CC BY
15
УДК 66.10 - 503.4.001.57 С. И. Дуев
МЕТОД БОЯРИНОВА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С НУЛЕВЫМ ЯКОБИАНОМ
Ключевые слова: реактор с рециклом, множественность стационарных состояний, системы нелинейных уравнений с
нулевым Якобианом.
Предложен метод для решения системы нелинейных уравнений с нулевым Якобианом. Этот метод необходим для решения систем уравнений, моделирующих реактор идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов при существовании на нем континуума стационарных состояний.
Keywords: reactor with recycle, multiplicity of steady states, systems of nonlinear equations with zeroth Jacobyan.
A method for solution of nonlinear equations systems with zeroth Jacobyan is proposed. It is necessary to solve these systems of equations for modeling steady states of continuous tank reactor on the regime with complete use of basic and intermediate reactants.
Введение
Как показаны в работах [1, 3-9] в химико-технологической системе реактор-блока разделения на режиме с полной рециркуляцией непрореагировавших исходных и промежуточных реагентов может существовать континуум стационарных состояний. В этих случаях при расчете математической модели описывающей стационарное состояние реактора необходимо решать систему нелинейных уравнений с нулевым Якобианом. В представленной работе, предложен метод, который решает системы нелинейных уравнений с нулевым Якобианом. [2] В представленной работе, предложен метод, который решает системы нелинейных уравнений с нулевым Якобианом.
Описание метода
Для решения вышеуказанной системы уравнений предлагается метод, который сочетает в себе все достоинства метода Ньютона-Рафсона и в то же время в отличие от него позволяет решать системы нелинейных уравнений с нулевым Якобианом.
Идея метода, предложенного профессором А.И. Бояриновым, основана на существовании единственного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В векторном виде автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений запишется:
(1)
-=* (X)
где X - вектор, *(х) - вектор-функция, 1 -аргумент.
Используя численный метод прогноза и коррекции решения системы уравнений (1) запишем следующее соотношение: [6]
X (1 + Д1 )= х(1)+ ДЙ (X (1+ )) (2)
Разложив функцию *(х(1 + Д1)), (пренебрегая вторым порядком малости) в окрестности точки
x(t) с учетом соотношения (2) можно записать формулу:
1
dx At
x (t + At ) = x (t )-
• f (x (t))
(3)
где 1 - единичный вектор-столбец. Откуда приняв обозначения:
1
x,+i = x (t + At), x, = x (t), M = At (4)
получаем следующую итерационную формулу
xi+i = xi -
д© - Mi
д xi
• $)
i = 1,2,3...
(5)
(здесь i - номер итерации), для решения системы нелинейных уравнений общего вида:
* (X )= о (6)
Критерием сходимости итерационной формулы (5) является устойчивость стационарного состояния системы (1), а скорость сходимости зависит от величины параметра ^ .
При расчете реактора по итерационной формуле (5) необходимо кроме формирования самих уравнений определять матрицу их производных:
df1 df1 df1
df" dx1' dx2' " dxn
д x dfn dfn dfn
dx1' dx2' " dxn
(7)
Разработанный метод апробировался для расчёта режима с полного использования исходных и промежуточных реагентов, на которых существует континуум стационарных состояний.
Математическое моделирование реактора идеального смещения на режиме с полным исследованием исходных реагентов.
На рассматриваемом режиме систему уравнений материального баланса реактора идеального смещения функционирующего в рециркуляционной
системе реактора блок-разделения можно записать так: [1, 2]
А*|гГ — 0 • ]| = 0 (8)
I м )
где Г - вектор-столбец скоростей элементарных стадий реакции размерности р, А * - подматрица матрицы стехиометрических коэффициентов А, состоящая из ее I строк, соответствующих
исходным и промежуточным реагентам, и - вектор-столбец размерности р с элементами равными 1 для прямых стадий реакции и 0 для обратных стадий, а величина М определяется выражением:
М = -1 А* ] (9)
где — 1 - вектор-строка размерности I с элементами равными 1. Элементы вектора Г определяются так:
Г;
А]е
т
• ПХ;
i=1
(10)
К) ; = 1, р
ч —Г ¡=1'Ч > где т - число реагентов вступивших в реакцию на ]-ой стадии реакции, Е; - энергия активации ]-ой
стадии реакции, Rг -газовая постоянная (Дж/кг*К), А; - предъэкспонициальный множитель ]-ой стадии реакции.
Система уравнения (8) должна быть дополнена
уравнением теплового баланса:
р
СеррТ*0) +1ГГХ + V•zА¡j • Ц • г; —Fcpp• Т—ит +РсррТ = 0
;=1
(11)
где Т * - температура рецикла(К), Ц; - тепловой эффект ; -ой стадии реакции(Дж/кг*К), А ¡; -
стехиометрический коэффициент ¡ - ого компонента реакции, образующегося на ; -ой стадии, с р -средняя теплоемкость реакционной смеси, р -средняя теплоемкость реакционной смеси(кг/ м3), и - коэффициент теплопередачи, отнесенный к единице поверхности (Вт/М к), О - поток смеси, поступающей в систему (м 3/ е ), F - поток смеси, поступающей в реактор (м 3 / е ), - поток рециркуляционной смеси, математический баланс потоков определяется соотношением F = R + G.
В случае, если на режиме существует континуум стационарных состояний в матрице с
А * имеются линейно зависимые строки, поэтому ее Якобиан равен нулю.
Система уравнений (8-11) решалась для различных кинетических схем реакций проводимых в реакторе идеального смешения
1. А + В ^ 2С, С ^ D
2. А + В ^ С + D ^ 2Р, А + С ^ Е + D
3. А + В о С + О о 2Р С + Р о 2Е, В + О о О + Р,
для которых матрица А имеет вид: Для схемы 1
А* =
— 1 0 — 1 0 + 2 — 1
(12)
Для схемы 2
А* =
Для схемы 3
А* =
—1 0 —1
—1 0 0
+1 —1 —1
+1 —1 +1
0 0 0
0 0 0
(13)
(14)
+1 — 1 — 1 +1 — 1 +10 0
0 0 —1 +10 0 —1 +1
0 0 +1 —1 —1 +1 0 0
0 0 0 0 +1 —1 —1 +1
При расчете реактора итерационная формула (5) использовалась лишь для нахождения нового приближения по концентрациям, в то время как температура на каждой итерации определялась из уравнения теплового баланса по формуле:
Т=
1
Рср+и
Оср- Т0)+иТ+Ч=Д • а; •Г; +Р Ср р Т
У (15)
где Г = ^(ХО
1 = 1,2,...
В качестве критерия сходимости реактора использовалась норма вектора невязки г1, которая определяясь следующим образом (берется максимум модуля разности по компонентам):
||Г1|| = тах| хк+1) — Х «I
(16)
где 1 - номер итерации, к - номер компонента
Результаты расчетов режима с полным использование исходных и промежуточных реагентов представлены в таблицах 1-3.
Е
0
Таблица 1 - Результаты расчетов реактора по кинетической схеме 1
№ в а Начальное приближение по концентрациям о а ю к & • и « к о !?
р А В С D ^ о ^ 5-1 К Н о а Л н ¡г1 к
1 0.25 0.25 0.25 0.25 50 5
2 0.4 0.2 0.4 0.2 50 8
3 0.25 0.25 0.25 0.25 127 8
4 0.25 0.25 0.25 0.25 300 8
5 0.25 0.25 0.25 0.25 500 1
6 0.2 0.2 0.4 0.4 127 5
№ в а Расчетные значения концентраций Расче тное знач. § т «
р А В С D темп ерат. <ц К
1 0.041 0.041 0.183 0.734 105.3 0.9*1 0-4
2 0.040 0.405 0.183 0.735 105.3 0.1*1 0-3
3 0.040 0.040 0.183 0.735 105.3 0.1*1 0-3
4 0.040 0.404 0.183 0.735 105.3 0.6*1 0-3
5 0.406 0.040 0.183 0.735 105.3 0.5*1 0-3
6 0.040 0.040 0.183 0.734 105.3 0.1*1 0-3
Таблица 2 - Результаты расчетов реактора по кинетической схеме 2
№ в а р Начальное приближение по концентрациям Нач. приб по Тг °С « и
С D Число итерац
1 0.2 0.1 0.2 0.2 50 3
2 0.25 0.25 0.25 0.25 50 3
3 0.25 0.25 0.25 0.25 300 3
4 0.25 0.25 0.25 0.25 500 3
5 0.25 0.25 0.25 0.25 127 3
6 0.167 0.167 0.167 0.167 127 4
№ Расчетные значения концентраций Расче тное
в а р А Б С D знач. темпе ратур ы а и т « е Н
1 0.203 0.272 0.082 0.221 248.6 7.8*1 0-4
2 0.203 0.272 0.082 0.221 248.6 0.4*1 0-3
3 0.203 0.272 0.082 0.221 248.6 0.4*1 0-3
4 0.203 0.272 0.082 0.221 248.6 0.4*1 0-3
5 0.203 0.272 0.082 0.221 248.6 0.4*1 0-3
6 0.203 0.272 0.082 0.221 248.6 0.5*1 0-3
Таблица 3 - Результаты расчетов реактора по кинетической схеме 3
№ в а р Начальное приближение по концентрациям Нач. приб по Тг °С Число итераций
к/^
1 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 50 3
2 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 127 3
3 0.2 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 300 4
4 0.2 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 500 4
5 0.1 0.2 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 127 4
№ в а р Расчетные значения концентраций Расче тное знач. темпе ратур ы Невязка г1
1 0.275 0.076 0.275 0.044 0.135 0.023 0.145 0.023 103.3 0.6*1 0-4
2 0.275 0.076 0.275 0.440 0.135 0.023 0.145 0.023 103.3 0.4*1 0-4
3 0.275 0.076 0.275 0.440 0.135 0.023 0.145 0.023 103.3 0.3*1 0-4
4 0.275 0.767 0.275 0.044 0.135 0.023 0.145 0.023 103.3 0.4*1 0-4
5 0.275 0.076 0.275 0.044 0.135 0.023 0.145 0.023 103.3 0.4*1 0-4
Заключение
Таким образом, численными расчетами показано, что разработанный метод успешно решает системы нелинейных уравнений с нулевым Якобианом, моделирующих режим с полным использованием и промежуточных реагентов, на котором существует континуум стационарных состояний
Литература
1. Дуев С.И., Бояринов А.И. Кафаров В.В. Системный анализ процессов химической технологии, Москва, МХТИ, с.96-102. (1979)
2. Бояринов А.И., Дуев С.И. Теоретические основы химической технологии, т.14, с.903-907. (1980)
3. Бояринов А.И., Дуев С.И. Теоретические основы химической технологии, т.29, №4, с.441-443. (1995)
4. Дуев С.И., Бояринов А.И. Теоретические основы химической технологии, т.34, №1, с.50-56. (2000)
5. Duev S.I., Boyarinov A.I. Computer Aided chemical engineering V.20, p.385-388. (2006)
6. Демидович В.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики, М, 684с. (1970)
7. Дуев С.И., Чернявский С.М. Вестник Казанского технологического университета, Казань, КНИТУ, т. 17, №13, с.308-310. (2014)
8. Дуев С.И. Вестник Казанского технологического университета, Казань, КНИТУ, т.17, №2, с.249-250. (2014)
9. Дуев С.И. Вестник Казанского технологического университета, Казань, КНИТУ, т.17, №2, с.249-250. (2014)
© С. И. Дуев - д-р техн. наук проф. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, douev@mail.ru. © S. 1 Duev - doctor, professor of department of applied mathematics, KNRTU, douev@mail.ru.
