CC BY
42
Численные методы расчета конструкций
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ В ИССЛЕДОВАНИИ ДОРОЖНЫХ ОДЕЖД ПРИВОЗДЕЙСТВИИ РЕАЛЬНОЙ ТРАНСПОРТНОЙ НАГРУЗКИ
Г.Л. КОЛМОГОРОВ, доктор технических наук, профессор, В.И. КЫЧКИН,кандидат технических наук, доцент, И.А. ЕСИПЕНКО, аспирант.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»;
614990, г. Пермь - ГСП, Комсомольский проспект, д. 29, eia@rtural.ru.
Предложена модель применения метода конечных разностей к расчету динамических характеристик дорожной конструкции. Представлены разрешающие рекуррентные соотношения, позволяющие установить амплитудно-временные и амплитудно-частотные характеристики с учетом вязкоупругих свойств материалов. Получены результаты вычислительного эксперимента при варьируемых значениях физико-механических характеристик.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: дорожная конструкция, метод конечных разностей, рекуррентные соотношения, чаша прогиба, активная масса, собственная частота колебаний.
Введение
В настоящее время в области моделированиядинамического поведения дорожных одежд достигнут значительный прогресс. Теоретические и экспериментальные исследования, связанные с вибрационными процессами дорожных конструкций, представлены в трудах научных школ А.В. Смирнова, С.К. Илиопо-лова, М.В. Немчинова, В.П. Матуа, Е.В. Угловой, В.А. Осиновской, где показано, что динамика оказывает существенное влияние на транспортно-эксплуатационное состояние дороги.Однако, исследования отечественных и зарубежных специалистов и использование различных тестовых методов, приводят к широкому диапазону результатов, характеризующих динамику дорожных конструкций[1-9].По-видимому, данная ситуация складывается по нескольким причинам: регламентирующие документы на проектирование автомобильных дорог [10] не нормируют динамический характер работ функциональных слоев дорожной конструкции; свойства применяемых местных строительных материалов для строительства дорог могут существенно отличатся; климатические условия эксплуатации дорог разнообразны; скорость движения и силовые воздействия носят нестационарный характер ввиду многообразия типов и моделей автотранспортных средств; на этапе производства дорог высокая вероятность снижения эффективности системы управления качественного выполнения строительных задач.Настоящая статья посвящена разработке экономичного конечно-разностного метода расчета параметров динамических процессов дорожной одежды в условиях реальной транспортной нагрузки с целью создания и развития предпосылок интеллектуализации системы обеспечения технологичности транспортной отрасли [11].
Моделирование поведения дорожных одежд
В результате действия нагрузки от движущегося транспортного средства образуется «чаша прогиба» (рис.1).После проезда транспортного средства активная масса дорожной одежды под«чашей прогиба» совершает колебательное движение. Диаметр «чаши прогиба» зависит от скорости транспортного средства и от величины осевой нагрузки[12].
1 - дорожная одежда, 2 - активная масса, Н- толщина дорожной одежды, О- диаметр «чаши прогиба», V- скорость, Р- нагрузка
Рис.1. Модель взаимодействия движущейся нагрузки и дорожной одежды.
Рассматривается плоская модель дорожной конструкции. Динамическое равновесие вязкоупругого деформируемого твердого тела (в рамках гипотезы о малых деформациях) описывается системой уравнений [13]: - равновесия:
доТг + даТ7 д2и
дх дг
даХ7 + да77 д2№
дх дг
(1)
геометрических:
ди
дх' дю
- физических:
^гг
1 /ды 2\дх
дг ' 1 /дю ди~
= + Я
(2)
д£г
де,
= (Я + 2 С)£хх + Я£22 + Ц+ 2Г1)^
д£ д£
= (Я + 2С)Е22 + Л£хх + ($ + 2г))-^+%- "
дг
дг
(3)
тХ2 = 2 С£хх
+ 2ц ■
д£„
дг
(4)
- с кинематическими граничными условиями:
(и = и'
и = №.
Здесь обозначено:ст^- и - тензоры напряжений и малых деформаций, и и ж - перемещения вдоль координатных осей, р - плотность материала, А и б -коэффициенты Ламе, ^и ^ - коэффициенты вязкости.
Для описания связи между напряжениями и деформациями с учетом демпфирования использована вязкоупругая модель Кельвина-Фойгта.
Отношение коэффициентов вязкости принимаем в соответствии с (5).
(5)
Вводим обозначение для отношения коэффициентов упругости к коэффициентам вязкости, этот коэффициент запишем в виде [14]:
1 = 1 = $+271 Л С Л+2С
■ = в.
(6)
С учетом (6) запишем (3) в виде:
=
(А + 2С)( (Я + 2С)
дгл
£хх + в~Ш
+ 6
д£г.
+ 0
дг.
дЬ
д£хх • + л хх
(7)
^ = 2С
Подставим геометрические соотношения (3) в физические (7)
(ди д2и\ /дw д2w
= а + 2с)( —+ 0^7)+А(—+0
дх
дхдЬ д2ш
= (Я+2С)|£+0^
дгдг ди д2и дх дхдЬ
(8)
I ды ди = — + —
+ — +в
( д2ш
+
д2и
\дх'дг'" \dxdt ' дгдЬ
Подставляем соотношения (8) в (1), получим (д2и д3и\ (д2™
дх2
дх2д1/ д2и д3и дх2 дг2дЬ
дхдг д2и
= Р
дг-
(Л+ 26)
д2лм
дг2
+ в
д3ш дг2дг
+ (А + С)
( д2и
д2ш д3w \
дхдг д2ш
+ в
д3ш дхдгд1
д3и дхдгд1
+
(9)
+
дх2 дх2дг) г дг2 Полученные соотношения являются уравнениями Ламе с учетом вязкоуп-ругих свойств материала среды.
Определяющие соотношения Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений при задании граничных и начальных условий затруднительно, поэтому воспользуемся численным методом конечных разностей.
Представим реализацию разностной схемы, приближенно описывающую данную систему дифференциальных уравнений,в три этапа[15].На первом этапе заменяем область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения.На втором этапе заменяем дифференциальные операторыразно-стными.На третьем этапе сформулируем разностный аналог для граничных условий и для начальных данных.
В уравнениях (9) присутствуют два независимыхаргумента по координате и аргумент по времени. Координатную плоскость Х02 представим сеткой с шагом к. Шаг по времени принимаем т (рис. 2).
Н(Х,2) у(х+Ь,г) Г
н(х-Ь,2+Ы Н(Х,2+Ь)
Рис.2. Дискретизация координатной и временной областей.
Заменим дифференциальные операторы разностными:
д2и _ и&+т)-2и+и&-т)
аТ2"
д12 д2и
дх2
т2
ы^+т)- -г)
и(х+Н)- т2 -2и+и(х- ? п)
Ь2 ?
ю(г+1г) -2'м+'м(г -П)
дг2 К2
д3и _ и(х+Н)-2и+и(х-Н) и(х+Н^-т)-2и&-т)+и(х-Н^-т)
дх2дг = ~г ~г '
д3№ _ и'(г+Н)-2и'+и'(г-Н) ш(х+Л,£:-т)-2ш(£:-т)+ш(х-Л,£:-т)
дг2дг = ~г ~г '
д2и _ и(х+Н;г+Н)+и(х-Н;г-Н)-и(х+Н;г-Н)-и(х-Н;г+Н)
дхдг АН2 '
д2ж _ ш(х+Л;г+Л)+ш(х-Л;г-Л)-ш(х+Л;г-Л)-ш(х-Л;г+Л)
дхдг АН2 '
д3и и(х + К; г + К) + и(х — К; г — К) — и(х + — К) — и(х — К; г + К)
дхдгдЬ = 4КГи (10)
и(х+Л;г+Л,£:-т)+и(х-Л;г-Л,£:-т)-и(х+Л;г-Л,£:-т)-и(х-Л;г+Л,£:-т)
аКч '
д3ш
дхдгдг
ы(х + к;г + К) + ы(х — К; г —К) — ы(х + — К) — ы(х — К; г + К)
4К2т
ш(х+Л;г+Л,£:-т)+ш(х-Л;г-Л,£:-т)-ш(х+Л;г-Л,£:-т)-ш(х-Л;г+Л,£:-т)
АЬ2^ '
д2и _ и(г+К)-2и+и(г-К)
~д.Т2 = Ь2 '
д2№ _ и'(х+Н)-2и'+и'(х-Н)
Т^2 = Ь2 '
д3и _ и(г+К)-2и+и(г-К) и(г+Н^-т)-2и^-т)+и(г-Н^-т)
дг2дг = ~г ~г '
дх2дЬ К2т К2т
После подстановки (10) в (9) получаем рекуррентные соотношения: и(г + т) =
2 Г^ _т2(Я+ЗС)(1+Л^)1 и + т2(Л+2С)(1+Ап)[и(х+к)+и(х-к)] +
I рк2 1 1 рк2
т2(Л+С)(1+Ац)[ш(х+к,г+к)+ш(х-к,г-к)-ш(х+к,г-к)-ш(х-к,г+к)]
4рк2
+ т2с(1+Л^)[и(г+Ь)+ц(г-Ь)] — — 2 ц(£-т) —
рк2 I рк2 1 1
Ап т2 (Я+2 С) [и(х+к,1-т)+и(х-к,1-т)]
рк2
АГ1т2(1+С)[ш(х+к,2+к,1-т)+ш(х-к,2-к,1-т)-ш(х+к,2-к,1-г)-ш(х-к,2+к,1-г)]
4рк2
Л^т2С[и(г+й,£-т)+и(г-й,£-т)] + Т) =
т2(Я+ЗС)(1+Л^)1 Ш т2(Я+2С)(1+Ау)[ш(г+к)+ш(г-к)]
I рк2 1 1 рк2
т2(Л+С)(1+Ац)[и(х+к,г+к)+и(х-к,г-к)-и(х+к,г-к)-и(х-к,г+к)]
4рк2
+ т2с(1+Ац)[щ(х+к)+щ(х-к)] Г 2 АуТ2(Л+ЗСЦ щ(£-т) рк2 I рк2 1 1
Апт2 (Я+2 в) [ш(г+Л,£-т)+№(г-Л,£-т)]
рк2
Л^т2(Я+С)[и(х+Л,г+Л,£-т)+и(х-Л,г-Л,£-т)-и(х+Л,г-Л,£-т)-и(х-Л,г+Л,£-т)]
4рк2
(11)
где Ал = -;^ = ;с = Е - модуль упруг0сти, м - коэффициент Пу-
ассона, ^ - коэффициент динамической вязкости.
Для определения достаточного условия устойчивости применяется «испытание» разностной схемы с помощью теста «шахматная доска» [14].
Особенность данных рекуррентных соотношений заключается в построении конфигурации под«чашей прогиба» деформированной дорожной одежды в два первоначальных момента времени£ и£ — т(Рис.3). В этом случае задаем пе-ремещенияв узлах сетки, моделируя отклонения узлов из положения равновесия, которые в дальнейшем совершают собственныеколебания, моделируем движение активной массы. Основное достоинство описанной вычислительной процедуры состоит в том, что фактически не нужно решать совместно систему уравнений. На каждом временном шаге решаются отдельные уравнения с одним неизвестным на верхнем временном слое + т) [16].
Вычислительный эксперимент.
В качестве вычислительного эксперимента была принята возмущенная зона дорожной одежды с параметрами: геометрические характеристики И = 1,9 м, Н = 1 м, шаг по координате И = 0,1 м, шаг по времени т = 10-4с (удовлетворяет достаточному условию устойчивости решения). Начальныеи граничные условия показаны на рис. 4.Для начальных условий принимаема (¿) = и(Ь — т), = — т), что означает равенство нулю скоростей всех точек в начальный момент времени. В предположении, что вне активной массы колебания отсутствуют, были введены фиктивные слои с нулевыми перемещениями, которые соответствуют граничным условиям защемления [16].
Физико-механические характеристики дорожной одежды приведены в табл. 1.
Таблица 1
Приведенные физико-механические характеристики дорожной одежды
№ эксперимента V- Е, МПа р, кг/м Па*с
1 100
2 0,3 300 2000 1000
3 10000
На рис. 5 показан отклик дорожной одежды на проезд транспортного средства при различных значениях коэффициента динамической вязкости.
U, мм
0,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,12 0,09 0,06 0,03 0,00 -0,03 -0,06 -0,09 -0,12 -0,15 -0,12 -0,09 -0,06 -0,03 0,00
0,00 0,02 0,03 0,05 0,06 0,08 0,06 0,05 0,03 0,02 0,00 -0,02 -0,03 -0,05 -0,06 -0,08 -0,06 -0,05 -0,03 -0,02 0,00
0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 -0,01 -0,01 -0,02 -0,02 -0,02 -0,01 -0,01 0,00 0.00
0,00 0,00 -0,01 -0,01 -0,02 -0,02 -0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00
0,00 -0,01 -0,02 -0,03 -0,04 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00
0,00 -0,02 -0,03 -0,05 -0,06 -0,08 -0,06 -0,05 -0,03 -0,02 0,00 0,02 0,03 0,05 0,06 0,08 0,06 0,05 0,03 0,02 0,00
0,00 -0,02 -0,03 -0,05 -0,07 -0,08 -0,07 -0,05 -0,03 -0,02 0,00 0,02 0,03 0,05 0,07 0,08 0,07 0,05 0,03 0,02 0,00
0,00 -0,02 -0,03 -0,05 -0,06 -0,08 -0,06 -0,05 -0,03 -0,02 0,00 0,02 0,03 0,05 0,06 0,08 0,06 0,05 0,03 0.02 0,00
0,00 -0,01 -0,03 -0,04 -0,05 -0,07 -0,05 -0,04 -0,03 -0,01 0,00 0,01 0,03 0,04 0,05 0,07 0,05 0,04 0,03 0,01 0,00
0,00 -0,01 -0,02 -0,02 -0,03 -0,04 -0,03 -0,02 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,02 0,03 0,04 0,03 0,02 0,02 0,01 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ().()()
W, мм
0,00 0,29 0,54 0,77 0,96 1.13 1,26 1,37 1,44 1,49 1,50 1,49 1,44 1,37 1,26 1,13 0,96 0,77 0,54 0,29 0.00
0,00 0,26 0,49 0,69 0,86 1,01 1,13 1,23 1,30 1,34 1,35 1,34 1,30 1,23 1,13 1,01 0,86 0,69 0,49 0,26 0,00
0,00 0,23 0,43 0,61 0,77 0,90 1,01 1,09 1,15 1,19 1,20 1,19 1,15 1,09 1,01 0,90 0,77 0,61 0,43 0,23 0,00
0,00 0,20 0,38 0,54 0,67 0,79 0,88 0,96 1,01 1.04 1,05 1,04 1,01 0,96 0,88 0,79 0,67 0,54 0,38 0,20 0,00
0,00 0,17 0,32 0,46 0,58 0,68 0,76 0,82 0,86 0,89 0,90 0,89 0,86 0,82 0,76 0,68 0,58 0,46 0,32 0,17 0.00
0,00 0,14 0,27 0,38 0,48 0,56 0,63 0,68 0,72 0.74 0,75 0,74 0,72 0,68 0,63 0,56 0,48 0,38 0,27 0,14 0,00
0,00 0,11 0,22 0,31 0,38 0,45 0,50 0,55 0,58 0,59 0,60 0,59 0,58 0,55 0,50 0,45 0,38 0,31 0,22 0,11 0.00
0,00 0,09 0,16 0,23 0,29 0,34 0,38 0,41 0,43 0,45 0,45 0,45 0,43 0,41 0,38 0,34 0,29 0,23 0,16 0,09 0.00
0,00 0,06 0,11 0,15 0,19 0,23 0,25 0,27 0,29 0,30 0,30 0,30 0,29 0,27 0,25 0,23 0,19 0,15 0,11 0,06 0,00
0,00 0,03 0,05 0,08 0,10 0,11 0,13 0,14 0,14 0,15 0,15 0,15 0,14 0,14 0,13 0,11 0,10 0,08 0,05 0,03 0.00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0,00 0.00 0,00
Рис.4. Начальные и граничные условия.
7} = 100 Па ■ с
■с,от 0.001
7J = 1000 Па - с
-O.OQ1 0.001
Г) = 10000 Па ■ с
IfyVWw-
Рис.5
Из рисунка видно, чтос ростом коэффициента динамической вязкости, колебания затухают более интенсивно.
Результат расчета амплитудно-частотной характеристики вертикального перемещения шдля принятого узла, при варьировании приведенного модуля упругости представлен на рис.6. Физико-механические характеристики дорожной одеждыприведены в табл. 2.
Таблица 2
Приведенные физико-механические характеристики дорожной одежды
№ эксперимента V- Е, МПа р, кг/м ц, Па*с
1 300
2 0,3 400 1500 100
3 500
Рис.6
Обработка результатов расчета с использованием процедуры быстрого преобразования Фурье (БПФ) в диапазоне частот/ от 0 до 1200 Гц представлены в табл.3, из которой видно, что с ростом приведенного модуля упругости мате-риала,растет собственная частота колебаний.
Таблица 3. Обработка результатов расчета
Е, МПа Л, Гц /2, Гц /з, Гц /4, Гц
300 237 486 698 916
400 273 559 808 1062
500 305 627 906 1194
Амплитудно-частотная характеристикавертикального перемещения ж дорожной конструкции в принятом узле при изменении плотности приведена на рис.7. Приведенные физико-механические характеристики дорожной одежды записаны в табл.4.
Таблица 4. Приведенные физико-механические характеристики дорожной одежды
№ эксперимента V- Е, МПа р, кг/м ц, Па*с
1 1500
2 0,3 300 2000 100
3 2500
Обработка результатов расчета с использованием процедуры БПФ в диапазоне частот/; от 0 до 1200 Гц представлены в табл.5, из которой видно, что с ростом плотности среды, спектр смещается в низкочастотную область.
Таблица 5. Обработка результатов расчета
р, кг/м Л, Гц /2, Гц /з, Гц /4, Гц
1500 237 486 698 916
2000 205 420 603 791
2500 186 376 540 706
o,cooi:
Рис.7 Выводы
1. Предложен конечно-разностный метод для определения спектра собственных частот и амплитуд колебаний дорожной конструкции с учетом изменения физико-механических характеристик.
2. Теоретически показана возможность учета реальных транспортных нагрузок путем задания конфигурации чаши прогиба в качестве начального состояния элементов расчетной модели.
3. В вычислительном эксперименте осуществлено моделирование затухающих колебаний, на основании которых восстанавливается спектр собственных частот.
4. Получена достаточно полная информация о колебаниях дорожной конструкции в удобном для анализа виде.
5. Использование полученных результатов расчета применительно к условиям моделирования реальных процессов нагружения автомобильной дороги позволяет уточнить динамические характеристики, что позволяет повысить качество принимаемых решений о техническом состоянии эксплуатируемых автомобильных дорог в процессе их диагностики.
Литература
1. Илиополов С. К., Селезнев М.Г., Углова Е.В. Динамика дорожных конструкций: Монография - Ростов н/Д: Рост.гос. строит. ун-т, 2002. - 258 с.
2. Осиновская В.А. Разработка теории вибрационного разрушения нежестких дорожных одежд и путей повышения их долговечности. Автореф. дисс. на соиск. уч. степени д.т.н. - Москва, 2011. - 43 с.
3. Углова, Е. В. Теоретические и методологические основы оценки остаточного усталостного ресурса асфальтобетонных покрытий автомобильных дорог: дис. на соиск. уч. степ.д-ра техн. наук / Е. В. Углова. - Ростов - на - дону., 2009. - 372 с.
4. Матвеев С. А., Немировский Ю. В. Армированные дорожные конструкции: моделирование и расчет. - Новосибирск: Наука, 2006.- 348 с.
5. Илиополов С.К., Селезнев М.Г. Разработка математических моделей и исследование на их основе энергетических характеристик воздействия автотранспорта на дорожную конструкцию и распределение колебаний в элементах системы «дорожная конструкция грунт» // Дороги России. - 2003. - № 8. - С. 49-51.
6. Немчинов М.В., Осиновская В.А. Заметки о расчете дорожных одежд // Наука и техника в дорожной отрасли. - 2011. - № 1. - С. 34-36.
7. Матуа В.П., Баранова Е.М., Чирва Д.В. Совершенствование методов проектирования нежестких дорожных одежд // Вестник ХНАДУ. - 2006. - № 34-35. - С. 23-25.
8. Kwan A.K.H., Ng P.L. Effects of traffic vibration on curing concrete stitch: Part I -test method and control program // Engeneering Structures. - 2007. - Vol. 29. - P. 28712880.
9. Zhao Yan-ging, Zhou Chang-kong, Wang Guo-zhong, Wang Zhi-chao Dalian ligong-daxuexuebao // Dalian Univ. Technol. - 2011. - №1. - Р. 73-77.
10. ОДН 218.046-01. Проектирование нежестких дорожных одежд. - М., 2001. -116 с.
11. Колмогоров Г.Л., Кычкин В.И., Есипенко И.А. Интеллектуализация вибродиагностической лаборатории автомобильных дорог // Вестник ПНИПУ «Охрана окружающей среды, транспорт, безопасность жизнедеятельности». - 2013. - №1. - С. 69-77.
12. Лугов С.В. Основные положения методики расчета глубины колеи на дорожных одеждах с асфальтобетонным покрытием. Дис. ... канд. техн. наук. - М., 2004. - 267 с.
13. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности: Учеб.пособие для студентов вузов. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш. школа, 1982. - 264 с.
14. МаквецовЕ.Н. Модели из кубиков. - М.: Сов.радио, 1978. - 192 с.
15. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971. - 552 с.
16. Маквецов Е.Н., Тартаковский А.М.Механические воздействия и защита радиоэлектронной аппаратуры: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1993. - 200 с.: ил.
References
1. Iliopolov, S. K., Seleznev, M.G., Uglova, E. V. (2002). Dinamika dorozhnyh konstruktciy. Monografiya, Rostov n/D: Rost. gos. stroit. un-t, 258 s.
2. Osinovskaya, V.A. (2011). Razrabotka teorii vibratcionnogo razrusheniya nezhestkih dorozhnyh odezhd i putei povysheniya ih dolgovechnosti, Avtoref.diss. nasoisk.uch. stepenid.t.n, Moskva, 43 p.
3. Uglova, E.V. (2009). Teoreticheskiei metodologicheskie osnovy ocenki ostatochnogo ustalostnogo resursa asfaltobetonnyh pokrytiy avtomobilnyh dorog: Dis. na soisk. uch. step. d-ratehn. nauk, Rostov-na- Donu., 372 p.
4. Matveev, SA., Nemirovski,Y. V. (2006). Armirovannye dorozhnye konstruktcii: modelirovanie i raschet, Novosibirsk: Nauka, 348 p.
5. Iliopolov, S.K., Seleznev, M.G. (2003). Razrabotka matematicheskih modeley i issledovanie na ih osnove energeticheskih harakteristik vozdeistviya avtotransporta na dorozhnuyu konstruktciyu i ra-spredelenie kolebaniy v elementah sistemy «dorozhnaya konstruktciya grunt», Dorogi Rossii, № 8, pp. 49-51.
6. Nemchinov, M.V., Osinovskaya, V.A. (2011). Zametki o raschete dorozhnyh odezhd, Nauka i tehnika v dorozhnoy otrasli, № 1, pp. 34-36.
7. Matua, V.P., Baranova, E.M., Chirva, D.V. (2006). Sovershenstvovanie metodov proektirova-niya nezhestkih dorozhnyh odezhd, VestnikHNADU, № 34-35, pp. 23-25.
8. Kwan, A.K.H., NgP.L.(2007). Effects of traffic vibration on curing concrete stitch: Part I - test method and control program, Engeneering Structures, Vol. 29, pp. 2871-2880.
9. Zhao Yan-ging, Zhou Chang-kong, Wang Guo-zhong, Wang Zhi-chao(2011). Dalian ligongdax-uexuebao, Dalian Univ. Technol., №1, pp. 73-77.
10. ODN 218.046-01. Proektirovanie nezhestkih dorozhnyh odezhd, M., 2001, 116 p.
11. Kolmogorov G.L., Kychkin V.I., Esipenko I.A. (2013). Intellektualizatciya vibrodiagnosti-cheskoiy laboratorii avtomobilnyh dorog, Vestnik PNIPU «Ohrana okruzhayushchey sredy, transport, bezopasnost zhiznedeyatelnosti», №1, pp. 69-77.
12. Lugov S. V. (2004). Osnovnye polozheniya metodiki rascheta glubinykoleina dorozhnyh odezh-dakh s asfaltobetonnym pokrytiem, Dis. ... kand. tehn. nauk,M., 267 p.
13. Samul V.I.(1982). Osnovy teorii uprugosti iplastichnosti: Ucheb. Posobie dlya studentov vu-zov: 2-eizd., pererab., M.: Vyssh. shkola, 264 p.
14. Makvetcov E.N.(1978). Modeli iz kubikov, M.: Sov. radio, 192 p.
15. Samarski A.A.(1971). Vvedenie v teoriyu raznostnyh shem, M.: Nauka, 552 p.
16. Makvetcov E.N., Tartakovski,A.M. (1993). Mehanicheskie vozdeistviya i zashchita radioelek-tronnoi apparatury: Uchebnik dlia vuzov, M.: Radio i sviaz, 200 p.
THE FINITE DIFFERENCE METHOD IN PAVEMENTS RESEARCH WITH REAL TRANSPORT LOADING
G.L. Kolmogorov, V.I. Kychkin, I.A. Esipenko
The finite differences method application model to calculation of pavements dynamic characteristics is offered. The recurrence relationsallow establishing amplitude-time and amplitude-frequency characteristics taking into account viscoelastic material properties. Results of computing experiment are received at varied values of physic mechanical characteristics.
KEYWORDS: pavement, the finite differences method, recurrence relations, flexural bowl, active weight, free frequency.
