CC BY
43
Суммарная экономия составила 1000 т стали, что эквивалентно сумме 60 млн руб.
Недостатки разработанной схемы купола -высокие требования к точности сварки и надежности узлов, а также отсутствие в нормативных документах методик по расчету и проектирова-
нию узлов подобной сложности. Для успешного проектирования узлов конструкции использовались подходы трехмерного проектирования и пространственного моделирования напряженно-деформированного состояния каждого узла в отдельности (рис. 6).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самарский, А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. [Текст]/А.А. Самарский, А.П. Михайлов; 2-е изд., испр.-М.: Физматлит, 2001.-320 с.
2. Цытович, Н.А. Механика грунтов. [Текст]/ Н.А. Цытович. -М.: Высш. шк., 1973.
3. Мангушев, Р.А. Современные свайные технологии [Текст]/Р.А. Мангушев, А.В. Ершов, А.И. Осокин. -СПбГАСУ, 2007.-160с.
4. Металлические конструкции: учеб. для студ. высш. учеб. завед. [Текст]/Под ред. Ю.И. Кудишина; 8-е изд., перераб. и доп.-М.: Изд. центр «Академия», 2006.-688 с.
удк 621.396.6:004.942
А.В. Ненашев, А.С. Перистая
МЕТОД АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УСТРОЙСТВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМЫ КОМПЕНСАцИИ
При разработке радиоэлектронных устройств используются системы схемотехнического моделирования, выполненные в виде пакетов компьютерных программ. При проектировании аналоговых устройств необходимо учитывать нелинейные свойства, присущие некоторым элементам схем. Задача создания методов анализа и моделирования в этом случае делится на две части: построение адекватных математических моделей нелинейных элементов, в частности, полупроводниковых приборов, и разработка методов исследования устройств в целом, с использованием таких моделей. Решение второй части, т. е. моделирование всего устройства с учетом нелинейных свойств, осуществляется методами, основы которых разработаны несколько десятилетий назад. Проблема заключается в том, что описание нелинейных элементов возможно только во временной области, а линейную инерционную часть схемы удобнее описывать в частотной, либо в области изображений Лапласа. Длительное время использовался метод численного решения нелинейных дифференциальных уравнений во временной области, реализованный в пакете про-
грамм PSpice. Он выходит из употребления из-за сложности получения результата в установившемся режиме. В популярном пакете Microwave Office применены два метода: рядов Вольтерра (РВ) и гармонического баланса (ГБ). Первый метод является математически строгим, если нелинейные зависимости точно описываются степенными рядами. Отклик схемы представляется в виде суммы слагаемых разных порядков, причем каждый следующий порядок вычисляется на основе предыдущих. Это может быть сделано как в частотной области, так и во временной. Метод применим лишь при малой нелинейности, когда достаточная точность представления обеспечивается рядами, не выше 3...5-го порядков. Метод ГБ является заведомо приближенным, т. к. основан на представлении отклика нелинейной части системы укороченными рядами Фурье с небольшим числом гармоник. Он строится в виде итерационной процедуры, сходимость которой не всегда возможно оценить заранее.
В [1, 2] предложен новый метод анализа и моделирования нелинейных радиоэлектронных устройств, в котором нелинейные элементы рас-
сматриваются как параметрические, т. е. их параметры изменяются под действием напряжений и токов. Составляются уравнения для функционалов, решение которых ищется в виде ряда последовательных приближений. Метод достаточно универсальный, однако для схем, содержащих более одного нелинейного элемента и несколько входов и выходов, могут возникнуть трудности при составлении и решении системы уравнений.
Постановка задачи - усовершенствовать разработанный метод так, чтобы можно было исследовать нелинейные радиоэлектронные устройства произвольной конфигурации и степени сложности. Полученный алгоритм должен быть пригоден для компьютерной реализации, поэтому его следует строить на известных приемах анализа линейных электрических схем.
Предлагается использовать теорему компенсации из теории цепей. Согласно этой теореме, двухполюсники, в частности, нелинейные, входящие в схему, могут быть заменены зависимыми источниками тока или эдс. В результате подобной замены, в эквивалентной схеме нелинейные функции переходят в характеристики источников. При использовании метода последовательных приближений эти характеристики считаются известными по результатам предыдущего шага вычислений. Поэтому схема превращается в линейную и может быть рассчитана обычными способами. Затем снова определяются параметры зависимых источников и расчеты повторяются.
В качестве примера для решения поставленной задачи, предлагается рассмотреть широкополосный преобразователь частоты с квадратурным
мостом, описанный в [3]. Его упрощенная схема приведена на рис. 1.
Источник сигнала и гетеродин (на схеме не изображены) подключены через широкополосный квадратурный мост. Эквивалентная схема моста представляет собой восьмиполюсник, матрицу проводимостей которого можно найти в [4]. Применены диоды с барьером Шоттки типа 2А120А, в схеме предусмотрено регулирование постоянной составляющей тока диодов с помощью внешнего смещения. Схема замещения диода аналогична используемой в SPICE-модели и представляет собой параллельное соединение нелинейной проводимости барьера Шоттки и его нелинейной емкости, последовательно с которыми включено активное объемное сопротивление Л5", которое считается линейным. Вольтамперная и вольтфарадная характеристики заданы функциями г (у ), С (у ), которые подобны используемым в SPICE-моделях (здесь не приводятся). Аргументом этих функций является «внутреннее» напряжение у ., приложенное непосредственно к барьеру Шоттки. Для удобства моделирования из формулы гд(уд) следует получить нелинейную проводимость барьера:
рдЫ^приу^О; Цд/Лд ¡, приуд,.=0.
Проводимости и емкости диодов полагаются на каждом шаге вычислений параметрическими, т. е. изменяющимися во времени. В [5] показано, что наилучшая сходимость последовательных приближений получается, если начальное приближение соответствует линеаризованному ва-
Рис. 1. Упрощенная принципиальная схема преобразователя
Рис. 2. Эквивалентная схема преобразователя
рианту. Поэтому каждый нелинейный параметр целесообразно представить в виде двух слагаемых: постоянного, равного среднему значению параметра, и переменного (параметрического). Постоянные части соответствуют линейным элементам, из которых составляется основа в виде линеаризованной схемы. Переменные части про-водимостей и ёмкостей заменяются, по теореме компенсации, зависимыми нелинейными источниками тока г , ..., г В результате получается эквивалентная схема, приведенная на рис. 2, в которой точки 2 и 3 соответствуют одноименным точкам схемы на рис. 1.
В качестве основы для алгоритма расчетов используется метод контурных токов, который наиболее часто применяют при компьютерном моделировании. Токи г ..., г4 обозначены на схеме; кроме них, в малых контурах, протекают токи, определяемые соответствующими генераторами.
Напряжения сигнала и гетеродина и коэффициенты передачи квадратурного моста учтены в эквивалентных эдс е и е ,. Их изображения,
экв1 экв2
в области преобразования Лапласа (ПЛ), имеют следующий вид:
= (им + игШ(Уи + У») + г,(Л(д) -/4(Д)Х1+у11 + у14>
2• [(У12 + У13)2 - (1 + Уп + У14)(УП + У23)]
(У6(д)-Уг(д))(У12 -У1Э) + г<(/1(я) + /4(д)Х1 + У11 -Ум) 2• Ь12 -Га)2 - (1 + Уп -У14)(УП - У23)] (1)
Яэкв2« =
. (ивк)+ад)(У12+у13) + гД/.м - /4(«))(1+Уп+У14)
(1/в(а) - и^Ши - Пз) + »¡(ЛСО + Л (0X1 + Уц-Ум)
з)Г
2 • [(Гц - Уп)' - (1 + Уц - УмХУп ~У23)]
(2)
где 5 - комплексный аргумент ПЛ; г. - внутреннее сопротивление источников сигнала и гетеродина; У, У12, ... - компоненты матрицы комплексных проводимостей моста [4], нормированные к проводимости источника Иг. (их зависимость от аргумента 5 не указана для экономии места). Сопротивление нагрузки представляет собой параллельное соединение резистора Яя и емкости Сн. Среднее значение проводимости диода
Д1: Уд1ср ^д1ср + •j'®Cд1ср, где ^д1ср, Сд1ср сред
ние значения активной проводимости и емкости; У 0 , У. , У . - аналогичные величины для
' д2ср' д3ср' д4ср
других диодов. Каждый из «переменных» токов
, 1
д1~, •••, >д4~ вычисляется как разность полного тока соответствующего диода и тока через среднюю проводимость. Например, для первого диода:
и0^д!1(0-{сд1[удй(г)]-с>1ср} +
(3)
сд1ср ■
Можно переписать (3) в области изображе ний, используя аппарат многомерного преобразо вания Лапласа (МПЛ) [2, 5]:
+ ,1(Сд1(,2)-Сд1с)]} ,
(4)
^(0 = ^МО], С»^^) = С^ДО];
символ <-
(5)
означает взаимное соответствие оригинала и изображения; символом {°}* обозначен переход от многомерного изображения Лапласа к одномерному. Для остальных диодов токи определяются аналогично. Разделительные конденсаторы С1, С2, С3 имеют значительные номиналы и не оказывают заметного влияния на работу преобразователя.
Запишем систему уравнений для изображений контурных токов: /1(5)[1/(5-с1) + 1/уд1ср+/?51]-
ъшщ + 1/уд1ср + яб2 + 1/уд2ср + +1/(5 ■ с2)+гв] - ад[1/уд1ср+щ] + + аддо, + 1/уд1ср + яб2 + 1/удгср] = = 0.5 ■ еск - /д1_ («) / уд1ср - /д2_ (л) / уд2ср,
ад[*5, + 1/У„,ср+яэ,+1/У^+мэ + + 1/уд3ср + щ + 1/уд4ср] - /,(*)[1/уд1ср + + ад^ + 1/Уд1ср + Щ + 1/Уд2ср]~ -74(5)[1/уд4ср + яб4] = £см - /д1_(я)/уд1ср-
1,ш'уц4ср + дя4 + 1/(л • с3)] - /3(л')[^4 + 1/уд4ср] =
= -0,5-£см-£эи2(5)-/д4_(5)/уд4ср.
Здесь, для компактности, величины Уд1ср, ..., Уд4ср и записаны без комплексного аргумента 5. В уравнениях слагаемые, обусловленные «переменными» составляющими токов, помещаются в правых частях, поскольку они считаются известными по результатам предыдущего шага расчетов. Система уравнений (5) линейная и может быть решена любым из известных методов, в т. ч. с помощью компьютерных программ. Для решения в ручном режиме следует воспользоваться традиционным методом подстановки, выражая одни токи через другие. По найденным в результате решения токам /1(^), ..., /,(£), можно определить внутренние напряжения диодов:
ад - [ад - ад - ад - /д1.(*)]/уд1ср («). (6)
УдиЮ = - [72^) + ф) + 1Л2-^)]/Уд2ср (*) , (7) П^) = + V (*)]ДдЗср М. (8)
УД14(.) = [ад - ад - /дад]/уд4ср (в) • (9)
От изображений следует перейти во временную область (0, ^ф^у^Х Гд,з(5)^Уд,з(0, Полученные напряжения могут быть использованы для нахождения параметров нелинейных элементов и других величин, необходимых для следующего цикла вычислений.
Моделирование начинается, как в любой системе схемотехнических расчетов, с определения режима по постоянному току. В нашем случае он определяется внешним смещением Есм, которое поровну делится между четырьмя диодами. В этом состоянии определяются исходные значения тараметрот 70Д1(5) = С0Д1+ 5С0Д1 , .. 70Д4(5) =
= С0д4+ где С0дР ..., 00д4 и C0д1, ..., С0д4 - зШ-
чения проводимостей и емкостей диодов при заданном смещении. Эти величины подставляются в уравнения (5) вместо средних значений параметров. Начальный шаг вычислений соответствует линеаризованной схеме, поэтому «переменные» составляющие токов /д1~(5),..., 1д4~(5) на этом этапе равны нулю. Начальные версии эквивалентных
эдс £0экв1(5) и Еш^Х поскольку токи ЦяХ ..., ^(У) еще не найдены, можно определить по правилам теории линейных цепей, либо приближенно, т. к. в дальнейших циклах происходит их уточнение. В результате решения системы уравнений (5) получаются начальные приближения к токам 11(0)(5), . ., 14 (0)(5), а по формулам (6)-(9), соответственно, начальные приближения
^)<-^у*1(0)(0, Гд-3(0)(5)
<->уд,3(0)(0, ->Уд,4(0)(С) к внутренним
напряжениям диодов. Здесь и далее нижний индекс, в скобках, обозначает номер приближения к токам или напряжениям, либо номер соответствующей им версии законов изменения нелинейных параметров. По этим напряжениям с помощью соответствующих формул определяются нулевые версии параметров 6д1(0)(0 = б^^^ОЬ
Сд1(0)(С) = Cд1[уд¡1(0)(0], ^Д4(0)(С) = Gд4[Удí4(0)(0],
Сд4(0)(С) = Cд4[удí4(0)(t)], а также срад™е значения
Проводимостей Уд1ср(0)(5) = Сд1ср(0) + 5Cд1ср(0),...,
7д4ср(0)(5) = Сд4ср(0) + 5Сд4ср(0). Далее по ^^
лам (3), (4) вычисляются «переменные» токи
.дь«»^ ^-(О)^^ гд4~(0)(t), а по
формулам (1), (2) - эквивалентные эдс Е0экв1(0)(5) и Е0экв2(0)(5), после чего начальный цикл вычислений завершен и можно приступать к следующему, в ходе которого будут найдены первые приближения для всех переменных.
Продолжение рассуждений, подобным образом, ведет к выражениям для произвольного к-го приближения:
1тШКз ■ СО+1/гд1ср(*_,)(*)+-
(5)н/г51 + 1/7д1ср(,_1)(5)] = = £экв1№-1)(5) - 0.5 • £см,
+1/Уд1ср(,_1)(*)+ЯЯ2 + 1/Уд2ср(*_1)М + + 1/(5 . с2) + гн(5)] - (5)[1/уд1ср(,_1)(5) + +
+ 1зт + 1/уд1ср(н)м + +1/^^)1 = = 0.5 • Есм - -
13(к) + 1/уд!^^) + + 1/Уд2ср(,_1)(5) + + ДЯз + иУдЗерси^) + /?54 + 1/Уд4ср(,_1)(^)] -
- 1т (5)[1/уд1ср(,_1)(5)+ дя,] + 12(к) (5)[^ + + 1/уд1ср(м)(.5) + + 1 /гд№1) (5)] -
_ 1ц2~(к-\) ^^ Уд2ср(А:-1 - 1ц,ъ~(к-1)
дЗср(*-1)(*) -
/4«) (Л')[1/Уд4Ср(.-,)(^) + + 1/(5 ■ С3)] _
- + 1/Гд4ср(*-1)(*)] = -0,5 • £см-
- Еэт2(к-\) ($)- 1Д4_(к_Г) / ^д4сР№-1)(5') •
-/ад(») -ЛоЮ Ча^С^/Пи*^) '(10) С*)]/^,*»' (11)
(*)]ДдЗсрМ(*)' (12)
К^) = [^О "'эдЮ Ч*-МС*)]/Гд4ср№>) • (13)
^д4ср(*)(5) = ^д4срда+5,'^-д4ср№) '
Д1~(*)
+ 51(Сд1да(52)-Сд1срда)]Г,...,
^д4ср да)+ + 51(Сд4да(52)-Сд4срда)]Г,
^эгаВД (х) =
а/в(я)+иг(л)хуи+уа)+п(1т(')-1щ)('))а+у11+уи) 2 ■ [(у,2 + у»)' - (1 + гц + уыхуи +у23)]
(Ус (5) - ЦТ (д))(Г12 - У13) + г, (1шр) + 1«к)Щ1 + у» Уц)
2-[(Х12-¥п)2 -(1 + ¥п-¥и)(¥п -¥23)]
Ешв2(к) (х) ~
= (Р„(д) + ^/,.(.у))(У12 + У13) + - /4т(0)а + Гц + Ум)
2 • [(¥п + ¥13)2 - (1 + ¥п + ¥ы)(¥п +¥23)] | (УМ-УгШУп -Г13) + ^(/1№)(Д) + /4№)(5))(1 + У11 -ГМ)
2' - Пз)2 - (1 + Уп - УмХУц - Уя)1
Конечным результатом моделирования является выходное напряжение преобразователя:
Вычисления продолжаются до тех пор, пока относительная разность между соседними приближениями не станет меньше заданной величины.
Большинство приведенных соотношений построено с использованием преобразования Лапласа, что принципиально позволяет вести исследование как в переходном режиме, так и в установившемся. На практике во многих случаях представляет интерес установившийся режим. При этом от преобразования Лапласа следует перейти к преобразованию Фурье, что дает возможность при численном моделировании использовать прямое и обратное БПФ.
В случае использования метода последовательных приближений, всегда возникает вопрос о его сходимости. Если в уравнения входят функционалы, сходимость обеспечивается при выполнении так называемого «принципа сжимающих отображений» [5]. Этот вопрос требует отдельного рассмотрения, поскольку необходим переход к другой форме представления уравнений. В нашем случае этот принцип будет выполняться, если разность между результатами соседних циклов вычислений будет сокращаться по мере увеличения номера цикла. В [1, 2] отмечено, что, если не принять специальных мер, область сходимости ограничивается сравнительно небольшими амплитудами входного воздействия, что недостаточно на практике. Там же указано, что существует простой способ обеспечения сходимости, который заключается в искусственном уменьшении разности между результатами текущего и предыдущего циклов вычислений. Для этого достаточно изменить вид уравнений (10)—(13), описывающих внутренние напряжения диодов:
= О) - 72<*) (*) - Ь(к) О) -
(*) + (!-А )Удад_1)(5),
К,„ ДБ
7.............. 2
Рис. 3. Зависимость коэффициента передачи от входной мощности: 1 - предложенный метод; 2 - метод ГБ; 3 - моделирование в пакете МютоСар 7
Vntw№ = -Д[72(*) (+ hm № +
+ 1д2~(к-1) (л)] I ^д2ср(*-1)
+W-D (^)]/удзср(^1) ^+(1~ ад.
Vm4kp) = Шцк) (5) - h(k) (J) -
где Д <1 выбирается из условия наиболее быстрой сходимости. Подробное рассмотрение вопроса о выборе Д выходит за рамки данной статьи. Отметим только, что во многих случаях его можно определить методом подбора.
Для проверки и иллюстрации возможностей описанного метода были проведены расчеты при параметрах, подобных выбранным в [3]. Частота входного сигнала совпадает с центральной частотой квадратурного моста и равна 150 МГц, частота гетеродина 180 МГц. Уровень мощности гетеродина составляет 10 дБм. Оптимизация смещения не проводилась, Есм = 0. На рис. 3 приведена зависимость коэффициента передачи от уровня мощности входного сигнала, рассчитанная предложенным методом (линия 1), а также для сравнения - методом ГБ в пакете программ Microwave Office (линия 2) и методом моделирования во временной области в пакете MicroCap 7 (линия 3).
Видно, что результаты, полученные предложенным методом, весьма близки к результатам моделирования в MicroCap 7. Небольшое отличие объясняется, видимо, тем, что в настоящей статье использованы несколько упрощенные функции вольтамперной и вольтфарадной характеристик. Результаты метода гармонического баланса отличаются более существенно. Это подтверждает вывод, сделанный в [2], что в режиме большой нелинейности (который имеет место в нашем случае) метод ГБ дает заметную погрешность вычислений. На рис. 4 изображена зависимость относительного уровня продукта интермодуляции 3-го порядка от уровня входной мощности (1 - предложенный метод; 2 - MicroCap 7). Графики показывают, что результаты предложенного метода и моделирования в MicroCap 7 достаточно близки. Вычисления методом ГБ дают нереальные результаты, которые здесь не приведены: зависимость получается немонотонная, с отличиями от изображенных ±(15... 20) дБ. Непригодность метода ГБ для исследования интермодуляции в преобразователях частоты подтверждается тем, что в руководствах по Microwave Office такое применение не рекомендовано.
Имеется возможность сравнить полученные результаты с приведенными в [3] расчетными и экспериментальными данными. При использованном там значении входной мощности 0 дБм,
IM 3, дБ
-20
-40
-60
-80
-20
10
Р,:,, ДБМ
Рис. 4. Зависимость относительного уровня продукта интермодуляции 3-го порядка от входной мощности: 1 - предложенный метод; 2 - моделирование в пакете МгсгоСар 7
расчетный уровень интермодуляции 3-го порядка практически совпадает с нашим результатом. Экспериментально измеренный уровень составляет примерно -34 дБ, т. е. отличие от расчетного значения 2,5 дБ. Это является достаточно хорошим совпадением для продукта высокого порядка. Значение экспериментально измеренного коэффициента передачи в [3] для входной мощности 0 дБ составляет 10 дБ, т. е. моделирование предложенным нами методом дает результат, отличный на 0,7 дБ. Это вполне правдоподобно, поскольку в реальном образце всегда имеются потери сигнала, неучтенные при моделировании. Следует от-
метить, что моделирование по методике авторов [3] дает -11,5 дБ, т. е. расхождение с экспериментом -1,5 дБ.
В статье предложен метод моделирования и анализа нелинейных радиоэлектронных устройств, основанный на применении теоремы компенсации для нелинейных элементов схемы. Метод может быть положен в основу разработки комплекса компьютерных программ. Рассмотренный пример расчета и сравнение с опубликованными данными подтверждают достоверность полученных результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ненашев, А.В. Метод параметрических характеристик для анализа и моделирования нелинейных устройств [Текст]/А.В.Ненашев//Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника.-2009-Т. 52.-№ 11-С. 30-40.
2. Ненашев, А.В. Метод моделирования нелинейных радиотехнических устройств [Текст]/А.В. Ненашев, В.А. Охотников/Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика, телекоммуникации, управление.-2009.-№ 5 (86).-С. 73-79.
3. Мелихов, С.В. Метод анализа и расчёта широкополосного преобразователя частоты в режиме сильных гармонических воздействий [Текст]/С.В. Мелихов, В.А. Кологривов//Радиотехника.-1999.-.№ 1.-С. 38-45.
4. Бова, Н.Г. Микроэлектронные устройства СВЧ [Текст]/Н.Г. Бова, Ю.Г. Ефремов, В.В. Конин [и др.]. -К.: Техника/ 1984.-184 с.
5. Пупков, К.А. Функциональные ряды в теории нелинейных систем [Текст]/К.А. Пупков, В.И. Капа-лин, А.С. Ющенко.-М.: Наука, 1976.-448 с.
