Метод измерения формы импульса и профиля пучка лазерного излучения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЛАЗЕРНОЙ ОБРАБОТКИ

УДК 535.36

В. А. Трофимов, С. А. Варенцова

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ФОРМЫ ИМПУЛЬСА И ПРОФИЛЯ ПУЧКА ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Предложен новый метод восстановления формы импульса и профиля лазерного пучка, основанный на использовании интегральных измерений энергии лазерного излучения. В одномерном случае работоспособность и эффективность алгоритма продемонстрирована на примере восстановления отклика молекулы Ь-су^Ипв при воздействии малопериодного терагерцового импульса. Для пространственно двумерной области предложенный метод позволяет получить высокоточное восстановление модельных профилей пучка. Аналогичное восстановление профиля пучка, выполненное на основе методов оптической томографии, существенно уступает по качеству.

Как известно, для многих практических приложений, основанных на применении лазерного излучения, необходимо использовать оптическое излучение с определенными профилем пучка и формой импульса. Измерение данных характеристик в физических экспериментах в ряде случаев (например, для излучения терагерцового диапазона) является достаточно трудной задачей. Для этих целей используются автокорреляционные функции или пространственное преобразование Фурье.

В настоящей работе описывается метод восстановления формы импульса (или отклика среды) и профиля пучка, основанный на интегральных измерениях их характеристик: для временной зависимости — в частично перекрывающихся временных интервалах, а для пространственного распределения — в разнонаправленных „полосах".

Информация о форме воздействующего импульса (или отклика среды) представляет интерес прежде всего для решения задач терагерцовой пространственно-временной спектроскопии, основной целью которых является временной анализ спектра отклика среды. Существующие алгоритмы не всегда корректны [1]. Поэтому создание нового алгоритма для реконструкции формы импульса и соответственно мгновенного анализа спектра под действием терагерцового лазерного импульса является в настоящее время актуальной задачей.

Ранее [2—4] нами были предложены два возможных алгоритма анализа мгновенной спектральной интенсивности среды под действием ультракороткого импульса. В первом алгоритме [2] использовалось „оконное" преобразование Фурье—Габора. Однако этот алгоритм дает возможность получить динамику только одной спектральной линии для одной серии измерений. Второй алгоритм [3, 4] позволяет по одной серии измерений энергии лазерного импульса (отклика среды) восстановить его форму и получить информацию о динамике всего спектра или нескольких спектральных линий сразу. При этом эффективность алгоритма была исследована в [3] применительно к пространственным распределениям, обладающим

аксиальной симметрией. Приведенные результаты восстановления модельных функций, описывающих пространственный профиль пучка, продемонстрировали высокую точность развиваемого метода. При этом восстановление пространственного распределения интенсивности лазерного излучения более общего вида в этой работе не обсуждалось.

Развиваемый в настоящей работе подход обобщается именно на случай восстановления несимметричного профиля пучка. Проведенные расчеты показали высокую точность восстановления профиля. Отметим, что ранее аналогичная задача решалась в [5] методом оптической томографии. Однако на данный момент он не позволяет достичь точности, сравнимой с результатами метода SVD-восстановления (Singular Value Decomposition), представленного в настоящей работе.

Постановка задачи и алгоритм ее решения. Обозначим через f (t) исходный сигнал (например, форму светового импульса или отклик среды), непрерывный на отрезке времени [tb, te ]. Требуется определить динамику спектральных линий сигнала f (t) на данном временном интервале. Отметим, что в общем случае форма сигнала может быть неизвестной, однако в результате измерений в физическом эксперименте можно получить набор данных di,d.2,...,dN от функции f(t), где значения dt определяются следующим образом:

tci +0,5Гг

di = J f (t)dt.

ic,i -0,5т

Для промежутков времени справедливо соотношение - 0,5 T < tb

(1)

tc,l -0,5T1 < lb;

tc,n + 0,5TN >te; tc i <tci+i; Af = tc ,+i -tci <0,5(T+i + T); i=1,..., N.

(2)

Здесь N — число временных интервалов, на которых производится измерение интегральных данных, ^ — время начала регистрации сигнала, — время ее окончания, Т — длина окна (длина интервала, на котором производится измерение), Ау — величина сдвига окна, т.е.

промежуток времени, на который сдвигается центр окна 7с у в интеграле

(1). На рис. 1 представлено схематическое изображение интегральных измерений неизвестного сигнала /(7) методом скользящих окон. Из соотношения (2) и рис. 1 видно, что временные интервалы частично пересекаются.

Наибольший интерес для практики представляют случайные изменения значений Ау и Т при переходе от одного измерения к другому. Отметим, что в [6] анализировалась эффективность восстановления сигнала для случая, когда эти изменения равновероятны и происходят вблизи некоторой средней величины каждого из параметров А и Т . Таким образом, задача состояла в восстановлении сигнала /(7) по известному набору интегральных величин di и значениям Ау и Т, которые могут случайным образом изменяться в некоторых пределах.

Если в (1) интеграл заменить какой-либо квадратурной формулой, тогда получим линейную обратную задачу:

й=АГ, (3)

где А — матрица линейного оператора размером N х К, а Г = (/1,..., /К) — вектор неизвестных значений восстанавливаемого сигнала, размерность которого равна К — числу мо-

Рис. 1

ментов времени, в которых восстанавливается сигнал. Очевидно, что число интегральных измерений N меньше числа точек восстановления сигнала К. Поэтому система уравнений (3) является недоопределенной и соответственно имеет неединственное решение, из всех возможных будем искать решение ^, минимизирующее квадрат евклидовой нормы невязки

ЛХТо)=тлп||а - АГ ||2,

ее решение дает так называемая нормальная система уравнений

АТ АГ = АТ а, (4)

где А — транспонированная матрица. Важным свойством системы (4) является то, что она всегда совместна, поэтому у нее существует решение (называемое также псевдорешением системы (3)), которое можно записать как

^ = (АТ А)-1АТ а.

Для численного нахождения псевдорешения ^ вместо непосредственного обращения

матрицы А А применяют так называемое сингулярное разложение матрицы А (БУО-разложение) [7—9]. Для этого матрицу А А представляют в виде:

АТ А = (и ОУТ )Т (иОУТ ) = УО(иТ и)0 УТ = УО2У Т, где О — диагональная матрица с элементами qi > 0 и размерностью К х К, а и и У — ортогональные матрицы размерностью N х К и К х К соответственно. Тогда решение системы (4), или псевдорешение системы (3), можно записать в виде

^ = (уо 2 Ут )-1 УоиТ а=УО- 1иТ а. (5)

Анализ спектрального состава сигнала / (^) по измеренному набору его интегральных характеристик можно провести, применив преобразование Фурье к восстановленному по правилу (5) сигналу на всем временном отрезке [¿ь, ¿е ]. Информацию о динамике изменения всего спектра отклика среды или его части можно получить, воспользовавшись методикой „скользящего" вдоль временного отрезка [¿ь, ¿е ] окна по отношению к восстановленной с помощью алгоритма (5) функции / (^) (подробней об этой методике см. [3, 4]).

8УО-восстановление формы сигнала и его спектра. В качестве первого примера восстановления формы сигнала и его спектра рассмотрим следующую функцию:

Г ¿-10 ?

/(I) = вт(1,2Г)+е ^ 10 ' 8т(1,5Г)+2е ^ 20 ' бш(40, (6)

моделирующую сигнал с несущими частотами Ш1 =1,2 , =1,5 и Ш3 = 4 .

На рис. 2, а приведен восстановленный БУО-методом сигнал /^). Исходный сигнал отдельно не приводится, поскольку в масштабах данного рисунка он практически совпадает с восстановленным. Вычисления проводилось на отрезке времени [0, 100] с постоянными значениями длины окна Т=1,5 и его сдвига Л=0,1, которые обеспечили полное отсутствие в спектре восстановленного сигнала посторонних частот. В этом смысле такие значения вычислительных параметров могут быть названы оптимальными. Для тех случаев, когда измерительная аппаратура не может обеспечить оптимальных значений параметров восстановления, в [4] предлагается несколько способов исключения ложных частот из спектра.

В качестве второго примера рассмотрим отклик среды (молекулы Ь-еузИпв) при воздействии реального терагерцового импульса, рассмотренного в [2] (рис. 5, а статьи [2]). На рис. 2, б представлены результаты восстановления отклика среды, полученные на временном интервале [-5, 20] с постоянной шириной окна Т=1 и постоянным сдвигом Л = 0,05. Для данных значений Т и Л , как и в предыдущем случае, спектр восстановленного сигнала (пунктир) не

содержит ложных частот. Для сравнения на рис. 2, б также приведен исходный сигнал (сплошная линия).

а)

Ш

3 2

1

0 -1 -2 -3

б)

f(t)| 1

0,5

20

40

60

80

100 t

-0,5

-1

-5

10

15

20 t

Рис. 2

Заметим, что никаких ограничений на восстанавливаемый сигнал f (t), кроме непрерывности, не требуется. В ряде случаев это приводит к неединственности SVD-восстановления сигнала. Так, для монотонной на отрезке [tb, te ] функции f (t) после SVD-восстановления можно получить кусочно-линейную функцию fSvD(t). При этом число „ступенек" у нее приблизительно будет равно (tb - te) / T . Для выяснения причины возникновения этих ступенек применяется подход,

предложенный в [3, 4], а именно: проводится несколько серий измерений с различными значениями окна T=const. Если исходная функция f (t) была гладкой, то после SVD-восстановления

с различными значениями T число „ступенек" у функции fSVD(t) будет изменяться. Если исходная функция была кусочно-линейной — оно останется тем же. Далее, при определении свойства гладкости у исходной функции f (t), для изменяющегося числа ступенек функцию fSVD (t) можно сгладить, например методом наименьших квадратов.

На рис. 3 приведена SVD-восстановленная функция f (t)=0,01t с окном T = 10 (а) и 5 (б). Там же приведена функция, полученная в результате сглаживания f§VD(t) методом наименьших квадратов. Она практически точно совпала с исходной функцией f (t)=0,01t .

а)

б)

At)

80

40

J

f(t)

80

40

■ / .

20

40

60

80

100 t 0 Рис. 3

20

40

60

100 t

Отметим, что для функций постоянных или кусочно-постоянных проблема неединственности при БУО-восстановлении не возникает.

8УБ-восстановление профиля пучка. Методика восстановления функции по серии интегральных измерений переносится на проблему определения профиля интенсивности

0

0

0

5

0

пучка. В качестве иллюстрации рассмотрим случай распределения интенсивности с осевой симметрией. Обозначим профиль пучка функцией / (х, у) = / (г), которая непрерывна в кру-

2 2 2

говой области х + у <Я с центром в начале координат. Вместо интегралов (1) рассмотрим

следующие выражения:

^ = | /(х,У)^у, i=1 N,

(7)

в

где — сечение поверхности г = /(х, у) плоскостью у, = к1х+Ъ, параллельной оси 2 .

Важно подчеркнуть, что плоскости измерений должны частично пересекаться. На практике измерения для лазерных пучков осуществляются с помощью оптических волокон [5].

Заменив интегралы в (7) квадратурными формулами так же, как и выше, получим линейную обратную задачу а = АГ с матрицей А размером N х К . Здесь К — число точек полярной сетки (гт, ф/), в которых восстанавливается функция. В качестве примера на рис. 4 представлено несколько восстановленных аксиально-симметричных функций [3] (а — / (г)=ехр(-г2), б — г2 ехр(-г2), в — 8т(г2), г — 8т(4г) ехр(-г2 /2). Для удобства здесь изображены распределения исходной (сплошная кривая) и БУО-восстановленной (пунктир) функции в сечении у = 0. Вычисления проводились в круге радиусом Я = 4 . При этом число не совпадающих по радиусу интегральных измерений было равно N = 20, а число точек по каждой полярной координате также было выбрано равным 20. Приведенные примеры показывают высокую точность БУО-восстановления аксиально-симметричных функций.

а)

/0|

б)

0,8

0,4

0

/о!

0,3

0,2

0,1

-4

-2

-4

-2

в) /0| 1

-1

г)

/о*

0,8

0,4 0

-0,4

-4

-2

-4

-2

Рис. 4

Распределения интенсивности, не обладающие аксиальной симметрией, удобней восстанавливать в декартовой системе координат. Пусть г = / (х, у) — неизвестная функция, форму

поверхности которой требуется найти в прямоугольной области 0=[х1, х2]х[у1, у2]. В качестве

интегральных значений рассмотрим „объемы" тонких полос шириной Н, каждая из

0

0

2

4

0

2

4

г

г

0

0

2

4

0

2

4

г

г

12 12

которых получена с помощью двух параллельных секущих плоскостей yf = ktx+bf , перпендикулярных плоскости OXY. Для восстановления поверхности f (x, y) введем в область Q равномерную по каждому из направлений сетку ш с шагами hx = (Х2 - Xi)/ L, hy = (У2 -yi)/M и аппроксимируем объемные интегралы dt на сетке какой-либо квадратурной формулой. Получаем систему линейных алгебраических уравнений (см. (3)) с матрицей A размером N х K, где N — число интегральных измерений (объемных полос), K = (L + 1)(M +1) — число точек сетки ш, в которых восстанавливается поверхность f (x, y) . Систему уравнений (8) будем решать SVD-методом совместно со стандартной тихоновской регуляризацией [10], т.е. искать вектор fo, минимизирующий следующий функционал

Fa (fo ) = mfin(||d - Af ||2 +a ||f ||2), (8)

T

где a>0 — параметр тихоновской регуляризации. Нетрудно показать, если A = UQV — сингулярное разложение матрицы A , то решение f0 задачи (8) находится по формуле

fo = VQaUTd, (9)

где Qa — диагональная матрица с элементами qt =аг- /(аг- +a), аг- — сингулярные числа матрицы A. Отметим, что аналогично предыдущим случаям N < K, поэтому задача имеет неединственное решение. Отметим, что значение H выбиралось таким образом, чтобы оно было меньше соответствующих шагов интегрирования по координатам: H <min(hx, hy). Это

обеспечивает наилучшую точность используемого метода.

На рис. 5 приведены примеры SVD-восстановления нескольких профилей интенсивности, которые задавались аналитически, от них отсчитывались соответствующие интегралы вдоль секущих плоскостей. Восстановление проводилось с различными значениями параметра регуляризации a; здесь а — F(x,y) = exp(-((x/2)2 + y2), б — F(x,y) = exp(-((x-1)2 + y2)), в —

F(x,y) = exp(-((x - 2)2 + y2)) + 2exp(-((x + 2)2 + y2)), г — F(x,y) = exp(-((x-2)2 + (y+2)2))+

+1,5exp(-((x-2)2 + (y-2)2))+2exp(-((x+2)2 + y2)) в области Q = [-2,2] х [-2,2], L = M = 20 (а, б); Q = [-4,4] х [-4,4], L = M = 40 (в, г) (число интегральных измерений N =241 (а), 217 (б), 721 (в, г)). Вычисления показали, что использование стандартной тихоновской регуляризации с a=10-6—10-3 не влияло на устойчивость решения и не приводило к какому-либо увеличению точности восстановления, т. е. введение тихоновской регуляризации не приводило к росту устойчивости алгоритма. Для устойчивого восстановления профиля пучка в приведенном выше алгоритме (8)—(9) вполне достаточно использовать только сингулярное разложение матрицы системы с соответствующим выбором сингулярных чисел. Максимальная погрешность восстановления формы пучка 8 = || f -fSvoHc/1| f Не (рис. 5, а) не превышает 6 %, что свидетельствует о высокой точности восстановления при сравнительно небольшом (по сравнению с числом точек сетки) числе интегральных измерений. В других случаях погрешность восстановления распределения была меньше 1 %. Отметим, что метод оптической томографии дает значительно большую (порядка 23 %) погрешность при реконструкции формы пучка (рис. 3 статьи [5]) и, как отмечают авторы работы, нуждается в существенной доработке.

Представленный алгоритм позволяет по одной серии интегральных измерений энергии лазерного излучения восстановить в одномерном случае форму импульса и его спектральный состав, а также проследить эволюцию спектральных амплитуд как отдельных частот, так и

всего спектра. Это особенно важно для развивающейся в настоящее время терагерцовой спектроскопии [11—15].

а)

Z 0,5

2 -2

Z

0 Y

Z

2 -2

г)

Z

4

Y

4 -4

Рис. 5

С помощью алгоритма проведено восстановление как аксиально-симметричных распределений интенсивности, так и профилей пучка общего вида, показавшее высокую точность предложенного метода, которой в настоящее время невозможно достичь на основе методов оптической томографии.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-507)

1

2

2

список литературы

1. Cohen L. Time-frequency distributions // Proc. IEEE. 1989. Vol. 77, N 7. P. 941—981.

2. Сафонов В. Н., Трофимов В. А., Шкуринов А. П. О точности измерения мгновенных спектральных интенсивностей фемтосекундных импульсов // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 4. С. 78—85.

3. Trofimov V. A., Varentsova S. A. New method for analysis of temporal dynamics of medium spectrum under the action of terahertz pulse // „Laser Physics and Photonics VII, Spectroscopy and Molecular Modeling". Proc. SPIE. 2007. Vol. 6537. N 653 703.

4. Варенцова С. А., Трофимов В. А. Восстановление сигнала и его мгновенных спектральных характеристик методом скользящих окон // ЖТФ. 2007. Т. 77, вып. 5. С. 58—64.

5. Булыгин Ф. В., Горяинова И. В., Ковалев А. А., Марамзин К. Д. Измерение распределения интенсивности в лазерном пучке методом оптической томографии // ЖТФ. 2007. Т. 77, вып. 7. С. 87—90.

6. Trofimov V. A., Troshchiev Yu. V., Varentsova S. A. Highly effective method for temporal terahertz spectroscopy under the condition of random probe signals // „Nonlinear Laser Spectroscopy and High-Precision Measurements; and Fundamentals of Laser Chemistry and Biophotonics". Proc. SPIE. 2007. Vol. 6727. N 67271H.

7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

8. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 303 с.

9. Nazarov M. M., Mukina L. S., Shuvaev A. V., Sapozhnikov D. A., Shkurinov A. P., Trofimov V. A. Excitation and propagation of surface electromagnetic waves studied by terahertz spectrochronography // Laser Phys. Lett. 2005. Vol. 2, N 10. P. 471—475.

10. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 284 с.

11. Berry E., Boyle R. D., Fitzgerald A. J., Handley J. W. Time frequency analysis in terahertz pulsed imaging // „Computer Vision Beyond the Visible Spectrum". Ser. Advances in Pattern Recognition. N.Y.: Springer-Verlag, 2005. Vol. 13. P. 290—329.

12. Smye S. W., Chamberlain J. M., Fitzgerald A. J., Berry E. The interaction between terahertz radiation and biological issue // Phys. Med. Biol. 2001. Vol. 46. P. R101—R112.

13. Berry E. Risk perception and safety issues // Biol. Phys. 2003. Vol. 129. P. 263—267.

14. Прохоров А. С., Анзин В. Б., Витухновский Д. А. и др. Терагерцовая спектроскопия спиновых стекол AuFe // ЖЭТФ. 2006. Т. 130, вып 6(12). С. 1027—1034.

15. Zandonella C. Terahertz imaging: T-ray specs // Nature. 2003. Vol. 424. P. 721—722.

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

лазерных технологий 26.12.07 г.

и экологического приборостроения

УДК 681.7.069.24:621.81-023.5

А. Г. Верхогляд

Конструкторско-технологический институт научного приборостроения Сибирского отделения РАН, Новосибирск

ОПТИЧЕСКИЙ ТРАКТ ЛАЗЕРНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ ПРЕЦИЗИОННОГО МИКРОПРОФИЛИРОВАНИЯ КРУПНОГАБАРИТНЫХ ИЗДЕЛИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Рассчитаны параметры лазерного излучения для одноимпульсного удаления металлических пленок, применяемых при создании большеразмерных антенн с заданной диаграммой направленности. С помощью реализованной оптической схемы лазерного технологического комплекса обеспечены необходимые параметры излучения на обрабатываемой поверхности произвольного профиля, долговременная (более 10 ч) стабильность этих параметров при высоких (до 3-109 Вт/см2) значениях плотности мощности на поверхности обрабатываемого изделия с сохранением хорошей адгезии между металлом и диэлектриком на границе зоны абляции при неровности края зоны менее 10 мкм.

Введение. Развитие средств связи и глобальных навигационных систем требует разработки технологии изготовления большеразмерных (диаметром в несколько метров) прочных антенн с заданной диаграммой направленности. Одной из наиболее перспективных является технология нанесения на заранее сформированную поверхность из углепластика тонкой металлической пленки с последующим ее удалением в соответствии с заранее рассчитанной топологией. Эта технология требует прецизионной аппаратуры (для антенн миллиметрового диапазона сформированная топология должна отличаться от расчетной не более чем на несколько десятков микрон по всему полю антенны) для удаления металлической пленки в соответствии с рассчитанной топологией. Формировать заданную топологию возможно с использованием многокоординатного лазерного технологического комплекса (ЛТК) [1—5].