьому доцГльно прaцювaти з зaдaчeю в кгльга сгатв: 1) знaxоджeння вирaзiв для конкрeгниx знaчeнь n=2, 22,^,24,^; 2) фо-рмyлювaння нпо^и; З) довeдeння гшоте-зи.

Задача 3 ([З], [15]). Довecти, що в опу-клому n -кутнику нe можнa вибрaти 6Гльш як n дiaгонaлeй тaк, щоб будь-якТ двГ з ниx мaли шгльну точку.

Розв'язання. Довeдeмо 6Гльш зaгaльнe твeрджeння: в опуклому n -кутнику да мо-жнa вибрaти бiльшe n cторiн тa дiaгонaлeй тaк, щоб будь-якГ двГ з ник мaли шГльну

точку. При n = 3 твeрджeння очeвиднe. Припустимо, що цe твeрджeння прaвильнe для довшьного опуклого n -кyтникa тa, ви-кориcтовyючи цe, довeдeмо його для довь льного (n +1) -кутник.

Припycтимо, що для (n +1) -кутник да твeрджeння нeпрaвильнe. Якщо з кожно'1' вeршини (n +1) -кутник виxодить нe 6í-льшe двоx вибрaниx cгорiн чи дiaгонaлeй, то в^ого ïx вибрaно нe бiльшe як n +1. Тому з дeякоï вeршини A вводить xочa б три вибрaниx сторожи чи дiaгонaлi AB, AC, AD . Hexaй AC лeжить мГж AB i AD. О^льки бyдь-якa cторонa чи дiaгонaль, якa виxодить Гз точки C i вГдмшш вГд CA , да можe одночacно пeрe-тигати AB i AD, то з C вводить ли-шe однa вибрaнa дiaгонaль CA .

Вщкинувши точку C рaзом з даго-нaллю CA , отримaeмо опуклий n -кутник, y якому вибрaно бiльшe n cгорiн тa даго-нaлeй, будь-якГ двГ з нж мaють шгльну точку. Отримaнa cyпeрeчнicть з припyщeн-ням.

Отж^, для (n +1) -кутник цe твeр-джeння прaвильнe. Зпдно з принципом мa-тeмaтичноï Гндукци твeрджeння прaвильнe для довГльного опуклого n -кутник.

Задача 4 ([4]). Дiaгонaлями, якГ нe да-рeгинaютьcя, опуклий n -кутник подiлeно ш трикутники тaк, що кожнa вeршинa n -кyтникa e вeршиною нeпaрного чиcлa три-кутникГв. Довecти, що n дiлитьcя нa З.

Розв'язання. 3acтоcyeмо метод мaтe-мaтичноï Гндукци. Для n = 1 i n = 2 твeр-джшня нe мae змТсту, a для n = З, тобто для трик^ни^, воно очeвиднe. Припусти-мо, що твeрджeння зaдaчi cпрaвeдливe для вcix многокутникГв з чдалом cгорiн n < k, i довeдeмо, що воно зaлишaeтьcя cпрaвeдли-вим i для (k +1) -кутникГв.

Hexaй P - довГльний (k +1) -кутник, який зaдовольняe умову зaдaчi, a LM -довшьш його дiaгонaль (риc. 1). О^льки L e cпiльною вeршиною дашрного чиcлa трикутникГв, то вcього з L виxодить пaрнe чиcло ^arc^a^ea Кожнa з циx дiaгонaлeй, вГдмшш вГд LM (a тaкиx дашрда чиcло), попaдae в одну з чacтин, нa якГ многокут-ник P розбивaeтьcя дiaгонaллю LM. То-

1ЗЗ

n-2 деток

n-2 ââJéi ê

4

му одна з частин (позначимо й р ) м^ить парне число таких даагоналей.

Позначимо через кiлькiсть дiагона-

лей, проведених в многокутнику Р1 з вер-шини L, через sM - кiлькiсть дiагоналей, проведених з вершини М, а через s2, s3,.., _ 1 - кiлькостi дiагоналей, проведених з вершин многокутника р . Тодi сума ^ = sL + s2 + s3 +... + я1_1 + sM буде парною, оскшьки в цiй сумi кожна дiагональ многокутника Р1 рахуеться двiчi. Парними

будуть i число (за побудовою многокутника р ) i числа я2, я3,..., 1 (бо з кожно! вершини многокутника Р проведено парне число даагоналей). Тому число яМ теж мусить бути парним.

Оскшьки з кожно! вершини многокутника р проведено парне число дiагоналей, то р задовольняе умову задачг Число його сторiн менше к, тому за припущенням ш-дукци I дiлиться на 3.

Розглянемо тепер другу частину р — р1 многокутника р . Вона теж розбита дiаго-налями на трикутники. Вiдрiзок LM буде стороною одного з них (позначимо його третю вершину через N ). Оскшьки з вершин L i М многокутника р — р1 проведено по непарному числу дiагоналей, то ввд-рiзки LN i MN мусять бути дiагоналями.

Таким чином, дiагоналi LM, LN i МЫ под^ють многокутник р на чотири частини: многокутники р1 , р, рд i трикут-ник LMN. Неважко довести, що многокутники р г рд теж задовольняють умову задачi. Числа сторш я i q цих многокут-никiв меншi вiд к, тому кожне з них д> литься на 3. Але тод! число сторiн многокутника р, що дорiвнюе к +1 = I + я + q — 3, теж дшиться на 3.

Задача 5. Знайти найбшьшу кiлькiсть замкнених паркашв, якi не перетинаються в мют з п будинками (паркан може ввдгоро-джувати один чи деюлька будинкiв, а та-кож вже ввдгороджент далянки; на терито-рй мiж будь-якими двома парканами повинен знаходитися хоча б один будинок).

Розв'язання. Доведемо, що шукана ю-лькiсть рiвна п. Якщо п = 1, то можна провести не бiльше одного паркану. Нехай будь-якi п будинкiв можна ввдгородити не бiльше нiж п парканами. Розглянемо п +1 будинок, мiж якими проведена деяка юль-юсть парканiв. Викинемо один iз парканiв. Тодi один з будинюв опиниться не ввдгоро-дженим ввд деякого iншого будинку, або ввд зовнiшньоi частини мiста (в протилеж-ному випадку паркан був би проведений не по правилам ). Не будемо розглядати цей будинок. Iншi п будинюв ввдгородже-т не бiльш нiж п парканами за припущенням. Тобто, вс п +1 будинки ввдгороджу-ються не бiльш нiж п +1 парканами. Зали-шилось вiдмiтити, що будь-якi п будинки можна ввдгородити п парканами (навколо кожного будинку побудувати один паркан так, щоб вш не перетинався з шшим).

Специфiка бiльшостi платметричних задач полягае в тому, що, за виключенням найпроспших, вони неалгоритмiчнi. Уст-шна робота над задачею вимагае: 1) вмшня геометрично тлумачити умову; 2) володш-ня фактичним матерiалом (ствввдношен-нями, формулами, теоремами), а також прийомами та методами розв'язання прос-тих задач. У пошуку розв'язання нетривiа-льну участь бере просторова уява i геомет-рична iнгуiцiя.

За сво!ми математичними здiбностями школярi подiляються на «геомегрiв» та «аналгтиюв». Першi, мiркуючи, оперують геометричними образами, а друп — математичними виразами. Гармотзащя двох форм математичного мислення — одне з головних завдань вчителя математики i шюльного курсу платметри. Однiею з форм роботи, що сприяе цьому, е розв'язання платметричних задач методом математично! !ндукци.

Доб1рка задач для самостйногорозв'язання

1. Довести, що квадрат можна роздши-ти на п квадратов для будь-якого п, почи-наючи з шести.

2. Довести, що правильний трикутник можна розрiзати на п правильних трикут-ниюв для будь-якого п, починаючи з шести.

3. У квадрат! 128 х 128 вирiзали одну

© 8кпрсЬепко Уи.

кттинку 1 х 1. Довести, що отриману ф!гу-ру можна замостити фiгурами, що е куточ-ками з трьох кттинок 1 х 1.

Вказ1вка. провести шдукцш за квадратами 2п х 2п.

4. На площиш дано 2п +1 точок, як! е вершинами деякого опуклого (2п +1) -кутника. Побудувати (2п +1) -кутник, для якого ц точки е серединами сторш.

Вказ1вка. при доведены кроку вдукци ввд 2п +1 точки до 2п + 3 точок

^ A2,..., А2„+!, А2„+2 , А2п+3 викориСтати

припущення шдукци стосовно точок А1, А2,..., А2п+1, А, де А - четверта вершина паралелограма А2п+1, А2п+2, А2 п+3, А .

5. Довести, що п р!зних прямих, як! лежать у площиш ! проходять через одну точку, под!ляють площину на 2п частин.

6. Довести, що п кш, як! лежать в однш площиш, под!ляють площину не бшьш шж на п2-п+2 частин.

7. Довести, що п попарно не паралель-них прямих, як! лежать на однш площиш ! жодш 3 з яких не проходять через одну то-

1 2

чку, подшяють площину на — (п + п + 2) частин.

8. Точки А1, А2,..., Ап розташоваш на

площиш так, що кожш 4 з них лежать у вершин! опуклого 4-кутника. Довести, що вс точки лежать у вершинах опуклого п-кутника.

9. На площиш задано наб!р з п векто-р!в, довжина кожного з яких не перевищуе 1. Доведгть, що замшивши деяю вектори цього набору на протилежш, можна одер-жати наб!р вектор!в, сума яких мае довжи-ну, що:

а) не перевищуе 4п ; б) не пере-вищуе

10. Опуклий многокутник будемо на-зивати «красивим», якщо виконуються так! умови: а) кожна його вершина пофарбова-на в один з трьох кольор!в; б) будь-яю дв! сусвдш вершини многокутника пофарбова-ш в р!зш кольори; в) для кожного з трьох даних кольор!в знайдеться принаймш одна вершина многокутника, пофарбована в цей ттр. Доведгть, що будь-який «красивий»

п-кутника (п > 3 ) можна розр!зати д!агона-лями, як! не перетинаються, на «красив!» трикутники.

11. Дано п довшьних квадрапв. Доведгть, що 1х можна розр!зати на частини так, що !з одержаних частин можна було б скласти один великий квадрат.

12. На площиш дано 2п+1 точок, як! е вершинами опуклого (2п+1)-кутника. По-будуйте (2п+1)-кутник, для якого ц точки е серединами його сторш.

13. На прямш вибрали п р!зних точок А1, А2,..., Ап. Нехай M - множина середин ввдр!зюв AiAj, 1 < ¡< ] <п . З яко! най-

меншо! кшькосп р!зних точок може скла-датися множина M ?

Вказ1вка: у випадку, коли координати даних точок утворюють арифметичну про-гресш, множина M складаеться з 2п — 3 р!зних точок. Доведгть методом математи-чно! !ндукци, що з меншо! кшькосп точок множина M складатись не може. В1дпо-в1дь: 2п - 3 .

14. Дано дв! паралельш прям! l ! /1. За допомогою одше! лЫйки роздшити ввдрь зок АВ прямо! / на п р!вних частин.

15. Користуючись циркулем даного розхилу а та лЫйкою, побудувати ввдр>

„ а

зок, р!вний —.

п

16 ([5]). Дано точки А , В1, В2, Вп

(п - фксоване натуральне число), як! лежать на однш прямш. Провести через точку А таку пряму /, щоб сума ввдстаней до не! ввд точок В1, В2 ..., Вп дор!внювала ввд-

сташ м!ж даними точками M! N .

17 [6]. На площиш задано точки А1, А2,..., А2п. Знайти геометричне мюце точок, сума квадрапв ввдстаней яких до заданих точок, е сталою величиною с2 ! бшьшою квадрата максимально! ввдсташ м!ж двома заданими точками.

18 ([1]). На скшьки частин далять пло-щину п прямих «загального положення», тобто таких, що шяю дв! непаралельш ! гаям три не проходять через одну точку?

19 ([1]). Площина подшена на область кшькома прямими. Довести, ц обласп мо-жна розфарбувати в два кольори так, що

довшьи двi сумiжнi област були пофарбо-ват в pi3Hi кольори.

20. Вивести формули для обчислення радiусiв rn i Rn вписаного i описаного кiл

правильного 2n -кутника, який мае заданий периметр P.

21. Визначити суму внутрiшнiх купв n -кутника (не обов'язково випуклого).

22. [6] На площит дано коло i n -точок, вписати в коло n -кутник сторони якого проходять через задат точки.

Вказ1вка. Розглянути бшьш загальну задачу про побудову n -кутника, k -сумiжних сторш якого проходять через k заданих точок, а решта n - k сторiн пара-лельнi заданим прямим. Розглянути шдук-цiю по k . Ця задача ствпаде з початковою при k = n.

1. АлфутоваН.Б.. Алгебра и теоргя чисел. Сборник задач для математических школ / НБАлфутова A.B. Устинов. -М.: МЦНМО, 2002. - 264 с.

2. Виленкин Н.Я. Современные основы школьного курса математики / НЯВиленкин, К.И.Дуничев, ЛА.Калужнин, АА.Столяр. -М.: Просвегцение, 1980. -240 с

3. Вишенський В А. Укратсьш математичш олттади: дов1дник / ВАВишенський, О.Г.Ганюшкм, МВКарташов В1Михашоваький, ГЙЛризва МЙЯдренко. -К.: Вища школа, 1993.-415с.

4. Вишенський В А. Сборник задач киевских математических олимпиад / В.А.Вишенський, Н.В.Карташов, В.И.Михайловский, М.И.Ядренко. - К.: Вища школа, 1984. - 240 с.

5. Вишенський В А. Дано ттьки точки / ВАВишенський, В.1.Сущанський. - К.: Вища шк., 1988.

- 95 с.

6. Головина ЛИ. Индукция в зеометри / ЛИГоловина, ИМ.Яглом. - М.: Наука, 1961. -99 с.

7. Дынкин Е.Б. Математические задачи / Е.Б.Дынкин, САМолчанов, АЛ.Розенталь, АН.Толпыго. -М.: Наука, 1971. - 80 с.

8. Завало С. Т. Алгебра и теоргя чисел. Практикум: В 2-х ч. /С.Т.Завало, С.С.Левигценко, В.ВЛылаев. -К : Вища школа. Головное изд-во, 1983. - Ч.1. - 232 с.

9. Каченовский М.И. Алгебра и начала анализа. Ч.1 / МИКаченовский, ЮМКолягин, Г.Л.Луканкин, ГНЯковлев. - К.: Вищ школа, 1979. - 312 с.

10. Колмогоров А.М. Алгебра i початки анал1зу: навчальний пойбник для учтв 9 класу середньоХ школи / АМ.Колмогоров, Б.Ю.Вейц, 1.Т.Демидов, О.С.1вашов-Мусатов, С.1Шварцбурд. - К.: Рядянська школа, 1979.

- 223 с.

11. Конягин С.В. Зарубежные математические олимпиады /С.В.Конягин, ГА.Тоноян, И.Ф.Шарыгин и др. -М.: Наука, 1987. - 416 с.

12. Нкулт О.В. Геометры: Логлибл. курс: 7-9 кл.: навч. посбник / О.ВШкулт, О.Г.Кукуш. - К: 1рпнь: ВТФ «Перун» 1999. - 352 с.

13. Лойа Д. Какрешать задачу / ДЛойа. - Львов: Квантор, 1991. - 214 с.

14. Лрацьовитий М.В. Барицентрична система координат на прямш, площит, та в просторi / МВ.Лрацьовитий, Л.Л.Креш. - К.: НЛУ мМЛДрагоманова, 2009. - 60 с.

15. Сарана О А. Математичш олттади: просте i складне поруч: навч. поабник / ОА.Сарана. - К.: Вид-во А.С.К., 2004. - 344 с.

16. Соминский И.С. О математической индукции / И. С. Соминский, Л.И.Головина, ИМЯглом. - М.: Наука, 1967. -144 с.

17. Ястськш В А. Задач математичних олтш-ад / ВАЯстсыкий. - Тернопть, 2008.

Резюме. Скрипченко Ю.А. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ В ГЕОМЕТРИИ.

В статье обсуждается роль, место и значение математической индукции при решении планиметрических задач, а также методика формирования умения им пользоваться при решении разных типов геометрических задач. Предлагается подборка задач для самостоятельного решения.

Ключевые слова: планиметрическая задача, метод математической индукции, будущий учитель математики, внеклассная работа и работа в математическом кружке.

Abstract. Skripchenko Yu. THE METHOD OF MATHEMATICAL INDUCTION IN GEOMETRY. In the paper we discuss a role, position and value of the method of mathematical induction for solving of planimetric problems as well as a methodology offormation of skills to use this methodfor solving of different types of geometric problems. A collection ofproblems for unaided solving are proposed.

Key words: planimetric problem, method of mathematical induction, future teacher of mathematics, out-of-class and workshop work.

Стаття представлена професором М.В.Працьовитим.

На^йшла доредакцп 5.04.2011 р.