Метод быстрой оценки параметров на поверхности затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком, с учетом равновесных физико-химических превращений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.011.31.5:532.582.33

Метод быстрой оценки параметров на поверхности затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком, с учетом равновесных физико-химических превращений

© В.П. Котенев1,2, В.А. Сысенко1

1 ОАО «ВПК «НПО машиностроения», Московская область, г. Реутов, 143966, Россия 2МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Для быстрой оценки давления, плотности, скорости на участке поверхности гладкого затупленного тела течение газа в ударном слое моделируется при помощи замороженного показателя адиабаты. Учет реальных свойств воздуха в равновесном приближении проводится на ударной волне с использованием существующих таблиц термодинамических функций воздуха по давлению и энтальпии. Результаты расчетов с использованием замороженного показателя адиабаты и расчетов равновесного течения в строгой постановке дают близкие результаты. Рассмотрены также примеры применения метода для осесимметричных течений газа.

Ключевые слова: равновесный поток газа, осесимметричные течения газа, звуковая точка.

Введение. В практических расчетах часто требуется быстро оценить параметры на поверхности тела при наличии физико-химических превращений в потоке. Существующие в настоящее время приближенные подходы развиваются для модели совершенного газа, однако при обтекании тел с большой сверхзвуковой скоростью газ уже нельзя назвать таковым и распределение параметров на теле в этом случае существенно отличается от тех, что получаются при использовании модели совершенного газа.

В данной работе предлагается простой метод быстрой оценки параметров на поверхности тел с приближенным учетом реальных свойств воздуха.

Определение эффективного показателя адиабаты. Для этого будем использовать соотношения для скорости V и плотности за

прямым скачком через давление Р2 непосредственно за скачком, число Маха Мот и показатели адиабаты: искомый у * и набегающего потока у = 1,4 :

(1)

у * + 1 1 у * -1

Р2 + 1

к У+1

У-1

(2)

+ Р2

Здесь д/уМот - известная безразмерная скорость набегающего потока; Мот - число Маха набегающего потока; давление р2 отнесено к давлению набегающего потока Рот; к - отношение плотности газа в набегающем потоке к плотности за прямым скачком уплотнения.

Соотношения, выражающие законы сохранения импульса и энергии при переходе через скачок, с учетом (1) будут

1 + уМ2 = Р2 +к уМ2,

(3)

У + уМ„

у-1

У* Р2к + №

у* -1

(4)

у *

Из (3), (4) получим выражение для энтальпии газа Ъ =-Р2

у * -1

непосредственно за скачком:

Ъ у .I1 + к)(Р2 -1)

2 у-1 2 '

(5)

Формула (2) также есть следствие (3), (4). Действительно,

—+ (1 - к2) у-1 V /

2\ уМ2 у*

у* -1

Р2к,

у ,(1+к)

у-1 2

(Р2 - 1)-1-Т

у * -1

Р2к,

у

Р -1 Г

у-1

у*

у* -1

1 - Р Л

Р2 + Ч2- ^

1 у + 1 , Р2 =Г 1 у* +1 Р , 1

2 у-1 + 2 I 2 у*-1

Р2 +-

к.

Окончательно получим 1 = у * 1

У * +1 1 Р2 + 1

* У+ 1 - Р2

У-1

Далее, с учетом (2), (3), (5), находим прямыми итерациями у *, *, Р2 с использованием существующих аппроксимаций термодинамических функций равновесного воздуха по давлению и энтальпии [1]. Таким образом, определим у * непосредственно за скачком.

Теперь найдем значение у 0 на теле в точке торможения. Давление в точке торможения Ро' для равновесного газа определяется по следующей формуле [2]:

"1 + уМ2 (1 - */2) Рм. (6)

Р ' =

Ро -

Формула (6) справедлива в приближении, что плотность газа на линии тока, прошедшей через прямой скачок уплотнения и приходящей в точку торможения, постоянна [2].

Энтальпия в точке торможения рассчитывается по формуле

*о' = --Т. (7)

у — 1 2

Используя данные работы [1], по известным давлению и энтальпии в точке торможения можно определить значение термодинамической функции, по которому рассчитываем у о на теле.

Определение давления, плотности и скорости на поверхности тела. Положение звуковой точки на сфере для больших чисел Маха в набегающем потоке приводится в [2] и является функцией от отношения плотностей на прямом скачке уплотнения:

а« = 90 — (34 + 40*), (8)

где - угол в градусах между осью тела и вектором скорости в звуковой точке.

Будем использовать безразмерные параметры. Давление Р отнесем к давлению в точке торможения.

Для последующего применения метода, рассмотренного в работе [3], безразмерные плотность и скорость определим по формулам

1 ~ у о—1

Р = Ру о , V = у 1 — р у о . (9)

у о — 1

Давление в звуковой точке при этом есть

Р* =

Г Ч

У 0 +1

70

У0-1

(10)

Здесь у 0- эффективный показатель адиабаты, который определяется на теле в точке торможения и предполагается постоянным на поверхности тела. В формулах используется безразмерное давление, отнесенное к давлению торможения.

Предполагая газ замороженным с постоянным эффективным показателем адиабаты у 0, определим на любом выпуклом теле, отличном от сферы, положение звуковой точки и давление на его поверхности, применяя формулы (6), (8), (9), (10) и метод, предложенный в работе [3], т. е. используя у0 вместо у = 1,4.

Далее, по известному значению у 0 и давлению на теле находим прямыми итерациями энтальпию в любой точке тела [1]. Учитывая, что

у 0 Р

к =

у 0 -1 Р

находим плотность.

Скорость находится из интеграла Бернулли.

Анализ результатов. Для примера приведем результаты расчетов по предложенному методу эллипсоида с соотношением полуосей Ь/а = = 1/2 (рис. 1, 2), обтекаемому газом на высоте 30 км с числом Маха, равным 20, а также сферы (рис. 3-12), обтекаемой на разных высотах

4

/у

//

//

4

табличные данные И!

-методика данной статьи

• совершенный газ

Рис. 1. Распределение безразмерного давления по поверхности эллип-соида (Ь/а = /), М = 20, Н = 30 км

Рис. 2. Распределение безразмерной плотности по поверхности эллипсоида (Ь/а = 1/2), М = 2о, Н = 3о км

Рис. 3. Распределение безразмерного давления по поверхности сферы, М = = 2о, Н = 5о км

Рис. 4. Распределение безразмерной плотности по поверхности сферы, М = = 2о, Н = 5о км

Рис. 5. Распределение безразмерного давления по поверхности сферы, М = = 2о, Н = 3о км

Рис. 6. Распределение безразмерной плотности по поверхности сферы, М = = 2о, Н = 3о км

Рис. 7. Распределение безразмерного давления по поверхности сферы, М = = 15, Н = 5о км

Рис. 8. Распределение безразмерной плотности по поверхности сферы, М = = 15, Н = 5о км

Рис. 9. Распределение безразмерного давления по поверхности сферы, М = = 15, Н = 3о км

Рис. 10. Распределение безразмерной плотности по поверхности сферы, M = 15, Н = 30 км

Рис. 11. Распределение безразмерного давления по поверхности сферы, М = = 10, Н = 30 км

р/

/р.

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Рис. 12. Распределение безразмерной плотности по поверхности сферы, М = 10, Н = 30 км

со значениями чисел Маха, равными 10, 15 и 20. На графиках показано распределение безразмерных значений давления и плотности по поверхности тел в зависимости от угла встречи набегающего потока с поверхностью тела. Давление и плотность отнесены к значениям этих величин в набегающем потоке. Из представленных сравнений расчетных данных с табличными [4] видно, что предложенный метод для всего набора исходных данных дает вполне приемлемые результаты для быстрой оценки давления и плотности на поверхности тела в случае учета равновесных физико-химических превращений в потоке.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Синченко С.Г. Аппроксимация термодинамических функций воздуха.

Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968, т. 8, № 4, с. 917-922.

[2] Лунев В.В. Течение реальных газов с большими скоростями. Москва, Физ-матлит, 2007, 327 с.

[3] Котенев В.П., Сысенко В.А. Уточненный метод быстрой оценки давления на поверхности гладких затупленных тел. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012, Спец. вып. Математическое моделирование № 3, с. 64-74.

[4] Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел. Москва, Наука, 1970, 379 с.

Статья поступила в редакцию 27.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Котенев В.П., Сысенко В. А. Метод быстрой оценки параметров на поверхности затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком, с учетом равновесных физико-химических превращений. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7. URL: http://engjoumal.m/catalog/mathmodel/aero/840.html

Котенев Владимир Пантелеевич - д-р техн. наук, профессор кафедры «Вычислительная математика и математическая физика», начальник отдела аэродинамики в ОАО «ВПК «НПО машиностроения». Автор более 40 научных работ в области прикладной математики, численных и аналитических методов исследования течения газа при обтекании поверхности летательных аппаратов. е-mail: kotvp@mail.ru

Сысенко Валентина Алексеевна - канд. техн. наук, старший научный сотрудник отдела аэродинамики в ОАО «ВПК «НПО машиностроения». Автор ряда работ в области прикладной математики. е-mail: dv-sys@yandex.ru.