CC BY
7МЕТАПРЕДМЕТНАЯ ПОДГОТОВКА БАКАЛАВРОВ К ФОРМИРОВАНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
Н. И. ЧИРКОВА,
кандидат педагогических наук,
доцент кафедры теории
и методики дошкольного, начального
и специального образования
КГУ им. К. Э. Циолковского (Калуга)
nichirkova@mail.ru
О. А. ПАВЛОВА,
кандидат педагогических наук,
доцент кафедры теории
и методики дошкольного, начального
и специального образования
КГУ им. К. Э. Циолковского (Калуга)
oksanapav@yandex.ru
В статье раскрывается специфика профессиональной подготовки студентов бакалавриата педагогического образования в рамках изучения дисциплин «Математика» и «Методика обучения математике в начальной школе». Изложен основополагающий теоретический материал, необходимый для формирования понятийного аппарата у младших школьников в процессе освоения ими математического содержания в соответствии с требованиями ФГОС НОО. Раскрываются этапы формирования понятий у детей младшего школьного возраста, выявляются методические особенности работы учителя в процессе организации познавательной деятельности учащихся на уроках математики.
The article reveals the specifics of the professional training of undergraduate students of pedagogical education within the framework of studying the disciplines «Mathematics» and «The methodic of teaching mathematics in elementary school». The basic theoretical material necessary for the formation of the conceptual apparatus at younger schoolchildren in the process of mastering the mathematical content in accordance with the requirements of the Federal State Educational Standard for Pre-school General Education is expounded. The stages of the formation of concepts in children of primary school age are revealed, the methodical features of the teacher's work are revealed in organizing the cognitive activity of students in the lessons of mathematics.
Ключевые слова: бакалавры педагогического образования, понятие, способы определения понятий, младший школьный возраст, математика, методика обучения математике, этапы формирования понятия
Key words: bachelors of pedagogical education, concept, ways of definition of concepts, primary school age, mathematics, methodic of teaching mathematics, stages of concept formation
Инновационные изменения в университетском образовании, связанные с требованиями современного общества и рынка труда, характеризуются открытостью, вариативностью, локальной связью между ее структурными элементами. Педагогическая система вуза строится по двухступенчатой системе: бакалавриат — магистратура. Изменения в содержании определяются новым видом бакалавриата — прикладным, который ориентирует на подготовку специалиста, способного к эффективной организации учебной деятельности учащихся, что предполагает достаточно высокий уровень интеллектуальной культуры, в том числе логической. Логическая подготовка будущего педагога на основе формирования понятий носит метапредметный характер, поскольку система научных понятий составляет основу каждой учебной дисциплины, является фундаментом любого систематизированного знания.
Раскроем некоторые возможности метапредметной подготовки будущего педагога, опираясь на собственный опыт преподавания курсов «Математика» и «Методика обучения математике в начальной школе» в институте педагогики КГУ им. К. Э. Циолковского (ОПОП ВО бакалавриата по направлению подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование»). Освоение названных дисциплин призвано способствовать становлению готовности студентов к самостоятельной профессиональной методико-математиче-ской деятельности по осуществлению математического образования младших школьников в единстве с развитием у них умения учиться.
Согласно программе по математике [3] школьники должны усвоить несколько десятков математических понятий, среди которых: арифметические («число», «сложение», «вычитание», «умножение», «деление», «задача», «величина», «доля» и
др.); геометрические («многоугольник», «отрезок», «круг», «точка», «луч», «прямоугольник», «угол», «прямая», «квадрат» и др.); алгебраические («выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и др.).
Многие из этих понятий уже в начальных классах достигают достаточно высокого уровня сформированности. К ним относятся: «счет», «арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление)», «компоненты арифметических действий», «прямоугольник», «килограмм», «километр», «час» и др. Однако есть такие понятия, которые в начальной школе проходят лишь начальную стадию формирования. К ним относятся: «переменная», «уравнение», «неравенство», «ромб», «дробь», «число» и др.
Научные понятия формируются у учащихся не изолированно, не спонтанно, а в системе, по мере изучения разных аспектов математики. Понятия сравниваются, группируются, пересекаются, подчиняются и соподчиняются одно другому. Так, понятия «многоугольник», «точка», «прямая», «окружность» подчиняются родовому понятию «геометрическая фигура», понятия «однозначное число», «двузначное число», «многозначное число» являются видовыми по отношению к родовому понятию «число». Таким образом, дети усваивают стройную систему понятий, связей между ними, а не отдельные, обособленные друг от друга понятия.
Однако нельзя допустить, чтобы дети осваивали математическое содержание бессистемно, приблизительно, без четких определений. Учитель должен осознавать, какие понятия сформированы у детей, а какие нет, на какой стадии формирования понятия находятся учащиеся, а к
Логическая подготовка будущего педагога на основе формирования понятий носит метапредметный характер, поскольку система научных понятий является фундаментом любого систематизированного знания.
усвоению каких идет подготовка и в чем она состоит. Все это будет способствовать развитию логичности мышления учащихся.
Рассмотрим, что такое научное понятие, как протекает процесс его формирования у младших школьников, в чем суть методико-математической подготовки студентов.
Понятие — форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки и свойства отдельного предмета или класса однородных предметов и отношения между ними. Определить понятие — значит установить его границы, позволяющие отличить его от других понятий того же ряда. Для этого в объекте, явлении, отображенном в понятии, выделяют существенные признаки. Такое краткое определение понятия называется дефиницией. Именно оно применяется в практической деятельности.
К общелогическим умениям, связан-
Круги Эйлера для определения отношений ме
ным с определениями, относятся: формулирование определения; подведение под понятие (распознавание объектов по выделенным в определении признакам); использование определения в дедуктивных рассуждениях.
Знания студентов об определении понятий целесообразно использовать многоаспектно. Рассмотрим пример формулировки определений через род и видовые отличия. С этой целью полезны задания на выявление структуры определения, выделение родового понятия по отношению к определяемому и видовых признаков последнего. После того как определение дано, формулируются условия принадлежности/непринадлежности объекта объему понятия. Рассмотрим несколько таких заданий.
3 Приведите примеры математических понятий, отношения между которыми могут быть изображены с помощью кругов Эйлера, приведенных на рисунке.
у математическими понятиями
3 В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:
— ромб — параллелограмм, у которого две смежные стороны равны;
— простое число — всякое натуральное число р > 1, натуральные делители которого исчерпываются лишь двумя числами 1 и р;
— сфера — геометрическое место точек пространства, расстояние которых от данной точки О равно данному отрезку г.
3 Дайте разные определения понятий: «многоугольник», «треугольник», «ромб»,
«окружность», «прямоугольник», «периметр», «параллелограмм». Соразмерны ли эти определения?
С целью формирования умения правильно формулировать определения предлагаем задания на выявление и исправление ошибки в предложенном определении: отсутствие или неверный выбор родового понятия, несоразмерность определяемого и определяющего понятий, порочный круг, наличие тавтологии, отсутствие ясности и др. Приведем определения, которые могут служить материалом для составления подобных заданий:
3 прямоугольник — это когда все углы прямые;
3 квадрат — это многогранник, у которого все стороны равны;
3 луч — это прямая, ограниченная с одной стороны;
3 многоугольник — замкнутая линия.
Весьма эффективной формой работы по конструированию определений с обсуждением приемлемости предложенных вариантов с точки зрения соблюдения правил определений является «мозговой штурм». Например, на вопрос «Что такое составное число?», как правило, дается такой ответ: «Это когда число имеет несколько делителей». Делаем замечание в отношении выражения «это когда» и получаем вариант: «Это число, которое имеет несколько делителей». Задаем вопрос: «Можно ли назвать числа 1, 15 и 1/12 составными?» Студенты обнаруживают, что родовое понятие «число» широкое, и заменяют его понятием «натуральное число». Продолжая обсуждение вопроса, приводим пример: «Число 3 делится на 1 и на 3. У него несколько делителей. Значит, число 3 — составное?» Замечая ошибку в выборе видовых отличий, учащиеся заменяют «несколько делителей» на «больше двух делителей». Получаем формулировку: «Составное число — это натуральное число, имеющее больше двух делителей». Приведение еще одного контрпримера (число 5 делится на 1, на 5, на 2,5) убеждает в несовершенстве предложенного определения, и оно уточняется следующей формулировкой: «Составное число — это натуральное число, имеющее более двух делителей, являющихся натуральными числами». Следующий шаг — обсуждение возможности заменить предложенную формулировку более короткой, что приводит к суждению: «Составное число — это натуральное число, имеющее более двух натуральных делителей»; «Составное число — это натуральное число, у которого есть по крайней мере один натуральный делитель, от-
личный от единицы и самого этого числа».
Упражнения в поиске точных определений весьма полезны. Они воспитывают у будущих педагогов ответственное отношение к слову, ориентируют на точное и краткое выражение своей мысли, способствуют осознанному усвоению предметного содержания. Подобные задания создают логико-математическую базу для формирования профессиональной компетентности будущего учителя начальных классов.
В процессе методической подготовки студенты узнают, что формирование математических понятий — это и условие, и следствие логического развития учащихся, в основе которого — понимание ими изучаемых математических явлений, умение классифицировать их по определенным признакам. Процесс формирования понятий сопровождается повышением уровня математического мышления. Чем выше этот уровень, тем большее количество понятий может быть усвоено.
Математические понятия отличаются высокой абстрактностью по сравнению с понятиями конкретными. Они есть результат абстрагирования и обобщения существенных свойств первичного материала: числа, арифметического действия, выражения и др. Получается, что математическое понятие создается на материале, который сам изначально абстрактен. Трудность усвоения таких понятий младшими школьниками состоит в том, что каждый признак понятия уже есть обобщение.
Существуют математические понятия, которые являются неопределяемыми (например, «точка», «прямая» и др.), а формировать их необходимо уже в начальной школе. Кроме того, другие понятия определяются через них: «Треугольник — три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка с концами в этих точках» [2, с. 460]. Методическое решение дан-
Упражнения в поиске точных определений весьма полезны. Они воспитывают у будущих педагогов ответственное отношение к слову, ориентируют на точное и краткое выражение своей мысли.
Внимание студентов сосредоточи вается на том, что многие мате матические понятия очень слож ны. Они раскрываются перед уча щимися не сразу, а постепенно уточняясь и расширяясь.
ной проблемы — определение через показ, или остенсивный способ определения.
Внимание студентов сосредоточивается на том, что многие математические понятия очень сложны. Они раскрываются перед учащимися не сразу, а постепенно, уточняясь и расширяясь. Так, понятие «число» (на множестве натуральных чисел), которое является базовым в начальном курсе математики, формируется на протяжении всего обучения, постепенно раскрывая основные аспекты: количественный (число — эквивалент класса конечных равномощных множеств; ответ на вопрос «сколько?»), порядковый (образование натурального числа прибавлением единицы к предыдущему или вычитанием единицы из непосредственного следующего числа; ответ на вопрос «который по счету?»), измерительный (число — результат измерения величины, то есть сравнение ее с эталоном), вычислительный (число — результат выполнения арифметических действий), операторный (показывает, какие операции над числом надо выполнять; например, в выражении 5^3 число 3 — оператор, показывает, что число пять надо взять три раза).
Рассматривая на практических занятиях вопрос об этапах формирования понятий, предлагаем сравнить точки зрения А. В. Усовой и М. Р. Львова [4; 1].
А. В. Усова называет следующие этапы: усвоение содержания (существенных признаков) понятия; усвоение объема понятия (совокупности объектов, охватываемых понятием); установление существенных связей и отношений данного понятия с другими понятиями системы; оперирование понятием в решении разнообразных задач познавательного и практического характера [4].
М. Р. Львов определяет три этапа формирования понятия: первый — подготови-
тельный— этап предполагает накопление эмпирического материала (наблюдение изучаемого явления, выявление и называние его важнейших признаков, первичное обобщение накопленного эмпирического материала, выделение существенных признаков и свойств); второй этап предполагает научное оформление понятия (введение термина, вывод определения понятия, составление схем, моделей и т. п.); третий этап — углубление понятия, выделение новых признаков изучаемого явления, которые лежат в основе формируемого понятия [1].
В дальнейшем, углубляя и систематизируя методические знания студентов, на основе системно-деятельностного подхода определяем технологическую цепочку формирования понятия: мотивация введения понятия ^ выделение существенных признаков явлений, подводимых под понятие ^ синтез выделенных свойств ^ введение термина ^ формулировка определения ^ понимание смысла слов в определении понятия ^ усвоение логической структуры определения ^ запоминание определения ^ применение определения ^ установление связей изучаемого понятия с другими ранее изученными. Такая работа позволяет подвести студентов к пониманию метапредметной направленности формирования понятийного аппарата у обучающихся. При всех различиях самих понятий, условий их формирования названные этапы могут быть обнаружены в каждом отдельном случае. В силу этого полученные студентами знания при изучении одного учебного материала могут в дальнейшем применяться ими на ином учебном содержании как готовые методические средства.
Следует отметить, что не все математические понятия проходят в своем формировании все названные этапы уже в рамках начальной школы. Относительно полно сформированы в рамках 1— 4-х классов такие понятия, как «число» (на множестве натуральных чисел), «отрезок натурального ряда», «множество»,
«число элементов множества», «счет», отношения «меньше» и «больше» и др. При формировании названных понятий, как правило, используется остенсивный способ определения. Возникает вопрос: как наглядно представить абстрактное понятие, например «число 7»? Для этого можно использовать иллюстрацию с изображением семи мячей, семи птичек, семиэтажного дома и т. п., сопоставляя эти элементы множества: чем они отличаются (изображены разные предметы) и что в них общего (количество). Предлагая для наблюдения множества с разным количеством элементов (пять кубиков, три машины и т. п.), задаем вопрос: «О каких предметах на рисунке можно сказать, что их количество три, пять и т. д.?» [5]. Выполнение аналогичных заданий позволит сделать обобщение: каждому множеству объектов соответствует одно и только одно натуральное число, равное количеству элементов этого множества, но любому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества. Поэтому числу «пять» будут соответствовать и количество пальцев на одной руке, и количество букв в слове «число», и др. В дальнейшем понятие числа развивается в диалектической связи с другими математическими понятиями («система счисления», «арифметическое действие», «величина»).
Некоторые математические понятия, широко используемые в практической работе учащихся, не изучаются в обобщенном виде. К таким, например, можно отнести понятие «уравнение». В начальной школе уравнение рассматривается как равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число одно. Решение (корень) — тоже одно число. Дети решают уравнения сначала подбором, а затем устанавливая взаимосвязь компонентов и результата арифметического действия. Позже ученики знакомятся с составными уравнениями, решение которых строится на анализе выражения левой части: какие действия указаны в
выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит искомое и др. Следующий шаг — решение текстовых задач алгебраическим способом на основе составления уравнения.
Программой по математике для начальной школы не предусмотрено знакомство с уравнениями с несколькими неизвестными, с двумя или большим количеством решений, равносильными уравнениями и т. д. Таким образом, изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер.
Такая же ситуация и с геометрическими понятиями. Рассмотрим, например, понятие «диагональ». Хотя определение этого понятия содержит два признака: «является отрезком прямой» и «соединяет вершины многоугольника, не принадлежащие одной его стороне», — эмпирический материал используется ограниченно, для обобщений недостаточно условий и наблюдений учащихся. Школьники считают, что диагональ есть только в квадрате и прямоугольнике. И, как результат, понятие только лишь намечено и начинает формироваться.
В ходе педагогической практики студенты наблюдают за ходом урока и, анализируя деятельность учителя и учащихся, определяют трудности при формировании понятий, в том числе математических.
Таковы общие вопросы формирования математических и других научных понятий. Понятия составляют основу не только науки, но и учебного предмета «Математика», и без качественного усвоения каждого понятия невозможно дать учащимся полноценные, математические знания и умения.
Изменения в программе по математике, связанные с введением ФГОС НОО, позволяют учителю поднять методиче-
Некоторые математические понятия, широко используемые в практической работе учащихся, не изучаются в обобщенном виде. К таким, например, можно отнести понятие «уравнение».
скую работу по формированию у младших школьников математических понятий на более качественный уровень, сделать этот процесс более осознанным. Подго-
ЛИТЕРАТУРА _
товка студентов к данному виду профессиональной деятельности в условиях ком-петентностного подхода требует более детального исследования.
1. Львов, М. Р. Формирование грамматических понятий у младших школьников / М. Р. Львов // Начальная школа. — 1981. — № 11. — С. 22—26.
2. Мантуров, О. В. Толковый словарь математических терминов / О. В. Мантуров [и др.]. — М. : Просвещение, 1965. — 540 с.
3. Примерная основная образовательная программа начального общего образования. — URL: https://минобрнауки.рф/документы/922/файл/8262/poop_noo_reestr.pdf.
4. Усова, А. В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения / А. В. Усова. — М. : Педагогика, 1986. — 186 с.
5. Чекин, А. Л. Формирование математических понятий у младших школьников. Остен-сивные определения / А. Л. Чекин // Начальная школа. — 2018. — № 2. — С. 40—42.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ КАК СРЕДСТВО ОПТИМИЗАЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ТВОРЧЕСТВА СТУДЕНТОВ
Л. И. ЕРЕМИНА, кандидат педагогических наук, доцент кафедры педагогики и социальной работы Ульяновского государственного педагогического университета им. И. Н. Ульянова lariv73@mail.ru
В статье раскрыты особенности использования педагогических технологий для совершенствования процесса социального творчества студентов. Рассматривается проблема формирования готовности студентов к социально-преобразующей добровольческой деятельности. Представлен опыт эмпирического исследования использования технологий коллективной творческой деятельности, проектирования, групповой творческой работы, игровых технологий для оптимизации социального творчества студентов.
The article reveals the peculiarities of using pedagogical technologies for improving the process of social creativity of students. The problem of formation of students' readiness to social-transforming volunteer activity is considered. Experience of empirical research of the use of gaming technologies, technology of collective creative activity, technology of designing, technology of group creative work for optimization of social creativity of students is presented.
