Механический импульс энергии материальной точки переменной массы Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

УДК 622.233:622 Д. И. ЧЕРНЯВСКИЙ

Д. Д. ЧЕРНЯВСКАЯ

Омский государственный технический университет

МЕХАНИЧЕСКИЙ ИМПУЛЬС ЭНЕРГИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ______________________________________

В статье обосновывается актуальность применения величины, называемой «механический импульс энергии». Физический смысл данной величины состоит в том, что она характеризует эффективность изменения энергетического состояния тела. Если физический объект является источником энергии, которая преобразуется в его механическое движение, величина импульса энергии должна стремиться к максимуму. И наоборот, если главной задачей является экономичное использование энергетических ресурсов, величина импульса энергии должна быть минимально возможной. В работе рассмотрены примеры использования импульса энергии для изучения движения тел переменной массы.

Ключевые слова: энергия, механический импульс, ракетная техника, элементарная работа.

Как известно, в механике широко используется понятие «кинетическая энергия». Теорема об изменении кинетической энергии гласит: «Приращение кинетической энергии на данном пути равно работе действующей силы на данном пути» [1].

На основании второго закона Ньютона можно заключить, что изменение массы и скорости материальной точки и, соответственно, изменение ее кинетической энергии, происходит не мгновенно, а в течение конечных промежутков времени. Поэтому целесообразно рассмотреть некоторую интегральную функцию, которая является мерой изменения энергетического состояния движущегося тела или материальной точки во времени. Назовем такую характеристику — механическим импульсом энергии Р.

Физический смысл данной величины состоит в том, что она характеризует эффективность изменения энергетического состояния тела. Если физический объект является источником энергии, величина импульса энергии Р должна стремиться к максимуму. И наоборот, если главной задачей является экономичное использование энергетических ресурсов, величина Р должна быть минимально возможной.

В качестве примера рассмотрим криволинейное движение свободной материальной точки переменной массы.

В классической механике Ньютона масса движущегося тела рассматривается только как постоянная величина. Однако в природе и технике имеется немало примеров движения тел, масса которых изменяется с течением времени. Создателями основ механики тела переменной массы являются русские ученые И. В. Мещерский и К. Э. Циолковский.

Точка переменной массы определяется математически как точка с массой, являющейся функцией времени m(t) [1]. Если принять, что масса точки изменяется в результате непрерывного отбрасывания или присоединения материальных частиц, массы которых весьма малы, можно считать функцию m(t) непрерывной и дифференцируемой. При отбрасывании элементарной материальной частицы возникает элементарная реактивная сила, действующая как

на основную, так и на отделяемую точку. Эти две силы равны между собой по модулю и направлены в противоположные стороны.

Если основная и отделяемые точки рассматриваются как единая система, то силы взаимодействия между ними являются для этой системы внутренними силами и масса такой системы не изменяется, оставаясь при движении постоянной. Из этого следует, что к такой системе можно применять теоремы динамики системы постоянной массы [1]. На основании данных положений И. В. Мещерским определено основное уравнение динамики точки переменной массы:

тйу / dt = Р + Я ,

(1)

где т — масса материальной точки, V — скорость материальной точки, Р — равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, Я — реактивная сила, равная произведению относительной скорости иг на секундное приращение массы основной точки ё.т/М, где Я=ийт/М.

Запишем дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки переменной массы:

Рх + Ях = т, Ру + Я = т^22-, х х М2 у у Л2

с о d2z

г7 + Я7 = т—т.

г г М2

(2)

Помножим уравнения соответственно на йх, йу, dz, представляющие действительные перемещения материальной точки в промежуток времени М, и сложим [1]:

(Рх + Ях )йх + (Ру + Яу )йу + Р + Я2 й =

_ йхй2х + йуй2у + dzd2z (3)

= т-

dt

Преобразуем левую часть выражения (3), считая, что — элемент пути, пройденный за время dt

и а — угол между направлением сил F+R и элементом пути ds.

(Fx + Rx )dx + (Fy + Ry ^у + ^ + Rz ^ =

^ + К ^ ^ ^ ^ ^ + К ^

А ds А ds А ds

, (4)

где А — длина суммарного вектора F+R,

А = ■ Как известно,

правая часть выражения (4), расположенная в скобках, является суммой произведений косинусов углов, образуемых направлениями суммарной силы F+R и элементами ds с осями координат, т.е. равна косинусу угла между направлением силы F+R и направлением элемент пути ds — со8(а).

Преобразуем выражение (4):

^х + Кх ^х + ^ + Ку ^у + ^ + Rz ^ =

= А со8(а^ ■

(5)

Выражение (5) представляет элементарную работу, которая может быть положительной или отрицательной, в зависимости от величины ео8(а) и F+R. Из кинематики известно:

Направим ось X системы координат по оси двигателя космического корабля в сторону его движения и запишем уравнение Мещерского:

(тк + тд ^у / dt = -udmg / dt ■

(10)

Умножив выражение (10) на dt, проинтегрируем его, разделив переменные. В результате получим формулу Циолковского:

у = у 0 + и 1п

( тк + тд 0 ^

тк + тд у

(11)

Запишем уравнение импульса энергии (9) для рассматриваемого случая:

тк + тд0 - к1:)(у0 + и 1п

тк + тд0

2

тк + тд0 - кt

dt

2

-і1 = Г dt Г ик со8(а^ ■

(12)

Для упрощения интегрирования примем, что у0 = 0. Взяв интеграл от левой части выражения (12), получим следующее уравнение:

dz \2 d2 х + d2y + d2 z

dt

dt2

(6)

Дифференцируя это равенство и умножая его на т/2, находим [2]:

2

d\ ту | = т dxd х + dyd у + dzd^

dt2

(7)

Сравнивая выражения (3), (5), (7) и интегрируя полученное выражение, определим:

2

2

Г А со8(а^ ■

(8)

Умножим правую и левую части уравнения (8) на dt и проинтегрируем его по времени. Уравнение импульса энергии Р примет вид:

1

Р = 1Г ту2dt 2

^ п

2

т0у 0 2

t = Г dt Г А со8(а^ ■

(9)

Р = 2к[(1п(тк + тд0) + 0,5)[(1п(тк) - 0,5)тк

Рассмотрим простейший пример определения импульса энергии применительно к свободному движению ракеты без учета сил притяжения к Земле и сопротивления воздуха.

Космический корабль неизменной массой тк необходимо доставить в определенную точку космического пространства. Для выполнения этого требования двигатели космического корабля должны израсходовать топливо и окислитель и разогнать корабль до скорости уг, которая позволит осуществить инерционный полет. Секундный расход газов, проходящих через сопло ракетного двигателя, составит величину k=dmg/dt»mg0/t1, где тд0 — исходный запас горючего и окислителя в баках космического корабля и t1 — общее время работы ракетного двигателя. Текущий запас топлива и окислителя определяется, как тд=тд0 — Ы. Скорость движения космического корабля обозначим у, а относительную скорость выхлопа продуктов горения и.

- 0,5)тк - (1п(тк + тд 0) - 0,5)(тк + тд 0)2] +

+ (1п(тк + тд0))2(тк + тд0)2 -

- 0,5тк[(1п(тк + тд0))2 + (1п(тк))2]]. (13)

Используя известные математические методы, определим экстремальные значения импульса энергии Р. Минимальные значения импульса энергии Р=0 определяются при относительной скорости горячих газов и=0 и запасе топлива и окислителя тд0 = 0 (тривиальное решение), а также при секундном расходе горячих газов к=¥. Таким образом, необходимо стремиться к возможно большему расходу горячих газов и, соответственно, к большей реактивной тяге ракетного двигателя при прочих равных условиях.

Определим импульс энергии при следующем соотношении массы топлива и окислителя к массе космического корабля — тд0>>тк, приблизительно

т /тк= 1/100. Используя выражение (13) и учитывая ^ 2 2 различный порядок величин т _ и тполучим:

Р

2 2 2 и тд0 = и тд0

8к

2

(14)

Таким образом, при малой массе космического корабля и значительных запасах топлива и окислителя полезно используется только четвертая часть энергии, заключенной в топливе^ Это объясняется тем, что приходится затрачивать энергию не только на разгон полезной массы космического корабля, но и на разгон топлива и окислителя, которые будут использоваться на последующих этапах активного участка полета^ Исходя из выражения (14), необходимо стремиться к увеличению скорости истечения горячих газов^ Однако выполнение данного условия зависит от решения многих проблем, связанных с использованием новых видов топлива и окислителя^ Одной из серьезных проблем, связанных с бытом космонавтов, является проблема невесомости в дли-

2

ту

00

0

Ь'

2

2

2

+

+

у

2

2

ту

ту

00

s

0

s

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

тельном полете. При перелете от одного небесного тела к другому данную проблему можно решить не только вращением конструкции космического корабля, но и за счет увеличения продолжительности активного участка полета. Определим величину ускорения а, создаваемого реактивной тягой ракетного двигателя.

Я = ик = (тк + тд0 - Ы)а

(15)

Учитывая, что двигатель работает на протяжении всего активного участка с постоянной тягой, т.е. 1= =т/к, решим выражение (15) относительно к.

к =

(16)

Вставим выражение (16) в уравнение импульса энергии (13).

— [(Ь(тк + тд0) + 0,5)[(1п(тк) - 0,5)тк -ка

- (1п(тк + тд0) - 0,5)(тк + тд0)2] +

+ (1п(тк + тд0))2(тк + тд0)2 -

0,5тк[(1п(тк + тд 0))2 + (Ь(тк ))2]]. (17)

Сравним импульс энергии при 10д и а,=д, где д — ускорение свободного падения. Решая уравнение (17), получим, что энергетически выгоднее в 10 раз двигаться с ускорением 10д, чем с ускорением д, так как Р2 = 10РГ

Анализируя приведенный пример, можно отметить, что механический импульс энергии позволяет оптимизировать параметры механического движения тела переменной массы. Такая оптимизация важна при проектировании транспортных систем, машин и механизмов, использующих законы движения тел переменной массы, так как снижает затраты энергии, необходимые для их функционирования [3, 4].

Библиографический список

1. Жуковский, Н. Е. Теоретическая механика / Н. Е. Жуковский. — М. : Гос. изд-во техн.-экон. лит-ры, 1952. — 811 с.

2. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. — М. : Наука, 1973. — 831 с.

3. Чернявский, Д. И. Расчет на прочность элементов горных машин при упругопластическом ударе / Д. И. Чернявский. — Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2002. — № 1. — С. 88 — 94.

4. Чернявский, Д. И. Оценка эффективности горизонтальной забивки стрежней, свай и труб в грунт / Д. И. Чернявский // Вестник машиностроения. — 2002. — № 2. — С. 14 — 16.

ЧЕРНЯВСКИЙ Дмитрий Иванович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Менеджмент».

Адрес для переписки: maneg1.omgtu.ru ЧЕРНЯВСКАЯ Дарья Дмитриевна, студентка группы ДП-617.

Статья поступила в редакцию 30.01.2013 г.

© Д. И. Чернявский, Д. Д. Чернявская

та

к

и

3

и

Р

Книжная полка

Тестовые задания по материаловедению и технологии конструкционных материалов : учеб. пособие для вузов по направлению подгот. «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» / А. А. Смолькин [и др.] ; под ред. А. А. Смолькина. - М. : Академия, 2011. - 137 с. - ISBN 978-5-7695-6960-9.

Приведены тестовые задания по материаловедению и технологии конструкционных материалов, составленные по четырем формам: закрытой, открытой, на соответствие и последовательность. Использование тестовых заданий нового поколения при тестировании позволяет значительно уменьшить угадывание правильных ответов и более точно оценить объем и уровень знаний (от 0 до 100 %) тестируемых и выявить их креативные и логические способности.

Машков, Ю. К. Физическое материаловедение : конспект лекций/ Ю. К. Машков, О. В. Малий ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - 192 с. - ISBN 978-5-8149-1375-3.

Рассмотрены строение, состав и свойства материалов промышленного назначения, основы теорий кристаллизации и химико-термической обработки, основные положения физики твердого тела. Особое внимание уделено особенностям структуры, фазового состава и свойств полимерных и полимерных композиционных материалов.

Материаловедение и технология конструкционных материалов : учеб. для вузов по направлениям подгот. «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств», «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», «Автоматизированные технологии и производства» / В. С. Кушнер [ и др.] ; ОмГТУ. - 3-е изд., доп. и пере-раб. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - 447 с. - ISBN 978-5-8149-1357-9.

В учебнике рассмотрены строение и свойства металлов. Приведены необходимые сведения о конструкционных, инструментальных и специальных сталях и сплавах, а также на основе титана, меди, алюминия. Дано описание неметаллических материалов. Приведены способы формообразования заготовок в литейном производстве, а также заготовок и деталей машин резанием, обработка давлением, сваркой, электро-физико-химическими и нетрадиционными технологиями.