CC BY
60
УДК 621.774
А.В. Королев, К.С. Нейгебауэр
МЕХАНИЗМ ШАРИКОВОЙ РАСКАТКИ КОЛЕЦ ШАРИКОПОДШИПНИКОВ
Рассмотрен механизм шариковой раскатки колец шариковых подшипников. Установлены закономерности распределения внешней комбинированной нагрузки между шариками. Предложена математическая модель процесса раскатки, позволяющая установить соотношение между нагрузкой на шарики и действующими факторами, в том числе углом контакта шариков с дорожкой качения и соотношением радиальной и осевой внешних нагрузок.
Подшипник, шариковая раскатка, деформация колец, дорожка качения A.V. Korolev, K.S. Neugebauer
A MECHANISM FOR BALL ROLLING OF RING BEARINGS
The article describes a mechanism for ball rolling of rings in ball bearings. The authors define distribution regularities of the external load combination between the balls. The suggested mathematical model for the rolling process allows for the establishment of the relationship between the load over the balls and the operating factors, including the contact angle of the balls with the raceway, and ratio of the radial and axial external loads.
Bearing, ball reeling, ring deformation, rolling, raceway
Известны многочисленные попытки ряда авторов, таких как R. Stribeck, Д.Н. Решетова, М.П. Белянчикова, Е. Meldau и других, определить распределение нагрузки между телами качения, так как оно оказывает существенное влияние не только на процесс раскатки, но и на грузоподъемность и долговечность подшипников. К сожалению, достаточно точного решения получено не было, и в настоящее время эти нагрузки определяют по эмпирическим коэффициентам. Поэтому исследование механизма распределения внешней нагрузки между шариками является важным для повышения эффективности процесса шариковой раскатки.
Раскатка дорожки качения кольца 2 (рис. 1) шарикового подшипника осуществляется раскат-ником, состоящим из набора шариков 1 с числом z и оправки 3, прижимающей шарики к обрабатываемой поверхности под углом контакта /. На оправку действует внешняя нагрузка P, направленная в центр симметрии расположения шариков под углом a к оси вращения кольца 1. Требуется определить распределение нагрузки P между шариками.
Примем следующие допущения:
1. Деформация колец под действием внешней нагрузки пренебрежимо мала по сравнению с локальной деформацией тел и дорожки качения.
2. Осевой и радиальный зазоры между обрабатываемой поверхностью, поверхностью оправки и шариками отсутствуют.
3. Угол контакта тел и дорожки качения в подшипнике постоянный и пренебрежимо мало зависит от деформации тел и дорожки качения
Обозначим нагрузку на шарик, действующую вдоль линии контакта с дорожкой качения, через pi, осевую нагрузку, действующую вдоль оси кольца, через poi, а радиальную нагрузку pri. Рассмотрим распределение этих сил, возникающих от действия внешней нагрузки P между шариками.
Внешняя нагрузка P, действующая под углом a к оси вращения кольца подшипника, раскладывается на две составляющие: осевую A, равную A = P ■ cos a и радиальную R, равную R = P ■ sin a. Момент этой силы P относительно центра симметрии шариков равен нулю, так как сила P направлена в этот центр. Составляющие внешней нагрузки A и R передаются на шарики под углом контакта /.
а б
Рис. 1. Схема контакта тел и дорожки качения а - поперечное сечение; б - вид в плане
Внешняя нагрузка, действующая вдоль оси подшипника A, равномерно распределяется между шариками:
A о A . . A
PiA =-, PriA = PiA • cosP=—^' PoiA = PiA ■ sin b = -, (1)
z ■ sin p z ■ tgp z
где pa - нагрузка, действующая на шарик вдоль линии его контакта с дорожкой качения, вызванная внешней осевой нагрузкой A; priA - составляющая нагрузки на шарик, возникающая под действием нагрузки A, в радиальном направлении; poiA - составляющая нагрузки на шарик, возникающая под действием нагрузки A и действующая в осевом направлении.
Под действием нагрузки р^ между шариками и дорожкой качения возникает упругая деформация, равная [1, 2]:
' 2 I , 2
diA = KgÍpH, driA = Kg3 2 A 2 ■ cosb; doiA = Kg3 4 ■ sinP, (2)
V z 2 ■ tg2p V z 2
где diA - деформация шарика с дорожкой качения кольца под действием осевой нагрузки; driA -составляющая деформации diA, действующая в радиальном направлении; doiA - составляющая деформации diA, действующая в осевом направлении; Kg - коэффициент, определяемый в зависимости от размеров тел и дорожки качения и упругих свойств их материалов.
Под действием радиальной внешней нагрузки R по линии контакта шариков, находящихся в поле действия этой нагрузки, вдоль линии контакта возникает сила, равная (рис. 1б):
PiRr = PoR ■ cos <Pi ■ cos p, "Ри -P<j<p, (3)
где ji - угол расположения i -го шарика относительно направления действия радиальной нагрузки (рис. 1б); PoR - максимальная нагрузка, вызванная действием силы R на шарик, расположенный под углом p=0; pr - нагрузка, действующая на i -й шарик, находящийся под углом pi. Составляющие силы р^ (3) равны
PriR = PiR ■ COs b ; PoiR = PiR ■ sin b , (4)
где PriR - составляющая нагрузки на i -й шарик, возникающая под действием нагрузки R и действующая в радиальном направлении; poiR - составляющая нагрузки на i -й шарик, возникающая под действием нагрузки R и действующая в осевом направлении.
Под действием нагрузки PiR между шариками и дорожкой качения возникает упругая деформация, равная
diR = Kg ■ , driR = Kg3 ^R2 ■ cos p; (5)
5 У cos p
8oiA _ Kg3
PriR cos2 b
■ sin b,
где ё^ - деформация 7-го шарика с дорожкой качения от действия радиальной нагрузки; ёГ7к - составляющая деформации 7-го шарика и дорожки качения, возникающей под действием нагрузки к и действующая в радиальном направлении; ё07к - составляющая деформации 7-го шарика и дорожки качения, возникающей под действием нагрузки К и действующая в осевом направлении подшипника.
Определим зависимость деформации ёг7к 7-го шарика от деформации ёГ0к максимально
нагруженного шарика, находящегося под углом р к направлению действия нагрузки К. Обозначим точку контакта 7 -го шарика с дорожкой качения внутреннего кольца через М . Из рис. 1б видно, что величина упругой деформации дорожки качения и шарика, расположенного к оси ОуУ под углом р, равна
ёгШ = А 7 = ОМ - О д М ,
где ОАМ = 0,5 • Б0 .
Из треугольника ОЫМ после преобразований находим
SriR _ D°
1 + il^oR- cos j + ^dR
Do
-1
D2
(6)
Так как деформация тел SroR намного меньше их размера Do, то, раскладывая выражение (6) в ряд и отбрасывая малозначимые члены ряда с погрешностью менее 0,1%, получим
SriR - 8roR ■ cos ji . (7)
Далее определим суммарную силу, действующую на i-й шарик от сил A и R . Деформация от этой силы равна сумме деформаций от ее составляющих:
8i - 8iR + 8iA .
Тогда сила, действующая на i-й шарик от силы P, равна
3 3 3
Г 8 Л
Pi
Силу pi (7), действующую на i-й шарик, разложим на две составляющие:
Г 8 Л 2 _ ( 8iR +8iA Л 2 _ Г 8roR ■ cos j + 8riA ^ 2
i kg I kg j ^ Kg ■ cos b j
Pr
8riR + 8
riA
Kg ■cos b
■ cos b ; Po
8riR + 8riA Kg ■ cos b
. V
■ sin b.
(8)
Так как связь между силой и деформацией не является линейной, это существенно усложняет механизм влияния геометрических параметров подшипника на распределение нагрузки между шариками.
Разделим равенства (8) на максимальные значения соответствующих нагрузок рГ0 и р00 (ро = 0) и получим
3
(
8roR cos ji + 8rA 8roR + 8rA
3
2
c ■ cos j +1 12 •
c +1
3
(9)
poi poo ■
г8roR cos ji +8rA2 Гc■ cos ji +1 ^2
c +1
ёгоК + ёгА где ^ = ёгоК ёгА .
После операции суммирования равенств (9) по всем шарикам можно найти максимальные значения взаимно перпендикулярных нагрузок на шарики. Учитывая направление действия радиальной нагрузки К, а также то, что угол между шариками равен 2 л/ г, получим систему двух уравнений:
3
( 2л V
С • 008( (0 + 7--) + 1
za -1
R _ Pro ■ Е i-0
c +1
2
. 2p cos(j0 + i-)
z
(10)
3
3
2
3
za-1
A = Poo ■ Z i=0
( 2p
' c ■ cos(jo + i--) + 1
_z
c + 1
где (р0 - угол расположения наиболее нагруженного шарика 0 < (0 < я/г.
Система уравнений (10) не решается, так как не известно значение С. Третье уравнение можно определить, если взять отношение первых двух. Обозначим
z a -1
■ Z
i=0
( ■ 2P л Л
c ■ cos( (o + г--) +1
c +1
■ 2n.
cos((o +1—)
(11)
za -1 aZ
i=0
■ 2п. л
c ■ cos((o + г--) +1
c +1
Разделив равенства (10) друг на друга и учитывая обозначения (11), получим
m„
R sin b
= tga■ tgb
(12)
ma A ■ cos b
Так как зависимости mи ma от значения c находятся в неявном виде, их решение осуществляется численными методами. Результаты расчета представлены в таблице.
Важно отметить, что процесс раскатки будет устойчивым, если c < 1, а следовательно, как следует из таблицы, mrlma < 0,6. Этому соответствует tga < 0,6/tgb. В противном случае часть шариков будет выходить из контакта с дорожкой качения и могут возникнуть вибрации.
Значения коэффициентов m , m и mrlma при ф = 0
л r I a to
3
2
3
2
1
z
m, =
r
z
z
3
2
1
z
m„ = —
a
z
n c
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
mr 3 0 0,066 0,117 0,157 0,189 0,215 0,237 0,255 0,269 0,281 0,292
ma 1 0,868 0,767 0,686 0,623 0,571 0,530 0,496 0,470 0,448 0,433
mrlma 0 0,076 0,171 0,229 0,303 2,82 2,40 2,12 1,91 1,76 0,674
mr 5 0 0,065 0,114 0,151 0,180 0,203 0,220 0,233 0,243 0,250 0,256
ma 1 0,868 0,766 0,866 0,622 0,570 0,528 0,494 0,466 0,443 0,425
ч/m 0 0,075 6,72 4,53 3,45 2,82 2,40 2,12 1,92 1,77 0,602
mr 0 0 0,065 0,114 0,151 0,180 0,202 0,220 0,233 0,243 0,250 0,255
ma 1 0,868 0,766 0,866 0,622 0,570 0,528 0,494 0,466 0,443 0,424
mrlma 0 0,075 0,149 0,175 0,289 0,354 0,417 0,472 0,521 0,536 0,601
Как видно из таблицы, при п > 5 значения коэффициентов практически не зависят от числа шариков. Расчеты также показали, что при п = 3 значение коэффициента тг колеблется в зависимости от значения (от 5% при с = 0.1 до 30% при с = 1 (рис. 2). Следовательно, осуществлять шариковую
раскатку тремя шариками нерационально, так как при этом могут возникнуть вибрации и погрешности формы обработанной поверхности. С увеличением числа шариков раскатного инструмента колебание нагрузки уменьшается, и при г > 5 эта разница не достигает 1%.
С учетом (9) определим искомую зависимость нагрузки на 7-й шарик от нагрузки, действующей на наиболее нагруженный шарик:
3
У С08( + 1 ^ 2. (13)
Р7 = Р0'\ С + 1
Равенство (13) показывает распределение внешней нагрузки между шариками. Как видно, оно
существенно зависит от значения С. При с = 0, что соответствует а = 0, нагрузка между шариками распределяется равномерно. С увеличением значения с неравномерность нагрузки на шарики возрастает. При с > 0 нагрузка на шарики уменьшается при увеличении угла их расположения р7 от нуля
до (7 = л . При дальнейшем увеличении угла р7 нагрузка на шарики возрастает.
В свою очередь, как несложно определить:
Р
Р 0 = ! 0 z • \
• 2 2 sin a cos a
2-TZ + —2-TZ' (14)
I • cos ß ma • sin ß
Таким образом, решена задача определения механизма распределения внешней нагрузки, действующей на раскатник, между шариками.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП (проект № 2014-14-576-0050-065) и Госзадания Минобрнауки России № 9.896.2014/K
ЛИТЕРАТУРА
1. Королев А'А. Математическое моделирование упругих тел сложной формы / А.А. Королев. Саратов: СГТУ, 2001. 128 с.
2. Королев АВ. Совершенствование технологии изготовления тонкостенных колец подшипников / АВ. Королев, Ан.А. Королёв, Ал .А. Королёв. Саратов: СГТУ, 2004. 136 с.
3. Королев АВ. Точная холодная торцовая раскатка / АВ. Королев, Ан.А. Королев. Саратов: СГТУ, 2003. 142 с.
4. Пат. РФ 2222392, МПК B21B19/06. Способ раскатки деталей / ВБ. Годунов, А.А. Королев, А.А. Королев.
5. Королев АВ. Новая прогрессивная технология получения сложнопрофильных заготовок колец подшипников из трубного проката / А.В. Королев, Р.В. Воробьев // Состояние и перспективы развития электротехнологии (Х Бернардовские чтения): тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. Ч. 1. Иваново, 2001. С. 221.
6. Королев АВ. Прогрессивная технология получения кольцевых заготовок из трубного проката / АВ. Королев, РВ. Воробьев // Вестник инженерной Академии Украины. КВ № 2635. № 3. 2001. Ч. 1. С. 211-214.
7. Королев АВ. Математическое моделирование процесса холодной раскатки / АВ. Королев, РВ. Воробьев // Динамика технологических систем: тр. V1 Междунар. науч.-техн. конф. Т. 1. Ростов н/Д.: ДГТУ, 2001. С. 55-59.
8. Пат. РФ 2094158, МПК B21H1/02, B21D37/12. Королев А.В., Полстьянов ПФ., Козин В.А., Атоян В .Р.
9. Королев АВ. Технология окончательной обработки дорожек качения подшипников / А.В. Королёв, С.А. Ефимов, А.А. Меркулов // Современные материалы, техника и технология: материалы 3-й Междунар. науч. конф. Курск, 2013.
10.Королев АВ. Момент сопротивления вращению упорно-радиального подшипника / АВ. Королёв, КС. Нейгебауэр, ЕВ. Мухина // Перспективное развитие науки, техники и технологий: материалы 3-й Междунар. науч.-практ. конф. Курск, 2013. С. 161-165.
11.Безотходная технология изготовления деталей типа фасонных валиков / АВ. Королев, ЕВ. Филимонов, ВВ. Болкунов, А.А. Королев // Вестник машиностроения. 2009. № 12. С. 74-76.
12.Спришевский АИ. Подшипники качения / АИ. Спришевский. М.: Машиностроение, 1969.
349 с.
Королёв Альберт Викторович - Albert V. Korolev -
доктор технических наук, профессор, заведующий Dr. Sc., Professor
кафедрой «Технология машиностроения» Head: Department of Engineering Technology,
Саратовского государственного технического Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
университета имени Гагарина ЮА.
Нейгебауэр Кристина Сергеевна - Christina S. Neugebauer -
аспирант Саратовского государственного Postgraduate,
технического университета имени Гагарина ЮА. Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 02.09.14, принята к опубликованию 25.09.14
