CC BY
104
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 519.63
А В. Аввакумов, П. Н. Вабищевич, А О. Васильев
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ НЕЙТРОНОВ В ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Посвящена вопросам моделирования активной зоны ядерного реактора. Рассматривается уравнение диффузии нейтронов в гексагональной геометрии, которое в операторной форме можно записать как обобщенную задачу на собственное значение. Ищем наименьшее собственное число, характеризирующее эффективный коэффициент размножения и соответствующую ему собственную функцию, описывающую стационарное распределение нейтронного потока. Для численного решения используется метод конечных элементов, реализованный в вычислительном пакете FeniCS [1], библиотека для решения спектральных задач SLEPc [2], а для построения и генерации сетки - программа Gmsh [3]. Для тестирования данной методики были рассмотрены несколько двумерных численных тестов.
Получены результаты в виде таблиц и графиков для тестов. Сделаны выводы по результатам расчета тестовых задач.
Ключевые слова: ядерный реактор, активная зона, ВВЭР, уравнение диффузии нейтронов, двухгрупповое приближение, эффективный коэффициент размножения, спектральная задача, метод конечных элементов, FEniCS.
A V. Avvakumov, P. N. Vabishchevich, A O. Vasiliev
The Method of Finite Elements for Neutron Diffusion Equations
in Hexagonal Geometry
The article is devoted to the issues of modeling the reactor core. The neutron diffusion equation in hexagonal geometry, which in operator form can be written as a generalized eigenvalue problem is observed. We search for the smallest eigenvalue, which characterizes the effective multiplication factor and the eigenfunction corresponding it, which describes the stationary distribution of the neutron flux. For the numerical solution finite element method, implemented in the computer package FeniCS, a library for solving spectral problems SLEPc, and for the construction and mesh generation - the program Gmsh were used. To test this methodology several two-dimensional numerical tests were considered. The results in the form of tables and graphs for the tests were got. Conclusions on the results of test calculations were made.
Key words: nuclear pile, core, Water-Water Energetic Reactor, neutron diffusion equation, two-group approximation, effective multiplication constant, spectral problem, finite elements method, FEniCS.
АВВАКУМОВ Александр Владимирович - с. н. с. Российского научного центра «Курчатовский Институт». E-mail: [email protected]
AVVAKUMOV Aleksandr Vladimirovich - Senior Scientific Researcher of the Russian Scientific Centre "Kurchatovsky Institute".
E-mail: [email protected]
ВАБИЩЕВИЧ Петр Николаевич - д. ф.-м. н., профессор Института проблем безопасного развития атомной энергетики РАН.
E-mail: [email protected]
VABISHCHEVICH Pyotr Nikolaevich - Doctor of Physical-Mathematical Sciences, Professor of the Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences.
E-mail: [email protected]
ВАСИЛЬЕВ Александр Олегович - ст. преп. кафедры прикладной математики и информатики ИМИ СВФУ им. М.К. Аммосова.
E-mail: [email protected]
VASILIEV Aleksandr Olegovich - Senior Lecturer of the Department of Applied Mathematics and Computer Science, the Institute of Mathematics and Informatics, the North-Eastern Federal University named after M.K. Ammosov.
E-mail: [email protected] - 7
Введение
Физические процессы, происходящие в ядерном реакторе [4], зависят от распределения нейтронного потока, математическое описание которого основывается на уравнении переноса нейтронов [5]. В общем виде это уравнение имеет интегро-дифференциальную форму, а искомое распределение потока нейтронов зависит от времени, энергии, прьстранственных и угловых переменных. Для практических расчетов ядерных реакторов, как правило, использнют упрощенные формы уравнения переноса нейтронов. Наибольшее распространение для анашна реакторов получило уравнение, известное как групповое диффузионное приближение, которое используется в подавляющем большинстве инженерных нейтронно-физических кодов [6-7]. В практике реакторных расчетов особое место занимает решение условно-критической задачи, которая в математическойп формулировке сводится к задаче на собственные значения, характеризующие эффекзианьш коэффициент размножения нейтронов [8]. Собственной функцией этой задачи является сэационарное распределение потока нейтронов.
Постановка задачи
В операторной фофме стаццинлфноц уравньсци переноса нейтронов в размножающей енсиемэ, ограниченньс областью О с выпуклой гциницей — можно записать в следующем виде (как обобщенную задачу на сеН севе нноезнзнение):
ес„
MF=XFФ,
-КСФеКИеНСФаеОФсЖ
К
у//
-К(ФсКФс) ОФасИс =ФсИе.
■ (аеФ/хИе О а^Ии),
32)
Фн от^-^Ф ие ^^ зъ,:2,
(3)
где п - внешняанормаль границы аН, у, - групповой альбедный параметр (логарифмическая производная). Решинльм уравнений (2)-(3) является эффективный коэффициент размножения нейтронов и
стационарное распределепие цеёэронного потсьа Ф(г). Одной из основных задач в физике ядертых реакторов является оценка разх—чных фдкoциoдллoт нейтронного потока. Определим нейтронную мощность Р(г) как следующий функционал:
Р =Л(ф/еИе ОФ/с Ис),
№
цее
аэе о оорффФционт еа з(реФ/ез
значение интегрельной мощности.
Ь^(^)^с^к^ОпЭоео[ииое)ая а1саеиоо(^^и1еция
Для численного решения задачи методом конечных элементов, уровнсФяя С2)-(с) необхоФимо я[)]и1з«;сти 1С вауиационной постановке [9]. (Зееквнык сплсооом перввода к^^(;Ссс[)е]С)с;н^р^Фас^всй Фадачи сс вариационную явшиются сиедтющиФ эвие>^ое^о[ умне^ение }^елк^нен1а1 нф нофю функцию v) иотеФрииование пояументого ураенения по кбла-си, самена пдотзводаых втораго пo]p)^[КC]ф черео интоьфиooвaниe по чаетам. Фyxкция к ндывфeкaя тестовсй фунмцноФ, а Фскомая функция -) л/сп0«))) <Дд)ФP)зг2еa. Iе) нашем ссссучае фы иаыдое уравнение умножаем на тестовую фунтцию, пертое -о на в_1, втоаее - аа уОи инте^зи.уем пиучннныФ ypayфeния по области Фф. Тогда мол^аем
где М - оператор, описывающий убыль (иоте^) нейтронов за счет процеанов переноса (ее'се^лЕ—), поглощения и рассеян—, е к - окeвaгoе,aптcPIсмEOщтй образование (генерацию) нейтронов за счет нраноснов деления и рассеяния из верхней области энергий. Наименьшее собственное число X xакаФтepвеyoт эффективный коэффициент размножпнрхт -ейквцаюк Ке=\/к, а соответствующая ему с oПрxвeФФае функция Ф(г) описывает стационарное расрxедсф0нив нейтронного потока в данной системе (г £
В двухгрупповом диффузионном пр еближсниис уравнение (1) имеет следующий вид:
-с рт э (Ф)КИ))o)Ли -с- PI0(Ь;cll о Ф^ ИОегГи = = ]?,-;M^P(1/.L•]Ь^0Ф^ "Г" П'с^ес<3>с) О2Ли,
10
— Р1° э ()Ь;CК)^с)lь2(ГJД ое Р^с ВсОсОи ы РтФр и-оСои.
Д^еФ ромовом ФepтI-lP ннгaIpaнд ф вомвф-ою
-ртегредованоог со рфcУя2o и испаныуем
фо-^!, пвэзoa-OoеpлoвпоoкoeФ раа ^з-^^рс^т,^^ (за поверхностному тнтегр алун
Рт э (Ф-КИ-)o-Оa = Oт(Ф-КИ-] ^о-) Ои - р е- о- ^ Ох,
Кв
Групповые паршетры Фн ци), Фа( (aГ, н( цм), Ф/Н в) -коэПфициФнт диффузии, маиyocечeниа иогл^хц^ни^, числн вторичных нейтмоеов в мaoдагeчтнмe делимом соответственно, а ФДи) = макросечмнке рве леяни;^. На границе области Заставятся условие кзьбeкногл ииыа:
((>р
рт э ())e^)0^)г7¡гЛи э 0Э(П2MФ2] эне) Ри - Рет Ф) нс—,?.
Hеaдф ио (3) и (М)иалмчнем еaooодо^yю уистану ураонен ий:
I (ФlКИпКО))еaT ) цм^ М- Фс) в^Уи о) I и^а1)-У;!-■'т 3т ■'ет
е ( с . (7)
= о— Ф ав-Ф/^- T2 а^Ф^2И-)) о-Ли, яу/Я Ут
1 ^))2)Iп 2]IГI)2) Ли о I Фас В)гI;2Лa о- у y2В)2I;)гЛsы I ФсИ)О2Лa.
■'т ■'т ■'ет ■'т
Полученнад вариационная задача формулируется следующим оПразам : нужно найти такие функции Че о У, еоторые ^у^овлетворяют систему уравнений (7) дхю оообых ые £ У, где V - пространство пробных фуноций, а У - пространство тестовых функций. Здесь у ы я£уу У ыы оофуу дее<г £Г1(УН - пространство Соболева, состоящее из функций ые наких, что
I 12
и | Зые | умеюы конлчный интелуал в Ф
Далее мы должны перейти от ыепрерывной вериационпой зыдачи (7) к дискретной задаче. Введем кннцчномерные пространства Фп н ф, 1В с Ф и опре-дехыш в них дизыфетную задачу: найти Феп Т 1ф такие, цпо
.Пс(£)1РФ1п, гухп) мг + /с(^а1 + И-) ФепТцПг +
Т Пяо11 И^г^Ое
(8)
Ч^ПФ^, Ог + /;/а2 O^ydr +
+ Ч)012 И уИссПе = Чв = уОк
И кочостве п]эостр1^жгв (^yaieii ксполкичовте стмщартные орортранства Лагранжевых n0flKH0My1 [lO-2-. у1е^опие£]в греввсове (У) в оперптоуспом Bum колуеаем ^;в:^:1к:пок^евг (и). Опораторе1 еРР а в иолаюсся Плвшчшиу
сс
= (:
0 1 [и ■]] 8[
22=
11 в12^ о с y
поа
пдесь операторы Мп, Мс и М22 ^оот]^етгпт1!^ют бииине«ным формпм и 1, и2; и а с^ответ^пт1^пнно, соторы« представляются в видт:
алее = /с(—е«е п , е1п ) Мс + /^е + ИТ Фе (епПс +
+ -Мэ.тг Ме «фп^м) ю2 ф = /^«^/ЮглмИи, 01
^22 л е17^«) ]Г + ^Иат Ф^!, Мс +
+ /ас М «2П12пПХ.
А операторы .Т) и лоотвесствуют бисинейт^]п фермам Ъп и Ь12, которые гыодстжлтются следго-щим офазо м:
Ьц =- /с ие Ие«еп^епП^с,
^ л -.О'Ыг«']—']!^.
Ю-беция Ф назышлется аобственной функцией оаераторов М и ¥. Число А нлывается сн-ствебныо зыалениея операторов М и ¥, соответствующим собсетен/ойфункоос И.
Тестовые расчеты
Для тестирования данной методики рассмотрим несколько двумерных численных тестов, имитирующих различные конфигурации загрузок типа ВВЭР с гексагональной кассетной структурой. В расчетах варьировались следующие параметры:
• n — параметр, характеризующий детализацию расчетной сетки - число расчетных ячеек (конечных элементов) на кассету; диапазон изменения n от 6 до 1536 (рис. 1);
• p - порядок сонсчных элементов; диапазон изменения р от 0 до Я
Вычэслялись сисдоющис параметры:
• эффсотичныо коиффеционс чезмнэженип К^
• наодродялениэ нейтронней оюэцносоэ'^ Пф(Ч) го B^ecc^iStcKi с нормировкой ое орюднее н^ччвои^ вю ЧЧТ^]Ы^О]Я ооин
•Я истою еначнэо вичнимриэп и вффектконясяк е0эи0б0т%рэрэ оеторетмо оеи эееосеоге [сасдеиы Кыли вопюлчео1О1 с фивсщюкавкой точносчье) отгчни c«бc«веннoгэ чисса равс ой 1В(].^. Пвоyчвнныc рез^ьпаьы сравнивались с резульматами расчетон по ьирМуэРОнвер M^joooceT4](Hoii e^<^bbbb[]L:ivbMe ШЛЗОорО [^3] (эчеоонное рсштние было eюлрчeФO пoовм эскчи^^^лл^цоес^Е •теозототот оса овсионо^чою мэный (с со ьнс ч э ьье ььь е ььтар ао й ьььаа йьььи ььь аьаьье Ьгььо ььь о эааььЬ ] ^^/озонч ^^^CMaTjM^HBem) ojc^.^TOonie]^ оокеюнчгоия с расчеоеын пap;шeчнлн:
• для эффективгооо комф3)ициeноa размножения эбселюонок ооссленение от «эталонного» зцочэиия К ооЛК^ lOain-o^^T' иофажоетсо в pcm (percent-milli, нт V лэлт (
• то-те pвcвфтдкнония пкн^вce«ш>Ix меп^1^остей
Р, вычисляются относительные отклонения е.
1 i
(тыомоиoоояе %):
Р,-Р
Р
ге/
Г) 1
гь:1(П -г^ | _ «эталонное» значение мощности в ооссе^е i (/'=1^.^N).
• пн отклоненоят J(«(^I^^^í^т^е(оaются ииввк(«Jн^)^ые отклонения:
ь c;]ili^^нeкiвa^lпa^^li^чl^c;кoe отклона^ние Ьь1М1Ь]
RMS и
N с2 1 '
( П)
среднее по мод^ж» отклонение AVR:
avrk nni:n-1kii, макс^ь^а^ькое по ми^цу!110 отклонение MAX: MAX и шаог|тг|.
Рис. 1. Разбиение кассеты на 6, 24 и 96 конечных элементов
Определим критерии «приемлемости» результатов с точки зрения достижения достаточной для практических расчетов ВВЭР точности:
• отклонение Keff не выше 0.1 % (100 pcm);
• максимальное по модулю отклонение в покассетных мощностях не выше 2 %.
Будем считать «оптимальным» вариант, удовлетворяющий этим критериям и наиболее экономичный (по времени счета). Результаты расчетов, полученные для «оптимального» варианта, будут отражены на рисунках и выделены в таблицах серым цветом. Все вычисления проводились на компьютере со следующей конфигурацией: processor -IntelCorei3 3.30GHz, memory - 8 Gb.
Модифицированный тест IAEA-2D без отражателя
Тестовая задача является модификацией на случай гексагональной геометрии известной тестовой задачи IAEA-2D [13]. Геометрическая модель активной зоны реактора моделируется набором кассет гексагональной формы. Активная зона имеет 13 стержней устройства систем управления и защиты реактора (СУЗ) и 1/12 зеркальную симметрию. Размер кассеты «под ключ» равен 20 см. На рис. 2 дана
геометрическая модель активной зоны, где цифрами показаны кассеты различных сортов. Диффузионные нейтронно-физические константы заданы в табл. 1. Отражатель не моделируется, граничные условия задаются в виде логарифмической производной. Рассматриваются два варианта, отличающиеся значениями логарифмической производной на границе.
Результаты расчета модифицированного теста IAEA-2D без отражателя приведены в табл. 2, и табл. 3. Здесь приняты следующие обозначения: n - число ячеек на кассету; p - порядок конечного элемента; Kfff - эффективный коэффициент размножения; AK - абсолютное отклонение от «эталонного» значения; RMS - среднеквадратичное отклонение; AVR - среднее отклонение; MAX - максимальное отклонение; t - время счета. Распределения мощности показаны на рис. 3, 5. Здесь для каждой кассеты сверху вниз приведены материал, «эталонное» решение, решение и относительное отклонение от «эталонного» решения.
Модифицированный тест IAEA-2D с отражателем
Тестовая задача аналогична предыдущей, за исключением того, что был добавлен внешний ряд
Таблица 1
Диффузионные константы для модифицированного теста IAEA-2D
Мате ри ал 1 2 3 4
Р2 1.50 1.50 1.50 1.50
Р2 0.40 0.40 0.40 0.40
е tzl 0.01 0.01 0.01 0.00
eai 0.08 0.085 0.13 0.01
е. 0.02 0.02 0.02 0.04
еп 0.00 0.00 0.00 0.00
е/2 0.056 0.056 0.056 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00
уие/и 0.135 0.135 0.135 0.00
Рис. 2. Геометрическая модель активной зоны модифицированного теста IAEA-2D без отражателя
Рис. 3. Распределение мощности для модифицированного теста IAEA-2D без отражателя при у=0.5
Рис. 4. Плотность потока быстрых нейтронов для модифицированного теста IAEA-2D без отражателя при 7=0.5, п=1536, р=1
Таблица 2
Результаты расчета модифицированного теста IAEA-2D без отражателя при /=0.5
п Р ЛК(рст) КМБ (%) АУЯ (%) МАХ (%) t^ес)
1 0.9733476 472.94 3.80 2.94 9.04 0.03
6 2 0.9775987 47.83 0.45 0.39 0.87 0.08
3 0.9780084 6.86 0.07 0.06 0.12 0.19
1 0.9765384 153.86 1.28 1.04 2.86 0.07
24 2 0.9779893 8.77 0.08 0.07 0.16 0.35
3 0.9780690 0.80 0.01 0.01 0.03 0.94
1 0.9776501 42.69 0.36 0.30 0.79 0.32
96 2 0.9780655 1.15 0.02 0.01 0.03 2.00
3 0.9780757 0.13 0.01 0.01 0.02 5.50
1 0.9779644 11.26 0.10 0.08 0.20 1.88
384 2 0.9780752 0.18 0.01 0.01 0.02 12.50
3 0.9780764 0.06 0.00 0.00 0.01 34.70
1 0.9780477 2.93 0.03 0.02 0.05 11.60
1536 2 0.9780763 0.07 0.01 0.00 0.01 82.70
3 0.9780764 0.06 0.01 0.00 0.01 230.50
ге£ 0.9780770
Рис. 5. Распределение мощности для модифицированного теста IAEA-2D без отражателя при у=0.125
Рис. 6. Распределение мощности для модифицированного теста IAEA-2D с отражателем при у=0.5
отражателя (материал 4). Диффузионные нейтронно-физические константы заданы в табл. 1. Граничные условия задаются в виде логарифмической производной. Так же рассматриваются два варианта, отличающиеся значениями логарифмической производной на границе.
Результаты расчета модифицированного теста IAEA-2D с отражателем приведены в табл. 4, 5 и на рис. 6, 7.
Двухмерная модель ВВЭР-1000 без отражателя
Геометрическая модель активной зоны ВВЭР-1000 моделируется набором кассет гексагональной формы. На рис. 8 показана геометрическая модель активной зоны ВВЭР-1000, где цифрами показаны кассеты различных сортов. Размер кассеты «под ключ» равен 23.6 см. Активная зона имеет 25 стержней СУЗ и 1/6 зеркальную симметрию. Диффузионные
нейтронно-физические константы заданы в табл. 6. На внешней границе реактора задается условие границы с вакуумом (логарифмическая производная у=0.5) и более реалистичные условия (логарифмическая производная у=0.125).
Результаты расчета двухмерного теста ВВЭР-1000 без отражателя приведены в табл. 7, 8 и на рис. 9, 11. Анализ результатов расчетов Для иллюстрации результатов расчета тестовых задач по разработанному алгоритму рассмотрим несколько графиков для первой тестовой задачи. На графиках (рис. 12-14) приведены кривые отклонения AK, максимального отклонения мощности MAX и времени счета задачи t в зависимости от числа конечных элементов на кассету n и порядка конечных элементов p.
Из графиков (рис. 12-14), а также таблиц 2-5, 7 и 8 можно сделать следующие выводы:
Таблица 3
Результаты расчета модифицированного теста IAEA-2D без отражателя при ^=0.125
n Р Keff(pcm) ЛК(рст) RMS (%) AVR (%) MAX (%) t(sec)
1 0.9877260 365.20 3.65 2.66 8.40 0.03
6 2 0.9910086 36.94 0.39 0.28 0.80 0.08
3 0.9913262 5.18 0.06 0.04 0.12 0.20
1 0.9901896 118.84 1.21 0.88 2.65 0.08
24 2 0.9913114 6.66 0.07 0.05 0.15 0.36
3 0.9913743 0.37 0.01 0.01 0.02 0.99
1 0.9910477 33.03 0.34 0.25 0.74 0.34
96 2 0.9913713 0.67 0.01 0.01 0.02 2.10
3 0.9913789 0.09 0.00 0.00 0.01 5.70
1 0.9912924 8.56 0.09 0.07 0.20 1.96
384 2 0.9913785 0.05 0.01 0.00 0.01 12.80
3 0.9913792 0.12 0.00 0.00 0.01 35.00
1 0.9913571 2.09 0.02 0.02 0.06 12.00
1536 2 0.9913792 0.12 0.00 0.00 0.01 83.00
3 0.9913793 0.13 0.00 0.00 0.01 231.50
ref. 0.9913780
Таблица 4
Результаты расчета модифицированного теста IAEA-2D с отражателем при ^=0.5
п Р АКфст) КМБ (%) АУЯ (%) МАХ (%) t ^ее)
1 1.0104126 490.56 13.29 11.13 23.73 0.03
6 2 1.0062265 71.95 1.88 1.59 3.40 0.11
3 1.0055754 6.84 0.22 0.18 0.41 0.27
1 1.0069873 148.03 4.54 3.77 8.45 0.10
24 2 1.0056090 10.20 0.30 0.25 0.57 0.54
3 1.0055135 0.65 0.02 0.02 0.04 1.46
1 1.0059079 40.90 1.28 1.06 2.41 0.50
96 2 1.0055186 1.16 0.04 0.03 0.07 3.00
3 1.0055097 0.27 0.01 0.01 0.02 8.30
1 1.0056119 10.49 0.34 0.28 0.64 2.95
384 2 1.0055102 0.32 0.01 0.01 0.02 18.70
3 1.0055096 0.26 0.01 0.01 0.02 52.00
1 1.0055354 2.84 0.09 0.08 0.17 18.65
1536 2 1.0055096 0.26 0.01 0.01 0.02 132.30
3 1.0055096 0.26 0.01 0.01 0.02 370.50
ге£ 1.0055070
Таблица 5
Результаты расчета модифицированного теста IAEA-2D с отражателем при ^=0.125
п Р ЛК (рст) КМ5 (%) АУЯ (%) МАХ (%) t(^ее)
1 1.0120630 543.30 13.72 11.55 24.47 0.03
6 2 1.0074831 85.31 2.00 1.69 3.60 0.11
3 1.0067469 11.69 0.23 0.19 0.44 0.27
1 1.0083333 170.33 4.74 3.95 8.80 0.10
24 2 1.0067838 15.38 0.32 0.27 0.60 0.54
3 1.0066733 4.33 0.02 0.02 0.04 1.46
1 1.0071200 49.00 1.34 1.11 2.52 0.50
96 2 1.0066790 4.9 0.04 0.03 0.07 3.00
3 1.0066682 3.82 0.01 0.01 0.01 8.30
1 1.0067847 15.47 0.35 0.29 0.67 2.95
384 2 1.0066688 3.88 0.01 0.01 0.02 18.70
3 1.0066680 3.8 0.01 0.01 0.01 52.00
1 1.0066975 6.75 0.09 0.08 0.18 18.65
1536 2 1.0066680 3.8 0.01 0.01 0.01 132.30
3 1.0066680 3.8 0.01 0.01 0.01 370.50
ге£ 1.0066300
Рис. 7. Распределение мощности для модифицированного теста IAEA-2D с отражателем при у=0.125
Рис. 8. Геометрическая модель активной зоны двухмерной модели ВВЭР-1000 без отражателя
• наблюдается устойчивая сходимость решения тестовых задач при увеличении числа конечных элементов на кассету п и порядка конечных элементов р;
• с точки зрения экономичности расчета увеличение порядка конечных элементов р намного эффективнее увеличения числа конечных элементов на кассету п;
• расчет с использованием конечных элементов первого порядка (р=1) с малым числом конечных элементов на кассету (п=6 или 24) дает неудовлетворительные результаты;
• определены параметры «оптимального» вариан-
та, удовлетворяющего выбранным критериям «приемлемости» результатов с точки зрения достижения достаточной для практических расчетов ВВЭР точности:
• п=6; р=2 для тестов 1АЕА^ и модели ВВЭР-1000 без отражателя;
• п=6; р=3 для тестов IAEA-2D с отражателем.
Заключение
1. Рассмотрено уравнение диффузии нейтронов в гексагональной геометрии, которое в операторном виде представляет спектральную задачу. Проводились
Таблица 6
Диффузионные константы для ВВЭР-1000
Матер иал 1 2 3 4 5
Ор 1.383200 1.382990 1.395220 1.394460 1.395060
Ор 0.386277 0.389403 0.386225 0.387723 0.384492
Еа1 8.38590е-3 1.15490е-2 8.94410е-3 1.19932е-2 9.11600е-3
£ар 6.73049е-2 8.10328е-2 8.44801е-2 9.89670е-2 8.93878е-2
Ег 1.64977е-2 1.47315е-2 1.56219е-2 1.40185е-2 1.54981е-2
Е^р 1.86139е-3 1.81560е-3 2.36371е-3 2.31026е-3 2.50773е-3
3.48111е-2 3.48111е-2 4.91322е-2 4.95721е-2 5.31856е-2
4.81619е-3 4.66953е-3 6.04889е-3 5.91507е-3 6.40256е-3
8.46154е-2 8.52264е-2 1.19428е-1 1.20497е-1 1.29281е-1
Таблица 7
Результаты расчета двухмерного теста ВВЭР-1000 без отражателя при /=0.5
п Р А К (рст) РМ5 (%) А"^ (%) МАХ (%) t ^ес)
1 1.0048318 165.32 5.71 4.57 12.07 0.03
6 2 1.0063985 8.65 0.66 0.52 1.41 0.12
3 1.0064517 3.33 0.14 0.11 0.28 0.30
1 1.0060003 48.47 1.94 1.55 4.20 0.12
24 2 1.0064500 3.50 0.16 0.13 0.32 0.59
3 1.0064546 3.04 0.08 0.07 0.15 1.61
1 1.0063358 14.92 0.58 0.47 1.25 0.54
96 2 1.0064547 3.03 0.08 0.07 0.15 3.37
3 1.0064559 2.91 0.07 0.06 0.14 8.96
1 1.0064248 6.02 0.19 0.16 0.37 3.15
384 2 1.0064559 2.91 0.07 0.06 0.14 19.77
3 1.0064561 2.89 0.07 0.06 0.14 55.00
1 1.0064481 3.69 0.10 0.08 0.17 18.00
1536 2 1.0064561 2.89 0.07 0.06 0.14 129.70
3 1.0064561 2.89 0.07 0.06 0.14 366.50
ге£ 1.0064850
Рис. 9. Распределение мощности для модели ВВЭР-1000 без отражателя при у=0.5
Рис. 10. Плотность потока быстрых нейтронов для модели ВВЭР-1000 без отражателя при у=0.5, п=1536, р=1
Рис. 11. Распределение мощности для модели ВВЭР-1000 без отражателя при у=0.125
поиски наименьшего собственного числа и соответствующей ему собственной функции, которые характеризуют эффективный коэффициент размножения нейтронов и пространственное распределение плотности нейтронного потока соответственно.
2. Разработан алгоритм решения спектральной задачи на основе метода конечных элементов. Написан
программный код на основе разработанного алгоритма, использующий вычислительную библиотеку FEniCS и библиотеку для решения спектральных задач SLEPc.
3. Проведено тестирование разработанного программного кода на следующих двухмерных тестах с различными граничными условиями:
• модифицированный тест IAEI-2D без отражателя;
Таблица 8
Результаты расчета двухмерного теста ВВЭР-1000 без отражателя при у=0.125
п Р Кец(рст) А К (рст) тБ (%) AVR (%) МЛХ (%) t ^ее)
1 1.0125509 185.61 4.74 3.88 11.75 0.04
6 2 1.0143068 10.02 0.49 0.38 1.31 0.13
3 1.0143717 3.53 0.11 0.09 0.30 0.32
1 1.0138630 54.40 1.54 1.26 3.83 0.12
24 2 1.0143694 3.76 0.12 0.10 0.34 0.62
3 1.0143777 2.93 0.07 0.06 0.13 1.69
1 1.0142408 16.62 0.46 0.38 1.15 0.57
96 2 1.0143775 2.95 0.07 0.06 0.14 3.51
3 1.0143789 2.81 0.06 0.05 0.12 9.32
1 1.0143431 6.39 0.15 0.13 0.39 3.03
384 2 1.0143789 2.81 0.06 0.05 0.12 19.62
3 1.0143792 2.78 0.06 0.05 0.12 54.00
1 1.0143699 3.71 0.08 0.07 0.18 18.60
1536 2 1.0143792 2.78 0.06 0.05 0.12 134.00
3 1.0143792 2.78 0.06 0.05 0.12 378.70
геГ 1.0144070
Рис. 12. Отклонение коэффициента размножения, AK Рис. 13. Максимальное отклонение мощности, MAX
Рис. 14. Время счета задачи, t
• модифицированный тест IAEI-2D с отражателем;
• модель ВВЭР-1000 без отражателя.
4. Исследовалась сходимость метода в зависимости от числа конечных элементов на кассету n и порядка конечных элементов p. Разработанный алгоритм демонстрирует быструю сходимость и высокую точность при значениях n=6 и p=2 или 3;
Л и т е р а т у р а
1. Logg K. A. Mardal, G. Wells. Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method: The FEniCS Book. Lecture Notes inComputational Science and Engineering. - Springer, 2012.
2. Campos С., Roman J. E., Romero E., Tomas A. SLEPc Users Manual, 2013.
3. Geuzaine C., Remacle J. F. Gmsh Reference Manual, 2014.
4. Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. - Атомиздат, 1971.
5. Stacey W. M. Nuclear Reactor Physics. - John Wiley & Sons, 2007.
6. Ганев И. Х., Доллежаль Н. А. Физика и расчет реактора. - Энергоиздат, 1981.
7. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. - Атомиздат, 1981.
8. Gonzalez-Pintor S., Verdu G., Ginestar D. Approximation of the neutron diffusion equation on hexagonal geometries. - New York, 2009.
9. Hebert A. Application of a dual variational formulation to finite element reactor calculations // Annals of Nuclear Energy, - 1993. - 20. - Р. 823-845.
10. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Springer Series in Computational Mathematics. - Springer, 2008.
11. Brenner S. C., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods.Texts in Applied Mathematics. -Springer, 2008.
12. Kressner D. Numerical Methods for General and Structured Eigenvalue Problems. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. - Springer, 2006.
13. Chao Y. A., Shatilla Y. A. Conformal mapping and hexagonal nodal methods-ii: Implementation in the anc-h code. Nuclear Science and Engineering, - 1995. - 121. - P. 210-225.
R e f e r e n c e s
1. Logg K. A. Mardal G. Wells. Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method: The FEniCS Book. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer, 2012.
2. Campos C., Roman J. E., Romero E., Tomas A. SLEPc Users Manual, 2013.
3. Geuzaine C., Remacle J. F. Gmsh Reference Manual, 2014.
4. Klimov A. N. Jadernaja fizika i jadernye reaktory. Atomizdat, 1971.
5. Stacey W. M. Nuclear Reactor Physics. John Wiley &
Sons, 2007.
6. Ganev I. H., Dollezhal' N. A. Fizika i raschet reaktora. Jenergoizdat, 1981.
7. Marchuk G. I., Lebedev V. I. Chislennye metody v teorii perenosa nejtronov. Atomizdat, 1981.
8. Gonzalez-Pintor S., Verdu G., Ginestar D. Approximation of the neutron diffusion equation on hexagonal geometries. New York, 2009.
9. Hebert A. Application of a dual variational formulation to finite element reactor calculations. Annals of Nuclear Energy.
- 1993. - 20. - P. 823-845.
10. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Springer Series in Computational Mathematics. Springer, 2008.
11. Brenner S. C., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Texts in Applied Mathematics.
- Springer, 2008.
12. Kressner D. Numerical Methods for General and Structured Eigenvalue Problems. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. - Springer, 2006.
13. Chao Y. A., Shatilla Y. A. Conformal mapping and hexagonal nodal methods-ii: Implementation in the anc-h code. Nuclear Science and Engineering. - 1995. - 121. - P. 210-225.
