Метод аппроксимации петель гистерезиса многоконтактных виброизоляторов с сухим трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 620.179.11.

МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ ПЕТЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА МНОГОКОНТАКТНЫХ ВИБРОИЗОЛЯТОРОВ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

© 2011 Г.В. Лазуткин, В.А. Антипов, М.А. Петухова, Г.В. Изранова, Т.Ю. Зиновьева

Самарский государственный университет путей сообщения

Поступила в редакцию 14.02.2011

Метод аппроксимации петель гистерезиса многоконтактных систем виброизоляторов с сухим трением основан на экспериментальном определении и аппроксимации заранее найденного множества исходных семейств петель гистерезиса или исходных линий, установлении значений коэффициентов плоскопараллельного переноса их исходных процессов или точек исходных линий и нахождении функциональных связей коэффициентов аппроксимации исходной совокупности процессов деформирования и исходной совокупности линий с конструктивно-технологическими параметрами виброизоляторов. Ключевые слова: петли гистерезиса, сплайн-аппроксимация, полиномы Чебышева, разложение Фурье, двойной колокольчик, результаты аппроксимации, экспериментальные данные.

Для решения задачи о приближении функции, заданной на точечном множестве установленного числа переменных, необходимо найти удобный и точный способ ее аналитического представления. К таким способам относятся: интерполяция, точечное аппроксимирование и сплайн-аппроксимация [1, 2, 3]. В рассматриваемом случае интерполяция не является подходящим способом, так как большое число узлов интерполяции приводит к громоздким выражениям для многочленов. Кроме того, значения координат точек содержат случайные ошибки, которые при интерполировании могут исказить реальный вид процессов деформирования. В этом смысле более приемлемым оказывается точечное аппроксимирование на основе метода наименьших квадратов. При этом аппроксимирующий полином можно весьма просто и удобно находить с помощью ортогональных функций. Вместе с тем, при точечном аппроксимировании требуется значительное количество точек. Их число должно быть особенно велико при выборе высокой степени аппроксимирующего полинома, что является существенным ограничением рассматриваемого способа.

Предлагается первоначально рассматривать промежуточное приближение к контурам петель гистерезиса с помощью сплайн-аппроксимации, в результате чего приближаемая функция оказывает -ся заданной уже не на точечном множестве, а на конечных отрезках соответствущих переменных. В дальнейшем, с помощью интегрального аппрокси-

Лазуткин Геннадий Васильевич, кандидат технических наук, докторант СамГУПС.

Антипов Владимир Александрович, доктор технических наук, профессор. E-mail: om46@mail.ru. Петухова Мария Александровна, программист. Изранова Галина Владимировна, старший преподаватель. Зиновьева Татьяна Юрьевна, кандидат технических наук, доцент.

мирования промежуточного приближения, можно осуществить переход от кусочно-полиномиальных функций к обычным алгебраическим многочленам.

Простота и точность промежуточного приближения достигается применением сплайнов первой степени (рис. 1, 2) в сочетании с выбором определенного количества точек (от 10 до 30) и системы неравно отстоящих абсцисс х(к) = Х1 ' Ак. Подобный выбор преследует основную цель: как можно полнее и достовернее отразить особенности процессов деформирования виброизоляторов [4, 5].

Запишем уравнение деформации для c отрезков процессов нагрузка и разгрузки ^ой петли гистерезиса семейства номера £

\Rtl>(кJ + B(l>(к>(x _ x.) Vx(1)(кJ > 0;

R (1)( к) I ^ нс V ''

с IR«к) + B(£)(кЧx _ x.) Vx(1)(к) < 0; (1)

I p,i p, с v i' '

где B

R (1 )( к ) _ R (1 )( к ) (1)(к ) _ iVH ,i_iVH ,i +1

x _ x

i+1

п (£)(к) _ п (£)(к)

в (£)(к) = р р +1

х _ Х1+1

Причем для уменьшения погрешностей в определении полигональных функций, необходимо определить среднеарифметические значения Я н^к), В н£г)(к) и Я Р7кТ и В ^к) при дос-

н,1 ' н,1 г>

таточно большом количестве повторяемых измерений [6]. Вместе с тем при полигональной форме описания петель гистерезиса их площадь оказывается заведомо меньше искомой. Подобные проблемы могут быть в значительной мере решены выбором достаточно большого количества точек (например, в два раза по сравнению с вышеуказанным количеством), но значительного уменьшения повторяемых измерений.

н ,с

При таком подходе уменьшение погрешности определения петель гистерезиса обеспечивается за счет описания их процессов нагрузки и разгрузки кусочно-линейными отрезками. Каждый из них доставляет равномерное приближение по Чебышеву на множестве из трех точек, последовательно следующих группами друг за другом (отрезки 2 см. рис. 1).

Тогда для каждых о отрезков (С=0,5с) можно записать выражение (1) в виде:

[ясооо --х.) У3&(1)(к) > 0;

р(£)(к) I Т!,] Н,] \ ] ) П

С

"р.] "р. ] где] О [0,2, ...п-2]

рад -^«(х- х,) Ух&(1)(к) < 0:

( о(<)(к)

(2)

с)(к)=0,5 (- с(к))

Р(£)( к) - Р(1)(к) В (1)( к) = V' н,/+2

Н, ] ~ — —

Х- X■, 0

х+1

п(1)(к) ПС

Рн,'+2 - К

|(<)(к)

Х • У, Х

V/ е [0,1,2...и - 2].

Изменяя индекс "н" на "р" можно записать .......„ ".......... 'г>№) „ о(£)(к>

р,)

аналогичные выражения для Рр. и В

Для решения задачи об интегральном аппроксимировании промежуточного приближения с помощью ортогональных полиномов необходи-

Рис. 1. Построение промежуточного приближения контура петли гистерезиса (вариант 1)

мо представить приближаемую функцию на единичных отрезках [1, -1] значений всех переменных. Это легко осуществляется с помощью соответствующих замен переменных A и q на А, д :

4к) =

2 А( ) - А - А

(к) О g А„ - Ао

- _2Ъ. -Чо-<

(3)

Точность аппроксимаций определяется выбором вида ортогональных многочленов.

Широкое распространение в задачах приближения получили ортогональные многочлены Якоби, частным случаем которых являются полиномы Че-бышева и Лежандра [2]. Главное их отличие заключается в выборе вида весовых функций, что приводит в приближениях как бы к различному закону распределения погрешностей по длине отрезков [1,1]. При выборе весовой функции необходимо учитывать характер поведения приближаемой функции на отрезках [-1,1]. Нелинейность процессов деформирования виброизоляторов с сухим трением, в том числе и из материала МР в наибольшей степени проявляется на концах отрезков, где и требуется повышенная точность аппроксимаций. Таким свойствам обладают полиномы Чебышева. Заметим, что эти полиномы широко применяются для решения многих задач, связанных с вопросами виброизоляции [4, 7, 8]. Указанные обстоятельства позволяют выбрать полиномы Чебышева в качестве аппроксимирующих.

Рассмотрим вопрос об аппроксимации ^ой петли гистерезиса семейства £ в классе непрерывных и разрывных функций.

В первом случае необходимо, чтобы на множествах значений X было задано недостающее множество значений скоростей X^к*е^ [8]. Тогда задача интегрального аппроксимирования петли гистерезиса (3) полиномами Чебы-шева, обеспечивающими минимальную сред-неквадратическую погрешность приближения

при весовых функциях /1( X)

(ТГХ2 )-1

Фга

с Л

-Ц 0 п X

а) б)

Рис. 2. Построение промежуточного приближения петель гистерезиса (вариант 2): а - срединная линия; б - гистерезисная функция

I

и

/2( x) = X2 )_1

рована в виде

mm Ш[Ф'

l-i-1 Здесь

(1)( к)

- Q

(1)(к)

может быть сформули-

/1(x)/2(x)dxdX \. (4)

Ф'

,(1)(к)

til

з о(1*к) = £ P

(1)(к)

'x^Л (5)

|Л|=0

разложение функции ф(1)(к) по полиномам Че-бышева Q(1)(к) двух переменных X и X, причем Р^ - коэффициенты Чебышевской аппроксимации и

_!. X

X =

(1)(к)

(1)( к)

V

,(1)( к)

„(<Хк) =

"ял

^[^(cos ф1,ес8 92)cos Лф cos Л2ф2 ,

'"0 0

_ ^ (6)

где ф 1 = ar cos x , а ф2 = ar cos x .

Для упрощения дальнейших записей индексы (1) и (к) будем опускать.

С помощью подстановки X = cos ф 1 можно представить разложение петли гистерезиса в виде ряда Фурье из четных и нечетных слагаемых

Ф= Ё Кcos +а 2 sin ).

|Л|=0

cc = y = а |

x

где ст - ступенчатая функция.

При таком ограничении форма петли гистерезиса не зависит от скорости. При невыполнении условия (7) форма петли зависит от скорости .

С учетом соотношений (1), (7) проинтегрируем (6) и запишем

чъ+1

а

,0 = -Ё f (rch + Rc,p)cos\ф^ф1;(8)

п ,=0

^^Ял л

л

4 Л п п ф1''+1

—sin_:rЁ f (rc,h -Rc,p)cosл1ф1^ф1 (9) 2п 2 ,=0 ' 'v '

- амплитуда скорости при циклическом деформировании. Установим ограничения, накладываемые на вид множества XX(1)(к).

При решении задачи об аппроксимации в форме (4) коэффициенты Р^^ вычисляются с помощью коэффициентов а^ разложения Фурье для двойного ряда.

где 11= 0,1,2,...,т; 12= m, m-1,...,0; ^О [0,р];

Яс ,н, Яс, р - соответствующие значения Rc для с -го отрезка ломанных.

В качестве примера приведем зависимости коэффициентов Р^ от а^ при m=5 [8]:

P 00 1 =4 а°0 1 1 - 2а20 + 2а40 - 1 1 ; "4 а02 + а22 + 2а04 ;

P0 1 =^ аю 3 5 - 2 а30 + 2 а50 - а12 + 3аз2 + аи;

P 20 = а20 - 4а - 2а • P 40 22 30 = 2аз0 - 10а50 - 4аз2

P40 = 4 a40 ; • P50 = 8а50 ; P1 = * а^ц 3 аз 1 3 а 13;

(10)

P21 = 2а21 - 8а41 - 6а23; P31 = 4а31; P41 = 8а41;

Здесь и далее индексы ( ) и (к) для упрощения записей исключаются, но при этом подразумевается зависимость функций и их коэффициентов от номеров семейств ( ) и петель гистерезиса (к).

Введением новой переменной y = cos ф 2

(где ф 2 = ф1 + П), форму петли гистерезиса

можно описать только в классе четных функций, но уже двух переменных X и y [4]. Следовательно, при разложении функции Ф по переменным X и XX можно применять полиномы Чебы-шева первого рода, а коэффициенты разложения определятся с помощью (6), но при условии

Р22 " 4 а 22 ; Р32 8 а 32 >

Рассмотрим аппроксимацию петли гистерезиса с помощью полиномов Чебышева, представленных в классе разрывных функций. В этом случае форма петли гистерезиса описывается с помощью двух функций:

Я = Ф с (х, А, q) + ст Ф т (х, А, q),

причем первая из них описывает срединную линию петли гистерезиса (условную упругую составляющую), а вторая - неупругую составляющую (гистерезисную функцию) (см. рис. 2).

Эти функции можно представить в виде ф + ф ф - ф

ф =_Н-Р; ф = н р

2 ' т 2

Задачу интегрального аппроксимирования формы петли гистерезиса сформулируем в виде

min

min

f Ф - Q )2 /1( X )dx

-1

f (Фт - Qm )2 /1(X)dx

-1

(11)

(7) обеспечивающим наилучшее приближение раз-

дельно для функций Фс и Фт :

m m

Ф = Q = ЁP. Ф = Q = Ё P

c ¿•sc / ! c\ . m ~~ m / , m

h=0

h=0

m\

причем

R = О+БО. (12)

Коэффициенты РС^ и Рт л линейно зависят от коэффициентов и ат^ , которые вычисляются с помощью соотношений

a

сХх = -Ё j (RCH + Rc,, )C0S Ф1 .

П i=0

фи+1

(13)

a

mh = - Ё j (rc,H - rc,p )C0S Ф1 п '=0 ф|„

фи

ф1,'+1

(14)

В частности, для m=5:

р0 = у - a2 + a4. P1 = a1 - 3a3 + 5a5 P2 = 2a2 - 8a4. P3 = 4a3 - 20a5.

Рис. 3. Поле петель гистерезиса

виброизоляторов типа ДК: • - экспериментальные данные; --результаты аппроксимации

многочленов третьей степени (т=3), показало достаточно точное их совпадение при гармоническом законе изменения прогибов виброизолятора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Р4 = 8а4; Р5 = 160а5. (15)

Таким образом, рассмотрены два варианта аппроксимации петли гистерезиса. Полученные соотношения (8), (9) для варианта (4) и (13), (14) для варианта (11) позволяют определять значения коэффициентов полиномов (10) и (15) для разложений (5) и (12), соответственно.

На рис. 3 в качестве примера представлены результаты аппроксимации петель гистерезиса для различных амплитуд прогибов виброизоляторов из МР типа ДК.

Сравнение экспериментальных данных с расчетными, полученными с помощью аппроксимирующих

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Альберг, Э. Нильсон, Дж. Уолт. М.: Мир, 1972. 317 с. Березин И.С., Жидков М.П. Методы вычислений: в 2.т. М.: Физматгиз,1959. 620 с.

ГутерР.С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М.: Наука, 1970. 432 с. ЛазуткинГВ. Виброизоляторы на основе материала МР (тип ДКУ). Куйбышев: Куйбышевский авиационный ин-т, 1985. 150 с. Деп. в ВИНИТИ 16.08.85, № 6112-85. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: Наука, 1969. 344 с.

Кассандров О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М.: Наука, 1970. 104 с. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.:ИЛ, 1961. 778 с. Мельников ГИ. Динамика нелинейныхмеханических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 200 с.

METHOD OF APPROXIMATION OF LOOPS OF A HYSTERESIS OF MULTICONTACT DAMPERS WITH A DRY FRICTION

© 2011 G.V. Lazutkin, V.A. Antipov, M.A. Petuhova, G.V. Izranova, T.J. Zinoveva

Samara State University of Means of Communication

The method of approximation of loops of a hysteresis of multicontact systems of dampers with a dry friction is based on experimental definition and approximation of in advance found set of initial families of loops of a hysteresis or initial lines, an establishment of values of factors of plane-parallel carrying over of their initial processes or points of initial lines and a finding of functional communications of factors of approximation of initial set of processes of deformation and initial set of lines with is constructive-technological parameters of dampers. Key words: loops of hysteresis, spline-approximation, polynomials of Chebyshev, decomposition of Fourier, double bluebell, results of approximation, experimental information.

Gennady Lazutkin, Candidate of Technics, Doctorant. Vladimir Antipov, Doctor of Technics, Professor. E-mail: om46@mail.ru. Mariya Petuhova, programmer. Galina Izranova, Senior Lecturer.

Tatyana Zinoveva, Candidate of Technics, Associate Professor.