Метод фильтрации численных результатов с восстановлением значений коэффициентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

лектуальных регуляризованных процедур принятия многокритериальных управленческих решений с

ориентацией на существующий вид неопределенности и нечеткость исходной информации.

список литературы

1. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория [Текст] / М. Интрилигатор. -М.: Прогресс, 1985. - 606 с.

2. Кини, Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения [Текст] / Р.Л. Кини, Х. Райфа. Под ред. И.Ф. Шахнова; Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.

3. Ромакин, М.И. Математический аппарат оптимизационных задач [Текст] / М.И. Ромакин. -М.: Статистика, 1991. -111 с.

4. Фролов, Ю.В. Интеллектуальные системы и управленческие решения [Текст] / Ю.В. Фролов. -М.: МГПУ 2000. -294 с.

УДК 519.6(07)

Н.М. Шерыхалина

МЕТОД ФИЛЬТРАЦИИ ЧИСЛЕННЫх РЕЗУЛЬТАТОВ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ ЗНАЧЕНИй КОЭФФИЦИЕНТОВ

Рассматриваются методы обработки результатов численного эксперимента. Цели этой обработки заключаются в получении оценки погрешности, а также в уточнении и наглядном представлении результатов анализа функционирования численных алгоритмов и программ. В данной статье развиваются и усовершенствуются методы, предложенные в [1, 2].

Недостатки известных методов численной фильтрации

Задача фильтрации [1] ставится на основе математической модели зависимости приближенных результатов вычисления численными методами:

zn = z + cxnkl + c2rTh +... + cLrTkL + Д(п), (1)

где z - искомое значение; zn - приближенный результат, полученный при числе узловых точек, равном n; k - произвольные действительные числа (kj<k2<.. ,<kL). Такая зависимость имеет место при применении многих численных методов.

Пусть имеется конечная последовательность z(0) = zn,i = 1, ..., I вычисленных результатов. Численной фильтрацией [1] называется последовательное устранение (подавление) компонент погрешности, т. е. определение отфильтрованных последовательностей z^, j = 1, 2, ... Фильтрация сводится к линейной комбинации

znt' = а Я '' + Pj-z^-1', причем a j и Pj определяются таким образом, чтобы константа z не изменялась, а очередная степенная компонента погрешности n ' была исключена.

Повторная фильтрация приводит к последовательности следующего вида [1]:

z<J) = z + cj+'M j +... + cL)n-kL + Д(j) (n),

i = j + 1, ..., /, j = o, 1, ... (2)

(где с™ = cm, m = 1, ..., L), осуществляемой для модели (1) при Q = nj jnj-1 = const > 1 с помощью формулы Ричардсона:

7О-1) _ 7( j-1) 7 (j ) _ 7 (j-1) + n

(3)

ОТ1-1

Фильтрация имеет как положительные, так и отрицательные качества. К положительным следует отнести полное устранение компонент погрешности, к отрицательным - изменение (как правило, увеличение) остальных компонент при применении формулы (3):

= — +Р, = — ^-^т,

■ + 1 . 1 (4)

т = - + 1 , ..., Ь.

В то же время вычитание компонент погрешности, коэффициенты которых найдены с помощью идентификации [2], не изменяет другие компоненты. Однако метод определения коэффи-

Научно-технические ведомости СПбГПУ 1' 2012 ^ Информатика. Телекоммуникации. Управление

циентов с^ более чувствителен к влиянию нерегулярной составляющей Д(п).

Видоизменение метода численной фильтрации

Предлагается видоизменить формулу фильтрации так, чтобы коэффициент при первом из оставшихся слагаемых принял свое исходное значение. Для этого рассмотрим линейную комбинацию трех членов последовательности 2{п.Х) вида

г0) = а 2а-1) + В 2а-1) + у 2а-1) =

п, ] п,-2 п, -1 1 ] п,

= 2 (а. + в j + У.) + сУ-1)х

( „ V

а

V п-2 у

^ „ V

+р,

V п-1 у

+ 7/

п. 1 +...

. + с

( -1) 1+1

( „ Г'+1

а

Л

+ в/

+ У/

и потребуем выполнения условий

а. +ру +У/ =1,

^ „ у.

с 0-1) с1+1

а

а

V п-2 у

^ „ у.

+ в/

V Пс-1

+ У/= ^

( „ У+1

V п,- - 2 у

( т \

+ в/

V п-1 у

+ 7/

= с (0)

Решение этой системы уравнений имеет вид

ф+1 -п.+ ек (п.-1)

а =-----

1 е - 1)(б'1+1 - 1)(б'1+1 - е^)'

в = -П. + е.п.-1)

в / . „к

где

. (ек -1)( е^-щ е^1- е.

7!= 1 -а,-Р,=

=1+ек.+1( ек 1 -1)+(п.-1) екп ек.-1) + (ек.-1)( ек+1 -1)( ек.+1 -еко

п.= и с.+-1)

(5)

Таким образом, получим формулу фильтра-

ции

2 (Л = 2 С/-Ч +

ек.+1 -п.+ек. (п.-1) е - 1)(ек.+1 - 1)(ек.+1 - ек)

(2

0-1) - 20-1)

(6)

)) -

е2к+1 -п.+ е^(п.-1) (.--1)).

(ек -1)( ек+1 -1)( ек+1 - еко

В результате фильтрации коэффициенты с()

изменяются следующим образом:

с0) =

ек,л -п.+еЧп,-1) , (ек -1)( ек+1 -1)( ек+1 - ек)

<е . -1) -

/"\2к, +, /~\2к . , л ч (7)

е ' -п.+ е .(п.-1) (ек -1)(ек.+1 -1)(ек+1 - ек)*

х( ек-+г -1)+1 ] с(+-

1 = 1,..., Ь~].

Пусть . = 1. При этом в соответствии с (5) п = с20)/ с20) = 1. Согласно (6), формула фильтрации

ек2 (2 <0) - 2 <0)) - 2 <0) + 2 <0)

2(1) = 2(о) , ^ ^п п,-^ ^ ^

п п (ек -1)( ек2 - еК)

Согласно (7), коэффициенты равны

с(1) =

Ч+1

1

( е^-щ ек - еЪ

(е2к -1) -

(8)

ек2 +1

-(е1 -1)+1

,(0)

(е^-щ ек2 - е^)'

В частности, при I = 2 отсюда следует

е2кз -1

с(1) =

(ек2 +1)( екз -1)

+1

„(0)

(ек1 -1)( ек2 - ек1)

Отсюда с помощью (5) найдем выражение для п2 на следующем шаге фильтрации = 2:

„(0)

п2 ="

12 с(1)

е2кз -1

(ек - ^^^^^^ ^ ^^

(ек2 +1)( екз -1)

+1

(ек1 -1)( ек2 - ек1)

Применив формулу (8) при I = 3, и (7) при . = 2, I = 2, в соответствии с (5) получим:

пз =-

с(0) _

„(2)

с(0) с(1) С4 С4 с(1) с(2) С4 С4

1

(ек -1)( ек2 - еК) ек2 +1

(е2к4 -1) -

(ек1 -1)( ек2 - ек1)

(ек4 -1)+1

X

3

X

Qk -n + Qk2(n -1) (Qh -1)(Qk -1)(Qk - Q2)

(Q2k4 -1) -

Q^ -n + Q k2(n -1) Q - 1)(Qk -1)(Qk - Qk2)

Q -1) +1

Этот процесс можно продолжить до любого применяя рекуррентную формулу (7)

П j =

j cw c(1+), c(+-2)

J+1 = J+1 J+1 J+1

c(J-1) " c(1) c(2) " ' c(J-1)

, (9)

Таким образом, полностью определены параметры формулы фильтрации (6).

Модели погрешности, основанные на показательных функциях

Зависимость погрешности от числа узлов для некоторых численных методов, например, метода простых итераций решения нелинейных уравнений, суммирования рядов и решения многих нелинейных задач методом коллокаций может быть представлена в виде

2Я = ^ + с^ + с2 уя +... + сь Ц + Д(я), (10)

где |у — < 1, причем числа у - могут быть как действительными, так и комплексными.

В этом случае следует провести численный эксперимент по схеме с нарастанием числа узлов на константу: = -1 + к . При этом формула фильтрации типа (3) примет вид

z О) = z + -s.—^

n n y -1

(11)

Значения Y-k можно приближенно найти из эксперимента по формуле

а) б)

z (J-1) - z (J-1)

n-2_n-1

z( J-1) - z( J-1)

Y1-

Для метода простых итераций справедливо соотношение у ■ = у ■ - у. В этом случае формула фильтрации (11) выглядит следующим образом:

JJ) _

= z_ +-

z., - z„

у- Jk -1 последовательно

Повторив

рассуждения

предыдущего раздела, можно получить выражения, аналогичные (5)-(9), в которых числа Q ' заменятся на у-к, например, формула фильтрации

7 °) = 7 °-1) +

я, я

+ Y-+1 -Пj +Y-k (ПJ -1) (z(j-1)

'- '- '- ^ n. т

(Y-k -1)(Y-+1 -1)(Y-+1 -Y-k )

Y-+1 -П j + Y-2 k (П J -1) '(Y-k -1)(Y-+1 -1)(Y-+1 - Y-k )

- z

(J-1)

)-

(z

(j-1)

-z

(j-1)

).

Применение видоизмененного метода численной фильтрации

Применим предложенный метод фильтрации к примеру, рассмотренному в [2]. На рис. 1 приведены оценки относительных погрешностей второй разностной производной

d2y (x) = y(x + h) - 2y(x) + y(x -h) + O(h2)

dx2 h2

функции y = cosx при y =0,5.

При этом шаг сетки h = 1/n. Графики представлены в логарифмическом масштабе. По оси ординат отложены десятичные логарифмы относительных погрешностей -lgS, 8 = z(i)|

Рис. 1. Результаты оценки погрешности и уточнения в сравнении с фильтрацией по формуле Ричардсона: а - методом покомпонентного вычитания; б - методом с восстановлением значений коэффициентов

Прямая у = 19 - 2 • ^ я

4

Научно-технические ведомости СПбГПУ 1' 2012 Информатика. Телекоммуникации. Управление

Рис. 2. Результаты оценки погрешности и уточнения методом с восстановлением значений коэффициентов в сравнении с фильтрацией по формуле Ричардсона: а - численного дифференцирования; б - численного интегрирования Прямые у = 19 - ^ п и у = 16,5 - п

(точность, выраженная в количестве точных десятичных значащих цифр), по оси абсцисс -десятичные логарифмы п. На рис. 1 а толстыми линиями обозначены результаты вычитания компонент погрешности (1) с коэффициентами, полученными с помощью идентификации [2], тонкими линиями - результаты фильтрации по формуле Ричардсона [1]. Видно, что фильтрация уменьшает точность по сравнению с вычитанием, что объясняется увеличением коэффициентов с^) (4) при фильтрации. Это снижает эффект фильтрации. Прямая у = 19 - 2 • п, ограничивающая точность, является результатом погрешности округления.

Применение предложенного выше метода фильтрации с восстановлением значения коэффициента в первом оставшемся слагаемом (рис. 1 б, толстые кривые) позволяет практически полностью устранить этот недостаток (тонкими кривыми обозначены результаты применения формулы Ричардсона), однако использует три члена последовательности для осуществления шага фильтрации. В связи с этим результат третьей фильтрации практически находится на уровне погрешности округления.

Рассмотрим применение предложенного метода фильтрации к другим численным методам. На рис. 2 а показаны результаты исследования

первой разностной производной той же функции, что и в предыдущем примере:

ф (х) = у(х + И)- у(х - к)+ 0{Ь2). dx 2И

Сравнение результатов предложенного метода (рис. 2 а, толстые кривые) с результатами применения формулы Ричардсона (тонкие кривые), как и на рис. 1 б, показывает увеличение точности при фильтрации. Применение этого метода к задаче численного интегрирования той же функции на отрезке [0, п/2] методом средних прямоугольников (рис. 2 б) показывает примерно те же результаты. Качественно все рассмотренные примеры отличаются только характером погрешности округления, который определяется численным методом.

Поставив различные условия можно получить разные формулы фильтрации. Выбор конкретного метода фильтрации зависит от решаемой задачи. При этом необходимо учитывать такие факторы, как взаимное соотношение регулярных компонент погрешности, их соотношение с нерегулярной составляющей А(п) и вид А(п).

Предложенные методы фильтрации и идентификации могут использоваться в различных комбинациях для повышения надежности оценок.

список литературы

1. Житников, В.П. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов [Текст] / В.П. Житников, Н.М. Шерыхалина, С.С. По-речный // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2009. -№ 3 (80). -С. 105-110.

2. Житников, В.П. Решение задачи идентификации при оценке погрешностей численных результатов [Текст] / В.П. Житников, Н.М. Шерыхалина, С.С. По-речный // Научно-технические ведомости СПбГПУ. -2010. -№ 1 (93). -С. 60-63.