CC BY
4
УДК 681.5.015
DOI: 10.14529/ mmp230110
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА В ЗАДАЧЕ О ПРЕОБРАЗОВАНИИ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
В.Л. Хацкевич1, О.А. Махинова1
1 Военно-Воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, г. Воронеж, Российская Федерация
Рассматривается динамическая система, описываемая линейным дифференциальным уравнением высокого порядка с постоянными коэффициентами. Методом функций Грина установлена зависимость между числовыми характеристиками случайного сигнала на входе и выходе динамической системы, а именно между математическими ожиданиями и между корреляционными функциями. В отличие от известных результатов, не предполагается стационарность входного и выходного случайных сигналов.
Ключевые слова: непрерывные случайные процессы; математические ожидания; корреляционные функции; динамические системы со случайными функциями.
Введение
Случайные процессы описывают случайные явления в динамике их развития. Они широко используются в различных прикладных задачах, в частности, в теории автоматического регулирования, при обработке и передаче сигналов радиотехнических устройств, в экономике, в теории массового обслуживания [1]. Различные аспекты этой тематики представлены в недавних работах [2-4].
В данной работе рассматриваются непрерывные случайные процессы с непрерывным временем. В ней установлена связь между числовыми характеристиками случайного процесса на входе и выходе динамической системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами n-го порядка. А именно, в работе получены формулы, выражающие зависимость между математическими ожиданиями входного и выходного случайных сигналов, а также между соответствующими корреляционными функциями.
Результаты данной статьи опираются на развитие метода функции Грина на случай дифференциальных уравнений со случайными функциями. Предлагаемый подход является альтернативой стандартному подходу в классической задаче о преобразовании стационарного случайного сигнала линейной динамической системой с постоянными коэффициентами [1, гл. 8], который предполагает стационарность (в каком-либо смысле) рассматриваемых случайных процессов.
Математическое ожидание решения линейной системы дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами без предположения о стационарности изучено в работе [4] с использованием вариационных производных. В отличие от [4] в настоящей работе рассмотрены не только математические ожидания, но и корреляционные функции.
Приведем определения и известные свойства математических ожиданий и корреляционных функций случайных процессов [6, гл. V]. Пусть (П, Е, P) - вероятностное пространство некоторого стохастического эксперимента, где П - множество элементарных событий, Е - сигма-алгебра борелевских подмножеств из П, P - вероятностная мера. Пусть [t0 , T] - отрезок расширенной числовой прямой.
Случайным процессом (с.п.) называют семейство случайных величин £(t) = £(ш, t) при ш £ П на вероятностном пространстве (П, Е, P), зависящее от параметра t £ [to, T]. При этом параметр t интерпретируется как время.
Обозначим через Ь2 = Е, P) - гильбертово пространство случайных вели-
чин с конечным вторым моментом М£2 < то, где символ М обозначает математическое ожидание. Скалярное произведение для случайных величин £, п € Ь2 определяют формулой (£, п) = М£п. Ниже будем предполагать, что случайный процесс £(Ь) € Ь2 при всех Ь € [Ь0, Т].
Математическим ожиданием с.п. £ (Ь) называют неслучайную функцию ш^(Ь) = М£(Ь), которая при каждом фиксированном Ь € [Ь0,Т] равна математическому ожиданию £(Ь). Корреляционная функция с.п. £(Ь) определяется формулой К(Ь,в) = М[(£(Ь) - М£(Ь))(£(в) - М£(в))].
Утверждение 1. Математическое ожидание от производной дифференцируемого случайного процесса £(Ь), производная которого £'(Ь) интегрируема, совпадает с производной от математического ожидания: М(£'(г)) = |М(£(^)).
Утверждение 2. Пусть £(Ь) - интегрируемый на [Ь0,Т] случайный процесс. Тогда
М(/ £(т)^т) = / М(£(т.
¿0 ¿0
1. Метод функций Грина
Устройство называют линейной динамической системой, если связь между входом и выходом описывается дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами. Если на входе и выходе наблюдаются случайные сигналы £(Ь) и п(Ь) соответственно, то линейная динамическая система описывается дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве Ь2 случайных величин с конечным вторым моментом
ап п(п) (Ь) + а„_1П(га-1)(£) + ... + а^) + аоп(*) = = Ьт£ (т)(Ь) + 6т_1£ (п-1)(Ь) + ... + 61 £ '(Ь) + Ьо£ (Ь) = Ь(Ь). (1)
Здесь коэффициенты а^ (г = 0, ...,п) и 6^ (г = 0, ...,ш) - постоянные числа.
Приведем некоторые вспомогательные сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение п-го порядка с непрерывной ограниченной на всей числовой оси функцией f (Ь)
ап х(п) + ап-1х(п-1) + ... + а1 X + а0х = f (Ь). (2)
Функцию С(Ь) называют функцией Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (2), если она удовлетворяет следующим условиям [6, гл. 2, §2]:
1) С(Ь) непрерывно дифференцируема (п — 2) раза при всех Ь, а (п — 1)-я и п-я производные непрерывно дифференцируемы при всех Ь за исключением Ь = 0, причем С(п-1) (+0) — С(п-1)(—0) = 1;
2) во всех точках, кроме Ь = 0, функция С(Ь) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению, соответствующему (2) (при f (Ь) = 0);
3) функция Грина и ее производные подчинены оценке |С(г) (Ь)| < Ме_7'4'
(г = 0,1,..., п — 1); —то < Ь < +то, где М и 7 - некоторые положительные постоянные.
Имеет место следующая лемма.
Лемма 1. [5, гл. 2, §8] Пусть корни характеристического уравнения апАп + ап-1 Ап-1 + ... + а1 А + а0 = 0 не содержат точек мнимой оси. Тогда для любой непрерывной ограниченной на всей оси функции f (Ь) уравнение (2) имеет,
Вестник ^ЭУрГУ. Серия «Математическое моделирование
и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2023. Т. 16, № 1. С. 116-122
ограниченное на всей оси решение, причем единственное. Оно дается формулой
оо
х(Ь) = / 0(Ь — в)/(в)дв, где 0(Ь) - функция Грина задачи об ограниченных решениях
— те
уравнения (2).
Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка X+вх = / (Ь) при в > 0. Его функция Грина О1 в задаче об ограниченных решениях согласно
„ , ч (е—вг при Ь > 0, определению имеет вид 01(ъ) = <
[0 при Ь < 0.
Так что ограниченное на всей оси решение данного уравнения характеризуется г
формулой х(Ь) = / е-в(г—/(в)дв.
—о
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка а2 х + а1х' + а0х = / (Ь). Пусть, например, корни характеристического уравнения а2А2 + а1А + а0 = 0 вещественны и различны, причем А1 < А2 < 0. Тогда функция Грина 02 задачи об ограниченных решениях имеет вид
0 (Ь) = I (еЛзг — еЛ1 г) (А2 — А1) —1 при Ь > 0, 2( ) \0 при Ь < 0.
Так что ограниченное на всей оси решение данного уравнения определяется формулой
г
х{1) = I л - еЛ1(4"5)) ¡(з)д8.
2. Преобразование непрерывного случайного процесса линейной динамической системой
Связь между математическими ожиданиями входного и выходного случайных сигналов динамической системы (1) характеризует следующая теорема.
Теорема 1. Пусть случайный процесс Н(Ь) на входе динамической системы (1) непрерывен и ограничен на всей числовой оси, а характеристическое уравнение апАп + ап—1Ап—1 + ... + а1А + а0 = 0 не имеет корней на мнимой оси. Тогда математическое ожидание Ыгц(Ь) случайного процесса на выходе динамической системы (1) представимо в виде
Mn(t) = G(t - s)Mh(s)ds, (3)
где G - функция Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (2).
Доказательство. Действительно, рассмотрим математическое ожидание от левой и правой части равенства (1). Используя свойства аддитивности и однородности математических ожиданий, а также утверждение 1, получим
an(Mn(t))(n) + an-l(Mn(t))(n-1) + ... + ai(M<q(t)j + a0 MV(t) = = Ьт M (t))(m) + bm-i M (t))(m-l) + ... + bl M (t))' + boM (t)) = Mh(t). (4)
110 Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming
118 & Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2023, vol. 16, no. 1, pp. 116-122
—те
те
— те
Тогда для скалярной функции mn(t) = Mn(t) выполнено уравнение (2) при f (t) = Mh(t). Так как в условиях теоремы 1 правая часть уравнения (4) - ограниченная на всей оси функция, то согласно лемме 1 функция mn(t) является ограниченным на всей оси решением уравнения (4) и справедлива формула (3). □
Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 1 на вход поступает «квазистационарный» сигнал, т.е. M£(t) = m^ = const. Тогда на выходе также будет <квазистаци-онарный> сигнал, причем его математическое ожидание Mrq(t) = mv =
Связь между корреляционными функциями случайных сигналов на выходе и на входе динамической системы (1) характеризует следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно вещественные части всех корней соответствующего характеристического уравнения отрицательны (ReAi < 0 i = 1,...,n). Тогда корреляционная функция Kn (t i, t2) случайного сигнала n(t) на выходе динамической системы (1) определяется формулой
tl t2
K(ti,t2)= / i G(ti - Si)G(t2 - S2)Kh(Si,S2)dSidS2, (5)
—те —те
где - корреляционная функция входного сигнала й(Ь) = 6г£(г)(Ь), а С -
функция Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (2).
Доказательство. В условиях теоремы 2 ограниченное решение уравнения (1)
г
имеет следующий вид п(Ь) = / С(Ь — При этом согласно теореме 1
—те
г
Мп(Ь) = / С(Ь —
_те
о г о
Определим центрированный процесс П (Ь) = п(Ь) — Мп(Ь) = ] С(Ь — в) й
_те
о о ¿1 о
где й (в) = й(в) — Мй(в). Тогда П (Ь1) = / С(Ь1 — й (¿1)^1,
_те
о ¿2 о
П (Ь2) = ] С(Ь2 — в2) й (в2Следовательно,
—те
, о \ / о
П (ti) П (t2) = / G(ti - si) h (si)dsi / G(t2 - S2) h (S2)ds2
—те —те
оо
tl t2
/ / (G(ti - Si)G(t2 - S2)) h (si) h (s2)dsids2.
—те —те
Поэтому
tl t2
M
n (ti),n (t2)
M
оо
(G(ti - si)G(t2 - S2)) h (si) h (s2)dsids2
—те —те
Вестник !Ю"УрГ"У. Серия «Математическое моделирование 119
и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2023. Т. 16, № 1. С. 116-122
Меняя здесь порядок операций нахождения математического ожидания и интегрирования (на основании утверждения 2), получим
11 t2
Kv (t I,t2)= / M (0(1-1 - Si )G(t2 - S2)) h (в-) h (S2)
dsids2.
— те —те
Вынося за знак математического ожидания под интегралом неслучайную функцию Сг(¿1 — 8\)0(12 — ^2), получим требуемую формулу (5). □
Случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если он имеет постоянное математическое ожидание, а его корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Взаимосвязь между корреляционными функциями входного и выходного случайных процессов динамической системы (1) при дополнительном предположении о стационарности в широком смысле определяется широко известным алгоритмом [1, гл. 8], опирающимся на теорему Винера - Хинчина. Подчеркнем, что результат теоремы 2 не предполагает стационарности входного либо выходного случайных сигналов динамической системы (1).
Пример 3. На вход интегрирующей ИС-цепочки, описываемой дифференциальным уравнением + = /3£(£), ¡3 = > 0, (где Я - сопротивление, С - ем-
кость), поступает непрерывный случайный ограниченный на всей оси сигнал £ (¿). Тогда математическое ожидание и корреляционная функция сигнала 'ц(^) на выхо-
г
де, согласно теоремам 1, 2 и примеру 1, имеют вид: Мц(Ь) = / М£(в)йв,
—те
К(11,12) = в2е—т +2) / / ев(п +Г2)К?(7-1,7-2)^7-2.
—те —те
Пример 4. На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением ц (¿) + (¿) + 3'ц(^) = £(¿), поступает непрерывный случайный ограниченный на всей оси сигнал £ (¿). Укажем характеристики выходного случайного сигнала п(^).
Заметим, что корни соответствующего характеристического уравнения А2 + 4А + 3 = 0 имеют вид А1 = — 3,А2 = -1. Тогда в соот-
г
ветствии с теоремами 1, 2 и примером 2: Мц({) = [ 02(Ь — ,)М£(в)йв,
—те
¿1 t2
Кп (11,12 ) = I / 02(1- — Т- ) О2 (¿2 — Т2 )К (Т1 ,Т2)дг1 йТ2.
—те —те
Здесь 02 - функция Грина, определенная в примере 2.
Заключение
В данной работе продемонстрировано применение методики функций Грина к решению задачи о преобразовании случайных сигналов линейной динамической системой. Предлагаемый подход позволил получить в рассматриваемой предметной области новые результаты, отказавшись от общепринятого ограничительного условия -стационарности рассматриваемых случайных процессов. Результаты представленной работы дают возможность расширить область практических приложений.
Подчеркнем, что основная техническая трудность предлагаемой методики состоит в построении явного вида функций Грина для конкретных ситуаций. Отметим, что
важные результаты по методу функций Грина в задаче об ограниченных решениях для дифференциальных уравнений п-го порядка получил А.И. Перов [6].
Литература
1. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и их инженерные приложения / Е.С. Вент-цель, Л.А. Овчаров. - М.: Кнорус, 2016.
2. Лихтциндер, Б.Я. Об оценках средней длины очереди для одноканальных систем массового обслуживания через статистические безусловные моменты второго порядка мо-дифицированого входного потока / Б.Я. Лихтциндер, И.А. Блатов, Е.В. Китаева // Автоматика и телемеханика. - № 1. - 2022. - С. 113-129.
3. Шайкин, М.Е. Анализ динамического регулятора по выходному сигналу для стохастических систем мультипликативного типа / М.Е. Шайкин // Автоматика и телемеханика. -№ 3. - 2022. - С. 54-68.
4. Задорожний, В.Г. Математическое ожидание решения линейной системы дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Теория вероятности и ее применение. - 2021. - Т. 66, № 2. - С. 284-304.
5. Красносельский, М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов. - М.: Наука, 1970.
6. Перов, А.И. Ограниченные решения векторно-операторных нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А.И. Перов, Е.В. Иванова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2012. -№ 2. - С. 198-206.
Владимир Львович Хацкевич, доктор технических наук, профессор, кафедра математики, Военно-Воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (г. Воронеж, Российская Федерация), [email protected].
Ольга Алексеевна Махинова, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики, Военно-Воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (г. Воронеж, Российская Федерация), [email protected].
Поступила в редакцию 18 мая 2022 г.
MSC 93E99 DOI: 10.14529/mmp230110
THE GREEN FUNCTION METHOD IN THE PROBLEM OF RANDOM
SIGNAL TRANSFORMATION BY A LINEAR DYNAMIC SYSTEM
V.L. Khatskevich1, O.A. Makhinova1
:Air Force Academy named after N.E. Zhukovsky and Y.U. Gagarin, Voronezh,
Russian Federation
E-mail: [email protected], [email protected]
A dynamic system is considered, which is described by a high order linear differential equation with constant coefficients. The Green's function method established the relationship between the numerical characteristics of a random signal at the input and output of a dynamic system, namely between mathematical expectations and between correlation functions. In contrast to the known results, the stationarity of the input and output random signals is not assumed.
Keywords: continuous random processes; mathematical expectations; correlation functions; dynamical systems with random functions.
Вестник ЮЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование
и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2023. Т. 16, № 1. С. 116-122
B.^. Хацкевнм, O.A. MaxHHOBa.
References
1. Ventcel E.S., Ovcharov L.A. Teorija sluchajnyh processov i ih inzhenernye prilozheniya [Theory of Random Processes and Their Engineering Applications], Moscow, Knorus, 2016.
2. Likhttsinder B.Y., Blatov I.A., Kitaeva E.V. On Estimates of the Mean Queue Length for Single-Channel Queuing Systems in Terms of Statistical Unconditional Second-Order Moments Of The Modified Arrival Flow. Automation and Remote Control, 2022, no. 1, pp. 113-129.
3. Shaykin M.E. Analysis of Dynamical Output Regulator for Stochastic Multiplicative Type Systems. Automation and Remote Control, 2022, no. 3, pp. 54-68. DOI: 10.31857/S0005231022030059
4. Zadorozhniy V.G. The Expectation of a Solution of a Linear System of Differential Equations with Random Coefficients. Theory of Probability and its Applications, 2021, vol. 66, no. 2, pp. 228-244.
5. Krasnoselskij M.A., Burd V.Sh., Kolesov Yu.S. Nelineinye pochti periodicheskie kolebaniya [Nonlinear Almost Periodic Oscillations]. Moscow, Nauka, 1970.
6. Perov A.I., Ivanova E.B. Bounded Solutions of Nonlinear Vector-Operator Differential Equations of the n-th Order, is not Permitted for the Highest Derivative. Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2012, no. 2, pp. 198-206.
Received May 18, 2022
