CC BY
110
Я • 7universum.com
iA UNIVERSUM:
ЛЛД ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
МЕТОД ИЕРАРХИЧЕСКИХ РАНЖИРОВАНИЙ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРТНЫХ СУЖДЕНИЙ
Манасян Сергей Керопович
д-р техн. наук, проф., рецензент Ассоциации научных сотрудников «СибАК»,
Россия, г. Красноярск E-mail: Man as yans@m ai l. ru
Якунин Юрий Юрьевич
канд. техн. наук, доцент, руководитель НУЛ «Системный анализ и управление» кафедры информатики Института космических и информационных технологий ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», 660074, Россия, г. Красноярск, ул. Киренского, 26Б
E-mail: yyakunin@sfu-kras.ru
Ярещенко Дарья Игоревна
аспирант, ассистент НУЛ САУ кафедры информатики Института космических и информационных технологий ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», 660074, Россия, г. Красноярск, ул. Киренского, 26Б
E-mail: YareshenkoDI@yandex. ru
THE METHOD OF HIERARCHIC RANKING BASED ON EXPERT JUDGEMENTS
Sergey Manasyan
Doctor of Engineering Sciences, Professor, Reviewer of the Association of scientists "Siberian academic book",
Russia, Krasnoyarsk
Yury Yakunin
candidate of Engineering Sciences, associate professor, head of scientific and educational laboratory "System Analysis and Management" of the "Computer Sciences" Department of the Institute of Space and Information Technologies, Siberian Federal University, 660074, Russia, Krasnoyarsk, st. Kirenskogo, 26B
Манасян С.К., Якунин Ю.Ю., Ярещенко Д.И. Метод иерархических ранжирований на основе экспертых суждений // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 11 (22) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2763
Darya Yareshchenko
postgraduate student, assistant of the "Computer Sciences" Department
of the Institute of Space and Information Technologies, Siberian Federal University,
660074, Russia, Krasnoyarsk, st. Kirenskogo, 26B
АННОТАЦИЯ
Статья посвящена исследованию и развитию методов экспертных оценок в управлении организационными системами. Описываются результаты исследований применения данных методов для ранжирования иерархических альтернатив, которые представляют собой дерево показателей, используемое для оценки состояния организационного объекта в заданный момент времени. В статье приводится описание метода, позволяющего осуществлять анализ и обработку экспертной информации для выполнения ранжирования альтернатив, объединенных в иерархию. Применение данного метода позволит в дальнейшем сравнивать организационные объекты, описанные иерархической структурой показателей.
Исходными данными для поставленной задачи являются суждения экспертов на последнем уровне иерархии с возможными пропусками данных, если эксперт затрудняется ответить что-либо о соотношении альтернатив в некоторых парах. Попарное сравнение альтернатив на последнем уровне иерархии представляется в виде матриц отношений. С помощью матриц отношений рассчитываются оценки альтернатив на последнем уровне, которые служат основой для нахождения оценок альтернатив на вышестоящем уровне и т. д. В результате определяются оценки альтернатив на каждом уровне иерархии. На основе найденных оценок производится ранжирование альтернатив на каждом уровне. Приводится пример расчета оценок альтернатив на каждом уровне иерархии и их последующее ранжирование.
ABSTRACT
The article is devoted to research and development of expert assessment methods in the management of organizational systems. Results of studies are described using these techniques for hierarchical ranking of alternatives which are indicators of the tree used for the assessment of an organizational object at a given
time. In the article the description of a method that allows making an analysis and processing of expert information to perform ranking of alternatives combined in a hierarchy. Application of this method will allow comparing organizational objects described by the hierarchical structure of indicators in future.
The initial data for the task is opinions of experts on the last level of the hierarchy with possible data skipping, if the expert cannot answer anything about the ratio of alternatives in some pairs. Pair-wise comparison of alternatives on the top level of the hierarchy is represented as a matrix of relationships. With the help of matrix relations, evaluation of alternatives at the last level is calculated which serves as the basis for a finding of estimates of alternatives to higher levels, and so on. As a result, evaluations of alternatives at each level of the hierarchy are determined. On the basis of found assessments, rankings of alternatives are made at every level. An example of calculating estimates of alternatives at every level of the hierarchy and their subsequent ranking is given.
Ключевые слова: экспертные оценки, ранжирования, пропуски данных.
Keywords: expert assessments; rankings; data skipping.
Введение
Экспертные оценки широко используются в области поддержки принятия решений, в частности при определении рейтингов разного рода объектов [1]. В реальной жизни объекты чаще характеризуются набором качественных характеристик, которые собраны в укрупненные группы, а те в свою очередь в еще более общие разделы. Таким образом, объекты уже характеризуются не простым перечнем показателей, а иерархией показателей.
В настоящее время процедуры проведения экспертиз и методы обработки мнений экспертов имеют под собой хорошее научное обоснование [2]. Тем не менее методы и подходы для поиска ранжирований объектов по иерархическим показателям в публикациях не встречаются.
Проведение экспертизы объектов по иерархическим показателям требует предварительной оценки весов самих показателей в иерархии, для чего также привлекаются группы экспертов. Поэтому в задаче, описанной в данной статье, показатели иерархии сами являются объектами экспертной оценки, ранжирование которых и требуется найти в первую очередь.
В данной работе за основу взят метод строчных сумм, в котором каждая матрица сравнений «полна», т. е. для любых двух различных альтернатив содержит результат их сравнения, а также обобщение метода строчных сумм П.Ю. Чеботарева [3], где матрицы парных сравнений заполнены лишь частично, например, если эксперт затрудняется ответить что-либо о соотношении альтернатив в некоторых парах.
Настоящая работа посвящена обобщению метода строчных сумм для иерархических ранжирований. В этом случае требуется проранжировать альтернативы, находящиеся на каждом уровне иерархии, путем предоставления возможности экспертам попарно сравнить альтернативы на последнем уровне иерархии. Попарное сравнение альтернатив может выполняться частично, т. е. предполагается наличие пропусков данных. Попарное сравнение экспертами представляется в виде матриц отношений на последнем уровне иерархии, что является исходными данными для поставленной задачи.
Обобщение метода строчных сумм для иерархических ранжирований Пусть имеется некоторая иерархия A (рис. 1). На каждом уровне иерархии содержится некоторое количество альтернатив Ad = Я,adadMd}, где d = l,D,
D - количество уровней иерархии, md = l,Md, Md - количество альтернатив на каждом уровне иерархии. Каждая альтернатива ad на d -м уровне иерархии может иметь дочерние альтернативы на (d +1) уровне, это отношение обозначим следующим образом: Rad = }, где md+1 = l,Mda ,
M d - количество дочерних альтернатив, принадлежащих одной альтернативе
md
на (d -1) уровне.
Рис. 1. Иерархия А
Td = {гld,T2d,...,Tnd} - это множество парных сравнений альтернатив по предпочтительности на последнем уровне иерархии, где Tkd (к = 1, n, где n -количество экспертов) - матрица парных сравнений размерности Md х Md, элемент которой tk при i ф j выражает в некоторой шкале результат сравнения
альтернатив af и af к -м экспертом. Диагональные элементы tkd
не соответствуют никаким сравнениям и поэтому равны 0, т. к. альтернатива является несравнимой сама с собой. Матрицы Tkd являются частично определенными, т. е. если к -м экспертом альтернативы af и af (i ф j )
не сравнивались, то элементы tkd и tkd не определены, и поэтому в матрице
на месте неопределенного элемента будет стоять пропуск «-». Т. к. эксперты выполняют попарное сравнение альтернатив по предпочтительности, в результате будут получаться неколичественные парные сравнения. Для неколичественных парных сравнений элементы матрицы Tkd можно определять следующим образом:
tkd ={
V
1, если ad У ad;
0, если ad = ad;
-1, если ad < ad;
"-", если объекты не сравнивались.
Для определения оценок альтернатив на последнем уровне иерархии используется обобщенный метод строчных сумм П.Ю. Чеботарева [3]. Вначале вычисляются неполные строчные суммы sf для матриц Ты:
-d =£tf , i = 1,Mf
i t—l i
J ,k
(1)
(символ X здесь и далее обозначает суммирование по таким J, к, что t:
kd
J
j,k
3tf
dt
j
определено) вместо неопределенного элемента tf, который обозначается как пропуски «-», используется математическое ожидание ET {tf), которое пропорционально разности оценок сравниваемых альтернатив:
Ет{к)=4*f -xf ), (2)
где в - неотрицательная постоянная, а xf и xf истинные веса элементов tkf на основе мнений экспертов. Т. е. разность {xf - xf) показывает, насколько истинный вес xf i -ой альтернативы лучше истинного веса xf j -ой альтернативы.
Обобщенные строчные суммы xf:
xf = sf + sf ,
где sf = X E ). Для ET {tkf) выполняются следующие ограничения:
jJk tk не d
-i < et {tkf )< i (т.к. -i < tkf < i),
-nM‘l -l)<x <nMf -l) и Xx = 0
i=1
(3)
(4)
(5)
(свойства строчных сумм).
В случае, когда матрицы отношений не имеют пропусков, обобщенные строчные суммы совпадают с обычными строчными суммами. Если имеют место пропуски, то x f задаются математическим ожиданием E .
Для в должно выполняться условие s\xf - xf\ < 1 (т.к. ET {tf Ы-i, i]). Учитывая, что max|xf -xf| = 2nM‘i -i), получаем ограничение для s [3, с. 130]:
1
0 < s <
2n(Md -1) ‘
(6)
d
i ,
На основе формул (2) и (3) получаем нерекуррентные соотношения на x которые позволяют записать систему линейных уравнений:
xd = si + Zs{xf -xj), i =1,Md , (7)
j ,k
4 не 3
с ограничениями (5) и (6).
При s = 0 обобщенные строчные суммы совпадают с неполными строчными суммами, которые, очевидно, дают неправильное итоговое упорядочивание. Поэтому рекомендуется устанавливать для s наибольшее значение, т. к. если рассматривать крайний случай, когда истинный вес альтернативы xd принимает самое наибольшее значение, а x d самое
наименьшее значение, то математическое ожидание ET (t™) будет равно 1,
значит, s должно принимать наибольшее значение:
s =
1
2n(Md -l)'
В результате решения системы линейных уравнений (7), находятся оценки альтернатив на последнем уровне иерархии. Для найденных оценок необходимо выполнить нормировку, т. е. линейное преобразование всех значений альтернатив таким образом, чтобы эти значения попадали в сопоставимые по величине интервалы:
xd - x
~d = b Xi Xmm , (8)
x - X
max min
где xmn и xmax - некоторые заранее назначенные числа, которые назовем характерными масштабами, например, для нахождения данных значений нужно взять самое минимальное и самое максимальное значение из полученных оценок и увеличить их на 5 %, для того чтобы исключить получение 0 и 1 для показателей с минимальной и максимальной оценкой соответственно. Коэффициент перенормировки - b нужен для того, чтобы сумма нормированных значений была равна 1. Коэффициент b находится из формулы (9):
(9)
Md
»S X = i •
i=1
Далее вычисляются оценки альтернатив, находящихся на всех вышестоящих уровнях иерархии. Оценки альтернатив на d -м уровне иерархии характеризуются максимальной оценкой среди дочерних альтернатив на (d +1) уровне. Поэтому оценки на вышестоящих уровнях определяются следующим образом:
х?-1 = max~d +1 ■ f(xf ), (10)
где max~ d - максимальная оценка среди дочерних альтернатив, f \xf) - среднее
арифметическое значение от остальных дочерних альтернатив, l -коэффициент перекрытия дочерних альтернатив (т. к. дочерние альтернативы связаны между собой), который определяется следующим образом:
Z(max~d+1 ■ f(~f ))= 1 (11)
i=1 i
Решая уравнение (11), находим коэффициент l и подставляем его в формулу (10) для отыскания оценок на (d -1) уровне.
Рассмотрим пример расчета оценок альтернатив. Пусть определена следующая иерархия А (рис. 2).
Имеем n = 3 экспертов, их мнения, для уровня d = 3, разделились следующим образом:
1 эксперт: a\, a3 ^ a\ > a\ > а.3 ^ a], a3 ^ a3;
2 эксперт: af, a2 ^ a%, О,, a3 ^ a53, a83 ^ a|;
3 эксперт: a\ > a3 ^ af, a3 ^ a3, a], a3 ^ a].
Рис. 2. Заданная иерархия А
Матрицы парных сравнений будут выглядеть следующим образом:
уг 13 _
(0 -1 1 -1 1 -1 -) ( 0 0- 1 1 - 1 -)
1 0 1 -1 1 0 - 0 0- 1 1 - 1 -
-1 -1 0 - -1 -1 -1 - - -0 - - - - -
- - - 0- - - 1 II -1 -1 - 0 1 - 0 -
-1 -1 1 -0 -1 -1 - -1 -1 - -1 0 - -1 -
-1 -1 1 -1 0 -1 - - -- - - 0 - -1
1 0 1 -1 1 0 - -1 -1 - 0 1 - 0 -
V -1 - 0) V - -- - - 1 - 0 J
у33 _
(0 -11 - - 1 0 -1) 1 0 1 - - 11 -1 -1 -1 0 - - 0 -1 -1
- - - 0 1 - - -
- - - -1 0 - - -
-1 -1 0 - - 0 -1 -1
0 -1 1 - - 1 0 -1
1 11 - - 11 0
Рассчитываем неполные строчные суммы s 3 по формуле (1):
sf = 4; s 3 = 10; s3 = -9; s 3 = 1; s| = -8; s 3 = -6; s3 = 3; s83 = 5.
Определим s по формуле (6): 0<s<0,024. Для s возьмем наибольшее
значение 0,024.
Составляем систему линейных уравнений по формуле (7) и находим
X3 =
оценки альтернатив на третьем уровне иерархии:
( 5,127 )
12,339 -12,684 2,075 -11,097 - 7,926 3,925
V 8,24 J
Для полученных значений сделаем нормировку по формуле (8),
где xmn =-13,351 и = 12,988. Получаем следующие значения:
(0,173 )
0,241 0,006 0,144 0,021 0,05 0,162 0,202
~3 =
Vй’
Получаем следующее ранжирование: a3 у a\ у a\ у a3 у a3 у a\ у a\ у a3.
Теперь найдем веса альтернатив на втором уровне по формуле (10).
Находим коэффициент l = 1,004. Веса альтернатив на втором уровне:
( 0,415 )
0,006
~2 =
0,165
0,212
0,202
Vй’
*2 .
Получаем следующее ранжирование: a2 у a2 у a52 у a32 у a2 Зная веса альтернатив на втором уровне, аналогично находим веса
альтернатив на первом уровне:
d
( 0,421 ^ 0,165 .
v 0,414 J
Получаем следующее ранжирование: a\ > a 1 ^ a 1.
Вывод
Проведенные эксперименты показали адекватность метода, который
позволяет проранжировать альтернативы на каждом уровне иерархии на основе мнений экспертов на последнем уровне.
Список литературы:
1. Гехман А.В. Обработка результатов экспертиз в реестре научнотехнических разработок / А.В. Гехман, Ю.Ю. Якунин, А.А. Даничев, А.А. Володин // Вестник сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнева. - Красноярск: СибГАУ,
2010. - Вып. 6 (32). - С. 30-34.
2. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование. Ч. 2: Экспертные оценки / А.И. Орлов. - М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2011. - 486 с.
3. Чеботарев П.Ю. Обобщение метода строчных сумм для неполных парных сравнений / П.Ю. Чеботарев // Автоматика и телемеханика. - 1989. - № 8. -С. 125-137.
References:
1. Gehman A.V., Iakunin Iu.Iu., Danichev A.A., Volodin A.A. Processing of the results of examinations in the register of scientific and technical developments. Vestnik sibirskogo gosudarstvennogo ajerokosmicheskogo universiteta imeni akademika M.F. Reshetneva [Bulletin of the Siberian State Aerospace University named after Academician M.F. Reshetnev]. Krasnoyarsk, SibGAU Publ., 2010, Issue 6 (32), pp. 30-34. (In Russian).
2. Orlov A.I. Organizational-economic modeling. Part 2: Expert estimates. Moscow, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 2011. 486 p. (In Russian).
3. Chebotarev P.Iu. A generalization of the row sums for incomplete pairwise comparisons. Avtomatika i telemehanika /Automation and telemechanics], 1989, no. 8, pp. 125-137. (In Russian).
