CC BY
33МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИН
В, П, Шапеев1,2, С, К, Голушко1,3, В, А. Беляев2, Л, С, Брындин1,2
1 Новосибирский государственный университет, 630090, Новосибирск 2Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, 630090, Новосибирск 3Институт вычислительных технологий СО РАН, 630090, Новосибирск
УДК 519.635
Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10086
Предложены и реализованы новые Ь-, Ьр- и р-варнанты метода коллокацнн и наименьших квадратов для численного решения краевых задач для уравнений бигармонического типа в канонических и нерегулярных областях. Приведено сравнение полученных численных результатов с известными частными решениями других авторов, использовавших конечно-разностные и спектральные методы повышенного порядка аппроксимации. Дан анализ напряженно-деформированного состояния тонкой пластины на упругом основании, находящейся под действием постоянной поперечной нагрузки.
Ключевые слова: метод коллокации и наименьших квадратов, повышенный порядок аппроксимации, бигармоническое уравнение, нерегулярная область, пластина, напряженно-деформированное состояние.
Введение
Бигармонические уравнения Д2м = /, где Д — оператор Лапласа, играют важную роль во многих областях науки и техники. К решению бигармонических уравнений сводится моделирование и анализ поведения многих задач механики сплошной среды: гидродинамики, линейной теории упругости, теории тонких пластин и др. Например, в гидродинамике при малых числах Рейнольдса функция тока удовлетворяет бигармопи-ческому уравнению. В линейной теории упругости решение бигармонического уравнения используется для представления функции напряжений Эйри. В теории тонких пластин решение бигармонического уравнения используется для анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропных пластин, находящихся под действием поперечной нагрузки [1]. Однако численное решение бигармонических уравнений вызывает трудности из-за наличия производных четвертого порядка в дифференциальном уравнении.
Для численного решения краевых задач для бигармонического уравнения обычно используется метод конечных разностей (МКР), главными преимуществами которого являются простота построения расчетной сетки и скорость решения соответствующих задач линейной алгебры. При этом существует ограниченное количество публикаций, посвященных применению МКР для решения бигармонического уравнения в нерегулярных областях [2,3]. Другим широко используемым методом для решения таких задач является метод конечных элементов (МКЭ) с использованием неструктурированных сеток [4-8]. Как отмечается в [9], несмотря на то, что техника решения уравнений с частными производными (УЧП) четвертого порядка с помощью МКЭ и МКР хорошо развита, существует не так много результатов, полученных для произвольных нерегулярных областей и различных граничных условий. В последнее время при решении задач механики сплошной среды все более популярными становятся спектральные методы и методы спектральных элементов, главным преимуществом которых является экспоненциальный характер уменьшения погрешности в
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-2918029) и Российского научного фонда (код проекта 18-13-00392).
ISBN 978-5-901548-42-4
случае достаточно гладких решений [9-12]. Однако в случаях, когда решения не являются достаточно гладкими, спектральные методы становятся менее эффективными и менее гибкими, например, по сравнению с МКЭ. Существуют и другие методы решения бигармонического уравнения: метод быстрых мультиполей, метод сплайп-коллокации, миметический метод, смешанные методы. Подробную библиографию о них можно найти, например, в [13].
Настоящая статья является продолжением работ [14,15] и распространяется на случай применения Ь-, р- и Ьр-вариаптов метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) для решения уравнений бигармонического типа в канонических и нерегулярных областях. В методе КНК путем проектирования задачи для УЧП в конечномерное линейное функциональное пространство ставится в соответствие приближенная задача, решение которой сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Приближенное решение ищется в виде линейной комбинации с неопределенными коэффициентами базисных элементов, определенных в этом пространстве. В каждой ячейке сетки для нахождения неизвестных коэффициентов выписывается переопределенная СЛАУ, состоящая из уравнений коллокации, краевых условий и условий согласования.
1 Постановка задачи и описание метода КНК 1.1 Постановка задачи
Рассмотрим задачу Дирихле для бигармонического уравнения
А2и = /(Х!,Х2), (Х!,Х2) € П, м|гп = д1(х1,х2), м„|ш = 92(х1,Х2) (1)
ди
в нерегулярной области П С И2 с границей 6П, ип = ——, ~гь внешняя единичная нормаль к границе области,
оп
и(х1, х2) — искомая функция, /(х1:х2), д1(х1, х2) и д2(х1, х2) — заданные функции. Реализация рассматриваемого метода решения других краевых задач для бигармонического уравнения осуществляется аналогично алгоритму, описанному ниже. Аналогично [15,16] в представленной работе внешняя граница 6П области П задана дискретно. Восполним границу области по входным дискретным данным непрерывной векторной сплайн-функцией (х1(1),х2(1)) в случае, когда граница области является гладкой. Если же граница области имеет точки излома, то следует строить отдельные векторные сплайн-функции на участках, концами которых являются точки излома.
1.2 h-вариант метода КНК
Нерегулярная область включается в фиктивный прямоугольник, который покрывается регулярной сеткой размера N1xN2 с прямоугольными ячейками. На границе области появляется "одинарный" слой нерегулярных ячеек (н-ячеек), отсеченных границей от прямоугольных граничных ячеек начальной регулярной сетки. В данном варианте метода н-ячейка, которая не содержит центр исходной содержащей ее прямоугольной ячейки, присоединяется к соседней ячейке. Более подробное описание методики можно найти в работах [15,16].
Пусть Nceiis — количество расчетных ячеек в каждом варианте метода КНК. Для удобства реализации метода КНК в каждой j-ой ячейке области введем локальные координаты
(X! - X\j) (Х2 - X2j)
У1 =-7--, У2 =-Г--, (2)
hi П2
где (xij, X2j) — центр ячейки, hi и h2 характерные линейные размеры j-ой ячейки, j = 1,..., Nceus, v(yi, У2) = u(xi(yi), X2(y2))- Здесь 2hi и 2h2 являются размерами прямоугольной ячейки в направлениях ж^ и Х2 соответственно. В каждой j-ой ячейке сетки приближенное решение v^j задачи (1) ищем в виде линейной комбинации с неопределенными коэффициентами базисных элементов пространства полиномов некоторой степени относительно двух переменных. Здесь в качестве базисных элементов рассматриваются ортогональные полиномы Чебышева и мономы. В случае применения полиномов Чебышева представление приближенного решения имеет вид
Кг-1 К2-1
■Vhj (У1,У2) = Ci!i2,j (Уl)Фi2 (У2), (У1,У2) е X [-1, 1], (3)
¿1=0 ¿2 =0
где
Фгг Ы) =С08(н аГССОВ^)), (у2 ) = С0в(«2 вГСС0б(г/2 )) ■ Если в качестве базисных элементов взяты мономы, то приближенное решение имеет вид
к К-п
^(У1,У2) = ^ у!1 У2 ■ №
¿1=0 ¿2=0
1.3 р- и Ьр-варианты метода КНК
В р-варианте исходная область также включается в фиктивный прямоугольник и в расчетной области строится единый кусок полиномиального решения. Аналогично по формуле (2) вводятся локальные координаты и Мсе11з = N1 = N2 = з = 1В Ьр-варианте можно добиться повышения точности решения за счет измельчения шагов сетки и/или за счет повышения степени полиномов базиса используемого пространства.
1.4 Уравнения приближенной задачи и их решение
Неизвестные коэффициенты ^ в методе КНК в каждой ячейке определяются из переопределенной "локальной" системы уравнений, состоящей из уравнений коллокации, условий согласования (Ь- и Ьр-вариант) и краевых условий.
Уравнения коллокации, умноженные на , выписываются в определенных точках коллокации (у1С, У2С) в каждой з-отк ячейке и имеют вид
Чц ж+2 +§ =* ^ о
где кс положительный весовой множитель.
Условия согласования (умноженные на ^1^2 в (7)) выписываются в определенных точках согласования вЬ-и Ьр-вариантах в каждой з-отк ячейке и имеют вид:
кто + кт1 = ^ н + кт1 .'
к1к2{к-2 ^ + = ^2 ^ + ктз ^ , (7)
где — внешняя нормаль к границе з-ош ячейки, и — пределы приближенного решения задачи при стремлении изнутри и извне к границе з-ш ячейки соответственно, кто, кт1, кт2, ктз — положительные весовые множители.
Граничные условия для задачи Дирихле (1) выписываются в определенных точках (уц,, у2ь) € 60 и имеют вид
кь0 ънз = кЬо д1(х1( У1ъ),Х2( У2ь)), (8)
,(п1дуп2ду\ 1 V дуг + ~ду~2) = 92(х1(у 1Ь),Х2(У2Ь)), (9)
где кь0, кь1 — положительные весовые множители.
Из-за ограничений на объем статьи здесь только отметим, что в предыдущих работах [14,15], посвященных решению бигармонического уравнения Ь-вариантами метода КНК было установлено, что для достижения хорошей обусловленности приближенной задачи количество уравнений должно превышать количество неизвестных приблизительно в три раза. Способ равномерной расстановки точек коллокации, согласования и точек записи краевых условий на внешней границе 30 приведен, например, в [15] для Ь-варианта при К = 4 (4). В [17,18] описан способ расположения точек коллокации и согласования в случае применения ортогональных полиномов Чебышева (3).
Значения весовых множителей в методе КНК в некоторых пределах влияют на точность приближенного решения задачи, скорость сходимости итерационного процесса, обусловленность локальных СЛАУ, т.е. в данной работе применяется взвешенный метод КНК.
В Ь- и Ьр-варпантах переопределенная СЛАУ, полученная объединением уравнений (5)—(9), взятых из всех ячеек расчетной области (глобальная система), решается итерационно методом Гаусса-Зейделя. В нем одна "глобальная итерация" состоит из последовательного решения локальных СЛАУ в каждой ячейке области. Матрица локальной системы приводится к верхнетреугольному виду ортогональным методом Ха-усхолдера (аналогично и в р-варианте) при построении решения в каждой ячейке. Итерационный процесс
продолжается до тех пор, пока выполняется условие
^ - 1
где с™^ ^ — коэффициент полинома, аппроксимирующего решение в ячейке с номером ] на п-й итерации. Величина е — заданная малая константа [15,161.
2 Численные эксперименты и результаты расчетов 2.1 Задача Дирихле
В численных экспериментах на сходимость приближенного решения на последовательности сеток при измельчении шагов сетки в h-варианте и увеличении степени полиномов в hp- и р-варианте рассматривалась задача (1) и другие краевые задачи для бигармонического уравнения. В представленных ниже таблицах приведены значения относительной погрешности приближенного решения в норме (величина ЦЕГ Ц2) и абсолютной погрешности приближенного решения в бесконечной норме (величина ||£a||TO). Порядок сходимости погрешности численного решения в случае h-варианта метода КНК определяется следующим образом
r=iog2|р,
где Ес — значение погрешностп (||£у||2 или ||.Ea||œ) та сетке размера N\xN2, Ер — значение погрешности на сетке размера N\/2xN2/2.
Для значительного уменьшения времени, необходимого для проведения расчета, и количества итераций здесь было использовано комбинированное применение операции продолжения (prolongation) на многосеточном комплексе в методе Федоренко [19], диагонального предобуславливателя [20] и на всех сетках комплекса метода ускорения сходимости итерационного процесса, основанного на подпространствах Крылова [21].
Пример 1. Рассмотрим задачу Дирихле для бигармонического уравнения с тестовым решением и(х1,х2) =
22
ж?1п(1 + х2 ) +--в области —Ц- +--^ < 1. Возможности вариантов метода КНН показаны в табл. 1.
1 + х\ 0.52 0.152
В ней приведены значения абсолютной погрешности ||Sa||œ приближенного решения этой задачи на последовательности сеток, полученные авторами работ [2,3]. Далее в табл. 1 приведены значения погрешности, полученные применением h-варианта метода КНК при К = 4 [15], далее — новые результаты при К = 6 и результаты, полученные применением Ьр-варианта при фиксированном значении N1 х N2 ■ Из анализа таблицы видно, что МКР, реализованный в [3], имеет больший порядок сходимости, чем h-вариант метода КНК при К = 4 [15]. Однако, при К = 6 вариант метода КНН не уступает указанному МКР по порядку-сходимости и значительно превосходит его по точности. В [2,3] решение исходной краевой задачи для бигармонического уравнения (1) было сведено к последовательному решению двух задач Дирихле для уравнений Пуассона. Известно, что задача Дирихле для уравнения Пуассона является лучше обусловленной задачей, чем краевая задача для бигармонического уравнения (1). Поэтому такой подход позволяет относительно просто построить высокоточное решение исходной задачи. Здесь решение с повышенной точностью краевой задачи для бигармонического уравнения получено методом КНК без использования такого дополнительного приема. Результаты, полученные применением Ьр-варианта методом КНК и приведенные в конце табл. 1, значительно превосходят другие приведенные в ней результаты. Следует отметить также, что в Ьр-варианте малое значение погрешности || Ea || œ достигается с меньшими вычислительными затратами по сравнению с h-вариантом.
Пример 2. Рассмотрим задачу Дирихле для бигармонического уравнения с тестовым решением и(х1,х2) = sin(2^xi) cosh(2x2) — cos(2^xi) sinh(2x2) в невыпуклой полигональной области с вершинами: (1; 1), ( —1; 1), ( —1;0), (0;0), (1; —1), (1; 1)- В табл. 2 приведены результаты численных экспериментов, полученных применением р-варианта с представлением решения в виде (3) и спектрального метода [11]. Во второй и третьей колонках приведены результаты численных экспериментов в случае, когда приближенное решение в обоих методах строилось во всей области одним полиномом, в пятой и шестой колонках — в трех ячейках.
Таблица 1: Результаты численных экспериментов (пример 1)
Работа [2] Работа [3] Работа [15], К = 4 К = 6 NixN2 = 4x2
N1xN2 ||^а||то R NixN2 ||^а||то R ||^а||то R ||^а||то R К ЦЕа ||то
64x32 128x64 256x128 512x256 3.65е-4 -9.54е-5 1.9 2.08е-5 2.2 4.98е-6 2.1 8x4 16x8 32x16 64x32 3.0е-6 — 1.1е-7 4.8 1.5е-9 6.2 1.97е-5 — 1.56е-6 3.65 1.52е-7 3.35 1.24е-8 3.61 1.34е-7 -9.26е-9 3.85 1.24е-10 6.22 4.14е-12 4.90 10 2.83е-9 12 1.42е-10 14 7.00е-12 16 6.56е-14
Таблица 2: Результаты численных экспериментов (пример 2)
Работа [11] р-вариант Работа [11] Ьр-вариант
Ki = К2 ||K|U Ki = К2
15 9.00е-2 1.23е-2 12 6.00е-2 1.44е-3
18 9.00е-4 3.26е-5 15 8.00е-4 7.92е-5
22 3.10е-5 3.72е-8 18 2.00е-7 3.20е-9
25 9.10е-5 8.32е-10 21 7.00е-9 1.36е-10
Таблица 3: Результаты численных экспериментов (пример 3)
h-вариант, К = 4 р-вариант
NixN2 № ||2 R Niter Ki = К2 № ||2
10x10 1.80е-1 ................ 41 20 2.63е-4
20x20 1.43е-2 3.65 90 30 1.02е-5
40x40 2.96е-3 2.27 131 40 1.32е-6
80x80 6.89е-4 2.10 231 50 3.02е-7
2.2 Пластина на упругом основании
Пусть поперечно нагруженная пластина покоится на упругом основании. Дифференциальное уравнение для прогиба в декартовой системе координат в модели Винклера [1] записывается в виде
д4гш(х!,х2) ^ дАгш(х\,Х2) дАгш(х1,Х2) кт(х1,х2) д(х1,х2) дх\ дх2дх2 дх\ Б Б
где т — прогиб срединной поверхности пластины, д — поперечная нагрузка, В = Ек3/(12(1 — V2)) — жесткость пластины при изгибе, к — толщина пластины, Е— модуль Юнга и коэффициент Пуассона изотропного материала пластины, к — коэффициент постели (модуль основания).
Пример 3. Рассмотрим шарнирно закрепленную = = 0, где Мп — изгибающий момент [1])
квадратную пластину [0,10] х [0,10], находящуюся под действием постояппой нагрузки д (Па). В этом случае
m-nxi П-ПХ2 оо оо sin ---sin -
w
(Х1,Х2) = -2-
л ^ ^ uin uin
16q -чт^ di d2
•n
2
. ^ / m2 n2 \ 2
^U* + J?) + "
(10)
Для описания напряженного состояния пластины используем функцию распределения интенсивности напряжений
I = - аУ)2 + а1 + а1 + 6°ху
где ах = -Е(wxx + vwyy), ау = -E(wyy + vwxx), аху = -E(wxy), Е = Ех3/(1 - v2), х3 £ [-h/2,h/2].
Расчеты были проведены при следующих параметрах: h = 0.1 м, Е = 200 ГПа, v = 0.28 Ч =15 МПа, к = 0.3 ГПа/м, хз = h/2, е = 10-10. Для оценки погрешности приближенного решения (см. табл. 3) в качестве точного решения взят начальный отрезок ряда (10) так, чтобы соответствующий остаток ряда по модулю гарантированно не превосходил 10-8. В табл. 3 Niter обозначает количество итераций. На рис. 1 показана форма прогиба шарнирно закрепленной пластины в разных сечениях х2 = const и интенсивность
тп
напряжений. Здесь для наглядности масштабы вдоль горизонтальной оси и вдоль вертикальной оси отличаются примерно в сто раз. так что величина прогиба пластины меньше ее продольного размера более, чем в сто раз.
w, м
-0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06
а)
xi, м
10 8 6
i
4 2 0
46
-Ть м б)
8 10
Рис. 1: Величина прогиба w деформированной пластины в разных сечениях х2 = const (о) и интенсивность напряжений I (б)
2
Заключение
Предложены и реализованы новые h-, hp- и р-варианты метода KHK повышенной точности для численного решения краевых задач для уравнений бигармонического типа в канонических и нерегулярных областях. Показано, что при решении методом KHK бигармонического уравнения в нерегулярных областях достигается точность не ниже точности решений, полученных МКР и спектральным методом. С другой стороны, показанная здесь возможность применения метода KHK при моделировании и анализе НДС пластин на упругом основании имеет самостоятельное прикладное значение.
Список литературы
[1] Тимошенко С.П.. Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963.
[2] Chen G., Li Z., Lin P. A Fast Finite Difference Method for Biharmonic Equations on Irregular Domains and its Application to an Incompressible Stokes Flow /'/' Advances in Computational Mathematics. 2007. V. 29. N 2. P. 113 133. doi:10.1007/sl0444-007-9043-6.
[3] Ben-Artzi M., Cliorev I., Croisille J.P.. Fishelov D. A Compact Difference Scheme for the Biharmonic Equation in Planar Irregular Domains // SIAM J. Nnmer. Anal. 2009. V. 47, N 4. P. 3087 3108. doi: 10.1137/080718784.
[4] Brenner S. C. An Optimal-Order Nonconforming Multigrid Method for the Biharmonic Equation // SIAM J. Nunier. Anal. 1989. V. 26, N 5. P. 1124 1138. doi: 10.1137/0726062.
[5] Mayo A., Greeribaum A. Fast Parallel Iterative Solution of Poisson's and the Biharmonic Equations on Irregular Regions // SIAM J. Sei. Comput. 1992. V. 13. N 1. P. 101 118. doi: 10.1137/0913006.
[6] Hardsell M.R. Multigrid Preconditioning for the Biharmonic Dirichlet Problem // SIAM J. Nunier. Anal. 1993. V. 30. No 1. P. 184 214. doi: 10.1137/0730009.
[7] Davini C., Pitacco I. An Unconstrained Mixed Method for the Biharmonic Problem // SIAM J. Nunier. Anal. 2000. V. 38. N 3. P. 820 836. doi: 10.1137/S0036142999359773.
[8] Eyniard R., Gallonet Т., Herbin R., Linke A. Finite Volume Schemes for the Biharmonic Problem on General Meshes // Math. Comp. 2012. V. 812. N 280. P. 2019 2048. doi: 10.1090/S0025-5718-2012-02608-1.
[9] Shao W., Wu X., Chen S. Chebyshev tau Meshless Method Based on the Integration-Differentiation for Biharmonic-Type Equations on Irregular Domain // Engin. Anal. Bound. Elem. 2012. V. 36. N 12. P. 17871798. doi: 10.1016/j.enganabound.2012.06.005.
[10] Mai-Duy N., See H., Tran-Cong T. A Spectral Collocation Technique Based on Integrated Chebyshev Polynomials for Biharmonic Problems in Irregular Domains // Appl. Math. Model. 2009. V. 33. N 1. P. 284299. doi: 10.1016/j.apm.2007.11.002.
[11] Shao W., Wu X. An Effective Chebyshev tau Meshless Domain Decomposition Method Based on the Integration-Differentiation for Solving Fourth Order Equations // Appl. Math. Modell. 2015. V. 39. N 9. P. 2554-2569. doi: 10.1016/j.apm.2014.10.048.
[12] Zhuang Q., Chen L. Legendre-Galerkin Spectral-Element Method for the Biharmonic Equations and its Applications // Сотр. & Math. Appl. 2017. V. 74. N 12. P. 2958-2968. doi: 10.1016/j.camwa.2017.07.039.
[13] Jiang Y., Wang В., Yuesheng X. A Fast Fourier-Galerkin Method Solving a Boundary Integral Equation for the Biharmonic Equation // SIAM J. Numer. Anal. 2000. V. 52, N 5. P. 2530-2554. doi: 10.1137/140955744.
[14] Shapeev V.P., Belyaev V.A., Golushko S.K., Idimeshev S.V. New Possibilities and Applications of the Least Squares Collocation Method // EPJ Web of Conferences. 2018. V. 173. P. 01012-1 — 01012-8. doi: 10.1051 /epjconf/201817301012.
[15] Шапеев В.П., Беляев В.А. Решение с повышенной точностью бигармонического уравнения в нерегулярных областях методом коллокации и наименьших квадратов // Выч. мет. программирование. 2018. Т. 19. № 4. С. 340-355. doi: 10.26089/NumMet.vl9r431.
[16] Беляев В.А., Шапеев В.П. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом коллокации и наименьших квадратов в области с дискретно заданной границей // Вычисл. технологии. 2018. Т. 23. № 3. С. 15-30.
[17] Голушко С.К., Идимешев С.В., Шапеев В.П. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок к задачам механики анизотропных слоистых пластин // Вычисл. технологии. 2014. Т. 19. № 5. С. 24-36.
[18] Голушко С.К., Идимешев С.В., Семисалов Б.В. Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек // Уч. пособие по курсу «Прямые и обратные задачи механики композитов». Новосибирск: КТИ ВТ СО РАН, 2014. 131 с.
[19] Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4. № 3. С. 559-564.
[20] Ramsak М., Skerget L. A Subdomain Boundary Element Method for High-Reynolds Laminar Flow Using Stream Function-Vorticity Formulation // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2004. V. 46. N 8. P. 815-847. doi: 10.1002/fld.776.
[21] Saad Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. Manchester: Manchester University Press, 1992. 346 p.
Шапеев Василий Павлович — д.ф.-м.н., глав. науч. сотр. Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН;
профессор Новосибирского государственного университета;
e-mail: vshapeev@gmail.com;
Голушко Сергей Кузьмич — д.ф.-м.н., глав. науч. сотр., Института
вычислительных технологий СО РАН; профессор Новосибирского государственного университета;
e-mail: s.k.golushko@gmail.com;
Беляев Василий Алексеевич — аспирант, мл. науч. сотр. Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН;
e-mail: belyaevasily@mail.ru;
Брындин Лука Сергеевич — магистрант Новосибирского государственного университета; лаборант Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН; e-mail: bryndin-1996@mail.ru.
Дата поступления — 24 мая 2019 г.
