Меры рисков в многоэтапных проблемах стохастического программирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 2 (1), с. 177-181

УДК 519.7

МЕРЫ РИСКОВ В МНОГОЭТАПНЫХ ПРОБЛЕМАХ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

© 2013 г. О.А. Галкина

Киевский национальный университета им. Т. Шевченко

o.a.galkina@yandex.ru

Поступила в редакцию 27.11.2012

Оптимизация портфеля является проблемой распределения капитала между различными активами с целью максимизации прибыли от инвестиций и минимизации рисков. Характеристика рисков является достаточно сложной задачей. В данной работе рассмотрена многоступенчатая проблема оптимизации портфеля. Представлены современные характеристики рисков и построены меры рисков с необходимыми свойствами для их использования в стохастическом программировании.

Ключевые слова: мера рисков, многоступенчатая

1. Описание проблемы

Целью задачи многоступенчатой оптимизации портфеля является определение оптимального портфеля для заданного конечного горизонта инвестирования Т, определенного набором этапов Т := {1,...,Т}. После начальной инвестиции в момент времени t = 1 портфель может быть сбалансирован по временным периодам ‘ = 2,...,Т -1 и погашен в конце последнего периода t = Т. Рассмотрим фильтрованное вероятностное пространство ^k, F,(Р)(еТ, Р). Общий доход представлен в виде \ := (^,...,) е Rk‘, где подвекторы ^ е Rk‘ являются совокупным доходом в момент времени ‘ е Т. История всех совокупных доходов до

времени ‘ обозначается Е>1 := (^,...,) еRk‘, где

к‘ := ^ ки. Решение об инвестициях wt (^‘) принимается в момент времени ‘ после того, как ^‘ были обнаружены, но пока будущие результаты {Е,и }и>‘ не наблюдались. Мы связываем с процессом выявления ^‘ соответствующую фильтрацию Р1 с ... с РТ из 8 -алгебры на Rk. Более того, мы обозначим через Р вероятности распределения ^. Отметим, что одноэтапную модель можно рассматривать как частный случай многоступенчатой модели, в которой Е,Т = ^ и иТ = k . Каждый инвестор стремится максимизировать ожидаемую доходность портфеля при минимизации своих рисков. Ожидае-

проблема, дисперсия, портфель.

мая доходность многоступенчатого портфеля гр может быть рассчитана как среднее накопление капитала на этапе ‘ = Т -1, умноженное на среднюю прибыль на последнем этапе £,Т, т.е.

7р = Е (м>Т -ДТ-%). (1)

Используя предположение, что общие доходы на каждом этапе независимы, ожидаемую доходность запишем в виде

гр = Е (нуТ -ДТ-1))Е (^ ). (2)

2. Меры рисков

Рассмотрим вероятностное фильтрованное пространство (О, Р ,(Р )еТ, Р) с Р1 = {0,0}. Соответствующая фильтрация р с ... с РТ 8 -алгебры на О может быть связана с процессом выявления Е,‘. Обозначим Ц := Ц (О,Р‘, Р), ‘ еТ, векторное пространство всех ограниченных р -измеримых случайных переменных. Более того, определим Zt как пространство всех р -

измеримых функций X‘ := {X : Ц ^ R}. Риск в многоступенчатом стохастическом программировании задается последовательностью отображений

р, : г; ^ Ц, ‘ = 1,...,Т -1, где р‘ (X), X е Ц, может рассматриваться как оценка убывающих рисков, связанных с позицией X, она обусловлена информацией о ^, доступной в момент времени ‘. Далее представим многоступенчатую когерентную меру риска через понятие условной выпуклой меры риска.

Условная выпуклая мера риска

Изображение р‘ : Ц ^ Ц, ‘ = 1,..., Т -1, называется условной выпуклой мерой риска, если оно удовлетворяет следующим свойствам. Для каждого Х1, X2 е Ц выполняется:

- условная инвариантность денежных

7" со

средств для каждого т1 е ь1

р, (X1 + т) = р,(X 1) - т;

- монотонность

X1 <X2 ^р,(X,) > р,(X2);

- условная выпуклость

Xе Ц, 0<Х< 1, р, (XX! + (1 - X)X2) < Хр, (X!) + (1 - X)р, (X2);

- (Р,)«

является рекурсивном:

Р, =

нормализация

Р,(0) = °.

Когерентная мера риска

Условная выпуклая мера риска является когерентной, если выполняется свойство условной положительной однородности:

У^є Ь, 0,

р (АХ,) = Ьр, (X,).

Динамическая выпуклая мера риска: последовательность (р 1),єТ называется динамической выпуклой мерой риска, если р , является условной выпуклой мерой риска для каждого t є Т.

Последовательная во времени мера риска: динамическая выпуклая мера риска (р,),єТ является последовательной во времени, если выполняется каждое из следующих эквивалентных условий:

- для всех , = 1,...,Т -1 и для всехХ1,Х2 є ЬТ

Р,+г(Х 1 ) > Р»+1 (Х2 ) ^ Р,(Х 1) > Р,(Х2 ).

Иными словами, если портфель Х2 более рискованный, нежели портфель Х2 , в момент времени , +1, то портфель Х2 должен быть более рискованным, нежели портфель Х2, также в момент времени , .

- для всех , = 1,...,Т -1 и для всехХ1,Х2 є ЬТ

Р, +1 (Х 1) = Р,+1 (Х2 ) ^ Р, (Х 1) = Р, (Х2 ).

Иными словами, если портфель Х1 столь же

рискованный, как и портфель Х2, в момент времени , +1, то портфель Х1 должен быть в той же степени рискованным, что и портфель Х2, также в момент времени ,.

= Р, (-Pt+s X t, s ^ 0 t, t + S £ T.

Последнее определение временной последовательности особенно полезно для построения последовательной во времени многоступенчатой меры рисков р/ с испольхзованием одноступенчатой меры рисков р. Построение можно обобщить в следующей рекурсивной процедуре:

1. РТ - := р.

2. Для всех t = 1,...,Т - 2 р/ := р(р/+1).

Другой подход к внедрению последовательной во времени меры рисков называется принципом Беллмана.

Принцип Беллмана

Предположим, что на каждом периоде t = 1,...,Т можно посчитать истинную функцию

потерь ft (xt (Е/), Е/) и целевую функцию Ft (Zt,..., ZT\ Е/): Z’t x... X Z’T xRkt ^ R . Для упрощения обозначим xt := xt (Е/), t £ Т. На каждом этапе t £ T многоступенчатой модели необходимо минимизировать все потери, которые могут возникнуть с текущего этапа t к последнему этапу Т с учетом информации по всем реализациям неопределенных параметров Et в момент времени t. Иными словами, на каждом этапе t £ Т необходимо решить следующую задачу оптимизации:

min F (ft (xt,Et),..., fT (xT,ET ) \ V). (3)

x, ,...,Xt

Важно отметить, что каждое правило принятия решения хх(Е,х), т = t,...,T, является функцией параметров Е. Такая функция имеет место для всех соответствующих параметров Е/ времени t .

Одноступенчатая модель t = 1 определена как

min Fi(fl(х1,ЕД..^ fT (xt,^t) \ (4)

х, ,...,Xt

где Е1 = 1 включается для постоянства. Модель на последнем периоде t = Т определяется как

min FT (fT (хтЛт ) \ Е ). (5)

хт

Оптимальное значение Vt (xt-1, Е/) проблемы минимизации (3) является функцией Е/ и последним решением xt-1. Проблему (3) можно представить в следующем виде:

min[ mf F,(f(xt,E,t),

X, xt ,...,Xj

ft+1(x,+1,\,+,),..., fj (Xj ,^) I \t)] .

Теорема 2.1. Оптимизационная проблема (6) удовлетворяет условию последовательности во времени, если для ‘ = 1,...,Т оптимальное значение внутри скобок может быть сформулировано в виде

ф,(/,(X,,Е,),...,Г‘+1(Х‘,Е‘+‘) I Е‘), (7)

где ф, (.,. |.) - действительная функция.

Используя данную теорему, проблему (6) можно сформулировать в виде

тип ф,(/,(х,,Е,),..., V+1(х,,Г1) I Е‘). (8)

х‘

Соответствующее динамическое равенство для последнего периода ‘ = Т:

V ( Хт-„ ЕТ) = м Рт ( /т ( Хт , Ет ) IЕТ) (9)

х,

Соответственно, для ‘ = Т -1,...,1 динамическое равенство можно записать как

V (х7 _i, ET) =

= inf Фт (f (x,, E, )V+i(Xt, Et+1) IET).

:= E(ft(x,,E,) + V,+i(x,,Et+1) I Et)

на каждом этапе. Тем не менее, изменение баланса не является бесплатной процедурой. Таким образом, трансакционные издержки должны быть приняты во внимание. Представим, что на каждом этапе ,, , = 1,...,Т -1, вектор весовых

активов к, ^) обозначает текущее состояние,

Ъ1 ^) - активы, приобретаемые на этом этапе, и

st (E,) - активы, которые продаются на этом этапе. Без трансакционных издержек баланс портфеля может быть рассчитан как

к, ^) = Е,к,-,(Е,-‘)+Ъ, ^^ (E,). (15)

Трансакционные издержки рассчитываются как фиксированный процент сЪ (С) активов, покупаемых (продаваемых) на каждом временном этапе. С учетом этого уравнения баланс портфеля должен удовлетворять уравнению

(10)

(16)

Пример 2.1. Примером последовательной во времени проблемы является многоступенчатая стохастическая проблема программирования нейтральных рисков. Рассмотрим следующую интерпретацию:

min /¡Oi, Ei) + E (inf f2(x2, % 2) +

X1 X2 (ii)

+ ... + E(inf fT (xT, Et )...),

xT

где E1 = 1 задано для согласованности в общей интерпретации стохастического программирования. Данную задачу оптимизации следует понимать таким образом: для случайного процесса Е1;Е2,...,Et на каждом этапе t решается следующая проблема:

Ft(Z,,...,Zt I Et) := E(Zt + Zt+1 +... + Zt | %t). (¡1) Используя теорему 2.1, можно сформулировать выражение

9t(ft(Xt,Et),Vt+1(xt£+1) I Et):=

(17)

(12)

и, соответственно, динамические неравенства

для t = T

VT (xTET) = E(inf fT (xT (ET),Et IET)) (13)

xT

и для t = 2,...,T - 1

V,(Xt-1,ET) = E(inf ft(x„E,) + V,+i(xt,Et+1) I Et).(14)

XT

Так как можно сформулировать динамические уравнения, которые удовлетворяют теореме 2.1, многоступенчатая стохастическая проблема программирования нейтральных рисков является последовательной во времени.

3. Расходы трансакций

В многоступенчатой оптимизации портфеля инвесторы могут сбалансировать свой портфель

w, (Et) = E,w,-1^-1) +

+ (1 - с, )b, (Et) - (1 + ^)s, (Et).

4. Эффективный портфель средней дисперсии

Если риск портфеля моделируется его дисперсией, многоступенчатая оптимизационная проблема средней дисперсии задается в следующем виде:

min wTT (ET-1)Swr _j(ET-1), s.t. wt eWt, st є St, bt є Bt, t = 1,...,T _ 1,

e (wT_i(ET-1)Et ) ^ rp, iTbi (E1) _ iTSi (E1) = Wo,

(1 - c )b1 (E1) _ (1 + Cs )S1(E1) = W1(E1),

1Tbt (Et) _ 1Tst (Et) = 0, t = 2,...,T,

Wt_1(Et 1)Et + (1 _ Cb)bt(Et) _

_ (1 + Cs )St (Et) = Wt (Et), t = 2,..., T, где входной параметр W0 обозначает начальную сумму для инвестирования. Введем следующие множества:

W := {w є L , : w < w (Et) < w }

t ' Ivvt ^ ¿t n • K^mrn — yvt чЪ / — K^maxJ ?

St := {st є Lktn : 0 < st(Et) < •wh

Bt := {bt є L^ : 0 < bt(Et) < bmax},

где bmax є R1 и smax є R1 обозначают максимальный объем активов, которые покупаются и продаются соответственно. Точно так же, w є R1 и w ■ є R1 обозначают максимальный

max mui

и минимальный доход, разрешенный для каждого из активов, соответственно. Если короткие продажи не разрешены, то необходимо установить wm > 0.

5. Временная непоследовательность эффективного портфеля средних условных значений риска

Модель данной задачи может быть представлена как следующая оптимизационная проблема:

Ш1П я(Е') + (1 - в)-15(7(ЕТ)), s.t. к>1 є є St, Ъ{ є В,, , = 1,...,Т -1,

аЄ Lk2,l, 7 є Ь,^

- ж-,(ЕТ-1)Ет - а(Е') < 7(ЕТ),

о < 7(ЕТ),

£(куТ-,(ЕТ-1)Ет ) > Гр, (18)

1ТЪ1(Е1) - 1Ч(Е‘) = Wо, (1 - с„ )*1(Е1) - (1 + с, МЕ1) = к,(Е‘), 1Тъ, ^) - 14 (E,) = 0, , = 2,...,Т,

К,-^-1)Е, + (1 - Съ )ъ, (E,) -

- (1 + с, К ^) = К, ^), , = 2,...,Т.

Теорема 5.1. Проблема (18) не является последовательной во времени.

Доказательство. Для того чтобы доказать непоследовательность во времени, применяется теорема 2.1. Запишем сначала динамические уравнения проблемы. Для последнего инвестиционного периода , = Т -1 оценочная функция VT-і([к’Т-2,а],ЕТ-1) определяется с помощью оптимального значения проблемы:

(19)

min а(Е‘) + E(V,+1 (W (E), а(Е)],E+1)),

s.t. w, є W., s, є S,, b, є B,, ає L , ,

t ft t ? t t ? k 1

1Tb1(E1) - 1Ts1(E1) = 0,

(1 - Cb )b (E1) - (1 + Cs )S1(E1) = w^1).

(21)

Отметим, что а(Е1) является переменной на первом этапе. Поскольку решения на последнем инвестиционном периоде Т -1 зависят от а(Е1), то невозможно сформулировать ф, (.,. |.), как требует теорема 2.1. Заметим, что теорема предполагает, что оптимальное значение на этапе Т -1 должно зависеть только от правил принятия ре-

шений на этапе T - 2 , т.е. wT Теорема доказана.

ш1п(1 -р)-15([-к^_1 (ЕТ-1)Ет-а(Е1)]+),

,.,. єWt, є Б1, Ъ1 є В1, , = 1,...,Т -1,

ає Ьк1 д> 7 є Ьк,1’

Е( кТ-1(ЕТ-1)Ет ) > Гр,

1тЪт-1(ЕТ-1) -14-1(ЕТ-1) = 0, КТ-2(ЕТ 2 )ЕТ-1 + (1 - СЪ )ЪТ-1(ЕТ 1) -

- (1 + с, ),Т-1 (ЕТ-1) = Ж-1 (ЕТ-1), , = 2,..., Т. Аналогично, для , = Т - 2,...,2 значение

функции VT-1([кТ-1,а],ЕТ) определяется оптимальным значением проблемы

Ш1П Е([¥,+1([к, (Et), а(Е1)], Е^1)),

5. ,. ж є W, 5, є Б,, Ъ, є В,, а є Ь 1 ,

, , ? , ,’, , ? к1 1?

1ТЪ, (Et) - 1Т5 (Et) = о, (20)

ж,-1(Е,-1)Е,+ (1 - Съ )Ъ, (Et) -

- (1 + С, )5, (Et) = ж, ^ ) и на первом этапе ( = 1 ) соответствующая задача представлена в виде

6. Последовательный во времени эффективный портфель средних условных значений риска

Для последнего инвестиционного периода t = Т -1 значение функции VT-1([wT-2,а],Ет-1) определяется оптимальным значением проблемы

min ат-1(ЕТ-1; +(1 - ß)-1 Нрт ([-^Т-1(ЕТ-1) X

хЕт -ат-1(ЕТ-1)]+),

S.t. WT-1 £ WT-1, ST-1 £ ST-1,

e (W-1(ЕТ-1)Ет) > УР,

(22)

1ТЬт-1(ЕТ-1) - 1ТИт-1(ЕТ-1) = 0,

Ж--2(ЕТ-2)Ет-1 + (1 - С )ЬТ-1(ЕТ-1) -- (1 + с )ит-1(ЕТ-1) = Нт-1(ЕТ-1).

Если следовать процедуре построения последовательной во времени меры рисков, то

значение функции V, (н1-1 ,Е‘), ‘ = Т - 2,...,2, определяется оптимальным значением проблемы

т1п а, (Е‘) + (1 - Р)-1 х X Ер,+1 ([ V,+1([Н‘ (Е‘), Е‘+1)-а, (Е‘)]),

и.‘. ж е№, и е S,, Ь, е В,, а, е Ц , ,

‘ ‘ ? ‘ ‘ ? ‘ ‘ ? ‘ k‘ 1

1Ть, (Е‘) - 1Тц, (Е‘) = о, ж,-1(Е‘-1)Е, + (1 - с )Ь, (Е‘) -

- (1 + с )и, (Е‘) = ж, (Е‘) и на первом этапе (‘ = 1) соответствующая проблема имеет вид:

(23)

min а1(Е1) + (1 -Р) 1 х X EP2([F2([W1(E1), E2) -а1(Е1)]+),

и

5,. ж єW1, 51 є Б1, Ъ1 є В1, а, є Ь 1 1Тъ, (Et) - 1Т5, (Et) = 0,

(1 - Съ )Ъ1 (Е1) - (1 + с,)51 (Е1) = К1(Е1). Сочетая динамические уравнения (22), (23) и (24) в одной модели и вводя переменные 7^), , = 2,...,Т, чтобы избежать выражений [ х]+, возникающих в целевой функции, получаем следующую проблему:

Ш1П а1 (Е1) + (1 - Р)-1 5р2 (72 (Е 2)),

,,. ж, єWt, є Б,, Ъ, є В,,

, , , , , , (25)

а, є Ь , , , = 1,...,Т -1,

, ^ ,1’ ’ ’ ’

7 є Ьк‘,1> , = 2,,Т>

- жТ-1(ЕТ-1)Ет-ат-1 (ЕТ-1) < 7т (ЕТ),

е (жТт-1(ЕТ-1)Ет) > Гр,

1ТЪ1 (Е1) - ^(Е1) = Wо,

7,(ЕТ) > 0, , = 2,...,Т,

(1 - Съ )Ъ1 (Е1) - (1 + с, ),1 (Е1) = К1(Е 1 ),

1Тъ,(Et) - 1Т,,(Е,) = 0, , = 2,...,т -1, ж,_l(Et-1)Е, + (1 - съ )Ъ, (Et) -

- (1 + с,К^) = ж,^), , = 2,...,Т -1,

7, (Et) + а,-1(Е,-1) > а, (Et) +

+ (1 -р)-1 Ер,+1(7,+1(Е,+1)), , = 2,...,Т -1.

Теорема 6.1. Проблема (25) является последовательной во времени.

Доказательство. Поскольку проблема (25) получена из динамических уравнений (22), (23) и (24), необходимо показать, что они удовлетворяют теореме 2.1. Для каждого этапа t = 1,...,T - 2 можно сформулировать целевую функцию в виде

<Pt ( f, (w,, Et ), V,+i(w„Et+1) | E ) =

= a,(Et I Et) + (1 - P)-1 (V,+i(x,(E),Et+1) - (26)

-a,(E)]+ I E).

Таким образом, проблема (25) является последовательной во времени.

Теорема доказана.

Список литературы

1. Gulpinar N., Rustem B., and Settergren R. Multistage stochastic mean-variance portfolio analysis with transaction costs // Innovations in Financial and Economic Networks. 2003. № 3. Р. 46-63.

2. Wei C. Robust Portfolio Optimization Using Conditional Value At Risk. Master Thesis. Imperial College London, June 2008.

3. Markowitz Н. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952.

4. Shapiro А. On a time consistency concept in risk averse multistage stochastic programming // Operations Research Letters - ORL. 2009. V. 37. № 3. P. 143-147.

5. Bellman R. Dynamic Programming. Princeton, NJ: Princeton University Press; republished: Dover, 2003.

6. Goldfarb D. and Iyengar G. Robust Portfolio Selection Problems // Mathematics of Operations Research. 2003. V. 28. № 1. P. 1-38.

RISK MEASURES IN MULTISTAGE STOCHASTIC PROGRAMMING PROBLEMS

O.A. Galkina

Portfolio optimization is the problem of allocating capital over different assets in order to maximize investment returns and minimize risks. Assessing risk profile is quite a challenge. The paper considers the multistage portfolio optimization problem. An analysis of current risk profiles is presented and risk measures with the required properties are constructed to be used in stochastic programming.

Keywords: risk measure, multistage problem, variance, portfolio.