Научная статья на тему 'Метод Галеркина в задаче дифракции Е-поляризации на произвольной цилиндрической поверхности'

Метод Галеркина в задаче дифракции Е-поляризации на произвольной цилиндрической поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
178
42
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / МЕТОД ГАЛЕРКИНА / ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОСОБЕННОСТЬ / ЯДРО / ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ / INTEGRAL EQUATION / GALERKIN METHOD / LOGARITHMIC SINGULARITY / CORE / PARABOLIC SURFACE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Эминов И. С.

Методом Галеркина решена задача дифракции Е-поляризованных электромагнитных волн на произвольной цилиндрической поверхности. Проведены численные расчеты и продемонстрирована высокая эффективность метода Галеркина.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Метод Галеркина в задаче дифракции Е-поляризации на произвольной цилиндрической поверхности»

УДК 621.396:517.9

МЕТОД ГАЛЕРКИНА В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ ^-ПОЛЯРИЗАЦИИ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ И.С.Эминов, В.С.Эминова

Институт электронных и информационных систем НовГУ, eminovsi@mail.ru

Методом Галеркина решена задача дифракции Е-поляризованных электромагнитных волн на произвольной цилиндрической поверхности. Проведены численные расчеты и продемонстрирована высокая эффективность метода Галеркина.

Ключевые слова: интегральное уравнение, метод Галеркина, логарифмическая особенность, ядро, параболическая поверхность

Problem of E-polarized electromagnetic waves diffraction on the arbitrary cylindrical surface is solved by the method of Galerkin. We conducted the numerical calculations and demonstrated high efficiency of the method.

Keywords: integral equation, Galerkin method, logarithmic singularity, core, parabolic surface

1. Введение

Интегральные уравнения имеют место в теории дифракции, теории антенн, а также в теории упругости. В связи с этим наблюдается огромный интерес исследователей к ним.

Существуют несколько методов решения интегральных уравнений. Так, в [1] для решения интегральных уравнений развит метод механических квадратур, а в [2] используется метод коллокации на основе кусочно-постоянного базиса. В работах [3-5] для решения интегральных уравнений теории дифракции на полосе развит метод Галеркина. В этих работах показана высокая скорость сходимости метода Галеркина, преимущества этого метода по сравнению с другими численными методами.

Таким образом, представляются актуальным разработка алгоритмов и программ решения интегрального уравнения на цилиндрической криволинейной поверхности, основанных на методе Галеркина.

2. Интегральное уравнение дифракции для волн ¿"-поляризации на идеально-проводящей полосе

Известно [1], что неизвестная функция плотности поверхностных токов в задаче дифракции Е-поляризации на идеально-проводящей полосе удовлетворяет интегральному уравнению

[ Л ( )Н 02 )(с э|т - ^ = Е° (т)-^7Л[^ -1 ^ Т ^1 С1)

-1 a э\ д

э 1 2п

где а = ak = a— — электрическая полуширина по-

лосы; Н02 \2 ) = J0 (2)- 1Ы0 (2) — функция Ханкеля 2го рода, нулевого порядка; J0 (2) — функция Бесселя; Ы0 (2) — функция Неймана.

Заметим, что функция Бесселя является бесконечно дифференцируемой, а функция Неймана имеет логарифмическую особенность в нуле.

Выделяя логарифмическую особенность в ядре, сведем интегральное уравнение (1) к стандартному виду

где

(Aj)(т) + (Mj)(т) = е0 (т)

1

(Aj )(т )=1 Jj(t

1

(Mj )(т ) = -- J j (t )j 0 (т - /| )dt -

-1

1

1 J j (t) N0 ( т -1|)--1n| т -1|

2 •> L n

(2)

dt,

e0 (т ) = ^-,| ^ E0 (т).

a

3. Метод Галеркина

Для нахождения приближенного решения интегрального уравнения (2) будем применять метод Галеркина на основе следующих базисных функции

Фш (т) аm I------------ Tm-i (т)

VI-

1

Tm-1 (т) —

полиномы

где а1 = м 1 V

V nln2 v п

Чебышева 1-го рода, т.е. Tm-1 (т ) = COS [( m -l)arccos т].

Замечательным свойством этих базисных

функций является то, что матрица оператора А в

этом базисе является единичной, т.е.

f1, если m = п,

(АФт , Фп ) = 1„ (3)

[0, если m Ф п.

Кроме того, удается найти интегралы от произведения базисных функций и тригонометрических в аналитическом виде.

Решение интегрального уравнения

1 1

— J j (t )ln 1 dt + J M (т, t )j (t )dt = e 0 (т )

будем искать в виде

j (т )=Х cm Ф m (т )

m=1

(4)

Подставив (5) в (4), получим следующее уравнение:

1 г N 1 N г

- J X^m (t )іпГ-tjft + Tf” J M (t )ф” (t d = е(т)‘ (6)

* — т=1 I * * I т=1 —

Умножая уравнение (6) на базисные функции фп (т) и интегрируя, получим систему линейных алгебраических уравнений

N 1 1

-1 Я‘”| т - „

-1-1 1 1

N 1 1

+ У С у

N 1 1

TC” “ J flnr-tí Ф ” (t )Ф n (t )dtdT +

“ T-t

" 1 -i-i I I

N 1 1

TC” \\M (T,t )Ф ” (t )Ф n (т )dtdT =

m=1 -1-1

-Je(T) фn (T)dx, 1<n<N.

Учитывая свойство (3) эту систему можно записать в виде

где

cn +T C”Mmn = en , m =1

11

Mmn =UM (T,t ) Ф m (t )Ф n (т )dtdT .

-1-1

4. Результаты численных расчетов

Правую часть интегрального уравнения (4) бу-

что соответ-

-ia 3xsin 0

дем задавать в виде Е0 (т ) = Е0е ствует падению плоской волны на полосу под углом

0, постоянную Е0 положим равной

£

В табл.1 показана сходимость метода Галерки-на в зависимости от числа базисных функций.

Таблица 1

Зависимость решения от числа базисных функций

N аэ = п, 0 II , т II о аэ = п/ 2, 0 = 0, т = 0

Re(/) Im0') ReÜ') Im( j )

2 1,276769 -0,574979 1,336703 -0,380770

4 2,003910 0,187737 1,583669 0,080651

6 2,068187 0,162933 1,595322 0,087705

8 2,071617 0,159237 1,595522 0,087784

10 2,071723 0,159066 1,595523 0,087783

Как видно из таблицы, достаточно быстро наступает стабилизация. Для полуволновой полосы результаты при N = 8 и N = 10 совпадают с точностью до шестого знака. Такая быстрая сходимость связана с выбором базисных функций.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Интегральное уравнение дифракции для волн ¿-поляризации на произвольной цилиндрической незамкнутой поверхности

Рассмотрим падение ¿-поляризованной волны на произвольную незамкнутую цилиндрическую поверхность. Параметризация контура, образованного пересечением этой поверхности с плоскостью 2 = 0, выгля-

дит следующим образом: x = £(т), у = п(т), -1 ^ т ^ 1,

L =>/[(т)-&)Т + [(т)-n(t)]2 •

Интегро-дифференциальное уравнение относительно плотности поверхностных токов имеет вид

j jz (t )H 02)(kLW e (t)+n'2 (t )dt = E0 (т), (7)

-1

где H 02)(z ) = J0 (z)-iN0 (z) — функция Ханкеля 2-го рода, нулевого порядка; J0 (z) — функция Бесселя, No (z) — функция Неймана. Введем в него новую неизвестную по формуле

u (т) = jz (т )(W ^'2 (т)+n'2 (т) ) , тогда уравнение (7) примет вид

j u(t )H 02 XkL )t = E0 (т ). (8)

-1

А теперь в уравнении (8) выделим логарифмическую особенность. В результате получим стандартное интегральное уравнение с выделенным логарифмическим оператором

(Aj)(т) + (Mj)(т) = е0 (т),

где

1

(Aj)(т) = - ju(t)l^r--Tdt,

П - |т -1|

(Mj)(т)=-2 ju(t J02)(kL)dt -

-1

- — ju(t) N0 (kL)- —Ink -1| dt, e0 (т)=-2i \^E{0 (т). 2 J L n J V Д

В качестве примера рассмотрим уравнение дифракции на параболическом цилиндре:

2 2

a т л л x = ат, y =--------------, - 1 < т < 1.

2 Р

Таблица 2

Зависимость решения от числа базисных функций

N 0 = п/ 6, аэ = п/ 2, pэ = 2, т = 0

Re( j ) Im(j )

2 1,219612 0,042190

4 1,014287 0,074782

6 0,939045 0,085494

8 0,939017 0,090356

10 0,939338 0,090471

20 0,939346 0,090474

40 0,939348 0,090462

Как следует из табл.2, метод Галеркина быстро сходится в задаче дифракции на параболической поверхности.

Увеличение параметра рэ приводит к уменьшению кривизны (табл.3). При этом форма параболы приближается к форме отрезка.

Таблица 3

Зависимость распределения тока от кривизны

рэ 0 = 0, аэ = п/2, N = 10, т = 0

М./) 1т(/ )

1 0,289232 0,530130

10 1,488292 0,164256

100 1,585181 0,095397

1000 1,594492 0,088544

10000 1,595420 0,087859

Как следует из таблицы, результаты решения интегрального уравнения совпадают с соответствующими решениями интегрального решения для полосы.

6. Об обосновании метода Галеркина

Для исследования уравнения с логарифмической особенностью в ядре

11

(Ах)(т)+(Мх)(т) = — ^х()1п ^ ^М(т^)х() = в0 (т)

п -1 !т ' -1

вначале рассмотрим уравнение вида

і

(Ах )(т ) = — Г хіґ )іп . 1 Ж

п |т - ґ\

которое можно решить в аналитическом виде

+ад ( 1 ^

Ф т (т> (9)

Х = А 1Х = Х| Г^ Фт

т=1 ^-1 )

Умножая обе части уравнения (9) на обратный А-1, получим

х + Кх = х + А~хЫх = А~'е . (10)

Используя методы функционального анализа, можно доказать, что оператор А~1М вполне непрерывен, а уравнение (10) является уравнением Фред-гольма второго рода. Отсюда можно получить обоснование сходимости метода Галеркина.

7. Заключение

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты.

1. Развит метод Галеркина, а в качестве базисных функций использованы полиномы Чебышева,

помноженные на функцию ф(/) = 1

VI-

2. Разработана программа для решения интегрального уравнения в задаче дифракции на произвольной незамкнутой цилиндрической поверхности. В качестве примера рассмотрен параболический цилиндр. Продемонстрирована высокая скорость сходимости метода Галеркина по мере увеличения числа базисных функций. Также показано, что полученные результаты совпадают с результатами других авторов, полученными другими методами.

1. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук. думка, 1984. 344 с.

2. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. 184 с.

3. Артемьев В.В., Плотников В.Н., Эминов С.И. // ЖТФ. 1995. Т.65. Вып.3. С.72-79.

4. Артемьев В.В., Плотников В.Н., Эминов С.И. // ЖТФ. 1994. Т.64. Вып.11. С.117-126.

5. Эминов С.И. // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38.

№12. С.2160-2168.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.