Метод двойственных сеток в расчетах контактного изгиба плит сложной формы, лежащих на упругом слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

1 Ао!а аа! ёшаА1 1 и о МО! Ё а вачхАоао ё!1оаёо1!а! ёсаёаа !ёёо м!ж1!ё о!и и, ЁАжАи Ёо 1а о! боа! 1 М! А

N.1 . Лёаё1'ёе1а, Ё.А. Ааш1а ( I АШ)

I 6ааё!жа1 -нёпёаПйё аёа1бео1 п6аоё^апё1а1 бай^аоа 1ёё6 пё!жПё б!61й, бап1'1ё1жа11йб 1а оГдоа! 1 1п11аа1ёе 6ё!а 161 П6ба1п6аа111а1 ё!1-6ё16о! а (1! ёо! 6! п66а1 п6а!, пё!ё ёпа-Н!ё 61ёйё1й ё а6.). Е&0 а1ёа 66аа-1 а! ёу ё9аёаа 1ёё6й ! 1 6аааёуа6пу п 111 !й и^ 66а6а ёи1! ё па6ёё ё! 1а-Нйб уёа1 а!61а. Е&аё6ёа1йа аааёа1ёу а 69ёаб 1аб!ау6пу п ёп11 ёи91 аа! ёа1 1 Пш-6а1 ёи11ё паоёё а6а1ё-Нйб (ё!16аё6{йб) уёа1а161а, аа!ёп6аа1иё ёпб! а11ё 66а6а1 ёи! !ё ёпа-Ч! -уёа1 а16Лё па6ёа.

А 6аа! 6а 6апт а66ёааа6пу ё! 1 6аё611 а а^аё! 1 ааёп6аёа 61 66-а!ё ¿916б1111ё 1ёё6й ё 6166аШ а 1айа1 пё6^аа 1аёёаппё^апё1а1 1п11аа1 ёу. Е 1 ёё6а 1 дёё! жа1 а 1161 аёи1 ау ё п6ааё111ё 1 ё! пё! поё ё ^ё^! ёш! 6ат6аааёа11ау 1аа669ёа д(ху) (6ёп. 1). ЕпП ёи96а6-пу 6а5 дёу 01 { ёёо 1 ёёо, 1 т 1 аа! { ау { а аё! 1 оа^ао Ёёдоа! б а-Ёуаа. I 6аа1! ёаааа6пу, ^6! 1 6! аёай 1 ёё6й ё аад6ёёаёшйа 1 ада! ай а! ёу 61 66аl а! хпПаа^у а ё! 1 6аё61 !ё 9!1а та1 ааа^ 6, &9аё1! ааёп6аёа 1 ёё6й ё хпПаа^у 1 6! ёпб! аё6 ¿¿9 ! 6п6а-аа1 ёу, а ёапа6аёш йа 1 а1 6ужа1 ёу а ! аёап6ё ё! 1 6аё6а ! 6п66п6а6^ 6.

Еёп. 1. Еап^а61 ау пба1 а 1 6! п66а1 п6аа1 -1!ё ё!1 6аё61! ё 9ааа-нё ё9аёаа 1 ёё6й

I а6а! а6ё^-апёау б!61 6ёё6! аёа 9ааа^ё ё! 1 6аё61! а! ё9аёаа 1ёё6 1а 61 66® 1 хпПаа-1 ёё паiаё6пу ё пёаа6^ й аё пёп6а1 а ё1 6аа6! -аёбба6а1 оёаёшйб 66аа1 а1ёё [1,2]:

(

Б

д4w 2д4w

д4 w Л

у дх4 дх2ду2 ду4 у

= Ч(х, У) - Р(х, у) ,

w(х, у) = Цр(^, п) ю (х, у, Ь,йц ,

А

ааа Б = Екъ/12(1 — V ) - оёёё1а6ё^-апёау жапдёiп6й 1ёё6й, Е - iiа6ëй 6l66аl-п6ё, V - ёхуббёоёаЮ I6апп11а, к - 6iëйё1а 1ёё6й; р(ху) - 6ааёдёа1i а аааёа1ёа 6166-

_1/2008_MrBECT™K

aiai iñíiááíéy, ra(x,y,n) - óóíéoéy áeéyíéy (óóíéoéy A5éíá), ii5áaáéy^úáy eií-óáéóí ó^ i i aáéü iñíiaáí éy.

Áéy i i 5áaáéáí éy í ái 5ysáí í i -aáói 5i é5i aáí í i ai ñi ñói yí éy i ééóü i Qéi áí áí i á-óia ei í á^-í üo yéái áíóia a oiQiá iáóiaá i á5ái áúáíéé, aéy ei ói 5i ai aéi ááéüí áy ñéñóá-i á ó5áaí áí éé éi ááó ñéáaó^ ú éé aéa:

[k ]{A}=-F}-n (1)

aaá [K]- aei ááéüí áy i áó5éoá ffiáñóéi ñóé i ééóü; {A} - aáeói 5 ñóái áí áé ñai ái aü iéé-óü; {F} - aáeói5 aáéñóáó^úéo íá iééóó ó^eiáüo íáa5ó5ié, ii5áaáéyáiüé ii fáaáííié íá i i aá5oí i ñóé i ééóü 5áñi 5áaáéáí íié í áa5ó5eá q(x,y); {P} - aáeói 5 5ááeoéé iñíiaáí éy.

Áéñe5áóí áy ói5iá ñayjé áá5óééáéüí ü o i á5ái áúáíéé ii aá5oí i ñóé ói 5óai ai iñíi-aáíéy w(xy) é 5ááéóéáíüo aáaéáí éé i ééóü éi ááó aéa [1,2]

{w}= [C ]{p}, (2)

aaá [ C] - i áó5éoá i i aáóééai ñóé ói 5óai ai iñíiaáí éy, {w} é {P}- aáeói 5ü áá5óééáéü-íüo i á5ái áúáíéé é ei í óáeóí ü o óñéééé a aá50 éí áo ó5áóai éüíüo éiíá^íüo yéái áí ói a. Oóí eoéy aééyí éy aéy ñéiy éiíá^íié óiéúéíü ii sáó áü óü i 5áañóáaéáí á a ói5iá

[1,3]

1 y 2 1X1 r

ra (x, y,n) = W(r) = [Q(a, v0)J0^-— a)da , (3)

nE0H 0 H

aaá r = -yj(x — ^)2 + (y — n)2 - 5áññóiyíéá i ó ói^eé i5ééisáíéy áaéíé^íié ñiñ5áaiói^áí íié ñééü ai ói^eé í ááé^aáí éy; x,y - eii 5aéí áóü ói^eé, a eiói5ié ii 5á-aáéyáóñy i ñáaeá i i aá5oí i ñóé iñíiaáí éy; n - eii 5aéí áóü ói ^eé i 5ééi sáí éy áaéí é^-íié ñi ñ5áai ói^-áííié ñééü; H- óiéúéíá ói5óaiai ñéi y; J0(t) - óóíéoéy Ááññáéy iá5ai-ai 5iaá í óéáaiai ii 5yaeá, E0, v0 - aáó i 5i áoéiííüá i á5ái áó5ü iñí iaáíéy.

I 5é aeáaei i ei í óáeóá é fáú ái éáíéé íá íésíáé ii aá5oí i ñóé ñéi y ó5áí ñó i5iáíóá Q(a, v0) , aoiayú áy a (3), éi ááó mióááóñóááí í i aéa [1,3,4]

sh2a

Q1(a) =-h-T~ , (4)

a + sha • cha Q ( ) (3 — 4v0)sha• cha —a

Q2(a,v 0) =-z—-——-¡~2-2—7¡—^—77. (5)

(3 — 4v0)ch a + a + (1 — 2v0) KJ

Áéy ói 5óai ai iaíi5iaíiai é 9Í ó5i iíiai ii éói 5i ñó5áí ñóaá H , Q(a, v 0) = 1 é i ñáaeá iiaá5oíi ñóé i ó aáéñóaéy áaéíé^-íié ñééü ii5áaáéyáóñy ii éfaáñóíié ói5ióéá Áóññéíáñeá

w (r) = l—vi • I. nE0 r

Cáe eáe í áñi áñóaáí íüá éí óáa5áéü a (3) aéy Q(a, v0) ñi aeáñí i (4) é (5) íá aü5á-ffiá^ óñy a eiíá-íii aéaá, ói ó5áí ñó i 5i áí óü Q1 é

Q2 ái i 5i eñéi é5i aáééñü ñ oáéü^ i i éó^áí éy i5éaiaíüo aéy i 5áéóé^añéi ai éñii éüfi aá-

ВЕСТНИГ 1/2008

íèy ôóí êöèé âëèyí èy.

Î áâ ôóí êöèè Q1 è Q2 ï öâäñôàâëyëèñü â ñëâäó^ ù âi âèäâ:

Q(a, v0) « 1 + e-ßaXYi-al , (б)

aaá ß, Yi (l = 0, З) - öâäöâпñèîííûâ êîyôôèöèâíôû, çàâèûyùèâ îo v0, à oàêœâ öàç-ëè^ïûô óñëî âèé çàêöâï ëâí èy íà í èœ âé äöàí èöâ ûëîy. Qàê êàê ïöè a^œ ôóí êöèy Q(a,v0) ^ 1, oî â (б) ïöèíyoî Y0 =-1.

Cààëèôà 1

1=0

v0 -Yl -Y2 Y3 ß

.feiääöö êî í oaäo

— 1,1б70 1,0244 0,2б52 1,7503

Çàù âi ëâfèâ

0,00 1,0980 0,7140 0,1585 1,б407

0,10 1,0300 0,бб1б 0,1553 1,5733

0,20 0,9901 0,б721 0,1б09 1,5188

0,30 0,9991 0,7380 0,17б0 1,4755

0,40 1,0935 0,8293 0,1971 1,432б

0,50 1,3508 0,8513 0,2102 1,3б48

 ôàáë. 1 ï öâäñôàâëâí û ï î ^ó^áí íûâ â öàáî oâ [3] êî yô ô èöè-âí oû ß, Yi (l = 0,3) ï6è íâêî ôîöûö çíà^âíèyö êî yô ôèöèâíôà Ïóàñ-ñîíà n0 è öàññi àôöèâàâiûö óñëî-âèyö íà íèœíâé äöàí èöâ ûëî y.

Í âmáñœâííûé èíôâäöàë (3) ñ èñïîëüçîâàíèâi ï öâäñôàâëâí èy (б) è ôîöióëû б.б21.4 èç m öärn^i èêà [5], äàáô îêî í ^àôâëüí îâ âûöàœáí èâ äëy ââöàèêàëüíûö ï áöái âù â-í èé ïî âáööí î ûoè ó! öóàî aî ûëîy îà äáéñàâèy ââöàèêàëüí î é âäèí è^ïîé m ñöáäî oî -^-ânîé ûèëû -^âç yëâi áí ààöí ûâ ôóí êöèè

W (r ) = 1 v0

nEn

1 + Y + YlßH2

r R R3

Y 2 H W H2 - r2) R5

3y3ßH4(2ß2H2 - 3r2)

R = yßH

2 2 2 + r .

(7)

Ï áöâû é -^«áí â (7) mî àââàñàâóâà öâ0 âíè^ Áóññèí âiïêà, à î ñààëüí û â iïëàààâi û â, çà-âèiïyù èâ îo àëóáèí û iïëîy H, ï öäääo^y^ o ñîáîé óàî^íy^ùèâ -^«áí û.

Ôî öi óëà (7) èffi î ëüçî âàëàffi ï6è êî í á^í î -yëâi MoHi öafltäoä êî í ààêàí î aî èçàèáà ï ëèo, ëâœàù èô íà óï öóàî i iïëî â êî í á^í î é oîëùè^ äëy î ï öáäâëâí èy êî yôôèöèáíàîâ i à-àöèöû ï î äààëèâî iïoè îñíîâàí èy. Eàiï^âo ï öî âî äèëñy ñ èñïî ëûçî âàí èâi àöâóàî ërnûô êî-

1а^1йб уёа1 а16!а п 21 й6а1 а1 ф па! а! ай. Аёу 6ап^а6а ё! -уб б ёоёа1 6! а 1 а66ёой 1! аадёёа! йдё ! п1! аа1 ёу 1! 9ааа1 -1! ё 6да6аl ёш!ё па6ёа й66! ёёапи аа! ёп6аа11 ау па6ёа 11!-а! 6а! ёи1 ёё! а Аё6ёбёа-А! 6! 1! а!, 1! ё6йаа^ й ау ё! 1 6аё6-16^ !аёап6й 1ёё6й ё !п1!аа1ёу [1,2]. Епб!ау ё9 16аа1!ё!-жа1 ёу, ^6! ё! 1 6аё61 й а аааёа1 ёу уаёу^ 6пу ё6й ■Н!-1! п6! -у11 й 1 ё б 61 ёоёу1 ё а ай16ёёйб !аёап6уб, !ё66жа^йёб 6$ёй ё! 1а^1йб уёа1 а1 6! а (6ёй 2), ай1!ё1 уё! пи ^ёпёа11!а ё16аа6ё6!аа1ёа. 16ё уд! 1 аёу аёааПаёшйб ё!уббёоёа1-6! а ёп1! ёи9! ааё! пи 1 6а! а6а9! аа1 ёа ё!! 6аё1 ад, 1! 1 ёжа^ -йаа 1!6уа!ё !п!аа11!п6аё 1!ай16аа6аёи1!ё б61ёоёё [1].

Е&0 а1 ёа 1 а66ё^1! а! 66аа1 а1 ёу (2) ! 61! пё6аёи1! 6а-аёоёё !п1!аа1 ёу ааа6

Еёп. 2. 05а6ш ёй1 ау па6ёа ё

1 ПаЮЁЁёщ ёёё Аё6ёбёа-

Ai6!l!а!

{Р}=К ]{w}

(8)

ааа [К0 ] = [С] - 1 а66ёоа жап6ё! йдё 61 66аl а! !п1! аа1 ёу. I ! ёпё 6а0 а1 ёу пёп6а1 й 66аа1 а1ёё (1) ё (8) ! п6й айдаёуёйу ё6а6аоё! 11й1 пПтап . Оаё ёаё а пё6^аа ! 6й66й6аёу ёё1а1 адё^-айёёб а6а1ё^1йб 6йё!аёё 1 а66ёоа жайдё! йдё 1ёё-6й уаёуа6йу ай6! жаа11! ё, й1 а^аёа айааёуёёйй 1 а6а1 ай а1 ёу 1 ёёдй ёаё даа6а! а! 6аёа. Аёу удШ 1а ! аё1 ё9 6$ё! а ё! 1 а^1! -уёа1 а161!ё йадёё 1 ёёдй 1 аёёаайааёёйй 66ё йау$ё, 1 6а1 у6йда6^ йёа аа! аа6дёёаёй1 !16 1 а6а1 айа1ё^ ё 1! а! 6! 6а1 !61! йё6аёй1! ! йаё х ё у, ^6! уёаёааёа1 61! 6ааёа1 ё^ ё9 1 а66ёой [К] т! даа6йда6^ йёб 66аб й66! ё ё й6! ёао! а. I !ё1йа 1 а6а1 ай а1 ёу 69ё! а 1ёё6й !1 6аааёу^ 6йу й611!ё

{А}=А }+{А о }.

I а6а! а йёаааа1! а {Ай} й!! 6аа6й6а6а6 61 66аl ё ааб! 61 аоёё 1ёё6й !6 ааёйдаёу ааё-6! 6а 9ааа11йб йёё {^} ё ааё6! 6а 6ааёоёё !й1!аа1 ёу {Р} й !а1ё1 9аё6а1 ёа11й1 6$ё! 1 , а ад! 6! а йёаааа1! а {А0} й!! даа6йда6а6 1 а6а1 ай а1 ё^ 1 ёёдй ёаё жайдё! а! 6аёа.

Аб! ауй ёа а {А0}аа6дёёаёй1 йа 1 а6а1 ай а1 ёу 69ё! а ! 1 6аааёу^ 6йу 1! б!61 6ёа

w0/ = w + 9х • уI- ёу • х ,

ааа w, 0х, 0у - аа6дёёаёй1! а 1а6а1айа1ёа ё 1!а!6! 6й 1ёё6й ёаё жаЙ6ё!аl 6аёа, х, у1 - 6айй6! у1ёу !6 69ё! а йадёё а! 9аё6а1 ёаШа! 69ёа.

Аёу ! 1 6аааёа1 ёу {Ай} ёй1! ёй96а6йу йёй6а1 а 66аа1 а1 ёё (1), а аёу 1 аб! жаа1 ёу {А0} 1 6ёаёаёа^ 6йу 66ё 66аа1 а1 ёу 6аа1! аайёу 1 ёёдй

Л д(х, у)М= 0, \\ч(х, у) ydA■у1 = А 1 А 1

= 0,Л9(х,у)хсА -^Рг ■ хI = 0, (11)

А 1

ааа Р1 - ё!11!1а16й ааё6!6а {Р}, !16аааёуа1йа 1! аа6дёёаёй1й1 69ё!ай1 1а6а1а-йа1ёу1 1ёё6й Wi = W ^ + Wо| й 1!1!йй^ (8). А 66аа1 а1 ёуб (11) й611ё6!аа1ёа 16!ё9а!аё6йу 1! айа1 аа60ё1а1 6да6аlëщ!ё ё! 1 а^1!-уёа1 а161!ё йадёё.

I а 1 аба1 1 0 ааа ё6абабё111101 161 баппа 1 ёё6а п^еоаёапй 1 аааб1б1 ёб6а1 1ё ё ¿5 6баа1 а1 ее баа11 аапёу 11 баааёуёёпй 1 аба1 а6бй 1 аба1 ай а1 ёу 1 ёё6й ёаё жап6ё1 а! 6аёа

w, 0Х, 0у . I а а61 б11 0 ааа 11 1аёаа11й1 1 аба1 аи а1 ёу1 11 баааёуёёпй бааёбёё 1 п-11 аа1 еу {Р} ё ба0 аёапй пёп6а1 а 6баа1 а1 ее (1). Ааёаа 11 у6й ба0 аёёпй 6баа1 а1 ёу баа-11 аапёу, а ё161 бйо б^ёойааёёпй 1 аба1 аи а1 ёу 1 бе ааб1 б1 абёё 1 ёё6й, 1 аёаа11 йа 1а 1баайа6йа1 0ааа. Е6абабё111йё 1б1бапп 1б1а1ёжаёпу а1 оао 11б, 11ёа ба^И пой 1аж-а6 ёпё11й1е ааёё^-ё1а1ё 1аба1айа1ёё а1 апао б^ёао ё11а^11-уёа1а1611е па6ёё, 11ба-ааёа11ау 11 аао1 п1 паа1 ё1 0 ааа1 , 1а 6а1 аёа6а1 буёа 5ааа111ё 61^-11 поё.

Аёу 1 ба1 ёё по1аё11п6ё -^-ёпёаПйо ба0а1ёё ё ёёё^пббабёё а1511ж11п6аё ёп-11 ёй5оа11 а1 11 ао1 аа байт 16ба1 6ап61 айё 1 бё1 аб бап^аба ёб6аё1 ё 1 ёёой, бат 1 ё1 -жа111 ё 1а 61 б6а11 пё1 а. I а бёп. 3 1 бёаааа1 а аёпёба6ё5абёу 1 ёё6й, ёп11 ёй51 аа11 ау 1 бё 11 аааа1 ёё 6ап61 айо бап^а61 а (Мт - ^ёпё1 6ба6а1ёй1 ёё1 а, М¥ - ^ёпё1 1 1Ш6а1ёй-1 ёё1 а аа1 ёп6аа111 ё па6ёё).

Еёп. 3. Аёпёба6ё5ёб1 аа11йа 1 аёап6ё ё11 6аё6а ёб6аё1 ё 1ёё6й ё 61 б6а1 а! пё1 у: а) - 6ба6а1 ёй1 ау 1 абаа6ёуб1 ау па6ёа (#т=944); а) - аа1 ёп6-аа11ау 111а16а1 ёй1 ау па6ёа (N=513)

1бё бап^а6ао ёпПёйфааёёпй пёаа6^йёа ёпо1а1йа аа11йа. Е16а1пёа11 п6й баа11-

1аб11 батбаааёа111ё 1ааб65ёё д =1,0 11а. 1аба1а6бй 1ёё6й: бааё6п а =10 1; 61ёйё-1а к = 21; 11а6ёй 61 б6а1 п6ё Е = 2,65-104 1 1 а, ё1уббёбёа1 6 I 6апт1а V = 0,1667. Аа-б1б1 абё111йа оабаё6абёп6ёёё 1п11аа1 ёу: Е0 = 49 11а, v0 = 0,4. У616 бап^а6 п116аа6-п6а6а6 11 ёа5а6аё^ аёаё1 п6ё 1 ёё6й S = 0,8025 [1,4].

Е&$6ёиМ6й бап^а6а 1 б1 аёа1 а ё ё^аёаа^ й ёо 111 а1 61 а 1 баап6ааёа1 й 1 а бёп. 4 а

аа5ба51абШ аёаа (Мг = Ыг^а2 , М, = 2 ).

1б1аааа11 пбаа1а1ёа 11 ё6^-а11 йо ба$6ёй6а61а п 1бёаёёжа11й1 ба0а1ёа1 Е.А. Аа1б1аа [4], ё161б1а айё1 11 ё6^-а11 1 66а1 ба0а1ёу ё16аабаёй11а1 6баа1а1ёу Обааа!ёй-1 а а61 б1 а! б1аа. Е&0 а1 ёа Е.А. Аа1б1 аа, 1 бёа1а11а 61ёйё1 аёу ёб6аёйо 1 ёё6 1 бё 1папё1 -1 а6бё^-11 ё 1 ааб65ёа, 16ёё^аа6пу 16 ба0 а1 ёу 11 1 бааёаааа! 116 11 ао1 а6 1 бё аёааё11 ё11 6аё6а 11 1 аба1 ай а1 ёу1 1 а а1 ёаа ^а1 1 а 1%. I 6ёё^ёа ё^аёаа^ йёо 111 а161а а1о1-аё6 а1 7%.

Е&5баа16а11 ау 1 а61 аёёа, а1 б1 аёб1 аа11ау 1а ёб6аёйо 1 ёё6ао, айёа 1 бё1 а1 а1а 1 бё

бап^а6а ё116аё611а1 ё^аёаа 1ёё6 пё1ж11ё 111а1 пау^Иё б1б1й а 1ёа1а, ё1а^йёо ёб6-а1а1ё а1а01ёё ё1166б (бёп. 5). Аёу багН-а61а ёп11ёй51ааёёпй па6ёё, ё161бйа айёё 1 бё-1а1а1й а [1] 1 бё багН-а6а жап6ёёо 0 6а1 11а. I ёё6й 6аё1 ё б1б1й баё11 а1 а6а6пу ёп11 ёй-51 аа6й 1 бё а15аааа1 ёё б61 аа1 а161а ай11айо 6б6а ё п11 б6жа1 ёё аа0 а111а1 6ё1а аёу п1 ёжа! ёу ёо ёба1 а.

(№7п)10 з

и а.«

а)

8 >

Г

Н/а=\

о« оя Р/а

МХЛ1Х

6)

—

\1,5

И/а-1

о.е о,е Р/а

Еёп 4. Е&96ёй6а6й бап^ао! а ёб6аё1 ё 1 ееой а 9ааепе1 1 пбё 16 1 бёаааа1 11 а1 бааеопа 1 бе ба9ёё^1 йб 1011 пёбаёш йб 61ёйё{аб пё1у; а) 1 б1аёай; а) ё9аёаа^> йёа 111 а16й

Еёп 5. Ё1 ёйбааау 1 ёё6а п а1 66ба11 ё1 пба9а11 й 1 ёб6а11 ; а) 6ба6а1 ёй1 ау 1 абаабёуб! ау пабёа (N^=1068); а) аа! ёпбаа11ау 1 Па16а1ёш ау пабёа (N^=613)

Еёп. 6. Ё91 ёе1 ее аат ё^61йб 1 б! аёа! а ё! ёйбаа! ё 1ёё6а п а1 66ба11 ё1 пба9а11 й 1 ёб6а11 ; а) аёу 11 ёб1 б! Й6ба1 й6аа; а) аёу 61 б6а1 а1 пё1 у Н=201

ВЕСТМГ 1/2008

Í à öèñ 5 ï öáäñààâëáí û ñóái û äèñêöâàéçàöèè, à í à öèñ. б öâçóëüàààû öàñ-^✠êî ëtt-öáâî é ïëèoû, ëâœàù âé íà óï öóàî i ï î ëóï öî ñàöàí ñoaá (öèñ. б,à) è óï öóàî i iïëî â oîëùè-Hé H=20i (öèñ. б^). Ïöè âûïîëíáíèè öàñ^âàîâ ïöèíyàû ñëáäó^ùèâ èrnî äíûá äàííûâ. Cîëùèíà ï ëèoû h = 2 i, âíá0íèé öàäèóñ a =10 i , âí óàöâí í èé öàäèóñ rl = б i, öàññàî y-í èâ îo öâí oQà êöóàî â äî ñöâçà d = 4,1 i . Äáôî öi àöèî ííûâ ôàöàêàáöèñàèêè ïëèo è îmî-

âàí èy ï öèí yoû oàêèi è œâ, êàê ïöè ïöî âáäâí ^ô öàí ââ öàfH-âœô êöóàëî é ï ëèoû. Eí oáí -

ñèâí î ñoü öàâí î i âöí î öàñï öáäâëâí í î é í àâöóçêè î ï öáäâëyëàñü èç óñëî âèy ï î ûoî yí âoeà öàâí î äâéñœó^ ùèô ïöè öàfH-âààô êöóàëî é è êî ëœââî é ïëèo.

Ïöèââäâííûâ â öàáîàá, à oàêœâ äöóäèâ iíîàî^-èñëâííûâ öàfH-âàû ïîêàçàëè, ^-oî îïè-ñàííûé àëaî öèài iî œâo áûoü yô ô áêàèâí î èñï î ëuçî âàí äëy бай^яМ êî í ààêàí îaî èçàéáà ïëèo ë^îé ôîöiû â ïëàíâ ïöè äâéñàâèè ï öî èçâî ëüí î öàñï öâäâëâí íîé íîöi àërn îé íà-äöóçêè è öàñïîëîœâííûô íà óïöóàéô íâêëàпñè^■âñêèô îñíîâàíèyô oèïà ïöîñàöàíñàââí-íîaî êî í oéí óói à. Ï öáäëî ®áí íûé ïî äôî ä ïîçâî ëyâo î äèí àêî âî óñïâ0íî ï öî âî äèàü öàñ-^aoû êàê ñïëî0íûô ï ëèc, oàê è ï ëèo ñ âûöâçài è, à oàêœâ ï ëèo êàê ï áöái âííîé oîëù è-íû, oàê è èiâ^ù èô äâôîöi àöèî í íûâ ôàöàêàâöèñàéêè, èçi áí y^ ù èâiïy îo îäíîaî yëâi áí -oà ê äöóaî i ó.

Ëèôâôàôôôà

1. Àëâéí èêîâ Ñ.Î . Î áàîä äöàí è^ïûô yëâi áíàîâ â êî í ààêàí û ô çàäà^■àô äëy óï öóàèô ï öî ñàöàí ñMáí í î íâîäíîöîäíûô î ñí î âàí è é. - Î .: Èça-âî «Añmöèàöèè Ñàöîèàáëüíûô Âóçî â», 2000. - 754 ñ

2. Àaàï îâ E.A., Àëáéí èêîâ Ñ.Î . Ï öèi áí áí èâ äâî éñMáí í û ô moî ê â öàfH-áààô êî í -

ààêàí î aî èçäèáà ïëèo ñëîœíîé ôîöiû // Ï öèêëàäí ày aâî i âo^^y, ï î ñàöî âíèâ бай^жа û ô Moîê è âûñîêîïöîèçâîäèàâëüíûâ âû^èñëáíèy / Cö. âñáöîññèéñê. êîíô. - Î .: ÂÔ EÀI , Qîi 2. 2004. - Ñ. 73-84.

3. Î áîáùáííày iî äáëü óï öóàî aî iïëî y êî í á^-í î é oî ëù èí û // Q^û i âœäóí àö. êHô. ï î aâî o^í èêâ «Âçàèi î äâéñàâèâ m î öóœáí èé è îñíîâàíèé: i âoî äû бай^^й è èí ®áí âö-í ày ïöàêàèêà» / Àëâéíèêîâ Ñ.Î ., Àaàïîâ E.A., Eóàâíêîâ A.Â. è äö. - Î .: Eça-âî «Àfmî-öèàöèè Ñàöî èàáëüíûô Âóçî â», Q i 2. 2005. - Ñ. 37-42.

4. Aaî öîâ Ê.A. E^ñ^áo î ñí îâàí èy ïîâ êöóâëî é ôóí äài áíoné ï ëèoîé êî í á^-í î é ffiáño-êî ñàè // Î ààáö. ê VII i áœäóí àö. êî í aö. ïî i áôàí èêâ äöóí oîâ è ôóí äài áí oî ñàöî áí è^ . -Î .: Ñàöîéèçäàài 19б9. - Ñ. 89-95.

5. /ÓÉ^oáéí E.Ñ., Eûœèê E.Î. Càáëèöû èíàáâöàëîâ, ñóii, öyäîâ è ïöîèçââäâíèé. - Î.: Eçâ-âî ôèç.-i ào. ëèà, 19б3. - 1100 ñ.