CC BY
23
УДК 534.2
МЕТОД ФАЗОВЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ
АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
В. П. Дзюба1, Р. В. Ромашко1, И. Н. Завестовсжая2'3, Ю. Н. Кульчин1'3
В статье предлагается обобщение известного в квантовой механике метода фазовых функций на задачи рассеяния акустических волн на неоднородностях сплошной среды. В основе идеи использования, указанного метода в а,кустике лежит то, что волновое уравнение для, звукового потенциала или давления, в неоднородной среде специальной подстановкой сводится, к уравнению Шредин-гера с переменным, потенциалом, рассеянного поля.
Ключевые слова: рассеяние акустических волн, метод фазовых функций.
Метод фазовых функций хорошо известен в квантовой механике [1. 2]. Идея его использования в акустике основывается на том. что волновое уравнение для акустического давления в неоднородной среде [3], которое имеет вид:
1 д 2Р (г ,1) +Ар + Гр + ~ 1 у 1п р (1)
с(г)г дЬ2 у J
где р(г) - плотность среды, с(г) - скорость звука в ней, а /(г,Ь) - объемная плотность СИЛЫ, возбуждающей акустическое поле в среде, подстановкой
р (г>ь) = V Ш)и (г>*)
сводится к уравнению, формально тождественному стационарному уравнению Шредин-гера для частицы в потенциальном поле у(г). В области вне источников поля уравнение (1) принимает следующий вид:
" 3Ур(г)Ур(г) Ар(г)'
1 д2U(r,t) .
сщ^Н - AU (rJ) +
4p2(r) 2p(r)
U (r,t) = 0. (2)
Для спектральных составляющих и (г, и) это уравнение переходит к виду:
Аи (г,и) + к20и (г,и) = у(г)и (г,и), (3)
1 Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 690041 Россия, Владивосток, ул. Радио, 5; e-mail: vdzyuba@iacp.dvo.ru.
2 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53.
3 Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", 115409 Россия, Москва, Каширское ш., 31.
номер 12. 20Ц г.
Краткие сообщения по физике ФИАН
где квадрат волнового вектора к0 = и2/с2(г0) - аналог энергии частицы, с(го) - скорость звука в некоторой точке пространства, относительно которой определяется изменение параметров среды, а потенциал
и
2
v{r) = k2 — -^г + c2 (r)
3Vp(r)Vp(r) Ap(r)
(4)
4р2(г) 2р(т) _ '
Пусть в среде имеется локализованная неоднородная область, на которой происходит рассеяние звукового поля. Поместим начало координат внутрь этой неоднородной области. Вдали от неё поле можно представить суперпозицией падающей на область плоской волны и рассеянной на потенциале у(т) сферической волны [1-4] и (г, и) = вгк°г + Е (9,р)вгк°г/т, оде к0 = и/с(т0). Комплексная амплитуда рассеянного поля Е(9, у>) определяет дифференциальное ¿а = \Е(9,^>)\2ё^ и полное сечения рассеяния звука а = / ¿а на потенциале ь(т). Если потенциал сферически симметричен, то
решение уравнения (3) допускает разделение переменных, которое можно представить в виде суперпозиции парциальных волн, соответствующих определенным значениям постоянной разделения переменных I. Для радиальной составляющей парциальной волны Це(т) имеет силу уравнение [см., напр., 1, 2]
d2r/e(r) +
k2 - - v(r)
m(r) = о, (5)
dr2
где i принимает целые положительные значения. Амплитуда F(9) = -¡т (2i +
0 £=0
1) exp(ió£) sin ó£P£(cos 9) вследствие симметрии является функцией только полярного уг-9
яния ᣠ[1, 2 и др.]. На больших расстояниях от рассеивающей области, если потенциал v(r) убывает быстрее, чем O(r-1), %(r) ~ sin(k0r — in/2 + ó£), а полное сечение рассеяния равно а = Ш (2i + 1)sin2 ó£. Метод фазовых функций заключается в переходе
0 £=0
от уравнения (3) к уравнению непосредственно для фазы рассеяния. Для этого будем искать n£(r) через функции Риккати-Бесселя i£(k0r) и n£(k0r), являющиеся решениями свободного уравнения (3) в виде n£(r) = A£(r)[i£(k0r) cos ó£ — n£(k0r) sinб^]. В дальнем поле модуль вектора плотности потока энергии парциальной составляющей акустического поля I£ ~ n£(r) = A2(r) sin(k0r — in/2 + 6£) cos(k0r — in/2 + 6£). Для этого необходимо выполнение следующего условия: jn£(r) = A£(r) [ji£(k0r) cos ó£ — jn£(k0r) sin ó£~\, которое совместно с уравнением (5) приводит к следующим уравнениям для фазы рассеяния ó£ и амплитуды Á£(r)\
d 1 2
—S£(r) = ——v(r)[i£(ko r)cos Ó£ — n£(kor)sin Ó£¡2, ¿£(0) = 0, (6)
dr k0
d 1
—Ae(r) = — —Ae(r)v(r)[ie (ko r)cos 5e — ne(kor)sin 5f][ie (r)sin 5e + ne(kor) cos óf]. (7)
dr ko
Если потенциал имеет аксиальную симметрию, то. вводя цилиндрическую систему координат (р, ф, z) и представляя полное поле в виде суммы падающей и рассеянной волн вгк°рcosv + f (ф)вгк°р/^/р, можно записать радиальную составляющую парциальной волны через суперпозицию функций Бесселя и Неймана в виде R m Am(r)[Jm(kop) cos 5m — Nm(kor) sin 5m] с асимптотикой Rm ~ —¡= cos(kop — mn/2 — п/4 + 5m), где 6m - фаза рассеяния. Повторяя рассуждения, изложенные выше, мы придем к следующим уравнениям для фазы и амплитуды, справедливым в случае цилиндрической симметрии рассеивающей области среды I
d п
-r$m(r) = —7T pv(r)[Jm(kor) Cos 5m — Nm (kgr) sin Óm]2, 5m(0) = 0, Óm(^) = 5m, dr 2o
d п
~¡~ Am(r) = — - pAm(r)v(r)[Jm(kor) cos 5m—Nm(kor) sin 5m][Jm(kor) sin 5m+Nm(kor) cos 5m}-dr 2
При этом сечение рассеяния а = ко S £m sin2 5m, где £o = 1, £m = 2, m = 1, 2,....
m=o
Фазовое уравнение является хорошо изученным нелинейным уравнением Риккати. В отличие от него, уравнения для амплитудной функции Am(r) или A¿(r) линейны и могут быть проинтегрированы в явном виде.
Для использования приведенных уравнений в различных прикладных задачах принципиальным является вопрос о количестве парциальных составляющих, которые необходимо учитывать. Если величина i(i + 1)/r2 или m2/p2 (в случае цилиндрической симметрии) в радиальном уравнении существенно больше потенциала рассеяния v(r), то движение волн можно считать свободным, практически неподверженным рассеянию. Если, наоборот, потенциал v(r)
существенно больше. то поле испытывает сильное рассеяние. Из этих рассуждений вытекает неравенство для определения числа суммируемых парциальных составляющих v(r) > i (i + 1)/r2 или m2/r2. Величина r определяет размеры области вокруг начала координат, которая в рассеяние волн вносит незначительный вклад по сравнению с внешней областью. В случае, когда |v(r)| << 1, достаточно использовать одну или две парциальные составляющие с i, m = 0,1. Для потенциала v(r) > 0 (например, скорость звука c(r) > co) производная фазы и са-
v(r) < 0
тельна. Важно и то, что, интегрируя фазовое уравнение, мы можем, выбирая значения i, наблюдать эффект
действия различных областей неоднородности. Рассмот-
d
номер 12. 20 Ц г.
Краткие сообщения по физике ФИАН
k0d < 1. Пусть шар жесткий и внутри однороден. При этом, v(r) ~ k0, и фазовое
уравнение (6) при i = 0 заменой sinó0(r) ~ ó0(r) преобразовывается в следу ЮЩвв'
d
ó0(d) ~ — (k0d)'3/3 — k0 f ó0(r)dr. В силу монотонности фазы и условия ó£(0) = 0 ин-
0
теграл можно положить равным ó0(d)k0d/2. И для фазы рассеяния на всем объеме шара получаем ó0(d) ~ —(k0d)3[1 — k0d/2 + (k0d)2/4 + ...\/3, а полное сечение рассеяния а = (k0d)4(1 + k0d +... )2. Если шар мягкий, то внутри шара, где r < d и k0r < 1, для фазы можно положить ó0(r) ~ k0r. ^^и ^^^^^^^^гаи на всем шаре ó0(d) ~ k0d, а полное сечение рассеяния (эффективный поперечник рассеяния) равно а = 4nd2. Полученные значения полного сечения рассеяния, которые в акустике часто именуются эффективным поперечником рассеяния, близки (твердый тттар) либо полностью совпадают (мягкий тттар) со значениями, полученными при прямом решении соответствующей краевой волновой задачи [4 и др.].
Метод фазовых функций легко обобщается на одномерное распространение поля (прохождение волн сквозь одномерный потенциал) и на среду с поглощением (ком-плексныи потенциал). Полезность этого метода в том, что он позволяет свести задачу к решению хорошо изученных уравнении в обыкновенных производных^ <вь не к решению краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами. Во-вторых, этот метод позволяет исследовать и промоделировать вклад различных областей рассеивающих объектов в полное рассеянное поле.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект Л"2 1412-01122).
ЛИТЕРАТУРА
[1] В. В. Вабиков. Метод фазовых функций в квантовой механике (М., Наука, 1976).
[2] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифтциц, Квантовая, механика (М., Физматлит, 2002).
[3] Л. М. Бреховских, Волны в слоисты,х средах (М., Изд-во АН СССР, 1957).
[4] Л. Ф. Лепенднн, Акустика (М., Выстп. Школа, 1978).
Поступила в редакцию 17 ноября 2014 г.
